Гравицапное (фундаментальное)

Я с детства не любил овал, я с детства угол рисовал.

  

    Многажды уже сталкивался с неприятием в сети утверждения о том, что эллиптичность орбит обращения небесных тел говорит о том, насколько они имеют запас устойчивости к столкновению с центром своего обращения. Такое столкновение наиболее равновероятно на идеально круговой орбите. Я считаю, для того, чтобы понять — почему так происходит, не нужно быть академиком. Далее — будут формулы, цифры и всякая философия  с физматовским уклоном, короче — много букв, поэтому для большей краткости окружности будем называть кругом. Иначе говоря, не будем делать разницы между кольцом и монетой.

 

    Первый вопрос, который должен постичь разум, познающий небесную механику — почему Луна не падает на Землю, а планеты, соответственно — на  Солнце? Что останавливает силу всемирного тяготения, действующую между массивными телами?

   Этой силой является центробежная сила, действующая на обращающееся тело. Можно представить, как вы раскручиваете над головой верёвку, с привязанным к её другому концу грузиком. Сила, натягивающая верёвку воздействием стремящегося от вас грузика — есть центробежная сила. Ту связь, которую в земных условиях выполняет верёвка, в космических условиях выполняет сила всемирного тяготения.

               F_T=GMm/R²                                                                          (1.1)

              F_Ц=mv²/R                                                                              (1.2)

              F_T=F_Ц                                                                                     (1.3)                 

             mv²/R=GMm/R²                                                                     (1.4)

где F_T  – сила  всемирного тяготения; F_Ц — центробежная сила; G – гравитационная постоянная; M – масса центрального тела; m – масса периферийного (обращающегося) тела; v – окружная (орбитальная) скорость периферийного тела; R – расстояние между центрами центрального и периферийного тела.

    Сокращаем m и R  в формуле (1.4), получаем

              v²=GM/R                                                                              (1.5)

    Здесь можно сделать первое замечание — при таком, приблизительном, рассмотрении орбита (пока упрощается, что всякая орбита может быть представлена кругом) вращающегося тела, никак не определяется его массой. И радиус, и орбитальная скорость обращения определяются лишь друг другом относительно массы М центра обращения.

     Далее, выразим орбитальную скорость v через угловые перемещения по орбите.

              v=2πR/T                                                                                (1.6)

где Т — период обращения, время совершения полного (2π) оборота.

    Подставляя (1.6) в (1.5), получим

              4πR²/T²=GM/R                                                                      (1.7)

     Теперь в получившемся уравнении соберем все константы данного центра вращения M в правой части уравнения, а переменные орбитального движения — в левой:

                R³/T²=GM/4π=const                                                            (1.8)

     Это означает что если взять две или более орбит радиусами R_i и R_j, то соотношение «кубов» этих радиусов будет равно «квадратам» периодов обращения по ним.

                 R_i³/R_j³=T_i²/ T_j²

      Это упрощённое изложение третьего закона Кеплера. Упрощено оно тем, что Кеплер, в отличие от нас, сразу указывает не радиусы R, а большие полуоси a эллипсов орбит.

    Поэтому-то, наверное, многие далеки от правильного понимания небесной механики, так как всё вышеизложенное — модель идеального разложения гравитационного взаимодействия, за редкими исключениями, опускается в учебниках, а неофита сразу заводят в непролазные дебри модели, максимально приближенной к реальности.

      Двинемся же дальше — к этой самой реальности.

     Реальные орбиты обращения небесных тел в Солнечной системе не являются идеальными кругами, а представляют собой эллипсы с разным эксентриситетом е — от почти нулевого (почти круг), как это имеет место быть у галилиевых спутников Юпитера до близкого к единице у комет и Седны. Центр притяжения М находится в одном из фокусов эллипса. Вообще, эллипс оперделяется как геометрическое место точек для которых равна сумма кратчайших расстояний от каждой точки до фокуса. Именно эти свойства эллиптичных кривых активно используются криптологам, криптографами и криптоаналитиками. Физический смысл одного из слагаемых этой эллипс-константы — расстояние между объектами в данной точке траектории, смысл другого уже не так физичен и не вполне ясен — расстояние между обращающимся телом и «пустым» альтер-центром орбиты (вторым фокусом эллипса). Полезно ознакомиться с эллипсом, хотя бы в Вики.

     Почему не может быть идеального круга? Может, но ненадолго, потому что при идеальном круге центробежная и тяготяния силы уравновешены. Если хоть пылинка изменит баланс в пользу силы тяготения, то сократившийся на эту «пылиночную» величину радиус R тут же увеличит силу тяготяния которая, в согласии с законом (1.1), имеет квадратичную зависимость от расстояния. А центробежная сила, согласно (1.2), обратно пропорциональна первой степени R. Т.е. если изменить идеальный баланс гравитационного взаимодействия в пользу силы тяготения, то, вследствие вызванного перемещения, она начнёт увеличиваться быстрее, чем центробежная сила. И этот дисбаланс будет нарастать с каждым мгновением — обращающееся тело будет сближаться с центром по всё более крутой траектории.

      Что же будет, если изменить баланс идеального равновесия в обратную сторону — в пользу центробежной силы? Иными словами — если увеличить его орбитальную скорость v?

        Произойдёт деформация круговой формы орбиты в эллиптическую форму. Тут достаточно было бы сказать, что данное утверждение подтверждается практикой запуска спутников. Но иногда и это моих оппонентов не убеждало. В самом деле — спутники активно используют рулевые двигатели, создавая тяги в самых разных направлениях, а не только тягу по ходу траектории обращения, которая только и возможна при гравитационных манёврах. Поэтому придётся рассмотреть процесс более подробно.

    В момент следующий после увеличения орбитальной скорости спутника, увеличивается и центробежная сила, по формуле (1.2). Эта сила сдвигает тело дальше от центра притяжения. Радиальное расстояние R увеличивается. А это означает, что ослабли значения обеих сил, но сила притяжения, из-за своей квадратичной зависимости, ослабевает быстрее. Т.е. дисбаланс усиливается и тело продолжит отклоняться наружу от ранней траектории.

    Что же произойдёт дальше? Тела разлетятся совсем друг от друга? Конечно, это необязательно — такое возможно только если тело в результате увеличения скорости переключило передачу на повышенную космическую скорость. Точки переключения (значения скоростей) разные в разных местах космоса и для разных центров обращения. Но для рассматриваемого нами варианта малого увеличения орбитальной скорости — вероятность такого переключения возникает только на уже очень вытянутой орбите, а на круговой — невозможно и вовсе. Значит тело не улетит от своего центра притяжения. Дело в том, что после изменения дисбаланса «наружу» с каждым отклонением от ранней круговой траектории, обращающеяся тело, в собственных одномерных (подобно тому, как одномерен наш календарь) координатах пути не изменяет своей «линейной» скорости. Но для наблюдателя центра притяжения будет происходить уменьшение угловой скорости. Это значит, что центробежная сила в первой четверти эллипса зависит не только от увеличения радиала R , но и от изменения угловой скорости относительно центра притяжения, которая уменьшается. После прохождения пересечения с малой осью эллипса центробежно-притяжной баланс снова меняется. Хоть обе силы и продолжат слабеть во второй четверти из-за увеличения радиала R, но разрыв между силами теперь уже сокращается, а не увеличивается, как в первой четверти. Центробежная сила, вследствие снижения собственного модуля скорости тела, теперь слабеет быстрее тяготения, а траектория орбиты во второй четверти снова начинает «закругляться».

     Суть этого процесса можно понять и в энергетическом эквиваленте. Нужно также понимать, что работа за полный оборот тела вокруг центра не совершается. А для тел с круговой орбитой она не совершается на любом участке орбиты, так как линия взаимодействия сил строго перепендикулярна направлению движения тела. Перемещение и результат силового взаимодействия при круговой траектории не создают друг другу никакого сопротивления. При движении тел по эллиптичным орбитам работа на отдельных участках совершается, но за полный оборот результат колебания кинетической и потенциальной энергий равен нулю — пол-периода спутник совершает работу над центром притяжения, теряя свою кинетическую энергию, другие пол-периода центр совершает работу над спутником, увеличивая его энергию движения. Собственно, этот факт сниженя скорости и отражается во втором законе Кеплера.

    При достижении апогея, затраты энергии на преодоление силы притяжения прекращаются, а перекачка энергий, как будто вследствие невидимого тригера, обращается вспять: из потенциальной — в кинетическую. Далее всё происходит в обратном порядке.

    Вообщем, как-то так. Возможны и другие, эквивалентные в общем, логические ходы подробного объяснения процесса, потому что в космосе в отличие от земных условий не так-то легко нащупать наиболее близкую к истине «точку отсчёта», ту самую «печку» от которой лучше всего начинать «танцевать» объяснение.

    В следующей таблице приведены большие полуоси a орбит тел, вращающихся вокруг Солнца и средние значения их орбитальных скоростей v, взятые из Вики: 1-8 — классические планеты, 9-12 — транснептуновые объекты; 13-37 — главные астероиды; 38-39 — троянцы Юпитера; 40- троянец Земли; 41 — троянец Марса.

    

   

    Согласно формуле (1.5), вычислим массу Солнца для каждого конкретного случая. В предпоследнем столбике серым шрифтом приведены отклонения от единого показателя массы Солнца равного 1,9885*10³⁰ кг, вычисленного академиками. Для большей части взятых нами тел, отклонения вполне приемлемы. Но не для всех. В чём же дело? Посмотрим на график отклонений в зависимости от эксцентриситета, благо, что в наш компьютерный век это не требует и малой доли тех усилий, которые предпринимал Кеплер.

    Очевидно, что значения групируются вокруг некой кривой. А точнее — кривой (1-e²/2)

    То есть, для ещё одного шага приближения, достаточно ввести в формулу поправочный коэффициент k=1-e²/2. Причина необходимости введения поправки, скорее всего, заключается в том, что в формулах мы используем среднее значение орбитальной скорости, которая неодинакова на разных участках эллиптичной орбиты и изменятеся естественным образом, описанным выше, тем сильнее, чем элиптичнее орбита.

    В последнем (правом) столбце таблицы приведены значения отклонений с учётом принятой поправки, а на графике ниже они изображены в зависимости от эксцентриситета.

   Уже гораздо лучше, хотя отдельные тела всё ещё сильно отклоняются.

   Отклонения Юпитера и других тяжеловесов (Сатурн, Уран, Нептун) очевидно связаны с их большой массой. Если ранее мы ради упрощения отмечали, что в наших формулах масса обращающегося тела не имеет значения, то теперь признаем, что, конечно же, имеет значение, но вовсе не первостепенное. Повышенные отклонения Хаумеа и Макемаке, весьма вероятно, связаны с тем, что открыты они недавно и параметры их орбит будут ещё уточняться по мере наблюдений и относительная ошибка массы Солнца снизится. Отклонения Эриды и Круитни незначительны, но весьма похоже, что они зависят от эксцентриситета, который у них довольно велик. Дело в том, что действительный поправочный коэффициент, примиряющий справочную среднюю орбитальную скорость с тем усредняемым значением окружной скорости, которое наиболее верно использовать в вышеприведённых формулах, имеет более сложную зависимость (вероятно, описываемую арифметическим рядом), чем  k=1-e²/2. Последний же применим для подавляющего числа небесных тел, имеющих умеренные эксцентриситеты. Поэтому мы и не стали включать в нашу таблицу Седну или комету Галлея, имеющие неумеренные эксцентриситеты 0,86 и 0,967, соответственно. Но это нормально — науке известны, например, нерегулярные спутники Сатурна, чьи параметры очень больших и вытянутых орбит также неадекватны обшим расчётным моделям.

     Въедливый читатель вполне возможно задастся вопросом — а на сколько справедливо принимать в качестве радиала R именно большую полуось a эллипса, а не радиус перицентра, например, или какой-либо другой параметр эллипса. Потому что — это просто удобно. Данное утверждение трудно описать словами, но его можно изобразить.

    На рисунке ниже изображено, как будет изменятся круговая орбита при изменении скорости обращения в сторону увеличения (т. е. при росте эксцентриситета), и при условии R=a=const.

     Если присмотреться, то можно заметить, что малые полуоси точно ограничены точкой пересечения данного эллипса с окружностью имеющей е, равный нулю.

 

    То есть нарисовав вокруг центра эллиптичной орбиты круг радиусом R=a, мы получим в точках их пересечения ценртальную ось эллипса, по которой отложены малые полуоси эллипса.    

    Надеюсь очевидно, что полагая все орбиты круговыми, окажется, что каждому значению скорости тела соответсвует определённой значение радиуса орбиты. Свойство эллиптичности же, позволяют телу, имеющему достаточную скорость, занять орбитальное положение в весьма широком диапазоне значений.

    Остаётся ещё вопрос — почему небесные тела занимают те орбитальные положения, которые они занимают? Это сложный вопрос, на который ответить мы здесь явно не сможем. В большей степени — эти положения опредялются случайным характером, впрочем очевидны и ограничивающие факторы, зависящие от материала планет, их плотности, которая убывает по мере удаления планет от Солнца. Так главный пояс астероидов, вероятно, имеет происхождение от разрушения протопланеты, оказавшейся достаточно рыхлой для предела Роша. Впрочем, возможны и более фундаментальные ограничивающие факторы, определяемые гармноией дискретностей, если так можно выразиться. Так ещё композитор Михаил Марутаев в книге «Гармония как закономерность природы» отметил, как он выразился, «качественную симметрию планетных расстояний» представляющую числовой ряд, описываемый золотым сечением (или числом Фибоначчи). Что, впрочем, и так должно быть очевидно любому, кто заметил, что точки парада Венеры, Земли и Солнца, располагаются в вершинах правильного пятиугольника за период в почти ровно восемь земных лет.

    Таким образом, чем эллиптичнее орбита, тем больше энергии нужно отобрать у тела, замедлив его обращение (например, путём использования его для разгонных гравитационных манёвров других, искусственных тел), для снижения его устойчивости к столкновению с центром обращения-притяжения.

      Впрочем, о пользе гравитационных манёвров и возможности создания гравицапы на основе описанных здесь фундаменталий мы поговорим в следующей статье.