Три маленьких вопроса
Представьте прямую, находящуюся в пространстве (не на плоскости). Представьте точку на этой прямой.
Вопрос 1: Сколько перпендикуляров можно провести к прямой через эту точку?
Запишите себе ответ на бумажку.
Вопрос 2. Сколько не перпендикуляров (т.е. под произвольными углами) к прямой можно провести через эту точку?
Ответ тоже запишите на бумажку.
Вопрос 3. Какой ответ больше – первый или второй?
Комментарии
Это вы про актуальную и потенциальную бесконечность?! Очень витьевато!
Бросайте свое графоманство идите на учиться.
кому __необходимо__, тот поймет. всему свое время. тчк.
Потому что произошел структурный переход.
Очень просто. Наглядный пример: на плоскости x, y берём по оси x интервал (0,1) и (1, +∞), проводим окружность радиусом 1 с центром в (0, 0). Для каждой точки на интервале (0, 1) проводим перпендикуляр. В точке пересечения перпендикуляра с окружностью проводим касательную. Берём пересечение касательной с осью x: точка в районе (1, +∞). Обе функции непрерывны, таким образом получаем однозначное соответствие всех точек на интервале (0, 1) и всех точек на интервале (1, +∞). Т.е. получаем, что бесконечность точек на интервале (0, 1) равнозначна бесконечности на интервале (1, +∞).
У плоскости нет толщины :) или это уже не плоскость.
И да, сравнение по мощности (грубо - количеству элементов) и по мере (грубо - длине, площади, объёму и так далее) - это два разных вида сравнения.
Del
А теперь начинаем мерять не в бесконечно малых точках, а в погонных метров, и ответ иной.
А я про что ? Это и есть использование меры.
>>плоскость в пределах шара толщиной в 1 мм
>> А потом их увеличиваем до бесконечности
в каких измерениях? во всех трех?
плоскость толщиной?
вы уверены что математика это Ваше?=)
Именно потому и написала в посте не о шаре и плоскости, толщиной в 1 мм, а о прямых, так как в случае с шаром и этой самой "плоскостью" при расширении в трех измерениях они действительно станут равными. Вы заметили и это хорошо.
А про математику я всегда говорила, что это не мое.
И могу сказать, что и не ваше))))
На все три вопроса ответ неопределенный. Неопределенности не могут быть сочтены по определению и не могут сравниваться по этому же.
Ответ 1: ∞
Ответ 2: ∞
Ответ 3: зависит от выбора размера кегля и жирности отображения символа (cм. ответы 1 и 2 - выбирать по вкусу)
:)
И там и там бесконечность, но это если смотреть по количеству прямых. А если смотреть по объему в пространстве, то у первого это будет плоскость, то есть нулевой объем, а у второго будет бесконечный объем - вся Вселенная.
Да, но плоскость будет тоже бесконечная, а вселенная тремя измерениями не ограничивается, то есть объём - это точно не вся вселенная.
Уберите из всей вселенной объём, что останется?
Из точно известных нам измерений - время. (теория струн, с её десятком измерений, пока до конца не доведена).
Может ли время существовать без "объёма", и было ли время до появления "объёма".
Для существования комплексных чисел нужно всего две единицы (два измерения).
То есть время может существовать и с одним пространственным измерением, не обязательно с тремя.
Вот может ли оно существовать без хотя-бы одного реального измерения - не знаю :)
PS можно считать, что время - аналог комплексного числа - так как инвариантом (квадрата) расстояния в теории относительности равен x^2+y^2+z^2 - (c*t)^2
Время "придумали" для того, что бы ...?. Но если нет ничего, то что обозначает время? Если мы никак не можем отличить один момент бытия от другого, то зачем нам время. Каков его смысл?
Ну, могут существовать неконтинуальные множества объектов, и с неконтинуальным множеством состояний, которые со могут меняться. Тогда, не имея ни одного (пространственного) измерения - можно отличать... считать, что во-о-он та группа объектов - это как "было раньше", а вот эта - это как стало сейчас. И сравнивать.
"Ну, могут существовать неконтинуальные множества объектов, и с неконтинуальным множеством состояний, которые со могут меняться." Могут они существовать только в "объёме" вашего мозга. Нет объёма - нет времени) Всё очень просто.
Как быстро мы пришли к фундаментальному философскому вопросу - существует ли это лишь в объёме моего мозга :)
Ну так это фундамент! Остальное вторично) Если попробовать измерить время в комнате без окон, дверей, света и т.п. Мы увидим как оно остановится и попросту исчезнет. Ибо оно станет ненужным, а природа не терпит ненужности)
Пока не прочитала эту ветку дальше, хочу ответственно заявить - времени нет.
Вы не одиноки в это точке зрения. Например, почитайте работы Julian Barbour
https://arxiv.org/search/advanced?advanced=&terms-0-operator=AND&terms-0...
У него даже монография есть, которая так и называется The End of Time.
Ну и из уравнения Уилера-де Витта тоже следует, что времени во Вселенной нет: https://en.wikipedia.org/wiki/Wheeler%E2%80%93DeWitt_equation
Блин, я наверное и в этой жизни опять чем-то не тем занимаюсь)))
Спасибо! Читать мне - не перечитать!
Я бы на нашем месте, немного оставил бы. 0,75. Две хотя бы.
Две по 0,75 это много, а три по 0,75 это мало) Вот такая закавыка.
Объем плоскости равен нулю. Объем вселенной - бесконечность. Что больше ноль или бесконечность?
Вопрос в чем вы меряете. Если меряете с непонятных штуках, то и ответ будет неверным. А если подберёте соответсвующую единицу, то ответ будет правильным.
Плоскость получается поворачиванием прямой на 360 градусов. Плоскость - это интеграл от прямой. Прямая имеет бесконечное количество точек, и плоскость имеет бесконечное количество точек. По вашему эти множества равны? Это если мерять в количестве точек, а если мерять в единицах площади, то у прямой площадь ноль, а у плоскости она бесконечность. Так и в нашем случае - если сравнение в штуках прямых вам не даёт ответа, то сравнивайте в других единицах, например в кубических метрах.
Это стёб, или вы не правда не знаете?
Все бесконечности имеют одинаковую мощность - бесконечную. :)
Сравнивают мощности конечных множеств.
Меня другое волнует. Точка прямой одномерна, то есть типа бесконечно маленький отрезок, точка плоскости двумерна - типа квадратик бесконечно малый, а точка объёма уже трёхмерна и потому бесконечно малый шар. Можно ли их вообще сравнивать? :) Всё равно что сравнивать метр, квадратный метр и куб.
Как по мне, точка - не бесконечно маленький отрезок. То есть отрезок лежит между двумя точками, и между любыми двумя точками отрезка можно расположить ещё одну, и так до бесконечности. То есть бесконечно маленький отрезок - всё равно имеет бесконечное множество точек.
А "внутри" точки расположить ещё одну точку нельзя (это моё понимание точки).
И поэтому точки в любых пространствах и измерениях - одинаковые.
Понятие "мощность" введено было изначально именно для бесконечных множеств, вообще-то :)
Сравните пожалуйста: бесконечное множество и множество всех подмножеств этого же бесконечного множества? Ясное дело, что оба множества бесконечные. Как соотносятся их мощности?
И вам перестанет казаться что сравнивают только мощности конечных множеств.
Мне лично думается, что можно сравнивать мощность только замкнутых (конечных) множеств. К бесконечным множествам это не применимо, ведь их мощности конечно же бесконечны, но при этом, еклмн, могут быть не равны)))
Замкнутость и конечность разные свойства. Сравнивать мощности бесконечных множеств можно и даже легко. Для этого математика пользуется отображениями. Другое дело, что отсутствие понимания возможности построения биекции вовсе не означает разной мощности. Как равенство так и несовпадение мощности требует четкого строго доказательства.
И как они соотносятся? Если вы сказали, что множество подмножеств бесконечно? Конечно равны. Отрезок можно разбить на бесконечное множество отрезков. И множества отрезков и множество точек в любом отрезке, включая исходный одинаково бесконечно.
Ох, не могу утерпеть, чтобы-таки не озвучит одну из своих фраз про бесконечность: Какую бы бесконечно огромную часть бесконечности мы ни взяли - она по сравнению с бесконечностью бесконечно ничтожна)))
Не знаю, может такое кто-то тоже говорил, но я придумала сама)))
Все варианты на эту тему звучат для меня почти магически:
Мы с вами на равных в данном вопросе. Я тоже теорию множеств не знаю. Даже не знаю нафига она нужна.
Не, мне теория множеств представляется очень даже логичной и полезной за исключением одного варианта, когда множество хоть по какому-либо параметру (не важно по какому) бесконечно. С такими (бесконечными в чем-то) множествами (а они все такие, если захотеть и применить эти самые "бесконечные" параметры) нужны несколько другие методики работы, иначе это как деление на 0 - смысла не имеет. Размерности тут важны, имхуется мне)))
Чтоб сравнить два множества (какое больше) - сопоставляют элементы этих множеств - если все элементы одного множества уже закончились, а в другом ещё остались - то последнее больше первого. Это сравнение.
Для бесконечных множеств результат сопоставления может оказаться различным, в зависимости от того - как выбираются элементы для сравнения. Например, между элементами множеством целых чисел и множеством чётных чисел можно построить взаимно-однозначное соответствие:
1:?; 2:2; 3:?; 4:4...
и окажется, что множество целых чисел "больше" множества чётных - после взаимно-однозначного соответствия элементов останутся ещё нечётные числа. Но "больше" в кавычках потому, что можно ставить в соответствие элементы по другому:
1:2; 2:4; 3:6; 4:8...
(умножая каждое целое на 2) и тогда каждому элементу целых чисел будет соответствовать один элемент чётных, и этому-же элементу чётных будет соответствовать один целых - взаимно-однозначное соответствие, и "лишних" элементов ни в одном множестве не останется, они будут "равны". Но можно и ещё по другому сравнивать:
?:2; 1:4; ?:6; 2:4
(умножая каждое целое на 4) - и тогда каждому элементу в множестве целых чисел найдётся элемент в чётных числах, но ещё останутся "лишние" чётные числа - получится, что чётных "больше", чем целых.
Или другой пример - функция тангенса строящая взаимно-однозначное соответствие между каждой точкой бесконечной прямой, и каждой точкой отрезка. При этом можно подобрать такие функции для соответствия точек, что отрезок может оказаться больше, равен или меньше прямой. Просто в зависимости от того как сравнивать (выбирать) точки этих множеств.
В результате, сравнение бесконечных множеств теряет смысл - можно получить любой результат - и больше, и меньше, и равно - по желанию.
Поэтому для бесконечных множеств придумали понятие "мощности". Которое, грубо говоря, означает - можно ли вообще между этими двумя множествами построить соответствие элементов? Скажем, между континуальным множеством (точками линии или отрезка) и перечислимым бесконечным множеством (скажем, целыми числами) нельзя построить функцию соответствия - в континуальном множестве всегда останутся "лишние" точки, как бы вы не выстраивали соответствие между этими множествами. И говорят, что мощность континуальной бесконечности больше мощности перечислимой. А вот мощности прямой и отрезка (оба - континуальные бесконечности) равны (между их точками можно построить взаимно-однозначное соответствие), хотя внутри прямой можно нарезать бесконечное количество отрезков.
Вот!!!
А - множество целых чисел, Б - множество чётных чисел.
Ставим в соответствие Аi <=>Бi и всё прекрасно отображается одно на другое. :)
Шутить изволите? Множество всех подмножеств бесконечного множества конечно же БОЛЬШЕ самого множества! Это очень легко доказать. Тут кто-то уже упоминал про иерархию алеф-чисел.. Это знает каждый кто изучал теорию множеств.
Ну вот и почему бесконечное множество отрезков в отрезке отличается мощностью от множества точек в этом отрезке? Получается, что мы сравниваем размер отрезка с размером точки. Очень увлекательное занятие, с чего я и начал.
Диск и сфера? Двухмерное с трехмерным чтоль сравниваем?
Не. Если попендикулярами считаются только прямые, то одномерное и двумерное. Кольцо и сфера. Если отрезки, то трёх- и четырёх- мерное. Как будет называться или обозначаться поверхности затрудняюсь ответить, ибо топология страшная вещь.
Да уж, сравнивают две разных бесконечности ))
Можно к ещё парочку другую размерностей добавить )
Можно и добавить. Пробовали в таком или подобном чисто умозрительном эксперименте, который ничего не стоит? Я попробовала. Интересные закономерности получаются, между прочим.
Страницы