Геометрия смысла (формулы измерения)

II ФОРМУЛЫ ИЗМЕРЕНИЯ

Математический метод

Дифференциальное исчисление, открытое одновременно Лейбницем и Ньютоном, является важным математическим инструментом, который значительно расширяет возможности четырёхчастного анализа. Поскольку дифференциальное исчисление является фундаментом наших дальнейших исследований, мы кратко остановимся на нём.

Концепция дифференциального исчисления заключается в признании того факта, что, помимо измерения времени и пространства, мы можем также пользоваться отношением пространства ко времени, т. е. движением, или — скоростью. В наши дни высокоскоростного передвижения трудно представить, почему открытие официального выражения такого обыденно-обиходного понятия, как «скорость», подняло в своё время столько шума. Тем не менее, епископ Беркли, философ, настаивал, что «флюксии» Ньютона (отношение безконечно малых величин расстояний к безконечно малым промежуткам времени) есть «логический абсурд». «Безконечно малые величины, — говорил епископ, — дурны сами по себе, отношения же этих величин — попросту абсурдны!»

Ту же систему доказательств использует человек, настаивающий на том, что он не едет со скоростью шестьдесят километров в час, потому что проехал всего лишь десять минут.

Благодаря открытию Ньютона мы можем говорить о скорости как о величине, т. е. как об аспекте, имеющем значение в неимоверно малые доли времени. И это несмотря на то, что для измерения скорости мы вынуждены взять расстояние и поделить его на то время, за которое это расстояние было преодолено.

Ньютон пошёл ещё дальше. «Мы можем не только говорить об отношении пройденного расстояния ко времени, что является скоростью, — сказал он, — мы можем говорить об отношении изменения скорости ко времени, т. е. об ускорении». Скорость выражается как dl/dt, и это означает, что d, производная (или отношение) от длины (расстояния), делится на время (dl — выражает любую безконечно малую длину, dt — любую безконечно малую величину времени); ускорение выражается как (d/dt) (dl/dt), производная от производной, или d²l/dt². Позиция измеряется длиной (l), мы будем использовать эти слова («позиция» и «длина») взаимозаменяемо.

Дифференциальное исчисление позволило Ньютону решить проблему движения планет. Ещё более значительным стало использование исчисления концепции производных для решения точного обозначения ускользающих от разума понятий. Таких, как сила. Именно поэтому стало возможным появление науки о движении.

Математически необразованный читатель не должен испытывать ужаса перед формулами в наших последующих рассуждениях о дифференциальном исчислении применительно к четырём категориям познания. Не лишайте себя путешествия в этот увлекательный мир. Мы надеемся также, что читатели, знакомые с математикой, будут терпеливы даже в тех случаях, когда наши рассуждения (при помощи математических инструментов) будут достаточно далеки от их привычного применения.

Для демонстрации взаимоотношений концепций дифференциального исчисления — позиции, скорости и ускорения — приведём пример маятника.
 

 

Если мы охарактеризуем позиции маятника по отношению к продолжительности времени, то получится, что полное прохождение груза маятника от точки А до точки С и обратно станет циклом движения, где точка С — половина цикла, а первое прохождение через В — четверть цикла. Тремя четвертями станет второе прохождение через В. Чтобы не смешивать оба В, обозначим второе В как D. Наши рассуждения можно теперь представить новой диаграммой, на которой правая и левая позиции маятника представлены в виде вертикального расстояния над горизонтальной линией и под ней, где А, В, С, D — интервалы времени.

Это вертикальное расстояние, или цикл, будет максимально положительным в А, нулевым в В, максимально отрицательным в С, нулевым в D и снова максимально положительным при возврате к первоначальному значению А'. Получается кривая, проходящая через эти точки.
 

Отметим, что наклон кривой, или её «пологость», обозначает степень изменения позиции*.

* Если мы возьмём короткий отрезок кривой, к примеру, в том месте, где она первый раз пересекает линию, то увидим, что наклон есть отношение вертикального расстояния dl к горизонтальному расстоянию dt, и что это отношение имеет положительное значение.
 

На приведённой диаграмме мы сознательно увеличили размеры dl и dt. На самом деле, если эти размеры действительно большие, то кривая между ними — кривая, а не прямая линия. Если же мы сделаем значения малыми, то кривая между ними будет выглядеть как прямая линия, и наклон кривой в точке В будет равен отношению dl/dt, или производной l от t. Поскольку l — расстояние, а t — время, то dl/dt — скорость. Это и было открытием Ньютона. Оно позволяет нам иметь дело с величинами, которые не регистрируются органами чувств. (Мгновенная остановка маятника не позволит нам установить его скорость или движение. Для этого нам необходимы, по крайней мере, две остановки, две картинки его движения. В этом случае возможно установить видимую взаимосвязь.)

В точке А соотношение равно нулю, потому что позиция груза маятника изменяется очень медленно; в точке В (или 1/4 от общего) наклон пологий и направлен вниз, т. е. отрицателен, в середине, в точке С, он снова — ноль, в D (или 3/4 от общего) — склон пологий, но направлен вверх, т. е. положителен. В конце кривой — снова ноль. Те же значения сделаны на новой диаграмме, чтобы получить новую кривую, которая представляет уже значение наклона первой кривой.

Эта вторая кривая, показывающая отношение к меняющейся позиции, показывает скорость маятника. Поскольку позиция положительная, когда маятник — справа, то скорость — отрицательна (движется влево) в первой половине цикла. Это показано кривой скорости, которая расположена под линией в первой половине.

Ещё один шаг в этом направлении — изображение кривой скорости, которая станет отношением к изменению скорости. Получится ускорение.

Заметим, что кривая ускорения прямо противоположна кривой позиции. В самом начале — позиция максимально положительная, ускорение — максимально отрицательное. Можно ощутить это руками, удерживая груз маятника в позиции А (положительной) и чувствуя, как груз стремится назад (в сторону отрицательной). Эта тяга и есть ускорение. Если опустить груз в нижнюю точку цикла, в строго вертикальную позицию, тяга будет равна нулю (в точке В). Тяга становится максимально положительной (по направлению к А) в позиции С и т. д.

Все эти кривые абсолютно одинаковы по форме, но кривая скорости отстоит от кривой цикла назад на четверть, а кривая ускорения отстоит на четверть от кривой скорости, и поэтому ровно на половину — от кривой цикла. Ускорение находится «не в фазе» с циклом ровно наполовину. Скорость же «не в фазе» и с циклом, и с ускорением на одну четверть. Пик скорости приходится на точку D, а пик ускорения — на С и т. д.

 

Цикл движения

Для того, чтобы сделать последнее пояснение, представим цикл движения в виде круга. Или соединим концы линии ABCDA'. А совпадёт с А', точки максимальных положительных значений цикла, скорости и ускорения станут друг к другу под углом 90⁰.

Приведённый выше рисунок показывает фазовое отношение между тремя измерениями. Скорость отстоит от цикла на 90⁰, ускорение — на 180⁰, делая ускорение прямо противоположным циклу, т. е. позиции. Верхняя точка приведённого круга не имеет измерения. Что же это за измерение?

Поскольку оно отстоит на 90⁰ и от ускорения, и от цикла (позиции), то это измерение должно обозначать какую-то производную от позиции. Мы можем предположить, что эта третья производная примет вид d³l/dt³. Или, другими словами, это — отношение изменения ускорения. Но как же назвать это измерение, и какой смысл вложить в него?

Название этому измерению, представленному как третья производная позиции, придумали инженеры, работающие в области космических исследований. Это название — рывок. Вероятно, такое название возникло потому, что, когда ускорение меняется, будучи управляемым автоматической системой, это происходит внезапно и как бы ничем не обосновано. Но в других, общих, случаях управляемый человеком рывок не должен быть рывком.

Поскольку фактор управления не описан в учебниках, мы уделим ему особое внимание. Рассмотрим, к примеру, управление автомобилем.

Для увеличения скорости автомобиля мы нажимаем на педаль газа и тем самым вызываем положительное ускорение. Чтобы уменьшить скорость, мы нажимаем на педаль тормоза и вызываем отрицательное ускорение. Мы также можем изменять направление движения автомобиля с помощью руля*.

* Это тоже является изменением ускорения, которое может быть понято благодаря следующим рассуждениям: предположим, что мы едем с постоянной скоростью и делаем полный разворот без торможения. Теперь мы едем в противоположном направлении, и наша скорость, если её измерить с определённого места (допустим, сбоку от автомашины), изменилась с положительной на отрицательную. Предполагается, что изменение направления скорости есть ускорение (положительное или отрицательное). Сила ускорения — это та сила, которая прижимает предметы в движущемся автомобиле к кривой поворота. Если, делая поворот, мы будем удерживать руль в одной и той же позиции, то автомобиль будет двигаться строго по кругу, т. е. мы не будем изменять ускорение, оно будет постоянной величиной.

Что же это за процесс, при котором изменение движения, торможения и направления меняет ускорение автомобиля? Понятно, что изменение ускорения и есть то, что мы именуем управлением. Именно оно должно стоять вверху нашего круга, в четвёртой позиции.

управление dl/dt³
ускорение dl/dt³
скорость dl/dt
 

Получается, что, двигаясь по часовой стрелке, каждое измерение есть изменение предыдущего (измерения). А это, в свою очередь, ведёт к вопросу — а какой фактор изменяет само управление?

Что заставляет нас заводить автомобиль, вести его и останавливать? Ответ — пункт прибытия. Пункт прибытия — это место или позиция. Поэтому пятый шаг (четвёртая производная от позиции, которая позволяет определять управление) — точно такой же, как и самый первый шаг. Эта позиция — не та, с которой мы стартовали, но она имеет те же категории измерения (расстояние, или длина). Точно так же направление, в котором человек хотел ехать, — не новая категория (вспомним пример с картой, приведённый выше).

Примеры с картой и автомобилем демонстрируют эффективность четырёх категорий. Нам не требуется четвёртая производная. Позиция и три её производных достаточны для анализа и необходимы, когда есть управление — человеческое или ещё чьё-либо.

 

Использование формул измерения

Мы показали, что движение тела, даже управляемого оператором (водителем), может быть формально описано четырьмя категориями измерения. Формула, которую мы использовали для описания этих измерений, — та же, что и в дифференциальном исчислении:

Позиция = l
Ускорение = d²l/dt²
Скорость = dl/dt
Управление = d³l/dt³

Можно поступить проще — опустить коэффициенты d и ввести заглавные буквы:

Позиция = L
Ускорение = L/T²
Скорость = L/T
Управление = L/T³

Эти значения используются в так называемых формулах измерения, в десяти формулах физики, описывающих движение тела. Поскольку мы намереваемся посвятить обсуждению этих формул ещё какое-то время, мы будем пользоваться упрощёнными формулировками.

При описании этих измерений — позиции и её производных — мы обнаружили:
 

• Четыре категории измерений необходимы и достаточны для анализа движения тела.
• Графически эти измерения можно представить в виде двух перпендикулярных линий, пересекающихся в центре круга. Значение образуемым ими углов следующее: каждый угол имеет фазу, равную 90⁰, и соответствует предыдущей производной.

В процессе приведённого выше анализа мы обнаружили одно положение, которое имеет философский смысл и включает следующее толкование:
 

• Научная техника измерения может быть расширена до включения в себя феномена «свободной воли» — аспекта ситуации, всегда рассматривавшегося как ненаучного.

Что происходит? В течение долгого времени мы наблюдали как учёный обрабатывает свой участок с помощью технических инструментов, которые, как казалось, не касаются философии, — это просто инструменты его профессии. Но один из них, третья производная, оказывается тем самым аспектом, от которого долго отказывалась наука, — человеком или свободной волей, движущей силой!*

* Мне подсказали, что прежде чем говорить о полной замене третьей производной свободной волей, надо уточнить: третья производная — это та, где свободная воля проявляется. Но я опротестовал эту поправку, потому что в таком случае свободная воля получается большей, чем само управление.

Наверное, следует поближе ознакомиться с формулами измерения. Есть ли в них более общее значение и в чём их важность?

 

Категории познания, представленные формулами измерения

Что собой представляют формулы измерения: позиция и её производные, скорость и ускорение? Являются ли они просто «физическими свойствами», как это описано в учебниках? Не только.

Более близкое знакомство с формулами измерения позволяет увидеть ещё и качественное различие между ними. Чтобы понять, что мы имеем в виду, представьте себе, как вы узнаёте об этих измерениях. Позиция может быть наблюдаема визуально или абстрактно. Скорость — чисто умозрительная абстракция: её невозможно узнать из непосредственного опыта. Её можно только вычислить. Чтобы узнать скорость, надо взять две точки позиции, определить разницу между ними и разделить полученное на время, которое потребовалось телу для изменения позиции, получив, таким образом, отношение. (Хотя скорость можно увидеть на спидометре, единственный более или менее точный спидометр — это хронометрический таксометр, который сам по себе является компьютером.) Скорость самолёта (скажем, 600 км/ч) есть нечто абсолютно неощутимое. Сама Земля «несётся» в пространстве со скоростью примерно 29 км/с, но мы этого никак не ощущаем.

Ускорение, однако, можно почувствовать. К примеру, когда внезапно останавливается лифт, мы чувствуем, как в желудке подсасывает; когда самолёт снижается или его турбины меняют тягу, нас отбрасывает назад в кресло. Ускорение тоже можно подсчитать, но оно может ощущаться непосредственно или опосредованно, потому что нервная система человека регистрирует именно изменения, а не состояние покоя.

Понятие скорости было так далеко отодвинуто от прямого человеческого опыта, что потребовалось открытие Ньютона, чтобы концепцию скорости формально признали. И хотя всё современное человечество признало понятие скорости, оно — это понятие — тем не менее, отрицается многими философами, потому что не есть ни «событие», ни «индивидуальное ощущение».

Отрицать реальность можно, но потом будет тяжело наделять эту реальность теми формулами, которые её объясняют. В любом случае отрицание — это уход от смысла. А вот то, что действительно важно:
 

• Позиция, скорость и ускорение являются раздельными и различными аспектами полной ситуации.
• Они все необходимы.
• Они все включены в научное описание.
• Самое важное: они являются четырьмя категориями познания.

Позицию можно увидеть, скорость — высчитать, ускорение — ощутить.

Управление, четвёртая категория — неопределимо по своей сути.

 

Научная база и человеческие способности

Фундаментальное различие между формулами измерения, продемонстрированное различными способами их познания, предполагает, что происхождение чувств, мыслей и ощущений может быть не просто человеческим, оно может лежать глубже.

Утверждая такое, мы, однако, попадаем в двойную ловушку: возможны нападки с двух сторон.

Последователи бихевиоризма (направления в американской школе психологии, считающего предметом психологии человеческое поведение, под которым понимаются физиологические реакции на стимулы) скажут: «Вот видите, человеческий организм — всего лишь машина!» Виталисты (последователи витализма — направления в биологии, представители которого объясняют явления жизни действием якобы находящегося в организмах особого нематериального начала — «жизненной силы», энтелехии) возразят: «Когда вы пытаетесь доказать, что человек — просто машина, вы отрицаете наличие свободной воли!»

Ответом на оба утверждения послужит четвёртый аспект — управление. В автомашине управление включает в себя приспособления и механизмы, предназначенные для вождения: для ускорения, торможения, руления. Но все эти механизмы, будь они хоть как сложны, не есть полное управление. Управление производится оператором! А оператор, будучи абсолютно необходимым элементом системы, непредсказуем и неопределим для наблюдателя.

Таким образом, полное определение (далёкое от отрицания свободной воли) включает в себя возможность свободной воли и условия для применения этой свободной воли в эффективном управлении. Потому что если любой из трёх «механических» аспектов не функционирует нормально или ему кто-то или что-то мешает, то свободная воля не сможет проявиться.

 

Цикл обучения

Цикл обучения ещё нагляднее иллюстрирует цикл движения. Ребёнок начинает со спонтанного действия. Он тянет руку, чтобы схватить что-то (1). Затем это что-то причиняет ему боль (возможно, горячая плита с зажжённой конфоркой), и он реагирует на эту боль, отдергивая руку (2). После того как боль утихнет, он начинает осмысливать происшествие, ассоциируя боль с горячей конфоркой, т. е. обозревает ситуацию (3). И наконец, он начинает управлять своими движениями, избегая горячих плит (4).

Четыре типа действий в цикле обучения полностью соответствуют четырём формулам измерения:

спонтанный акт (импульс) = ускорение;
реакция (тоже спонтанная) = скорость (т. е. изменение);
обозрение (наблюдение) = позиция (фактор обозрения);
управление = управление.

Такая же диаграмма, которую мы использовали для иллюстрации цикла движения, может быть использована для цикла обучения, но в этом случае необходимо повернуть цикл последовательностей наоборот (против часовой стрелки):

управление (4)
спонтанная реакция (2)
наблюдение (3)
действие (1)

Нас радует возможность использования одной и той же схемы для показа таких разных процессов, как управление оператором движения и познание ребёнком мира. Важно то, что последовательность действий должна быть обратной. К этому вопросу мы впоследствии вернёмся. Показателем же неполноты наших рассуждений является то, что до сих пор мы имели дело только с движениями, которые являются частью большего цикла.

Больший же цикл, в свою очередь, начинается со стимула и ведёт к результату. Бихевиористы, будучи зависимы от двойственности стимула и ответа (как формы действия), не решают и не могут решить проблему необходимости третьего фактора: когда голод собаки удовлетворён, она не реагирует на запах мяса.

Цикл обучения появляется только тогда, когда существует препятствие в большем, трёхчастном цикле, т. е. когда стимул вызывает неправильную реакцию, и результат не достигается.

Напомним, что законы классической механики всегда исключали возможность присутствия свободного агента, «вмешивающегося» в работу системы. Эти законы рассматривали только позицию и две её производных: скорость и ускорение. И в тех случаях, когда трение игнорировалось, скорость могла не рассматриваться (т. к. она зависит от силы трения).

Поэтому базовая формула для обозначения движения всех тел — от атомов до космических кораблей — выглядит следующим образом:

d²l/dt² + f(l) = K

Где d²l/dt² = ускорение, f(l) = функция длины (позиции), K = константа.

Предположение об исключении свободного агента состоит в том, что в этом случае невозможно предсказать результат — формула станет слишком сложной или её нельзя будет применять.

Однако приведённые выше рассуждения показывают, что существует формальное выражение, включающее в себя «свободного агента». Оно является третьей производной. Это, разумеется, не означает, что предсказание результата возможно. Наоборот — свобода (или непредсказуемость) является частью системы. В определённых случаях предсказать результат теоретически возможно, когда он запрограммирован управлением. Пример — самонаводящаяся на цель ракета, но даже в этом случае, хотя управление не полностью свободно, оно, тем не менее, установлено заранее агентом, который волен в выборе цели.

Можно предположить, что такая ситуация слишком сложна для полного анализа, но на её примере видно, что и здесь необходимо присутствуют четыре категории:

• Для того, чтобы знать позицию тела в пространстве, нам нужно хотя бы одно мгновенное наблюдение (к примеру, фотофиниш скачек).
• Чтобы узнать скорость, которая рассчитывается из разницы позиций тела и разницы во времени между сменами этих позиций, нам нужны два наблюдения.
• Для того, чтобы узнать ускорение, — нужны три наблюдения.
• Чтобы узнать, управляется ли тело (например, автомобиль), и отличить его от тела, которое не управляется, необходимо, по меньшей мере, четыре наблюдения. Первые три наблюдения необходимы, чтобы вычислить ускорение, а ещё одно — чтобы узнать изменение ускорения. (Но это не говорит нам о пункте его назначения.)
• Чтобы узнать пункт назначения (если допустить, что водитель не изменит своего решения или не попытается одурачить нас), нам нужно пять наблюдений.
• Чтобы узнать, что водитель изменил своё решение или пытается одурачить нас, нужно шесть наблюдений.

Заметьте, что пятое наблюдение нужно для знания позиции (цели или пункта назначения), а шестое — для возможного изменения позиции. Таким образом, пятое и шестое наблюдения повторяют цикл; пятое приходится на позицию, а шестое — на скорость. Так же, как и в примере с картой, эффективность четырёх категорий доказана.

---

Вся книга:

Геометрия смысла (введение)

Геометрия смысла (четырёхчастное разделение)

Геометрия смысла (формулы измерения)

Геометрия смысла (трёхчастное разделение)

Геометрия смысла (рождение других формул измерения)

Геометрия смысла (Камень из Розетты. Смысл)

Геометрия смысла (корни целого)

Геометрия смысла (сравнение трёхчастного и четырёхчастного)

Геометрия смысла (субстанция и форма)

Геометрия смысла (целеустремлённый интеллект и двухчастный оператор)

Геометрия смысла (приложения)

Геометрия смысла (четыре элемента)

Геометрия смысла (свободная воля)

Геометрия смысла (типы философий)