Рассмотренная в первой статье модель, не подходит для описания реальной экономической системы и была приведена для наглядного отображения принципов построения подобных моделей. Если мы будем рассматривать взаимодействие реальных субъектов экономики, таких как предприятия и госструктуры, нам понадобится совсем другое пространство для описания их параметров. Причем трех измерений при этом явно не хватит и придётся вводить различные варианты многомерных пространств, которые к тому же могут быть нелинейными. Следует заметить, что в существующих экономических моделях часто встречаются подобные пространства, но такую картину очень трудно представить обычному человеку или отобразить на экране компьютера. Поэтому первым делом мы немножко преобразуем пространство экономических моделей к более удобному виду.
С точки зрения физики, весь окружающий мир состоит из элементарных частиц и взаимодействий между ними. При взаимодействии частиц между собой складываются более сложные структуры, которые обычно рассматриваются как отдельные объекты.
С точки зрения экономики, любая система состоит из взаимодействующих людей, и материальных ресурсов. В результате взаимодействий данные составляющие также могут складываться в более сложные структуры. Такие структуры современная экономика описывает с помощью многомерных пространств, в которых каждому виду товаров выделяется отдельное измерение к которым еще добавляется ось капитала и ось человеческих ресурсов. Для упрощения картины произведем свертку пространства товаров к одному измерению.
Процедуру свертки спрячем под спойлер, несмотря на использование очень простых формул.
Рассмотрим произвольную экономическую систему, в которой существует n видов товара. Для производства некоторого товара требуется определенное количество труда и набор других товаров, входящих в его состав .
2.1
Индекс i означает, что мы суммируем по всем товарам, входящим в состав первого.
При этом каждый из ресурсов тоже можно разложить на труд и составные ресурсы. Если повторить это разложение несколько раз, то окажется что в составе нашего товара останется только труд.
2.2
Усреднив трудоемкость, мы получим выражение для произвольного товара.
2.3
Такое выражение означает, что изменение любого товара можно выразить через произведения его средней трудоемкости на количество вложенного труда. Следовательно в многомерном пространстве по оси каждого товара мы сможем откладывать не штуки и метры, а количество человекочасов, необходимых на его создание. При таком подходе, мы имеем право складывать различные товары между собой и можем получить общую сумму товаров.
2.4
В результате все многомерное пространство товаров, мы можем заменить одним измерением по которому откладывается суммарное количество товаров. Причем данная замена обратима и в случае необходимости всегда можно развернуть товарное измерение обратно в многомерное пространство.
Сделаем еще одну оптимизацию и чтоб не писать лишних букв, труд будем измерять не в человекочасах, а во времени работы одного человека и будем измерять его в секундах. Это означает, что Труд у нас измеряется в секундах и равен количеству секунд работы одного человека.
Тогда наше пространство экономической системы будет выглядеть следующим образом:
Рисунок 2.1.
У нас осталось три измерения, которые легко можно представить в голове. Вдоль одного из них откладываются Товары, вдоль другого откладывается Капитал, а третье направление определяет трудозатраты. Эллипсом ограничены максимальные значения за которые наша система не может выйти.
Причем третье направление не просто совпадает со временем по единицам измерения, но и имеет с ним одно направление. Это легко увидеть из простого соотношения. Чтоб узнать сколько времени прошло между двумя моментами, можно трудозатраты поделить на количество работающих человек, при условии стабильной работы.
Поэтому можно сказать, что у нас существует два материальных измерения и одно временное.
В полученной нами картине можно увидеть существенное отличие от физического пространства. Дело в том, что физические объекты при взаимодействии не могут напрямую обмениваться координатами, у них происходит обмен энергией и импульсами. А экономические субъекты напрямую обмениваются Товарами и Деньгами. Чтоб приблизить наше пространство к физическому, сделаем хитрый шаг и перейдем к обратным величинам.
Рисунок 2.2.
В таком пространстве вдоль оси товаров и денег откладываются их обратные величины.
Теперь немножко позанимаемся математикой и определим экономические аналоги физических величин. Математику в очередной раз спрячем под спойлер.
В данной статье мы опустим рассуждения по поводу выбора функции Лагранжа системы и приведем результат в виде готового Лагранжиана, который проверим на удовлетворение уравнениям Лагранжа-Эйлера.
Выберем следующий Лагранжиан:
2.5
Где 
- скорости вдоль соответствующих осей.
Теперь, проверим функцию 2.5 на совместимость с уравнением Лагранжа:
2.6
В данных уравнениях мы произвели переход к комплексному времени времени, в результате чего скорости в них также стали комплексными, что отмечено добавлением индекса i. Следует отметить, что уравнения Лагранжа полностью сохранили свой вид при таком преобразовании.
Вычислим частные производные по скоростям и продифференцируем их по времени.
2.7
Частные производные по координатам вычисляются следующим образом:
2.8
Совпадение выражений 2.7 и 2.8 означает, что выбранная нами функция удовлетворяет уравнениям Лагранжа-Эйлера и может быть использована в качестве Лагранжиана системы.
Имея функцию Лагранжа для системы, мы можем определить энергию и импульсы.
По определению Лагранжевой механики, частные производные Лагранжиана по компонентам скорости будут являться соответствующими компонентами импульса.
2.9
Энергию системы можно получить из Лагранжиана, использую следующее выражение:
2.10
2.11
Если учесть, что Труд это производительность умноженная на время, то при постоянной производительности будет работать следующее выражение:
2.12
На обычном языке, вышеприведенные математические рассуждения означают, что мы ввели функцию, которая описывает нашу систему на физико-математическом языке и из этой функции получили формулы для импульсов и энергии. Причем импульсами являются товары и деньги.
2.13
Основу нашей модели составляет трехмерное экономическое пространство, в котором можно рассматривать поведение различных субъектов экономики. Для математическое описание данного поведения мы собираемся использовать аппарат механики Лагранжа, успешно применяемый в описании различных механических систем.
В следующей статье мы рассмотрим насколько адекватно наша модель описывает поведение реальных экономических субъектов.
Комментарии
Вы нарушаете методологию. Понять, что написано в учебнике аналитической механики, еще не означает научиться применять усвоенный матаппарат. У вас не определена система, которую вы пытаетесь описать. Так, например, у вас не определена система координат.
"Дело в том, что физические объекты при взаимодействии не могут напрямую обмениваться координатами, у них происходит обмен энергией и импульсами. А экономические субъекты напрямую обмениваются Товарами и Деньгами."
Почитайте хотя бы у меня, если лень перечитывать университетские курсы. У меня предельно сжато:
Координаты должны быть «существенны», т.е. они должны полностью описывать поведение системы. Кроме того, координаты должны быть «независимы», т.е. те координаты, которые могут быть выражены через другие координаты, должны быть отброшены.
Это в статье https://aftershock.news/?q=node/386626 "Метод научного познания".
Народ на афтошоке серьезный. Не хотят даже вступать в полемику.
Не понял, что означает "не определена система координат". Я взял ту же систему, которую рассматриваете вы и произвел над ней простейшие математические преобразования.
Вашу книгу и статьи я прочитал, собственно она меня и вдохновила на размышления. Но в ваших материалах, я увидел один момент, который у меня вызвал сомнения. У вас энергия, потенциал и действие выражается грубо говоря в количестве товаров(и это очень правильно), а вот скорости и импульсы являются их производными по времени. В результате получается не совсем физичное соотношение между энергиями и импульсами. Другими словами, на мой взгляд вы рассматриваете систему в фазовом пространстве(импульсов и энергий) и с математической точки зрения в этом нет никакой проблемы. Но применять физические аналогии движения в этом случае становится проблематично.
Я пытаюсь перейти от фазового пространства к координатному, чтоб получить максимально близкое к физике описание.
При этом мне непонятно почему при переходе к обратным координатам, система становится "неопределена"?
По большому счету, для описания системы можно использовать любые линейные комбинации и функции от изначальной системы и если базис останется полным, то не будет никакой разницы. Другой вопрос, зачем это делать, но на него у меня есть ответ озвученный выше.
Очень хорошо, что прочтение моих работ вдохновило вас на размышления. Плохо, что вы не понимаете базовых вещей. Но это легко поправимо, кроме того, их многие не понимают. Эти базовые понятия размазаны по учебникам и монографиям и не вбиваются в мозг. Кроме того, многие преподаватели тоже их не понимают, хотя вроде все просто и известно.
Еще раз повторю: координаты должны быть независимы и полностью описывать систему.
Если вы понимаете координаты как линейную комбинацию других координат "обмениваются", то они ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫ и не являются координатами. Вам нужен БАЗИС независимых векторов (координат).
Координаты должны полностью описывать систему. Например пространственные координаты полностью описывают ПОЛОЖЕНИЕ точки. Но их недостаточно для описания движущейся точки, так как из каждой точки пространства может торчать множество векторов скорости, или другими словами через каждую точку пространства проходит множество траекторий движения. Следовательно СИСТЕМА НЕ ОПРЕДЕЛЕНА. Поэтому для описания ДИНАМИЧЕСКОЙ системы приходится добавлять такое же количество новых координат - скоростей или импульсов. Пространство становится симплектическим или фазовым. Ваша фраза "Я пытаюсь перейти от фазового пространства к координатному" НЕ ИМЕЕТ СМЫСЛА.
Причем, когда вы добавите к пространственным второй набор координат, система ОПРЕДЕЛЕНА. никаких новых координат больше не нужно.
Другой пример: в термодинамике при использовании только двух координат система может перейти из одного состояния в другое РАЗНЫМИ путями (процессами). Это означает, что система НЕ ОПРЕДЕЛЕНА. Не хватает координат, например - энтропии.
Поэтому в термодинамике различают функции состояния (для которых имеется ПОЛНЫЙ дифференциал, со всеми координатами) и функции процесса (дифференциал которых не является полным). Смысл пространства функции состояния и симплектического пространства В ЭТОМ СМЫСЛЕ ОДИНАКОВЫЙ. Но преподаватели этого не знают и не объясняют.
Математики (некоторые академики) вообще не понимают смысла полного дифференциала и функции состояния. Они просто знают, что такие штуки есть, а зачем - неизвестно (они не задумываются).
Из этих рассмотренных нами ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ соображений уже кое что прояснилось. Скажу больше. Из ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ соображений и только из них можно вывести ВСЕ законы нашей вселенной (хотя это только гипотеза). Например, из принципа наименьшего действия Гамильтона можно вывести все законы механики (Ньютона, Лагранжа и Гамильтона), а также закон сохранения энергии. По сути это так называемая теорема Нетер (что обычно не преподают). У меня в книге есть ее доказательство. Причем сохранение энергии следует из однородности времени, а сохранение импульса из изотропности пространства. Но в университете это преподают на первом курсе, и многие это забывают или не понимают. Мне зам директора Курчатовского института сказал, что это глупость. Он ЗАБЫЛ первый курс, а потом больше НЕ СТАЛКИВАЛСЯ. Он просто это не понял в универе, а преподаватели сами не понимали толком и не вбили в мозг.
Мне кажется, что у вас сложилось не совсем верное мнение о непонимании мной базовых вещей :).
В том что вы говорите я не вижу противоречий с моими представлениями. Я как раз пытался сказать, что координатами "не обмениваются" в процессе взаимодействий.
А линейные комбинации координат не создают новых измерений, но могут быть использованы вместо исходных. Например переход к сферическим координатам можно расценивать как переход к функциям от исходных координат.
И про скорости я не забыл. В Лагранжиане они присутствуют в явном виде, просто пока нет необходимости рисовать их как отдельные измерения на картинках.
Про фазовое пространство я действительно неправ, имелось ввиду пространство энергий-импульсов.
Итак, я ввел пространство по осям которого откладываются функции от товаров, денег и труда. Я считаю что эти переменные независимы и из них можно построить базис(скорее всего даже ортогональный). Конечно же в системе есть скорости вдоль каждого измерения.
Кроме того есть Лагранжиан и следовательно энергии, импульсы, моменты и т.д.
Чего еще не хватает с вашей точки зрения для полного описания механической системы? или с чем из вышеперечисленного вы не согласны?
И еще побочный вопрос, вы считаете, что принцип наименьшего действия вытекает из геометрии пространства?
Вы вместо симплектического пространства (2n координат) стали придумывать дополнительные наборы координат, которые очевидно - линейно зависимы и поэтому не являются координатами. Потом вы стали пытаться свести их обратно к пространственным, хотя их должно быть 2n. Что такое пространство энергий? Вы хотите сказать что энергия является вектором (имеет направление)?
Все это воспринимается как мешанина слов, которая является отражением хаоса в вашей голове.
Принцип наименьшего действия не вытекает из геометрии пространства. Он сам есть геометрия пространства. Принцип гласит, что система всегда движется по НАИКРАТЧАЙШЕМУ пути, т.е. по сути принцип выражает метрику пространства.
Я не придумывал дополнительных наборов, я заменяю исходные. Из трех независимых координат всегда можно придумать три их линейные комбинации, которые можно использовать вместо исходных. Про 2n я уже сказал, что их ровно столько и осталось, просто скорости на обывательском уровне не совсем являются координатами.
Энергия в теории относительности является одним из компонент четырехмерного вектора Энергии-импульса. И это ведь не для красивого слова сделано. И данный вектор как раз рассматривается в четырехмерном пространстве энергии-импульсов. Именно эту картину я увидел в вашем варианте.
Наикратчайшее расстояние в принципе наименьшего действия совсем не является геометрическим кратчайшим расстоянием. или вы имеете в виду эффект искривления пространства разными потенциалами? Просто если вводить в рассмотрения искривления пространства, то уже трудно говорить о чистой геометрии.
Мне кажется, что принцип наименьшего действия является как раз дополнением к геометрическим свойствам и из них вместе действительно можно вывести все остальное.
Если вы смотрите движение системы на сфере (многообразии), то наикратчайшим расстоянием будет дуга. Это простые вещи.
Теперь по поводу четырехмерного вектора энергии-импульса или комплексного времени - импульса и всех подобных рассуждений и притягивания за уши всего того, что вы знаете, слышали и т.д. Как бы вам объяснить смысл нашего диалога?
Вот вы рисуете картинки и пишите формулы. Например, человек (ребенок) рисует картинки и пишет формулы, что люди ходят на головах. Ты пытаешься объяснить, что это невозможно, нужны две ноги. В крайнем случае люди могут ходить на руках или на ушах, а на головах только прыгать.
Ребенок, вместо того, чтобы понять проблему и попытаться обосновать свою позицию, заявляет: Не устраивает на головах, значит люди ходят на задницах! Как тут что-либо обсуждать?
Может тогда перейдем к уровню обсуждения повыше чем, у детей?
Тогда я спрошу немножко конкретнее. Какая геометрия исходит из принципа наименьшего действия? Евклидова или какая то другая?
По поводу выбора системы координат, поверьте пока на слово, что это сделано не с потолка и приводит к очень интересным результатам.
А по поводу вашего примера с ребенком и хождением на голове. Представьте, если вы попробуете объяснить первобытному человек принцип колеса. Он так же может воспринять ваши объяснения как попытку хождения на голове. Я думаю, что вы сами были в подобной ситуации, когда пытались продвигать свои книги. Я помню в комментариях к своим статьям, вы так и не получили никаких замечаний по сути работы. Сейчас вы на обратной стороне. Если вы, глядя на уровень изложения материала думаете, что я не смогу ответить на ваши вопросы, то смею вас заверить что скорее всего это не так.
1. По поводу обсуждения уровнем выше. Вы НЕ ХОТИТЕ обсуждать. Вот, например, мой комментарий:
https://aftershock.news/?q=comment/3627509#comment-3627509 Где обсуждение? Я написал вам вопросы, сказал что тема не раскрыта. Способ хождения на голове не указан. Вы ответили в том смысле, что еще не приступали к описанию моделей. И написали новую статью.
В новой статье я говорю - не применяйте массу, вы лезете в дебри. Обоснуйте позицию, люди не ходят на головах, это невозможно. Примените механику Лагранжа. https://aftershock.news/?q=comment/3632131#comment-3632131. Вы вообще не отвечаете, и пишите новую статью.
В новой статье я говорю - вы не используете симплектическое многообразие, неправильно определяете координаты. ЛЮДИ НЕ ХОДЯТ НА ГОЛОВАХ. Вы отвечает в том смысле, что есть такая штука, как четырехмерное пространство и пространство энергий-импульсов и т.д. Вы не отвечаете по теме обсуждения. Вы заявляете, что ЛЮДИ ХОДЯТ НА ЗАДНИЦАХ.
2. По поводу принципа наименьшего действия и его геометрии у меня написано в заключении на предпоследней странице книги, а также в первой статье на автошоке. Если вы этого не увидели, значит мои работы просмотрели, а не прочитали. Увидели там что-то, что вас вдохновило и стали писать свое. Возьмите, например, мою систему (симплектический набор координат для экономической модели), скажите, например, этот набор координат меня не удовлетворяет потому-то и потому-то. Не хотите, не обсуждайте мои работы. Но не убеждайте меня, что люди ходят непременно на головах или на задницах, причем без всякого на то обоснования. Скажите мне ЭТО НЕ ТЕ НОГИ, НА КОТОРЫХ ХОДЯТ ЛЮДИ. ВОТ Я ПРИДУМАЛ ДРУГИЕ НОГИ, ОНИ ЛУЧШЕ.
Вот, что у меня написано по поводу геометрии принципа наименьшего действия и как это применять для рассмотрения ЛЮБЫХ систем, а не только механической системы:
Любая природная система, как физическая, так, например, и экономическая характеризуется следующими свойствами, которые прямо следуют из геометрических свойств пространства:
система состоит из совокупности объектов с определённым свойством, находящихся в соответствующем поле;
система представляет собой симплектическое многообразие (фазовое пространство);
состояние системы задаётся точкой на этом многообразии;
движение системы (точки) всегда происходит по геодезической линии, т.е. по наикратчайшему пути или «прямой» на многообразии.
Отличие между системами заключается в первом пункте этого списка – в выбранном для рассмотрения поле и свойстве объектов:
механическая система изучает взаимодействие объектов, имеющих массу, в силовом поле;
электродинамическая система изучает взаимодействие объектов, имеющих заряд, в электромагнитном поле;
термодинамическая система изучает взаимодействие объектов, имеющих теплоёмкость, в поле термодинамических сил;
экономическая система изучает взаимодействие объектов, имеющих цену, в поле экономических отношений.
Мне показалось, что в последней статье я как раз пытался ответить на ваши вопросы.
1. Вы сказали, что измерения разные, я привел их к одной природе путем выражения через трудозатраты. И сразу стала возможной однородность.
2. Вы спросили какими уравнениями это можно описать, я представил Лагранжиан.
3. Про термодинамику пока не готов сказать, но думаю дойду и до этого.
4. Как видите массу я не применяю(хотя совсем от нее отказываться не думаю)
5. Я не понял почему мои координаты определены неверно. Во первых не вижу в них зависимости друг от друга, во вторых их достаточно для описание экономической системы. Если принципиально добавление скорости в набор координат, то не вижу в этом проблемы.
6. Про "Ноги" я как раз это и пытаюсь сказать. Вернее на ваших тоже можно с успехом ходить, но утверждаю, что на моих это будет делать удобнее.
7. Про симплектическое многообразие мне непонятен такой вопрос, как можно увидеть является ли набор координат таковым или не является?
Про принцип наименьшего действия я у вас читал, но в данном случае возникли вопросы о его связи с геометрией. Здесь мне кажется не все так однозначно. Предлагаю этот вопрос пока отложить.
"Рассмотрим произвольную экономическую систему, в которой существует n видов товара" с этим понятно. Какой второй набор координат?
Все как у Лагранжа, есть еще n скоростей(изменение товаров у субъекта во времени)
Где описание этого пространства? Не описание трехкоординатного труд, товары, деньги - а именно этого, симплектического?
На каком языке должно быть описание?
На математическом все описание сводится к Т=Труд, q=1/Товары, qm=1/Деньги.
На физическом уравнение Лагранжа и Лагранжиан.
На экономическом мне кажется не требуется дополнительного описания.
Еще раз, по буквам, медленно: для применения функции Лагранжа вам необходимо иметь 2n набор координат или симплектическое многообразие. ЧЕТНОЕ количество координат! Каждых по n штук! В противном случае, это что угодно, но не Лагранжиан.
У меня их вроде 6
или я чего то недогоняю.
Не догоняете, к сожалению. Если второй набор координат это скорости изменения товаров, то это правильное многообразие. Только не (изменение товаров у субъекта во времени), а просто изменение товаров В ЦЕЛОМ в системе. Если брать по субъектам, то у каждой скорости появится индекс. Тогда у вас будет N = nxm скоростей, где m - количество субъектов.
Если же вы берете три разные координаты труд, товар и деньги, то это не набор из n координат а некое пространство по типу термодинамического.
Все таки изменение у субъектов т.к. я пока рассуждаю на уровне механической системы. Если брать физическую систему из m материальных точек, то мы имеем m*3 координат и m*3 скоростей и Лагранжиан зависит от всех их. В этом плане у меня полная аналогия. В статье индекс у скоростей и координат я не вводил потому как пока там один субъект.
Вы уж определитесь, у вас товары и скорости их изменения или один товар, один труд и одни деньги, а также их скорости.
С замечанием про пространство согласен.
Под координатами я в процессе нашего обсуждения имел в виду координатные оси. А сами координаты это положение субъектов по этим осям и соответственно движение субъектов будет выражаться в изменении у них товаров и денег.
У вас не субъекты должны двигаться, а СИСТЕМА. И какие это субъекты? У которых этот единственный товар или единственный труд или единственные деньги. Вы не понимаете о чем пишите. Это чувствуется в каждой фразе.
Определите систему из 2n координат. Задайте на ней Лагранжиан. Без этого дальнейшее обсуждение бессмысленно, так как речь будет идти о пресловутых головах и задницах. И мы как шизофреники будем ходить по кругу: чертей не видать, но я знаю, что они есть.
Система, может двигаться только относительно других систем, иначе она только может менять свое внутреннее состояние. Под субъектом я подразумеваю любого реального экономического субъекта. Например субъект владеющий в данный момент n позициями товара и некоторой суммой денег будет находится в однозначно определенной точке n+2 мерной точке пространства. если в следующий момент у него количество товаров и денег меняется, то он переходит в другую точку. Для удобства отображения, все n товаров мы свернули в одну ось, как делают с расстоянием.
Я как раз понимаю, но видимо с объяснениями проблема((
До нескольких субъектов нужно сделать еще промежуточный шаг в описании взаимодействий и переходе между системами отсчета, но планирую до этого дойти.
Движение динамической системы есть движение точки по симплектическому многообразию, а не движение системы относительно других систем. Это вы перепутали с инерциальными системами.
В общем я устал объяснять человеку, который не понимает смысла сказанного. Вы произносите слова не понимая их смысла и не понимаете смысла тех слов, которые говорят вам. Вы разговариваете с голосами в своей голове.