Отрицательные и воображаемые числа
Теперь мы рискнём обратиться к алгебре. Использование в алгебре отрицательных и воображаемых чисел подтверждает четырёхчастную природу анализа и предоставляет дополнительный шанс использовать трёхчастный анализ. В этом случае мы снова должны предупредить, что намереваемся использовать концепции алгебры для целей, далеко выходящих за пределы обычного применения этих концепций, т. к. некоторые открытия алгебры привносят весомый вклад в наше исследование.
Эволюция математики пошла семимильными шагами после открытия возможности использования отрицательных чисел (отрицательных количеств). Если мы представим положительные числа как ряд, уходящий вправо от нуля, то слева от нуля будут отрицательные.
и т. д. ... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3… и т. д.
С помощью этого графика мы можем представить себе сложение, как движение вправо, а вычитание — как движение влево. Становится возможным вычитание большего числа из меньшего; к примеру, если мы вычтем 3 из 1, то получим -2, которое является реальным (хотя и отрицательным) числом.
Следующая важная концепция — воображаемые числа. Они были не открыты, а, скорее, случайно обнаружены. Математики пришли к выводу, что числа имеют корни, т. е. такие числа, которые, будучи помножены на самих себя, дают искомое число. Обнаружение отрицательных чисел и сопоставление их с корнями вызвало в научных кругах панику. Какими должны быть числа, умножение которых друг на друга дало бы число -1? Какое-то время ответа не было. Квадратный корень отрицательного числа было невозможно вычислить. Поэтому его и назвали воображаемым. Но когда Гаусс, прозванный «принцем математиков», открыл метод представления воображаемых чисел, вскоре нашлась и возможность для их применения. Сегодня ими пользуются наравне с реальными числами. Метод представления воображаемых чисел использует диаграмму Арганда, которая представляет собой цельность как окружность, а корни этой цельности — как участки окружности.
Вспомним, что ряд отрицательных и положительных чисел расходится в противоположные стороны из одной точки — нуля. Таким образом, квадратные корни целых чисел, +1 или -1, также могут быть выражены как противоположные концы линии, где в центре — ноль. Эту линию можно также представить как угол 1800, или диаметр.
Гаусс развил первоначальное предположение и обрисовал квадратный корень из -1 как половину расстояния между +1 и -1, или как угол 900 между линией от -1 до +1. Следовательно, если разделение целого на плюс и минус есть диаметр, или 1800, то второе разделение ведёт к появлению ещё одной оси, которая делит этот диаметр пополам, т. е. на угол 900.
Таким образом, мы получаем две оси — горизонтальную, представляющую безконечности положительных и отрицательных чисел, и вертикальную, представляющую безконечности воображаемых положительных и отрицательных чисел. Получается обычная ось координат, где число, описываемое этой схемой и осями, есть число, имеющее реальную и воображаемую части.
Используя диаграмму Арганда (эту окружность с радиусом целого (радиус +1) на сложной системе координат), следующие корни целого (кубические корни, корни в четвёртой, пятой степенях и т. д.) мы находим простым делением окружности на три, пять и т. д. равных частей. Нахождение целого корня превращается в процесс вписывания многоугольников в окружность: треугольника для кубического корня, пятиугольника для корня в пятой степени и т. д. Корни становятся точками на окружности; их значения имеют реальную и воображаемую части, а высчитываются они, соответственно, по горизонтальной или вертикальной осям координат. Это означает, что они измеряются в терминах квадратных корней и корней в четвёртой степени.
Из этого мощного логического упрощения становится ясно, что анализ — процесс четырёхчастный. Любая ситуация может быть рассмотрена с точки зрения четырёх факторов или аспектов. Это не только лишний раз подтверждает Аристотилеву идею четырёх категорий, но и объясняет, почему квадратные уравнения (другими словами, «четырёхсторонние») так популярны в математике.
Но вывод о природе анализа как четырёхчастного по сути предполагает его работу в оба направления. Анализ же показывает и всеохватность четырёхчастного, и его ограниченность. А также то, что иногда суть опыта не поддаётся никакому анализу.
Находясь «внутри» геометрического метода, мы показали, что эти неаналитические факторы включают в себя тройственность, пяти-нность, семи-нность. Несмотря на то, что мы способны дать их аналитическое описание, — оно не способно раскрыть их истинную природу.
Кубические корни и трёхчастный оператор
Мы можем выразить кубические корни целого аналитически, в терминологии извлечения квадратных корней. Это правомерно, если осуществлять это с помощью диаграммы в двух измерениях на плоскости.
Корни получаются при вписывании равносторонних треугольников в окружность. Один из корней — +1; два других — есть точки соединения вертикальной черты, проведённой из середины расстояния между центром окружности с другой стороны и самой окружностью. Три точки образуют треугольник, вписанный в окружность. Поскольку сторона треугольника есть √3, вертикальные координаты + (i/2) √3 и - (i/2) √3, где i обозначает, что измерения производятся по вертикали. (Воображаемый √-1 обычно представляется как I).
На этом рисунке мы видим, что значения кубических корней целого могут быть выражены как квадратные корни. Но √3 — иррациональное число, не являющееся отношением целых чисел. Поскольку √2 есть диагональ целого квадрата*, мы можем ожидать, что найдём то же самое выражение для √3 в целых числах. Действительно — √3 есть диагональ целого куба.**
* Целый квадрат есть квадрат со стороной, равной 1.
** Целый куб есть куб со стороной, равной 1.
Поэтому для того, чтобы представить √3 в виде целого, мы должны отказаться от проекции (в двух измерениях). Полное представление кубических корней целого включает в себя три измерения пространства. Трёхчастный оператор, представленный аналитически как равноудалённость точек на окружности, является на самом деле видом деятельности, рассматриваемой в трёх измерениях (чья величина предоставляет только аналитический аспект себя). Аналитический аспект, рассмотренный только в двух измерениях, не разъясняет полного смысла кубического корня, он похож на тень, отбрасываемую жёсткой фигурой.
Трёхчастная природа кубического корня является не аналитической. Она включает в себя категории, которые отличаются друг от друга более глубоко, чем категории четырёхчастного разделения.
Именно на этом примере мы можем видеть невозможность полного анализа картины мира. Это всего лишь один пример фундаментального отличия трёхчастного и четырёхчастного разделений, отличия настолько важного для нашей научной теории и для человеческой жизни, что следующую главу мы посвятим сравнению двух операторов — трёхчастного и четырёхчастного.
Вся книга:
Геометрия смысла (четырёхчастное разделение)
Геометрия смысла (формулы измерения)
Геометрия смысла (трёхчастное разделение)
Геометрия смысла (рождение других формул измерения)
Геометрия смысла (Камень из Розетты. Смысл)
Геометрия смысла (корни целого)
Геометрия смысла (сравнение трёхчастного и четырёхчастного)
Геометрия смысла (субстанция и форма)
Геометрия смысла (целеустремлённый интеллект и двухчастный оператор)
Геометрия смысла (четыре элемента)
Комментарии
А где у вас кубический корень- то ;) или вы квадратный корень из 3 кубическим называете ? Из ваших рассуждений и картинок именно так и следует. А кубический корень - это корень третьей степени...
- Это не мои рассуждения, а автора - Артура Янга. И они даны не для критики, а для осмысления. Но я рад, что вы так ничего и не поняли в авторских рассуждениях. Если бы сразу всем всё стало понятно, то было бы скучно жить.:)
Можно заодно и поразмышлять над авторской фразой:
"Мы можем выразить кубические корни целого аналитически, в терминологии извлечения квадратных корней."
Может она "приоткроет завесу тайны"?
Эту тайну приоткрывают не данные туманные рассуждения, а обычная теория функций комплексных переменных. Которую аффтар пытался каким-то странным гуманитарно- философским способом излагать, правда, с ошибками. Ну Бог ему судья.
Знаете, если бы кубические корни можно было бы через квадратные выражать - столько бы математических задач было бы решено легко и просто. Собственно, любое алгебраическое уравнение любой степени можно было бы разрешить в радикалах. Однако строго доказано, что при степени выше 4 это невозможно.