Л - это Логика (владелец ВладимирХ)

В статье камрада kv1 Решение парадокса двух конвертов приведено некоторое объяснение. Но оно мне кажется не очень удачным. В его формулировке, как и во многих других, ничего не говорится о структуре выборки и ее распределении. И нет информации, знает ли игрок о распределении выборки. Покажу, как это устроено на простом примере.

Тут недавно в одной из статей вспомнили «парадокс двух конвертов». Сам долго бился над этим парадоксом, и вот наконец понял, в чем собака порылась. На всякий случай напомню его.

«Естественное» описание свойства состоит в формулировании каких-то ограничений на атрибуты: «цвет красный», «температура положительная». Далее, несмотря на сложность формулирования отрицания свойства, после того, как отрицание получено, с ним можно работать так же, как с обычным свойством. Будем такое свойство называть «отрицательным».

Приведенная мной логическая задачка вызвала довольно большой интерес и некоторые недопонимания. Кроме того некоторые камрады попросили меня внятно изложить мой вариант правильного ответа. Само бурное обсуждение дало мне некоторое новое более четкое понимание ситуации, которая оказалась еще тоньше, чем я изначально думал.

В просторном купе поезда едут шестеро Мудрецов. Поезд въезжает в туннель, и поскольку окна купе открыты, то копоть от паровоза испачкала лица кое-кого из мудрецов. В купе нет зеркала, поэтому каждый из Мудрецов видит лица других, но не видит своего. А поскольку они все не только очень умные, но и гордые, то каждый из них считает ниже своего достоинства спрашивать у других, испачкано ли у него лицо.

Задачи великолепные и парень, который ведет ролик тоже великолепный. Любителям логики очень рекомендую!

Это видеоролик 15 минут с подробным оглавлением. Я даю тексты всех трех задач. Решения смотрите в самом ролике. Я к стыду своему, ни одну из трех не решил. Правда, в ролике были некоторые шероховатости в формулировках.

Отрицание – самая сложная операция (связка) в логике. Это обусловлено тем, что с отрицанием связано много стереотипов мышления, которые несколько отличаются от понятия строгого логического отрицания. И нужно уметь различать эти тонкости, чтобы не делать ошибок, связанных с неправильным выполнением этой операции.

Благодаря уточняющим вопросам уважаемого камрада Виктор Филимонов, стало понятно, что моих словесных объяснений понятия "атрибут", данного в посте Атрибуты в логике, оказалось не всегда достаточно. Поэтому дополнительно проиллюстрируем связь понятий «свойство» и «атрибут» еще на диаграмме Эйлера.

В посте Объекты, свойства в логике я определил свойство, как двоичный (да-нет) признак объекта: "красный", "Является красным?" Причем, этот признак определен для любого объекта (как обладающего, так и не обладающего цветом): эта шляпка - красная, это облако - не красное, этот звук - не красный.

Введем еще одно понятие, связанное с объектом - атрибут. Атрибут задает отображение из некоторых объектов (не обязательно всех), например, "цвет", "температура", "масса". Т.е., в отличие от свойства, объект может обладать или не обладать указанным атрибутом. Это обыгрывается в известном интернет-меме: «Сигнал – три зеленых свистка».

Пустое множество (класс), которое не содержит ни одного экземпляра. Это именно то, понятие, которое отсутствует у древних авторов. Введение пустого множества можно сравнить с появлением в арифметике нуля. Пустое множество часто обозначают в виде перечеркнутого кружка «Ø» или «ø», возможен вариант пустых фигурных скобок «{}». Я буду в рамках данного цикла обозначать просто как ноль «0». На диаграмме Эйлера пустое множество можно изобразить, как пустой прямоугольник.

Если имеется два множества (класса), причем любой объект одновременно либо входит, либо не входит в оба множества, то такая связь называется эквивалентностью (тождеством). Такая связь между множествами А и Б имеет место тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия «А -> Б» и «Б -> А» (См. импликация). Обозначается такая связь как «А == Б». На диаграмме Эйлера это изображается так.

Помнится, в далеком 1984 году я купил свежевышедшую книгу «Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов». Начал читать, и был разочарован простотой и банальностью приводимых там теорем. Правда, просмотрев с десяток теорем, я подумал, что результат последней, если бы я на это посмотрел «с нуля», был бы совсем не очевиден. Потом так случилось, что через несколько лет я познакомился с Николаем Макарьевичем Нагорным, соавтором этой книги, учеником академика Андрея Андреевича Маркова, который, в свою очередь, был сыном академика Андрея Андреевича Маркова (старшего). Вот такая «трудовая династия». Так вот, от Нагорного я узнал, что тот метод изложения, который меня разочаровал, был фирменной фишкой А.А.Маркова-младшего, и он это называл «метод воробьиного шага».

Определение – это введение нового свойства, как сопоставление его «имени» (обычно называют «термин», «обозначение») и комбинации ранее определенных понятий (свойств), тела определения. Важно осознавать, что термин, имя, не является понятием, а только его обозначает. Мало того, в софистике обычно используют прием подмены понятий, когда в разных местах рассуждения используют разные понятия под одним и тем же термином (нарушая закон тождества). Это оказывается возможным в силу многозначности большинства слов языка. Об этом подробнее говорилось в посте Работа со смыслами в логике.

"Поставив самою себя в качестве предмета изучения, формальная логика, стала беспредметной."
Неизвестный диалектик.

Поводом к заметке послужила, опубликованная на АШ заметка. По-моему, приведённая в ней формулировка Закона тождества очень показательна:

Для процесса логических рассуждений, не так важна строгость определения термина, но важно, чтобы в течение всего рассуждения термин сохранял смысл неизменным.

Связка следования выражается словами «влечет», «если-то», «из-следует». Обозначает одностороннюю связь, т.е. первое условие с необходимостью обеспечивает второе, но при этом обратное неверно. Второе не обязательно вызывает первое. Рассмотрим этот замечательный афоризм К. Пруткова, приведенный в качестве эпиграфа главы.

Диаграммы (круги) Эйлера предназначены для наглядной иллюстрации связей между множествами (классами), которые задаются свойствами. Множества объектов обозначаются внутренностями замкнутых фигур (обычно, кругов, эллипсов). Рассмотрим приведенную ниже диаграмму. Внешний прямоугольник символизирует все множество возможных объектов.

Для процесса логических рассуждений, не так важна строгость определения термина, но важно, чтобы в течение всего рассуждения термин сохранял смысл неизменным.

Приведу пример, предложенный камрадом monk. Исходное утверждение: Все лебеди имеют перья. Вопрос: А ощипанный лебедь – это лебедь?

Следует отчетливо понимать, что слова, как правило, не определяют понятия однозначно. Если посмотреть значение почти любого распространенного слова в толковом словаре, то окажется, что почти всегда это слово имеет несколько значений, зачастую сильно отличающихся друг от друга. Поэтому конкретное слово понимается из контекста употребления и/или благодаря уточняющим оборотам и предложениям. Например: фраза «Он положил лук на стол» требует уточнения, идет ли речь об овоще или оружии. Фраза «Он использовал вилку» может означать, как столовый прибор, так и шахматный ход/прием.

Предполагается, что существует (то ли в мире, то ли в сознании) некоторое множество объектов, которые могут быть как единичные (город Москва, Тихий океан, Иванов Иван Иванович такого-то года рождения, проживающий по адресу такому-то), родовые (стол, цветок, человек), абстрактные (математика, гармония, честность, число), атрибутивные (красный, соразмерный, уверенный), составные (упорядоченные пары, тройки и т.п. объектов), множественные (коллектив, стая, Солнечная система). Способы определения объектов не является предметом логики, важно только, чтобы в рамках рассуждения/вывода один термин определял один и тот же объект (закон тождества).

У каждого человека есть система убеждений (постулатов, аксиом), которые, как правило, он воспринимает как данность, не анализируя. Кроме того имеются определяемые логикой правила эквивалентности высказываний или следования из одного высказывания другого. Доказательством можно считать систему логических преобразований, которая из признаваемых оппонентом исходных высказываний, по признаваемым оппонентом правилам рассуждения (а это и есть правила логики) выводится целевое высказывание, которое изначально не было оппоненту очевидно.