Пустое множество (класс), которое не содержит ни одного экземпляра. Это именно то, понятие, которое отсутствует у древних авторов. Введение пустого множества можно сравнить с появлением в арифметике нуля. Пустое множество часто обозначают в виде перечеркнутого кружка «Ø» или «ø», возможен вариант пустых фигурных скобок «{}». Я буду в рамках данного цикла обозначать просто как ноль «0». На диаграмме Эйлера пустое множество можно изобразить, как пустой прямоугольник.
Полное, универсальное множество (от слова «универсум» - весь мир, вселенная) содержит все экземпляры, которые «существуют в мире». Часто обозначается символом «U» или «E». В рамках данного цикла будет обозначаться, как единица «1». Такое множество можно изобразить заполненным прямоугольником.
Пустое множество является подмножеством любого множества: 0 -> A. В свою очередь, полное множество является надмножеством любого множества: A -> 1. Обозначения «0» и «1» в данном контексте очень близки к логическим значениям 0 и 1 («»нет» и «да», «ложь» и «истина»).
Комментарии
Могли просто учебник по логике скопипастить сюда.
Заинтересованно. А можете конкретно назвать автора и название?
Я когда учился в институте и учил логику, учебник хотелось выбросить в окно за количество воды. Придя на кафедру и обозначив проблему, мне выдели методичку по логике для заочноков (в синий обложки, формата А5). Там было в жатой форме всё рассказано...
Будем считать, что я пишу что-то, вроде дубликата той методички
Гм. И пустого множества?
Подмножество есть часть множества неравное множеству. Если пустое множество является подмножеством любого множества (в том числе и пустого), то как быть с определением подмножества? Или пустое подмножество неравно пустому множеству?
Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы, принадлежащие А, также принадлежат В.
То, что Вы думаете, называется строгим подмножеством.
То-есть пустое множество и его подмножество тождественны друг другу. То-есть в наличии вырождение понятий множество и подмножество. Возможно, также и элемент.
Мне это не нравится. Предпочёл-бы только пустое множество без прочего. Нет у пустого множества ни элементов ни подмножеств и всё выглядит прилично.
Дело не только в пустом множестве. Для любого множества А: А -> А
Бывают еще странные люди, которым не нравится закон всемирного тяготения :)
А если серьезно, то есть понятия "подмножество" и "строгое подмножество". Вам не нравится именно такое распределение названий? Ответ такой: Так сложилось исторически. И такое определение для математиков более естественно. В частности, очень комфортно, что из того, что "A -> В" и "В -> А" следует, что "А == В". Кстати, я об этом писал здесь.
С моей точки зрения Математика есть производное от Физики которая является множеством произошедших достоверных событий. Физика первична, Математика вторична (как и Философия). Кроме того, из Физики все объекты уникальны. Нет идентичных, а потому любое равенство в Математике условно (кроме тривиальных вида А=А в чем нет большого смысла). Гм. "Любое равенство в Математике условно"? Мне стоит над этим подумать. Может быть очень интересно.
Относительно "нравится - не нравится" - Математика создана людьми, а значит в ней полно ошибок. Одни только "парадоксы" чего стоят. Так что всё сводится к красоте и эргономичности. И в какой конфигурации будет эта красота - вопрос.
А почему не от химии или экономики?
Не доучили Вы физику. В теории элементарных частиц, как раз, частицы, например, электроны принципиально неразличимы.
Вы - нахал! Ошибки в математике иногда встречаются, но найти ошибку в устоявшихся разделах математики - это будет покруче, чем выиграть даже не миллион, а миллиард в лотерею. Там система так выстроена, что любой результат проверяют сотни глаз. Как найдете хоть одну ошибку, приходите рассуждать о красоте и эргономичности. Вспомнился в тему житейский анекдот.
В 90-е кто-то из наших уехал работать в США. Устроился небольшую фирмешку. Все сидят в одном здании, атмосфера семейная. Как-то в разговоре с американцем наш вспомнил школьную шутку: "Сколько будет два плюс два умножить на два?" У нас все со школы помнят, что сначала умножение, то есть 6. Американец говорит 8. Наш посмеялся, объяснил, а тот настаивает: взял калькулятор, нажал кнопки 2,+,2, *, 2 - получилось 8. Обратились к коллегам. Все американцы говорят, мол, очевидно, 8. Обратились к владельцу, и тот говорит 8. Наш растерялся: как доказать? Но сообразил. Запустил эксель, набрал формулу "=2+2*2", ну эксель выдал 6. Все американцы охренели, задумались. И тут владелец выдает: "Вот говорили мне программисты, что не любят Билла Гейтса за то, что у него в продуктах много ошибок. Я их не понимал. А теперь понял: в таком месте ошибку запрграммировали его сотрудники!"
Химия, экономика есть синтетика Физики и Математики.
Понятно что поколения, но это никак не избавляет от систематической ошибки стандартного мышления. Более того, это можно даже постулировать как фактор. Люди есть люди. Относительно ошибки, та-же теорема Гёделя о неполноте, с моей точки зрения, не является математической. Да, наверное, доказательство, но вне рамок Математики. Математика это просто, но требует предельной аккуратности. Такое встречается у людей довольно редко.
Дружище, вместо того, чтобы трепать языком с умным видом, выдайте какой-нибудь реальный результат в математике или физике. Найти ошибку в чужом результате тоже подойдет. А пока Ваша болтовня не интересна. Я Вас баню на неделю.
Пустое множество, это такое множество, которое не содержит существующие и несуществующие элементы. Или содержит? Если не содержит, то тогда зачем вводить понятие пустого множества, само слово множество подразумевает что есть то, чего много. Чего много в пустом множестве? Иначе получается тавтология типа: вода мокрая, а масло масленое, и пустота пустая.. А если содержит то что это могло бы быть?
Примерно за тем же, зачем ввели в арифметику число 0. Казалось бы, зачем вводить 0, если число обозначает некоторое количество, а 0 никакого количества не обозначает?
А вот и нет. Ноль ввели сначала в геометрию. Когда начинали измерять посевные площади и выяснилось, что нужна точка отсчёта, отличная от системы счёта. Измерительным прибором служил деревянный циркуль с жёстко закреплёнными ножками. Начало измерения было с втыкания одной ножки в почву, после чего там оставалась ямка, вот вам и изображение начала на плане.
Точка отсчёта и ноль, как количество, - очень разные понятия, и отождествлять их начали очень поздно.
Ноль, как количество - это тоже точка отсчёта. Мы что-то материальное начинаем считать не с единицы. Вот нет в руках ничего, взяли одну морковку = 0 ->1. Не надо думать, что люди тогда были глупее. Скорее всего, и слово, обозначающее ноль у них было, только не дошло до нас. Вместо арабских цифр были буквы.
Неинтересно. И не в тему к множествам. Бан на неделю.
А есть какое то "отрицательное" множество? -1?
Ну такое, из которого взяли в долг? Типа там нет элементов, а есть дырки от элементов?
Хороший вопрос :) В традиционной логике и теории множеств такого нет, но есть расширения (плохо прижившиеся в науке) в виде многозначных логик и нечетких множеств. Но там не минус, а скорее, что-то в промежутке между 0 и 1.
Еще одна близкая тема: троичная система счисления со значениями (-1, 0, 1). В такой системе работала ЭВМ "Сетунь". Но о применении этой концепции к логическим выводам я не слышал.
Гм. Студенты мехмата МГУ и ВМК МГУ сильно удивятся в этом месте: им не только читают теорию функций k-значной логики (где k>1 --- любое натуральное число), но еще и сдавать заставляют, изверги, дисциплину, которая, оказывается, плохо прижилась в науке! А еще и логику Лукасевича и логику Клини (которые как раз трехзначные логики) читают! Над мехматянами вообще измываются: им даже модальные логики читают в обязательном курсе математической логики, и да, сдавать заставляют всех без разбору. Ну садисты-преподы, что возьмешь...
Помнится, в свое время схоластики рассуждали о количестве ангелов, умещающихся на кончике иглы. Тоже, кстати, хорошо мозги развивает. Евреи богословские вопросы на основании Торы исследуют до сих пор.
Расскажите, где конкретно используются эти механизмы.
Впрочем, возможно, я не со всеми направлениями развития логики знаком, не настаиваю. Я по части традиционно, двузначной, и даже не интуиционистской.
Теория автоматов. Это именно функции к-значной логики.
Не вешайте мне лапшу на уши. Теория автоматов к логике никакого отношения не имеет. Если чо, это моя тема. Я занимался теорией формальных языков.
Не вешаю. Про полноту системы функций слыхали? Вот это одна из типичных задача при синтезе автомата. Чтобы все умел реализовать.
Да, теорию формальных языков можно изложить и в терминах автоматов. Но автоматов, распознающих языки, которые попадают в завершающее состояние, если слово принадлежит данному языку.
А есть еще автоматы-преобразователи, например, автоматы Мили или Мура. Они преобразуют слова в слова. И вот там теория k-значных функций в полный рост. Например, при синтезе чего-нибудь эдакого на ПЛИС.
На вход подается n-битовое слово, автомат меняет свое состояние, выдает n-битовое слово, получает следующее n-битовое слово, уже находясь в другом состоянии, выдает n-битовое слово, зависящее от текущего состояния и входного слова, и т.д. Вот автомат Мили как он есть. И надо, чтобы функция на n-битовых словах обладала наперед заданными свойствами. Вот так и возникает задачи о функциях 2^n-значных логик.
Повторяю еще раз: эти темы студентам мехмата и ВМК МГУ читают! Это прикладные темы!
И ЭТО МОЯ ТЕМА ТОЖЕ. Одна из. Я ей занимаюсь. Мне за это деньги платят. В том числе и за рубежом.
Как же это Вы так, занимаясь формальными языками, мимо автоматов Мили/Мура проскочили?
Функций комплексной переменной? Учитесь яснее выражаться для начала.
Заинтересованно. Расскажите про плисы, использующую недвоичные системы?
И эти "логики" не сводимы к двоичным? Расскажите подробнее об этом новом слове в логике?
В том смысле, что n-значные двоичные числа удобнее представлять, как числа по основанию 2^n? Только при чем тут логика?
Короче, сформулируйте конкретную задачу, которую трудно/невозможно решить в рамках двоичной логики? Вы же практик, у Вас этих задач под рукой должно быть навалом.
1. Я говорил о полноте системы функций k-значной логики. В случае k=2 --- это теорема Поста о полноте системы булевых функций. Формулировку вспомните? Для k>2 это теорема Яблонского и теорема Слупецкого.
2. ПЛИСы обычно работают не с битами, с 8-битовыми словами. Другими словами, это автоматы-преобразователи над алфавитом из 256 символов.
3. Польский логик Сушко в свое время выдвинул тезис (а не доказал теорему!) о том, что, грубо говоря, любая многозначная логика сводима в некотором смысле к двузначной. В такой "расплывчатой" формулировке тезис, как позднее оказалось, вообще говоря, неверен. Ситуация значительно сложнее. В общем, вот Вам статья (Вы же логик?), разбирайтесь, если хотите. https://www.researchgate.net/publication/221107739_Two_Many_Values_An_Algorithmic_Outlook_on_Suszko's_Thesis
Там и про функциональную полноту есть, зачем и почему она появляется в логике. В общем, для логика там должно быть все понятно, раз уж понятно даже мне, математику. Обратите внимание, что сам факт сводимости чего-то к чему-то еще ни о чем не говорит, в смысле, не дает как правило инструмента для решения конкретной задачи. Например, теорема Колмогорова-Арнольда говорит, что любую непрерывную функцию можно выразить как композицию функций одной переменной и операции сложения (т.е. функции от двух переменных). И что, это как-то отменяет математический анализ функций многих переменных? Теорема Александрова о том, что топологическое Т_0-пространство гомеоморфно подпространству счетной степени связного двоеточия, что, отменяет топологию? Ведь аксиома T_0 --- это самая слабая аксиома отделимости.
4. При том, что операции над 2^n-значными числами современный компьютер выполняет как над единым блоком, а не побитово.. Т.е. для него входные символы --- это блоки длины n над алфавитом из 2 символов (обычно n=8, 16, 32, 64, ...) Точнее, ассемблеры современных процессоров "заточены" на работу с такими блоками, а не с отдельными битами. В итоге побитовые операции требуют больше вычислительных ресурсов чем "побайтовые".
3. Докажите, что детерминированная (т.е. автоматная) функция f(x)=3^x+3x над 2-символьным алфавитом транзитивна на словах любой длины. Т.е. если взять произвольное слово w длины n над 2-символьным алфавитом и начать его итерировать с помощью функции f(x), то получатся ВСЕ слова длины n над 2-символьным алфавитом (в каком-то порядке), каково бы ни было n=1,2,3, ..., 10000000, ... Эту задачу можно (теоретически) свести напрямую к задаче в двоичной логике, вот и попробуйте свести и решить.
Помню-помню: 5 "не". В частности, штрих Шеффера обладает свойством полноты. Только какое отношение полнота представлений дискретных функций имеет к логике?
Те, которые я смотрел, обходились без этой надстройки. Возможно, сейчас поменялось, давно не интересовался.
То, о чем Вы толкуете - это тема представления (моделирования) многозначный дискретных функций, где у различных значений есть какая-то внутренняя структура. Только какое отношение это имеет к логике, которая работает со значениями истинности-ложности? И если говорить о многозначности, то только в контексте "степени истинности". Короче, если кто-то теорию представления дискретных многозначных функций решил для важности назвать k-значной логикой, то это не делает это логикой. Не стоит впадать в фетишизм наименований. Короче, предлагаю тему закрыть. Это о другом и далеко в стороне от традиционной логики, которую я пытаюсь излагать в данной серии статей.
Ну, исчисление высказываний в обычной (двоичной) логике --- это теория булевых функций. Возможно, Вы не согласны, но для математика это так (во всяком случае, исчисление высказываний нам в свое время читали именно в курсе математической логики). А потому вопрос полноты системы функций в такой логике (как и в k-значной логике для k>2) --- это вопрос выразимости любого высказывания с помощью заранее заданных логических операций. Для булевых функций достаточно одной, штриха Шеффера, как Вы правильно отметили, но в реальности это крайне неудобно, т.к. выражения получаются крайне громоздкими и плохо поддающимися анализу. Стандартные операции "и", "или" , "нет" тоже малоприятны (взять хотя бы вопрос о 3-выполнимости, NP-полная проблема, однако). С другой стороны, операции "исключительное или" и "и" позволяют записывать любое высказывание в виде полинома над полем из двух элементов. В такой записи проблема выполнимости тривиальна, но можно ли свести задачу о 3-выполнимости (т.е. о выполнимости кнф с членами, зависящими не более чем от трех логических переменных) за полиномиальное время --- никто сегодня не знает. А кто узнает и докажет (все равно что, можно или нельзя), тот получит миллион долларов от Института Клэя. Это одна из проблем Миллениума.
Я и не настаиваю на продолжении темы. Хотите --- считайте эти вопросы относящимися к логике, хотите --- не считайте, Ваша тема --- Ваше дело. Но имейте в виду, что "функции k-значной ЛОГИКИ", "многозначная ЛОГИКА" --- это устоявшиеся термины в мировой науке, да и статья, ссылку на которую я Вам дал, тоже про логику, а не про математику. А в статье и многозначная ЛОГИКА, и функциональная ПОЛНОТА обсасывается подробно, и именно как часть логики.
О терминах спорить особого смысла нет. А сама беседа началась от моего замечания
ОК, будем считать, Вы "защитили честь" многозначных логик , а я ошибался насчет перспективности этих логик.
Но моя то цель написать текст про обычную логику, доступный младшим школьникам. И вряд ли стоит тут лезть в многозначные логики (что бы это ни значило) и аномальные свойства бесконечных и рефлексивных множеств, на что упирал камрад vitalium.
Да я не в претензии, наоборот, пишите, просвещайте народ.
Просто раз уж Вы упомянули многозначные логики как "плохо прижившиеся в науке", то я и встрял.
😲 Это из чего/откуда следует? Ведь на диаграмме Эйлера в этом самом "пустом прямоугольнике" рисуются круги. Значит ли это, что "пустое множество это всё, что остаётся вне этих кругов?
Насколько я помню, согласно теории множеств, пустое множество не может содержать в себе элементы, но может содержать подмножеством пустое множество и только его. Отсюда, лично у меня возникает риторический вопрос, сколько всего может быть пустых множеств. Несколько больше одного.
А может быть в вашей "логики множеств" у множества нет и не может быть подмножеств? 🤔
😲 Тот же самый вопрос: откуда это следует?
Впрочем, теорий множеств вроде бы несколько, а может это просто постулаты вашей собственной теории множеств.
Тогда... как в ней можно ответить на такой вопрос:
Будем считать, что в этом случае круг "чисто мнимый"
Я вижу свою задачу не в следовании каким-то дремучим стандартам или чьим-то представлениям о правильном, а в максимально доступном изложении темы для начинающих. Критерий правильности моей работы: умение прочитавшими пройти пресловутый тест.
"Чисто мнимое" изображение силлогизмов мне ещё не встречалось. Может и умозаключения эти будем считать чисто мнимыми? 😆
Стандартам следовать вовсе не обязательно. "Усё подвергай сомнению" (с)
Обязательным было бы продумать всё чего теория касается.
И всё-таки: Возможно ли создать поисковик во всех поисковиках, которые не ссылаются сами на себя?
Если не ошибаюсь, из поиска ответа на подобный вопрос и проник в теорию множеств "универсум".
Это про IQ, ЕГЭ... или ещё какой?
У Вас память, как у золотой рыбки? С чего эпопея началась?
Тьфу-тьфу-тьфу. Я уж было подумал что у меня начался маразм, но пока минула меня чаша сия.
По ссылке я не бывал. Про эпопею не знал. Тем более не знал, что у неё было начало и что это именно оно.
А давать ссылку, вместо ответа на вопрос, это как-то уж совсем по и-двадцатришному. "Фу таким быть." (с) По крайней мере тогда, когда про логику рассуждаешь.
И всё-таки: Возможно ли создать поисковик во всех поисковиках, которые не ссылаются сами на себя?
Из ответа на этот вопрос, лично мне, будет понятно стоит ли рассматривать вашу
теорию множествлогику всерьёз. Может не стоит дожидаться и конца эпопеи. Может будет лучше задуматься над вопросом: Есть ли начало у конца которым заканчивается начало? (шутка)Да, извините, это моя ошибка. Перепутал.
Речь идет об этом тесте.
Я Вам сразу отвечу: Вам дожидаться точно не стоит. Я тут ничьи понты тешить не собираюсь и концами меряться - тоже.
Какие понты? Да ни боже ж мой! И при чём тут какие-либо персоналии? Речь ведь о логике! В этом вопросе, я своими словами попытался передать, известную мне, антиномию теории множеств, известную как парадокс Рассела. Того самого. И лично мне интересно сможете ли вы, начав говорить о множествах, её разрешить или может обойти. Что тоже не исключено. Из этого мне было бы понятно с какой целью стоит следить за эпопей, если стоит.
Короче, всё не так. Я пытаюсь добиться вашего ответа не для того чтобы возвыситься, а что б ума набраться.
Лично я, если бы мне вдруг вздумалось выстроить формальную логику, сделал бы всё чтобы антиномию обойти. Но, увы и ах, не знаю как. Только если изобретать новые сущности. Но это мне не нравится - выглядят как заплатки, а на формальной логике и так уже много заплаток.
Дружище, обучая детей арифметике, стоит ли озабочиваься теоремой Гёделя?
Мне насрать, что там интересно лично Вам.
Я уже сказал, что Вам не стоит. И чтобы облегчить Вам отвлечение от этой темы, я Вас баню на месяц.
Вообще-то про "тест Войнаровского" и подобные я бы завёл отдельный разговор. Даже если бы запомнил имя... "имя им легион". Пройти подобные у меня не всегда получается даже с нескольких попыток. И что-то я начал сомневаться... уж не из-за "слабых" ли модусов...
Заведите, кто Вам мешает? Сделайте полезное дело вместо того, чтобы без толку языком мести.
Ну как бы... не люблю вести пустые разговоры. Всё-таки в любом разговоре надеюсь узнать что-то новое. А что может быть нового в разговоре про "Все смурфурфики это клюцики"? Даже не знаю. Понять откуда они взялись в голове у условного Войнаровского... так себе "наполнение" разговора.
Перспективный чат детектед! Сим повелеваю - внести запись в реестр самых обсуждаемых за последние 4 часа.