Парадокс бесконечного отеля

The True (?) Story of Hilbert’s Infinite Hotel

Правдивая (?) история бесконечного отеля Гильберта

Хельге Краг*

Аннотация: То, что известно как «Отель Гильберта», - это история воображаемого отеля с бесконечным множеством комнат, что иллюстрирует причудливые последствия предположения об актуальной бесконечности предметов или событий. С 1970-х годов этот парадокс использовался в различных концепциях, некоторые из которых относятся к космологии, а другие - к философии и богословию. Долгое время оставалось неизвестным, был ли Дэвид Гильберт автором предложенного мысленного эксперимента, названного его именем, или же это была проста история из математического фольклора. Оказалось, что Гильберт действительно представил этот парадокс в своей лекции от января 1924 г., но без публикации. Отель, противоречащий интуиции, стал более известен только в 1947 году, когда Георгий Гамов описал его в своей книге, и потребовалось еще почти три десятилетия, прежде чем эта история вызвала широкий интерес в научных, философских и теологических кругах. В статье излагается происхождение и ранняя история парадоксального отеля Гильберта. В то же время данная статья устраняет ранее высказанное автором предположение о том, что парадокс был изначально сформулирован Георгием Гамовым.

 

1. Введение.

По темной пустынной трассе едет усталый водитель, он проезжает еще один отель с отметкой «Нет мест». Но на этот раз гостиница выглядит очень большой, и он заходит посмотреть - а вдруг там найдется все же одна комната для него...

Клерк сказал: «Нет проблем. Вот что можно сделать -

Мы переместим одного гостя из его комнаты в следующую.

Это освободит первую комнату, и там ты сможешь остаться».

Я попытался осмыслить это, когда услышал, как он сказал:

Припев:

«Добро пожаловать в ОТЕЛЬ под названием БЕСКОНЕЧНОСТЬ -

Здесь все номера заняты, но всегда есть место.

Да, много места в ОТЕЛЕ под названием БЕСКОНЕЧНОСТЬ -

мы перемещаем гостей все дальше и дальше, чтобы освободить место для большего...»

 

--------------------------------------------------------------------------------------

* Центр научных исследований, факультет физики и астрономии, Орхусский университет, 8000 Орхус, Дания. Эл. Почта: helge.kragh@ivs.au.dk. Оригинал статьи - https://arxiv.org/abs/1403.0059

Страница 2

То, что обнаружил персонаж знаменитого стихотворения - это и есть «Отель Гильберта», мысленный эксперимент, иллюстрирующий парадоксальную природу актуальной бесконечности. Когда приезжают новые гости всем остальным приходится перемещаться в комнаты в комнату - по порядку к более большим номерам комнат. (В результате наш гость испытал бессонную ночь: «Никогда на спутаю Хилтон с гостиницей Гильберта!»). 1

Математический парадокс бесконечных множеств, связанный с именем Гильберта предусматривает гостиницу со счетным бесконечным количеством комнат, то есть комнат, которые могут быть размещены во взаимно однозначном соответствии с натуральными числами. Все номера в отеле заняты. Теперь предположим, что приедет новый гость - удастся ли найти комнату для него или для нее? Удивительно, но ответ положительный. Он (или она) могут быть размещены в комнате 1, в то время как гость из этой комнаты перемещается в комнату 2, гость из комнаты 2 переходит в комнату 3 и так далее. Поскольку последней комнаты нет, новичок может быть размещен без необходимости кому-либо покидать отель. Замечательный отель может принять даже бесчисленное количество новых гостей: гости номеров с номером n должны только перейти в комнат 2n, что освобождает бесконечное количество нечетных комнат, которые тем самым становятся доступны для бесконечного количества новых гостей. Притча говорит нам, что утверждение «все комнаты заняты» не означает «больше нет места для новых гостей».

Это действительно странно, хотя, строго говоря, здесь нет логического парадокса, если придерживаться точного смысла данного термина. Тем не менее, это настолько противоречит интуиции, что остается лишь предположить, что такая математическая бесконечность не относится реальному миру, в котором мы живем.

Этот парадоксальный отель, противоречащий интуиции и абсурдный в высшей степени, давно стал стандартной историей в дискуссиях из области математики, философии, космологии и теологии, но историческое происхождение знаменитого отеля Гильберта редко, если вообще когда-либо, исследовалось. Безусловно, в большинстве случаев явно или неявно указывается, что парадокс был построен немецким ученым Дэвидом Гильбертом - одним из гигантов математики двадцатого века. В конце концов, зачем еще использовать одноименное название - «Отель Гильберта»? Писатели-математики Руди Ракер и Эли Маор помогли создать Гильбертову отелю широкую рекламу в 80-х годах ХХ века, включив его в свои популярные книги о

------------------------------------------------------------------------------------

1 «Отель Бесконечность», стихотворение Лоуренса Марка Лессера, впервые опубликованное на английском языке в American Mathematical Monthly 113 (2006): 704. See also Glaz 2011, p. 177.

Стр. 3

тайнах бесконечного. Согласно Ракеру [1982, с. 73], «Знаменитый математик Дэвид Гильберт иллюстрировал свои популярные лекции рассказом про отель с бесконечно большим количеством номеров». Маор [1987, с. VII] более осторожно сослался на «историю, приписываемую Дэвиду Гильберту». Информативная статья в Википедии обсуждает парадокс, «представленный Дэвидом Гильбертом в 1920-х», и в равной степени информативная статья в The New York Times 2010 года утверждает, что «придерживается подхода, представленного самим Гильбертом в рассказе о большом отеле » [Strogatz, 2010]. Ни в одном из многих писаний о бесконечном отеле не содержится никакой информации о точном источнике информации про отель Гильберта. Однако Барроу [2005, с. 284] отмечает, что Гильберт никогда не писал о своей гостинице, отмечая, что о ней стало известно только после Георгия Гамова, который описал эту историю в книге 1947 года. Пытаясь найти ответ на вопрос о происхождении отеля Гильберта, в своей недавней публикации в Arxiv я предположил, что автор парадокса, скорее всего, сам Георгий Гамов, «пришедший к идее независимо от Гильберта и только после его смерти в 1943 году ».2

Поскольку я не смог найти следов этого парадокса в публикациях Гильберта, то пришел к выводу: «Так же мала вероятность, что Гильберт действительно обсуждал гранд-отель в какой-то из неопубликованных лекций или в неформальной беседе». Но вскоре я получил сообщение от Тилмана Зауэра о том, что Гильберт представил свой рассказ об отеле в неопубликованных лекциях зимнего семестра 1924-1925 гг. Эти лекции только недавно появились в печати [Hilbert, 2013].

2. Гильберт, Кантор и бесконечное.

Обсуждение отеля Гильберта связано со старым вопросом о том, действительно ли в противоположность бесконечности потенциальной возможна бесконечность актуальная. Согласно теории Георга Кантора о трансфинитных числах, которая датируется 1880-ми годами, это действительно так, а именно: он первым почувствовал, что концепция актуально бесконечного логически непротиворечива и операционально полезна [Dauben 1979; Кантор 1962]. Но одно дело математическая непротиворечивость, есть и другой, более важный вопрос: можно ли найти экземпляр такой бесконечности в реальном мире, как он известен физикам и астрономам? Канторовскую точку зрения, можно охарактеризовать как математический платонизм, где числа и другие конструкты имеют постоянное существование и реальны даже больше, чем эфемерные чувственные впечатления, на которых основано мнение о существовании физических объектов.

----------------------------------------------------------------

2 Arxiv статья теперь заменена нынешней. Этот случай показывает, что гипотезы в области истории науки опровергаются, так же как и в самой научной практике. Оригинальная гипотеза про Гамова как основателя гостиницы Гильберта оказалась опровергнута новыми и более точные данные.

Стр. 4

Рис. 1. Георг Кантор (1845-1918)

С этой позиции в значительной степени неуместен вопрос: содержит ли физическая вселенная бесконечное количество звезд?

В отличие от некоторых других современных ему математиков, включая Леопольда Кронекера и Анри Пуанкаре, Гильберт был очень впечатлен теорией множеств Кантора. Это он ясно дал понять в полупопулярном курсе лекций, который прочитал в Геттингене во время зимнего семестра 1924-1925 гг., и где он подробно разбирался с бесконечностью в математике, физике и астрономии. Через несколько месяцев он повторил сообщение в обширной лекции о бесконечном, прочитанной в Мюнстере 4 июня 1925 года. Поводом была сессия, организованная Вестфальским математическим обществом для того, чтобы отметить математическую работу Карла Вейерштрасса. Гильберт в Мюнстере подробно рассказывал о своем предыдущем курсе лекций, за исключением некоторых пропущенных технических деталей и примеров (одним из них был бесконечный отель). Он провозгласил в Мюнстере: «Никто не изгонит нас из рая, который создал для нас Кантор!» [Hilbert, 1925, p. 170; Reid 1970, стр. 175–177; Бенасерраф и Патнэм  1983, стр. 134-151]. С другой стороны, Гильберт не верил, что настоящие бесконечности в смысле определений Кантора имеют какое-либо отношение к реальному миру. Это то, что он сказал. [Гильберт 1925, с. 190]:

На самом деле бесконечности нигде не найти, они не существует в природе и не могут обеспечить законную основу рациональному мышлению - замечательную гармонию между бытием и мыслью.

Стр. 5

 

Роль, которая остается за бесконечным, - это исключительно роль идеи - такой идеи, которая в концепции философа Канта превосходит весь опыт, и которая завершает конкретное как целостность.

С точки зрения объективного идеалиста вроде Кантора, исключение Гильбертом бесконечности из реальности вряд ли вообще было значимо. Несмотря на его защиту реальности бесконечных чисел, он утверждал, что физическая вселенная конечна как и космос. Иное утверждение, как сказал Кантор в письме 1887 года Алоису фон Шмиду, мюнхенскому профессору богословия, было бы «чудовищным вздором» [Kragh 2008, p. 96; Кантор 1962, стр. 370-377].

Сообщения Гильберта в Геттингене и Мюнстере также заслуживают внимания из-за их ссылки на микрофизику и космологию. С одной стороны, как он сказал в Мюнстере, новая атомная и квантовая физика продемонстрировали, что бесконечная делимость пространства и материи была не чем иным, как абстрактной идеей, неприменимой к реальному миру, который изучают физики и химики. С другой стороны, бесконечное, кажется, противоречит реальности и в самом большом возможном масштабе, вселенной в целом. «Нам нужно исследовать расширение Вселенной [Ausdehnung der Welt], чтобы установить, приведет ли это к чему-то бесконечно большому». Конечно, слова Гильберта не следует рассматривать как пророческое предзнаменование того, что через несколько лет станет известно как расширяющаяся вселенная. Но хорошо осведомленный о новой космологии искривленных пространств, основанной на общей теории относительности Эйнштейна, он в общих чертах обрисовал ее суть математикам собравшимся в Мюнстере [Hilbert 1925, p. 165]:

Отмена евклидовой геометрии сегодня не является чисто математическим или философским рассуждением, но мы пришли к нему из совершенно иной перспективы, которая изначально не имела ничего общего с вопросом о конечности мира. Эйнштейн доказал необходимость отхода от евклидовой геометрии, исходя из своей теории гравитации - он атакует космологические вопросы и демонстрирует возможность конечного мира. Более того, все результаты, полученные астрономами, тоже в полном соответствии с предположением об эллиптической геометрии мира.

В Геттингенских лекциях Гильберт более подробно обсуждал особенности статической и конечной  вселенной Эйнштейна, включая соотношение между радиусом кривизны и средним плотность материи.3

Согласно Гильберту, звезды и туманности были распределены в

  

-----------------------------------------------------------------------------

3 Гильберт записал соотношение Эйнштейна как 2R= ap^1/2, где R - радиус, p - среднее значение плотность материи во Вселенной. Постоянная a связана с гравитационной постоянной Эйнштейна k... В рукописной заметке он заявил, что 2R  = 5x10⁹ световых лет [Гильберт  2013, p. 709]. Оценки астрономами радиуса вселенной Эйнштейна в то время были обычно около 10⁸ световых лет [Peruzzi and Realdi 2011].

Стр. 6

Рис. 2. Дэвид Гильберт (1862-1943).  

огромный эллиптической галактике диаметром около 300 000 световых лет и толщиной около 150 000 световых лет. За пределами Млечного Пути, но все же внутри гораздо более масштабного эллипсоида «лежат шаровые скопления и спиральные туманности, которые, таким образом, должны считаться частями эта системы Млечного Пути» [Hilbert 2013, p. 710]. Его картина звездной вселенной была, таким образом, качественно подобна той, которую пропагандировали на основе «статистической космологии» Корнелиус Каптейн в Нидерландах и Хьюго фон Зилигер в Германии [Пауль 1993; Smith 2006]. Согласно «Вселенной Каптейна» 1922 г., звездная система составляет около 59 000 световых лет вдоль галактической плоскости и 7 800 световых лет толщины под прямым углом к ней.

Однако размеры упомянутой Гильбертом системы были значительно больше. Это было больше похоже на галактических монстров, которых Харлоу Шепли предложил в 1918 году и какое-то время его предложение много обсуждалось. Шепли пришел к выводу, что звездная система имеет примерно в 300 000 световых лет в диаметром и толщиной более 30 000 световых лет. Хотя Гильберт мог знать о вселенной Млечного Пути Шепли, он, очевидно, не знал о сенсационном заявлении Эдвина Хаббла о том, что расстояние до Андромеды примерно 930 000 световых лет, и поэтому она является «островом» сама по себе. Об открытии Хаббла было объявлено 1 января 1925 года, но когда Гильберт прочитал свою лекцию, это было известно лишь немногим астрономам за пределами Соединенных Штатов. Потребовалось несколько месяцев, прежде чем сообщение появилось в печати [Hubble 1925].

Стр.7

  

Рис. 5. Лотар Нордхайм (1899–1985).

3. Январь 1925: рождение гостиницы Гильберта.

Существуют конспекты лекций зимнего семестра в Геттингене, написанные Лотаром Нордхеймом, молодым немецким физиком, одним из помощников Гильберта. В 1923 году он получил докторскую степень под руководством Макса Борна за детальный анализ молекулы водорода по правилам старой квантовой теории. Впоследствии Нордхейм работал с Джоном фон Нейманом над аспектами математической физике, и в 1928 году они вместе с Гильбертом написали важную статья о математических основах квантовой механики [Hilbert, von Neumann, Nordheim, 1928].4 Позже он вспоминал, как работал ассистентом Гильберт [Уитон 1977]:

"Я был нанят Гильбертом, чтобы помогать ему в физике. Это была область статистической механики, которая меня всегда очень интересовала. Затем квантовая механика, старая квантовая механика. А потом, когда появилась новая квантовая механика и волновая механика ... когда я был его помощником, он был очень болен. И не был тем гением, которым был раньше: он жил  в некотором роде очень много в прошлом. Его математическим интересом была логика, которой мне не нравилась. Но он был убежден, что это лучшее место для молодого человека. И все остальное, финансовое и  семейные соображения не имеют значения."

В своих лекциях в Геттингене Гильберт пытался разъяснить своей аудитории, что принципиальное различие между конечным и бесконечным множествами. Он сделал это с помощью двух примеров: один относится к отелю, а другой - к танцевальной вечеринке.

Если в отеле есть только конечное количество комнат, все они заняты, нет возможности разместить новые гости. Для конечного набора часть набора всегда меньше полного набора, но это  не так для бесконечного множества [Hilbert 2013, p. 730]:

----------------------------------------------------------------------------------------

4 Вместе с Ральфом Фаулером Нордхейм объяснил в 1928 году феномен поля электронной эмиссии в терминах квантово-механического туннелирования. Как еврей, он был вынужден уехать из Германии в 1934 году. Он переехал в Университет Дьюка, США, где оставался большую часть его активная карьера. В годы войны он сыграл важную роль в Манхэттенском проекте.

Стр. 8

"Теперь предположим, что в отеле бесконечно много комнат с номерами 1, 2, 3, 4, 5,… и  что каждая из комнат занята одним гостем. Все, что нужно сделать менеджеру в отеле для размещения нового гостя: необходимо убедиться, что каждый из старых гостей переезжает в новую комнату с номером большим на одну единицу. Таким образом, комната 1 становится доступной для нового гостя. Конечно, можно освободить место для любого конечного числа новых гостей в той же манере; и, таким образом, в мире с бесконечным количеством домов и жителей будет никто не будет бездомным."

Гильберт продолжал:

"То же самое и с бесконечной танцевальной вечеринкой, где все джентльмены пригласили дам танцевать. Входит новая дама, но организатор танца легко устроит, что она не останется без партнера. Можно даже получить место для бесконечного количество новых гостей, соответственно, дам [то есть: партнеры для бесконечного количества новых дамы на танцполе]. А в отеле можно, например, попросить старого гостя, который изначально занимал комнату № n переехать в комнату № 2n. Таким образом, бесконечно много комнат с нечетными числами оставим бесплатно для новых гостей."

Это то, что Гильберт сказал о своем отеле в январе 1924 года - пример, которому он не придавал особого значения. И другие люди в то время не сочли это важным. Если бы Гамов не реанимировал отель спустя два десятилетия, сегодня это могло быть неизвестно. Единственный намек на это раньше 1947 год, о котором я знаю, взят из учебника по расчетной математике, опубликованного в 1938 году и написанного Отто Хаупт, математик из Университета Эрлангена.5

---------------------------------------------------------

5 Haupt and Aumann 1938, стр. 19. Отто Хаупт (1887-1988) работал в 1921-1953 годах профессором математика в Университете Эрлангена. Для краткой оценки см. Математический  Осведомитель 9 (1987): 50-51. Его соавтор, Георг Ауманн (1906-1980), был профессором  Франкфуртский университет на Майне.

Стр.9

Без ссылки на Гильберта, в книге формулировалась следующая задача:

«Отель с бесконечным количеством номеров Z1, Z2,… полностью занят. Но можно поселить снова бесконечно много гостей G1, G2, ….Как это возможно, не сделав бездомных одного из присутствующих гостей и без того, чтобы в одной комнате гостей стало больше?»

В Геттингене Гильберт воспользовался случаем, чтобы превозносить достоинства канторовской теории множества, отмечая, что Кронекер сделал все, что мог в борьбе с ней. "Когда я был приватдоцентом, - сказал он, - презирали тех, кто верил в Кантора". "Даже сегодня, - продолжил он, - выдающиеся математики, такие как Лейтзен Брауэр и Герман Вейль продолжают сопротивляться теории Кантора". Но "когда мы изгоняем из рая не только дьявола, но и всех ангелов, мы оказываемся в пустыне" [Hilbert 2013, p. 742]. Восхваляя теорию Кантора о трансфинитах, Гильберт подчеркивал в своем заключении, что бесконечное - просто идея, она не играет никакой роли в реальном мире. Фактически, заключение его статьи 1925 года в Mathematische Annalen , цитируемое выше, было дословно воспроизведено из его лекции в Геттингене.

4. Гостиница Гамова.

24-летний Георгий Гамов провел летние месяцы 1928 года в качестве постдока в Геттинген, где он совершил прорыв в теоретической физике, объяснив альфа-радиоактивность на основе квантовой механики [Gamow 1970; Reines 1972]. Скорее всего, он встречал Гильберта и его математического коллегу Ричарда Куранта, хотя документальных свидетельств, подтверждающих это предположение, нет. Он также должно быть встречал и Нордхайма, такого же физика, как он сам, бывшего помощником Гильберта. Много лет спустя, переехав в США на должность профессора университета им. Джорджа Вашингтона, он стал пионером теории ранней Вселенной, которая в конечном итоге получила известность как теория большого взрыва. Его первая научная работа по данному предмету датируется 1946 годом. Гамов в то время был известен также как успешный и оригинальный писатель-популяризатор, репутация которого основана на его книгах "Мистер Томпкинс в Страна чудес" 1939 года и "Рождение и смерть Солнца" 1940 года. В 1947 году он продолжил свои предыдущие успехи книгой под названием "Один-два-три… Бесконечность", в которой он в своем неподражаемом стиле охватил широкий круг задач: от теории чисел и топологии до релятивистского пространства-времени и энтропии (в вышедшем в 1961 г. переработанном издании, включены главы «Современная алхимия», «Дни творения» и «Загадка жизни»).

----------------------------------------------------------

6 После получения докторской степени в 1885 году Гильберт работал приватдоцентом (частным  старший преподаватель) в Кенигсбергском университете до назначения профессором кафедры  математика в Геттингене в 1895 году.

Стр.10

 

  

Рис. 4. Георгий Гамов (1904-1968).

Именно в этой книге 1947 года он представил отель Гильберта как «пример из одного из рассказов об известном немецком математике Давиде Гильберте »[Гамов 1947, с. 17]. В сноске он добавил ссылку на «неопубликованное и никогда не написанное, но широко распространяемое «Полное собрание гильбертовских рассказов в изложении Р. Куранта». Гамов был вечным шутником и прославился многочисленными розыгрышами. [Reines 1972]. Ссылка на Гильберта была очень похожа на стиль Гамова, по-видимости - еще одна шутка. Однако это было нечто большее, без сомнения, он был проинформирован об истории отеля во время его пребывания в Геттингене, либо Курантом или Нордхаймом.

Интерес Гамова к загадкам математики, вероятно, восходит к его  раннему университетскому образованию. Будучи студентом Одесского университета, он сначала изучал чистую математику - «настоящую математику, такую, как теория чисел, топология, теория бесконечности и тому подобное » [Weiner 1968]. Его интерес был позже воодушевлен дискуссиями со Станиславом Уламом, его другом - уроженцем Польши и профессиональным математиком. Улам [1972] вспомнил, как они обсуждали роль актуальной бесконечности в физическом мире - Гамов верил, что количество объектов (от электронов до галактик) во Вселенной было на самом деле счетно бесконечным. Согласно Уламу [1972, с. 275]: «Когда я познакомил его где-то в конце 30-х годов с теоремой Гёделя о неразрешимости в математических системах, мы согласились, что вопрос о конечности может быть неразрешимым».

Стр. 11

 

Когда Гамов представил гостиницу Гильберта, он размышлял о структуре и эволюции Вселенной в целом. Что касается её пространственного протяжения, оцененного астрономически, он утверждал, что оно бесконечно. Это было его заключение еще до того, как он рассмотрел рождение Вселенной из сверхплотного первозданного состояния. В статье, написанной вместе с Эдвардом Теллером в 1939 году, он предположил, что геометрия пространства была гиперболической и, следовательно, был сделан выбор в пользу «гипотеза о том, что пространство безгранично и постоянно расширяется » [Gamow and Teller 1939, p. 657]. Он повторил эту точку зрения в «Рождении и смерти Солнца» [Гамов 1940, с.202] и поддерживал его во всех своих более поздних работах по космологии.

Обсуждение гостиницы Гильберта в его популярной книге 1947 года, вероятно, следует рассматривать как нечто большее, чем просто интригующий математический парадокс. Это был его способ объяснить читателям, что призрак бесконечности не угрожает его любимым космологическая модель. Возможность бесконечной вселенной, описываемой либо гиперболической или евклидовой геометриями, в то время не была новинкой. Еще в 1932 году Эйнштейн и голландский астроном Виллем де Ситтер совместно предложили плоскую модель с началом во времени, но все же они умалчивали о проблеме бесконечности, и о проблеме сингулярности. Гамов, возможно, был первым, кто обратил внимание на проблему актуальной бесконечности объектов в открытых космологических моделях. Что характерно, он касался этого в научно-популярном контексте и по-своему - полусерьезно и полуюмористически.

В своем популярном и широко читаемом «Сотворении Вселенной» Гамов вернулся в парадоксальную гостиницу Гильберта, убеждая читателей, что не было противоречия в том, чтобы говорить о расширяющемся или сжимающемся бесконечном пространстве.

Пересказав предполагаемую историю Гильберта (как он изложил ее «в одной из своих лекций»), он прокомментировал: «Точно так же, как бесконечный отель может вместить  бесконечное количество клиентов, не будучи переполненным, бесконечное пространство может вместить любое количество материи, неважно: упакована ли эта материя куда плотнее, чем сельдь в бочке, или же намазана тонко, как масло на бутерброд военного времени, - всегда будет достаточное место для этого» [Гамов, 1952, с. 36]. Это был последний раз, когда Гамов упомянул отель Гильберта. Никаких упоминаний об этом нет ни в одной его автобиографии [Гамов, 1970], ни в обширном интервью, которое Чарльз Вайнер взял у него незадолго до его смерти [Weiner 1968].

5. Отель Гильберта в философии.

Долгое время отель Гильберта оставался незамеченным. В следующий раз он оказался в литературе, насколько мне известно, уже после смерти Гамова и без упоминания его.

Стр. 12

В 1950-х и начале 1960-х в космологии существовало серьезное противоречие между эволюционными моделями, основанными на общей теории относительности, и моделью устойчивого состояния, предложенной в 1948 г. Фредом Хойлом, Германом Бонди, и Томасом Голдом [Kragh 1996]. Согласно последней теории, расширяющаяся Вселенная существует вечно с той же средней плотностью материи, что наблюдалась сегодня, и константа кривизны равна нулю - это подразумевало пространственную и временную бесконечность вселенной. Пространственная бесконечность была возможна и в классе эволюционных моделей, но в случае стационарной модели это было необходимостью. Другими словами, можно показать, что если бесконечное количество физических объектов логически невозможно, то и модель устойчивого состояния также была бы невозможна.

Именно в этом контексте "Отель Гильберта" и аналогичные аргументы (например, «Парадокс Тристрама Шенди» Бертрана Рассела) обсуждались в философской  литература. В начале 1960-х годов было предпринято несколько попыток, основанных на теории множеств, показать, что бесконечность частиц в устойчивой Вселенной ведет к противоречивым или весьма странным последствиям, но ни одна из них не относилось прямо к отелю Гильберта. [North 1965, стр. 379-383; Kragh 1996, стр. 235-236]. Во всяком случае, аргументы этого типа физики и астрономы почти не заметили, впрочем, это не повлияло на исход космологического спора.

В статье 1971 года Памела Хьюби, философ из Ливерпульского университета, обсуждала модернизированную форму первой космологической антиномии Канта. Чисто философским путем и не обращаясь к научной космологии, она пересмотрела классический вопрос о том, возможна ли актуальная бесконечность, или Вселенная может быть бесконечной в своем расширении. Она утверждала, что это не так и что тем, кто все еще придерживался этой возможности, пришлось бы «принять многие парадоксы которые отсюда следуют… [например] гостиница Гильберта» [Huby 1971, p. 128]. Huby кратко описала парадоксальный отель, как если бы он был хорошо известен своим читателям и не предлагала  ссылки на него. Основываясь на логических аргументах, среди которых была гостиница Гильберта, она пришла к выводу, что «Вселенная должна быть конечной в пространстве и… она должна была существовать в только течении конечного времени».

В то время как Хьюби не интересовалась вселенной астрономов, в  критическом комментари Н. В. Бойс [1972; см. также Huby 1973] указал, что гостиница Гильберта описывала больше, чем просто логически возможный мир:

«Фактически, «Отель Гильберта» метафорически описывает структуру Вселенной, как она есть в  космологии «устойчивого состояния» - то есть, если теория «устойчивого состояния»  Вселенная истинна, значит, мы живем в чем-то очень похожем на «Отель Гильберта».... Действительно, теория «устойчивого состояния» в точности похожа на «Отель  Гильберта» в том, что бесконечное количество гости (галактики) занимают бесконечное количество комнат (космоса), и в этой комнате находится всегда место для вновь прибывших гостей (галактик) путем перемещения существующих гостей  (галактики) в комнаты (пространства) по соседству. Таким образом, «Отель Гильберта» - это не просто математическая фантастика, но, может быть, это мир, в котором мы действительно живем".

 

Стр. 13

Это примерно то, что сказал Гамов в своей книге 1952 года, за исключением того, что Гамов не говорил о вселенной устойчивого состояния (она ему очень не нравилась), но о  бесконечно большой вселенной вообще.

Усилиями нескольких астрономов и физиков теория устойчивого состояния была опровергнута в результате открытия  космического микроволнового фона в 1965 году. Тем не менее, философы продолжали  обсуждать проблему, возможно, не зная, что она уже решена, или просто  считая решение не имеющим отношения к их логическим упражнениям.

6. Теологическая арена.

До сих пор обсуждение актуальных бесконечностей касалось пространства или количества частиц, но, как поняла Хьюби, проблема связана с любой актуальной бесконечностью, будь то пространственное или временное. Именно в последнем контексте она и упомянула "Отель Гильберта" как что-то актуальное для теологии и философии религии.

Так называемое космологическое доказательство существования Бога, восходящее к исламским и христианским философам раннего средневековья [Sorabji 1983], основано на утверждении, что (i) Вселенная существовала только в течение конечного периода времени и (ii) все во вселенной взаимообусловлено. Поскольку вселенная начала существовать, она должна иметь причину своего существования, и эта причина должна быть необходимым существом, сиречь - Богом. Первое упомянутое утверждение может быть обосновано эмпирически - с помощью космологической теории и измерений, или она может быть основана на логических и математические аргументы. Если можно доказать, что бесконечное прошедшее время невозможно или нереально, это будет веским аргументом в пользу существования Бога-творца.

Уильям Лейн Крейг, американский философ и христианский апологет, сыграл важную роль в возрождении космологического доказательства и использовании теории множеств для обоснования веры в Бога. Его главный аргумент, более сложная версия рассуждений Хьюби от 1971 г., он состоит в том, что бесконечный регресс событий во времени является действительной бесконечностью и что такая концепция не может иметь реального существования. Крейг допускает, что теория множеств Кантора последовательна хотя и допускает актуальную бесконечность, он считает это чисто математическим свойством, применимым только в области дискуссий. Когда переводят "Отель Гильберта" из области абстрактной математики в реальную пространственно-временную вселенную, абсурды

Стр. 14

неизбежно последуют. В любом реалистическом смысле, заключает он, «Отель Гильберта абсурден». [Копан и Крейг 2004, стр. 204].

В монографии и статье 1979 года Крейг поддержал свою линию аргументации следующим образом: сослался на книгу Гамова 1947 года и его рассказ об «интеллектуальном создании великого немецкого математика Дэвида Гильберт» [Craig 1979; Крейг 1979]. Он спросил риторически: «Может ли кто-нибудь поверить, что такая гостиница может существовать на самом деле?» Получается, теист Крейг не смог этого представить, а вот атеист Гамов смог!

С тех пор, как Крейг осудил гостиницу Гильберта в конце 1970-х, она стала тема разговоров в нескончаемых обсуждениях существования Бога как создателя вселенной [Halvorsen и Крэг 2011]. Недавно использование Крейгом бесконечного отеля подверглось критике со стороны Лэндона.  Хедрик [2014], который утверждает, что аргумент об отеле не исключает возможности вечного прошлого.

7. Заключение.

Воображаемый отель Гильберта является поучительным примером парадоксов, заключенных в понятии актуальной бесконечности. Историю отеля, представлена Дэвидом Гильбертом в лекциях, которые он прочитал в Геттингене в январе 1925 года, когда он также иллюстрировал разница между конечными и счетно бесконечными множествами на примере танцевальных пар. Он не упоминал о бесконечном отеле в своих трудах, и первое упоминание отеля появилось в печати только в книге Гамова, опубликованной в 1947 году. Тогда как Гильберт использовал рассказ, чтобы указать, что действительное бесконечное не может быть частью реальности, для Гамова это служило иллюстрация пространственно и материально бесконечной Вселенной. Некоторые философы использовали гостиницу Гильберта для концептуального исследования бесконечно большой стационарной вселенной, а с конца 1970-х годов "Отель Гильберта" часто появлялся в богословских дискуссиях относительно возраста и размера Вселенной. Сегодня "Отель Гильберта" превратился во второстепенное приложение.

Выражение признательности: я благодарен Тилману Зауэру из Калифорнийского технологического института, который указал мне, что "Отель Гильберта" на самом деле и обязан своим появлением Гильберту, а не, как я сначала подумал, Гамову. Я также хочу поблагодарить Клауса Шарнхорста из Университета Амстердама за ссылки на более раннюю литературу на немецком языке, в которой упоминается бесконечный отель.

Стр. 15

Ссылки

  Барроу, Джон Д. 2005. Бесконечная книга: краткое руководство к безграничному, вневременному и бесконечному .Лондон: Винтажные книги.

  Бенасерраф, Пол и Хилари Патнэм, редакторы, 1983. Философия математики: избранные материалы . Энглвудские скалы: Прентис-холл.

  Бойс, Н.В. 1972. «Априорные знания и космология». Философия 47 : 67-70.

  Кантор, Георг, 1962. Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philosophischen Inhalts , изд.  Эрнст Цермело. Хильдесхайм: Георг Ольмс Verlagsbuchhandlung.  Копан, Пол и Уильям Л. Крейг 2004. Сотворение из ничего: библейские, философские и  Научные исследования . Гранд-Рапидс: Baker Academic.

  Крейг, Уильям Л. 1979а. Космологический аргумент Калама . Лондон: Макмиллан.

  Крейг, Уильям Л. 1979б. «Уоллес Мэтсон и грубый космологический аргумент».  Австралазийский журнал философии 57 : 163-170.

  Dauben, Джозеф В. 1979. Георг Кантор: его математика и философия бесконечности .  Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета.

  Гамов, Джордж 1940. Рождение и смерть Солнца . Нью-Йорк: Viking Press.

  Гамов, Джордж 1947. Один, два, три… Бесконечность: факты и предположения науки . Нью-Йорк:  Викинг Пресс.

  Гамов, Джордж 1952. Сотворение Вселенной . Нью-Йорк: Viking Press.

  Гамов, Джордж 1970. Моя мировая линия: неофициальная автобиография . Нью-Йорк: Viking Press.

  Гамов, Джордж и Эдвард Теллер, 1939. «О происхождении больших туманностей». Физический обзор  55 : 654-657.

  Глаз, Сара 2011. «Поэзия, вдохновленная математикой: краткое путешествие по истории». Журнал  математики и искусств 5 : 171-183.

  Халворсен, Ханс и Хельге Краг 2011. «Космология и теология». Стэнфордская энциклопедия  Философия . http://plato.stanford.edu/entries/cosmology-theology/  Хаупт, Отто и Георг Ауманн, 1938. Differential- und Integralrechnung unter besonderer  Berücksichtung neuerer Ergebnisse . Берлин: Walter de Gruyter & Co.

  Хедрик, Лэндон, 2014. «Разбитое сердце в отеле Гильберта». Религиоведение 50 : 27-46.

  Гильберт, Дэвид 1925. «Über das Unendliche». Mathematische Annalen 95 : 161-190.

  Гильберт, Дэвид 2013. Лекции Дэвида Гильберта по основам арифметики и логики 1917-  1933 , ред. Уильям Эвальд и Вильфрид Зиг. Гейдельберг: Springer-Verlag.

  Гильберт, Давид, Джон фон Нейман и Лотар Нордхайм, 1928. «Über die Grundlagen der  Quantenmechanik. " Mathematische Annalen 98 : 1-30.

  Хаббл, Эдвин П. 1925. «Цефеиды в спиральных туманностях». Популярная Астрономия 33 : 252-255.

  Хьюби, Памела Дж. 1971. «Кант или Кантор? Что вселенная, если она реальна, должна быть конечной в обоих пространствах.  и время." Философия 46 : 121-132.

  Хьюби, Памела Дж. 1973 г. «Космология и бесконечность». Философия 48 : 186-187.

 Kragh, Helge 1996. Космология и противоречие: историческое развитие двух теорий  Вселенная . Принстон: Издательство Принстонского университета.

  Kragh, Helge 2008. Энтропийное творение: религиозные контексты термодинамики и космологии . Олдершот: Ашгейт.

  Маор, Эли 1987. К бесконечности и дальше: Культурная история бесконечности . Принстон: Принстон  университетское издательство.

  Норт, Джон 1965. Мера Вселенной: история современной космологии . Оксфорд: Оксфорд  университетское издательство.

  Пол, Эрих Р. 1993. Галактика Млечный Путь и статистическая космология, 1890-1924 гг . Кембридж:  Издательство Кембриджского университета.  Перуцци, Джулио и Маттео Реальди 2011. «Поиск размеров Вселенной в раннем  релятивистская космология (1917-1930) ». Архив истории точных наук 65 : 659-689.

  Рид, Констанс 1970. Гильберт . Берлин: Springer-Verlag.

  Рейнс, Фредерик, Эд., 1972. Космология, синтез и другие вопросы: Мемориал Джорджа Гамова.  Объем . Лондон: Адам Хильгер.

  Ракер, Руди 1982. Бесконечность и разум: наука и философия бесконечного . Бостон:  Birkhäuser.

  Смит, Роберт У. 2006. «За пределами большой галактики: структура звездной системы 1900-  1952 г. » Журнал истории астрономии 37 : 309-342.

  Сорабджи, Ричард, 1983. Время, творение и континуум: теории в древности и в ранний период.  Средние века . Чикаго: Издательство Чикагского университета.

  Строгац, Стивен 2010. «Отель Гильберта». Нью Йорк Таймс , 9 мая.

  Улам, Станислав М. 1972. «Гамов - и математика». В космологии, синтезе и др.

  Вопросы: Мемориальный том Джорджа Гамова , изд. Фредерик Рейнс, стр. 272-279. Лондон:  Адам Хильгер.

  Вайнер, Чарльз 1968. Американский институт физики, интервью с Джорджем Гамовым, 25 лет.  Апрель 1968 г. http://www.aip.org/history/ohilist/4325.html , по состоянию на февраль 2014 г.

Уитон, Брюс, 1977. Американский институт физики, интервью с Лотаром Нордхеймом, 24 года.  Июль 1977 г. http://www.aip.org/history/ohilist/5074.html , по состоянию на март 2014 г.

Википедия, 2014. «Парадокс Гильберта в большом отеле» http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert ' s_paradox_of_the_Grand_Hotel, Размещено Февраль 2014 года.   

References

Barrow, John D. 2005. The Infinite Book: A Short Guide to the Boundless, Timeless and Endless. London: Vintage Books.

Benacerraf, Paul, and Hilary Putnam, eds., 1983. Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Englewood Cliffs: Prentice-Hall.

Boyce, N. W. 1972. “A priori knowledge and cosmology.” Philosophy 47: 67-70.

Cantor, Georg 1962. Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philosophischen Inhalts, ed.

Ernst Zermelo. Hildesheim: Georg Olms Verlagsbuchhandlung.

Copan, Paul and William L. Craig 2004. Creation Out of Nothing: A Biblical, Philosophical, and

Scientific Exploration. Grand Rapids: Baker Academic.

Craig, William L. 1979a. The Kalām Cosmological Argument. London: Macmillan.

Craig, William L. 1979b. “Wallace Matson and the crude cosmological argument.”

Australasian Journal of Philosophy 57: 163-170.

Dauben, Joseph W. 1979. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Cambridge, Mass.: Harvard University Press.

Gamow, George 1940. The Birth and Death of the Sun. New York: Viking Press.

Gamow, George 1947. One, Two, Three … Infinity: Facts and Speculations of Science. New York: Viking Press.

Gamow, George 1952. The Creation of the Universe. New York: Viking Press.

Gamow, George 1970. My World Line: An Informal Autobiography. New York: Viking Press.

Gamow, George, and Edward Teller 1939. “On the origin of great nebulae.” Physical Review

55: 654-657.

Glaz, Sarah 2011. “Poetry inspired by mathematics: A brief journey through history.” Journal of Mathematics and the Arts 5: 171-183.

Halvorsen, Hans, and Helge Kragh 2011. ”Cosmology and theology.” Stanford Encyclopedia of Philosophy. http://plato.stanford.edu/entries/cosmology-theology/

Haupt, Otto and Georg Aumann 1938. Differential- und Integralrechnung unter besonderer Berücksichtung neuerer Ergebnisse. Berlin: Walter de Gruyter & Co.

Hedrick, Landon 2014. “Heartbreak at Hilbert’s hotel.” Religious Studies 50: 27-46.

Hilbert, David 1925. “Über das Unendliche.” Mathematische Annalen 95: 161-190.

Hilbert, David 2013. David Hilbert’s Lectures on the Foundations of Arithmetics and Logic 1917-1933, eds. William Ewald and Wilfried Sieg. Heidelberg: Springer-Verlag.

Hilbert, David, John von Neumann, and Lothar Nordheim 1928. “Über die Grundlagen der Quantenmechanik.” Mathematische Annalen 98: 1-30.

Hubble, Edwin P. 1925. “Cepheids in spiral nebulae.” Popular Astronomy 33: 252-255.

Huby, Pamela J. 1971. “Kant or Cantor? That the universe, if real, must be finite in both space and time.” Philosophy 46: 121-132.

Huby, Pamela J. 1973. “Cosmology and infinity.” Philosophy 48: 186-187. 16

Kragh, Helge 1996. Cosmology and Controversy: The Historical Development of Two Theories of the Universe. Princeton: Princeton University Press.

Kragh, Helge 2008. Entropic Creation: Religious Contexts of Thermodynamics and Cosmology. Aldershot: Ashgate.

Maor, Eli 1987. To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite. Princeton: Princeton University Press.

North, John 1965. The Measure of the Universe: A History of Modern Cosmology. Oxford: Oxford University Press.

Paul, Erich R. 1993. The Milky Way Galaxy and Statistical Cosmology, 1890-1924. Cambridge: Cambridge University Press.

Peruzzi, Giulio and Matteo Realdi 2011. “The quest for the size of the universe in early relativistic cosmology (1917-1930).” Archive for History of Exact Sciences 65: 659-689.

Reid, Constance 1970. Hilbert. Berlin: Springer-Verlag.

Reines, Frederick, ed., 1972. Cosmology, Fusion and other Matters: George Gamow Memorial Volume. London: Adam Hilger.

Rucker, Rudy 1982. Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite. Boston: Birkhäuser.

Smith, Robert W. 2006. “Beyond the big galaxy: The structure of the stellar system 1900-1952.” Journal for the History of Astronomy 37: 309-342.

Sorabji, Richard 1983. Time, Creation and the Continuum: Theories in Antiquity and the Early Middle Ages. Chicago: University of Chicago Press.

Strogatz, Steven 2010. “The Hilbert hotel.” New York Times, 9 May.

Ulam, Stanislaw M. 1972. ”Gamow – and mathematics.” In Cosmology, Fusion and other Matters: George Gamow Memorial Volume, ed. Frederick Reines, pp. 272-279. London: Adam Hilger.

Weiner, Charles 1968. American Institute of Physics, interview with George Gamow of 25 April 1968. http://www.aip.org/history/ohilist/4325.html, accessed February 2014.

Wheaton, Bruce 1977. American Institute of Physics, interview with Lothar Nordheim of 24 July 1977. http://www.aip.org/history/ohilist/5074.html, accessed March 2014.

Wikipedia 2014. “Hilbert’s paradox of the grand hotel.”

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert’s_paradox_of_the_Grand_Hotel, accessed February 2014