A и B сидели на трубе

В комментах к прошлой главе вдруг попросили разъяснить "Популяционную теорию С.П. Капицы".  Не уверен, что в книжке это будет именно 5 глава, но ускорим, раз камрадам интересно.

Напоминаю, что текст и код публикуются на сайте: http://petronode.com/White_Papers.html

---

В ноябре 1960 два аспиранта Университета Иллинойс приготовили своему профессору ко дню рождения необычный подарок – научную статью¹, где утверждалось, наша цивилизация кончится в один определённый день: 13 ноября 2026 года. Дата выбрана не случайно: 115 юбилей именинника, да к тому же «пятница, тринадцатое». Вкратце изложим математику в статье, используя обозначения, принятые в этой книге. В уравнении Мальтуса {3.3}:

Почему смертность константа? Естественно, все мы внезапно смертны™, а бессмертия, увы, пока не придумали. Почему рождаемость пропорциональна популяции в какой-то степени? Чем больше популяция, тем легче человеку найти себе подходящего партнёра для секса и для бизнеса, то есть всё больше детей и всё быстрее развитие технологии. Производство пищи и других материальных ценностей возрастает быстрее, чем популяция, то есть всем всегда всего вдосталь.

Уже позже немецкий астрофизик Себастиан фон-Хёрнер подвел обоснование из теории графов. Допустим, есть P абонентов телефонной сети. Количество возможных подключений возрастает: два абонента – единственная возможность соединения, три абонента – три соединения, пять абонентов – 10 соединений, и вообще:

В самом простейшем случае, k=1, и тогда получается P², как выше. Членом аP(t) можно пренебречь, так как при k около единицы он мал по сравнению с P^1+1/k:

Вы ещё не разучились решать ОДУ методом разделения переменных, как описано в третьей главе?

Константы K и t₀ находим подбором. Аспиранты вроде бы собрали данные по оценкам человеческой популяции из 24 источников, отрисовав их, по моде того времени, на билогарифмическом бланке. Обнаружилось наилучшее приближение:

Тут же рассчитали время Творения. Адам P(t_{Творения})=1 был создан в апреле 232'550'998'901 года до Рождества Христова и счастливо жил в Раю примерно 100 млрд лет, пока Господь не создал ему Еву. Далее пошло-поехало.

Проверили решение на устойчивость! Оказалось, что располагай Шарлемань² нашим уравнением, на своих статистических данных он бы вычислил приход Конца Света с точностью ±300 лет (если бы у него была статистика, ага). Елизавета I могла бы скомандовать своим статистикам, и установила бы дату с точностью ±110 лет, а Наполеон предсказал бы с точностью ±30. Со статистическими данными 1959 года, точность предсказания лучше: ±10 лет.

Статья заканчивается пассажем (выделение моё):

Нельзя не согласиться с точкой зрения оптимистов, утверждающих, что Человек Разумный всегда найдёт новые технологии для дальнейшего роста[…] Мы с удовлетворением заключаем, что «принцип бесконечного развития технологии», будучи проверен на 100 поколениях наших предков, ещё три поколения продержится. Не стоит напрягать теорию, и рассчитывать пессимистические экстраполяции [развития человечества]. Пессимисты глубоко заблуждаются. Наши праправнуки не вымрут от недостатка пищи и ресурсов. Они задушат друг друга в крепких объятиях.

Глядя на такую перспективу, ясно: если считать пессимистов «мальтузианцами по профессии», оптимисты являются «мальтузианцами в сердце». Они несутся по всё-возрастающей кривой к самоуничтожению, но глубоко внутри уверены, что чудо спасёт.

Особенно смешно выглядит определение даты Судного Дня с точностью до сотой: 2026.87±5.50! Ничего не замечаете? Предыдущая «пятница 13 ноября» – в 2020 году, следующая – только в 2037. Вот зачем надо пять с половиной лет. А упоминание газетной утки 1956 года про «Отвратительного Угольного Человека»? А отрицание смерти «ввиду её незначительности»? А «статистическое усреднение по числам из статей нескольких авторов»?

Жанр этого текста: «физики шутят». Точнее, не физики, а инженеры. Пранк изготовлен на факультете электроники и вычислительной техники УИ. Вся «математика» в статье – не более чем тонкий академический прикол, хорошо замаскированный под научность. Каждому, в достаточной степени владеющему английским и теорией ОДУ ясно, что авторы «продёрнули» одновременно и хомячков М.К.Хабберта, вычислявших дату мирового Пика Нефти с точностью до дня и часа (один билогарифмический бланк чего стоит), и нео-кейнсианцев навроде Р.Солоу, и вообще всех корпоративных «учёных», подгоняющих математику под известный ответ.

Через пятнадцать лет, когда иллинойсская реприза хорошо забылось, шутку воспроизвёл в Англии фон-Хёрнер³. Его прикол был рассчитан не на профессоров и аспирантов, а на более широкую аудиторию, оттого и математика попроще:

Для достоверности пришлось пожертвовать Творением Адама в 232'550'998'901 году до Р.Х. и Шарлеманем, зато в статье фигурировал Сумрачный Немецкий Гений. Добавьте к фамилиям фон-Фёрстер и фон-Хёрнер ещё и «фон-Браун»! В качестве «выхода» из «создавшейся ситуации» отец-основатель SETI предлагал (a) куплять фанеру («строить межзвёздные корабли и лететь отседа…», ага) и (b) входить в сношения с межзвёздными цивилизациями, кои нас спасут!

Конечно, к математическим шуткам надо относиться именно как к шуткам. Однако, проверим. В качестве входных данных я взял, во-первых, оценки населения планеты разных авторов с 3000 года до Р.Х. по 1900 год, а во-вторых – оценки населения планеты UNESCO с 1890 по 2015. Последние мы уже использовали в главе 3. Масштаб то вертикали – логарифмический.

Красные границы допуска на графике – не совсем математическая статистика, а просто разброс значений у разных авторов. Например, для года рождения Христа существует не менее 10 разных оценок, с диапазоном значений между 170 и 330 млн, то есть разброс около 30% от «условно среднего» 250 млн, или в переводе на более русский – по воде вилами писано.

К сожалению, не все, кто ценит инконелевую английскую иронию, разбираются в ОДУ, и не все, кто умеет в ОДУ – понимают юмор! Прежде чем рисовать, приведём полное решение уравнения фон-Фёрстера для k=1, если не «пренебречь смертью, как подобает немецким учёным»:

– то есть просто гиперболический косеканс, нормированный экспонентой.

Пример в программе \Chapter 05\Test_Kapitsa_1.py

Наблюдаем, что исторические данные с 3000 года до Н.Э. на модель шутников-аспирантов укладывается чуть лучше, чем никак. Две точки попадают на график лишь случайно: -2000 и +1650 годы. Естественно. Хитроумные студозиусы и не стремились ничего аппроксимировать. Вся затея состояла в том, чтобы «уложить» решение на специфическую дату: пятница, 13 ноября 2026 г, 115 юбилей уважаемого профессора.

Чисто для сравнения, на график наложена сумма решений наподобие острова Св.Мэтью, что мы разбирали в 4 главе. Я совсем не утверждаю, что у человечества наступит обвал популяции ровно в 12:43:17 московского времени 1 мая 2056 года. Просто, если уж хочется аппроксимировать данные античных времён, можно сделать это куда более элегантно!

В 1996 году, внезапно, доктор физ-мат наук, вице-президент РАЕН, профессор и телеведущий Сергей Петрович Капица взялся выводить из полузабытого уравнения-шутки фон-Фёрстера «Феноменологическую теорию роста населения Земли»⁴.

Уравнение {5.5} записалось в виде:

Замена гиперболического косеканса на арккотангенс, в-общем, штука известная, ещё дед Сергея Петровича, генерал флота и академик А.Н.Крылов, такими заменами подарил нам Теорию Остойчивости. Пример в программе \Chapter 05\Test_Kapitsa_2.py

#

# Описывает популяцию по методу С.П.Капицы

# "Успехи физических наук" 139(1) 57-71, РАН, 1996

#

class Population_Kapitsa:

def __init__( self, T0=2007, C=186e3, tau=42):

self.T0 = T0

self.C = C

self.tau = tau

return

def Solve( self, t):

self.Solution_Time = t

self.Solution_P = self.C / self.tau * (np.pi/2 - np.arctan((self.T0 - t)/self.tau))

return

Чтобы не загромождать график, я оставил только шутку фон-Фёрстера, модель «Акулий Плавник» и оценки народонаселения по данным ООН. Легко видеть, что для времён давних, то есть до 1890 года, умствования шутников из УИ и решение С.П.Капицы работают одинаково: никак. При этом, никакими ухищрениями «провал тёмных веков» с 300 по 800 годы – не описать. Производная в уравнении {5.7} – строго положительна, а значит функция P(t) может только расти.

Однако, кого волнуют времена до ХХ века? Там и проверить-то нечем, оценки населения разнятся на десятки процентов. Посмотрим в будущее. Конечно, никакого выхода в бесконечность и взаимного удушения в объятиях, как в статьях-шутках, у Капицы нет, чего и хотелось. Уберём с графика ненужный более логарифмический масштаб и поглядим на наше время. \Chapter 05\Test_Kapitsa_3.py

Прикольные решения {5.4}, {5.5}, {5.6} описывают реальную популяцию Земли примерно с 1900 по 1950 годы. Далее они проваливаются ниже, а с 1970 – наоборот: взлетают в бесконечность. Ничего удивительного. По формуле {5.5} легко прикинуть, что для такой производной к 1990 году -- каждая женщина на Земле должна произвести 10 успешных родов, а с 2012 – рожать как рекордная свиноматка, по десятку детишек ежегодно!

В 1996 году С.П.Капица подбирал данные по статистическим данным до 1995 года, и константы легли так:

К=186 млрд  T0=2007 год  τ=42

Как видим, несмотря на недостаток данных, С.П.Капица успешно предсказал GFC, начавшийся в декабре 2007. Что же до величины τ, так это вообще мировая константа!⁵ Для 2015 года, предсказание С.П.Капицы – 7'790 млн человек, а ООН отчиталась только о 7'348. Разницу в 441 млн (6%) от нас наверняка скрывают, но поглядев в «карты Гугл», я легко обнаружил пропажу.

Теперь вы поняли, откуда в Америке взялась дополнительная нефть?

Конечно, шутка! В нашей суровой реальности, «внутре у неё неонка». Никакого сакрального смысла константы в формуле Капицы не имеют, а просто двигают график арккотангенса. Константа τ изменяет наклон, точно так же, как σ меняет наклон сигмоиды в формуле {3.6}. Время t_o – двигает график по горизонтали. C – подбирает желаемый масштаб по вертикали.

Подберём значения констант для реальных данных 2016 года \Chapter 05\Test_Kapitsa_4.py

Существует ещё много специальных функций, ограниченных сверху и снизу, а посередине довольно похожих на сигмоиду Ферхюльста. Например, табличная функция Erf. Попробуйте на досуге – у вас выйдет ничуть не хуже, чем у уважаемого Сергея Петровича. Потом можете сбоку прикрутить гвоздями и приклепать болтами философию: ведь первая производная (Erf)' есть функция нормального распределения, она же Гауссиана! Ну и что?

А как же насчёт количества возможных взаимодействий? Да, количество взаимодействий растёт как P². Если население на какой-то площади удваивается, вчетверо легче двигать науку или искать подругу жизни. Однако так же вчетверо легче найти себе заклятого врага, попасть в аварию или подцепить какую-нибудь заразу. В среднем, эффект от плотности сначала положительный, а потом нулевой, а то и отрицательный. Впрочем, о законе убывающей доходности мы поговорим отдельно.

В этом месте, самое время повторить последний вывод третьей главы: Сама по себе, статистика о численности населения Земли не может быть использована для предсказания поведения кривой народонаселения. Всякая честно построенная модель должна включать независимые методы вычисления граничных условий справа. Чем мы теперь и займёмся.

От чашек Петри и островов с оленями перейдём к первобытным племенам.

Пусть у нас есть небольшой остров (навроде Пасхи, он же Рапа-Нуи, он же Чунга-Чанга). В нулевом году, на остров высаживаются смелые переселенцы в количестве 500 человек. Богатая и разнообразная природа острова может прокормить в десять раз больше – 5'000. Максимальную скорость удвоения популяции примем как в Америке XVIII века – 25 лет, то есть b_p=0.0277.

Кроме трёх переменных P, Q, O, нам понадобится ещё одна: F – плодородная территория. Запишем систему уравнений:

Здесь:

F_o – максимальная продуктивность природы острова (сельхозугодий)

j – эффективность ведения сельского хозяйства

b_f – быстрота восстановления продуктивности

b_о – быстрота восстановления урожайности

Так как остров экваториальный и влажный, примем максимальную скорость удвоения плодородия за 10 лет. Так как племя примитивное, максимальная скорость удвоения урожайности – 5 лет, а годовое потребление составляет не более 0.1% от природы острова. Пусть потери для начала – 100%, то есть никаких запасов переселенцы не делают вообще: увидел банан – съел, пошёл дальше.

Пример в программе \Chapter 04\Test_Island_1.py

#

# Описывает популяцию в открытой системе

# Согласно системе уравнений Мальтуса

# P0 - начальная популяция

# Q0 - начальные запасы

# O0 - начальное производство

# F0 - начальные природные ресурсы

# T2_P - время удвоения популяции

# T2_O - время удвоения призводства

# T2_F - время восстановления ресурсов

# d_Q - процент потери запасов

# j_O - технологический коэффициент урожайности

# Популяция стремится к кажущемуся оптимуму Q

#

class Island_Population_1:

def __init__( self, P0, Q0, O0, F0, T2_P, T2_O, T2_F, d_Q, j_O):

self.P_Initial = P0

self.P = P0

self.Q_Initial = Q0

self.Q = Q0

self.O_Initial = O0

self.O = O0

self.F_Initial = F0

self.F = F0

self.B_P = np.log(2)/T2_P

self.B_O = np.log(2)/T2_O

self.B_F = np.log(2)/T2_F

self.D = d_Q

self.J = j_O

return

def dP_dt( self, t):

tmp = max ( self.Q, 0.01)

tmp = self.B_P * (1 - self.P / tmp)

tmp *= self.P

return tmp

def dQ_dt( self, t):

tmp = -self.D * self.Q # естественная убыль запасов

tmp -= self.P # убыль запасов на потребление

tmp += self.O # текущий урожай

return tmp

def dO_dt( self, t):

tmp = max ( self.F * self.J, 0.01)

tmp = self.B_O * (1 - self.P / tmp)

tmp *= self.O

return tmp

def dF_dt( self, t):

tmp = self.B_F * (1-self.F/self.F_Initial) * self.F

tmp -= self.O # убыль ресурса на пополнение запасов

return tmp

def _func( self, y, t):

self.P = max( [y[0], 0])

self.Q = max( [y[1], 0])

self.O = max( [y[2], 0])

self.F = max( [y[3], 0])

f0 = self.dP_dt( t)

f1 = self.dQ_dt( t)

f2 = self.dO_dt( t)

f3 = self.dF_dt( t)

return [f0, f1, f2, f3]

def Solve( self, t0):

y0 = [self.P, self.Q, self.O, self.F]

soln = odeint(self._func, y0, t0, h0=0.01, hmax = 0.025)

self.Solution_Time = t0

self.Solution_P = soln[:, 0].clip(0)

self.Solution_Q = soln[:, 1].clip(0)

self.Solution_O = soln[:, 2].clip(0)

self.Solution_F = soln[:, 3].clip(0)

self.P = self.P_Initial

self.Q = self.Q_Initial

self.O = self.O_Initial

self.F = self.F_Initial

return

Как и следовало ожидать, никакого удвоения населения за 25 лет (пунктирная линия на графике) – не наблюдается. Это оттого, что переселенцы – племя примитивное: каждая женщина рожает пятнадцать раз, но тринадцати отпрыскам не хватает бананов. С нулевого года и до конца шкалы – вроде бы никаких мальтузианских катастроф. Это представление неверно. На самом деле, маленькая катастрофа происходит регулярно, каждый год убивая самых слабых – младенцев и стариков.

Что произойдёт, если в 100 году переселенцы начнут осваивать новые технологии земледелия? Скажем, открыли как хранить урожай, и снизили потери за 100 лет со ста процентов до пятидесяти? Игравшие в «Civilization» Сида Мейера – наверняка вспомнят «технологию гончарного дела». В игре это открытие позволяет увеличивать население «городов». Пример \Chapter 04\Test_Island_2.py идентичен предыдущему, но d меняется с 1.0 до 0.3 с 100 по 200 годы. Как ни странно, на равновесном населении острова такая «технологическая революция» отражается мало: всего пять человек прибавилось. Зато, определённо надо меньше собирать бананов: не 970 условных единиц, а всего 734. Оказывается, бережливый человек экономит не столько природные ресурсы, сколько свой труд. Технология сбора и хранения урожая – освобождает рабочие руки и мозги, а уж они – прикладываются к изобретению новых технологий.

Итак, освобождённый гений-островитянин придумал вторую технологическую революцию: увеличим производство продовольствия, то есть урожайность, в десять раз, с j=0.001 до j=0.01. Увеличение будет происходить постепенно, с 300 по 500 годы. \Chapter 04\Test_Island_3.py

self.D = Sigmoid( 150, 0.05, 1, d_Q)

self.J = Sigmoid( 400, 0.025, j_O, j_O*10)

return

def dP_dt( self, t):

tmp = max ( self.Q, 0.01)

tmp = self.B_P * (1 - self.P / tmp)

tmp *= self.P

return tmp

def dQ_dt( self, t):

tmp = -self.D.Compute(t) * self.Q # естественная убыль запасов

tmp -= self.P # убыль запасов на потребление

tmp += self.O # текущий урожай

return tmp

def dO_dt( self, t):

tmp = max ( self.F * self.J.Compute(t), 0.01)

tmp = self.B_O * (1 - self.P / tmp)

tmp *= self.O

return tmp

Население острова плавно выходит на «полочку», чуть выше 4'000 человек. Тут читатель может заметить, что мы плавно изменяли урожайность по сигмоиде, оттого и население росло по сигмоиде. Всё правильно. Поглядим, что будет с населением острова, если технологические революции произойдут в два раза быстрее: не за сто лет, а за 50. \Chapter 04\Test_Island_4.py

Наконец, что будет, если новую технологию земледелия привезли на остров умные католики-миссионеры, и изменение не за 50 лет, а за 10? \Chapter 04\Test_Island_5.py

Ничего хорошего. Производство улетает в небеса, «бесполезное» красное дерево 50 лет меняют на «крутые» бусы или телевизоры, и для аборигенов всё кончается так же грустно, как у бактерий в чашке Петри.

Вообще, далеко не всё, что провозят цивилизованные белые люди, следует пускать в дело. На реальных атолловых островах в Тихом океане у аборигенов было принято, пардоньте, испражняться в океан. Не в атолл, что посередине, а в океан, который снаружи, ага! Приехали миссионеры и увидели, что это некультурно, не правда ли? Научили аборигенов строить туалеты класса «сортир-с-дыркой». Долбить известняк ломом – занятие не из лёгких, но чего не сделаешь заради цивилизации, тем более и новый пастор сам взял лом и личным примером показывает, как надо. Результат: на острове внезапно питьевая вода во всех колодцах пахнет дерьмом! Если не кипятить, получится холера, а кипятить нечем, так как деревьев на островке: раз, два, десять. Уже потом приехали умные геологи и объяснили: трещиноватый известняк в зоне выветривания накапливает дождевую воду в трещинах и кавернах с характерными размерами от нескольких миллиметров до нескольких сантиметров. Накапливает и отдаёт отлично, фильтрует – плохо. Привыкшие к суглинкам и песчаникам миссионеры как-то не подумали, что долбят яму туалета практически прямиком в колодец. Теперь на эти острова питьевую воду привозят специальным танкером. Что это делает с и так небогатым бюджетом каждого острова, и что будет, если в один прекрасный день танкер просто не придёт – догадайтесь сами.

А мы пока предположим, что изменения происходят медленно, но урожайность увеличивается не в 10 раз, а в 50. А.В.Чаянов в 1920 написал утопию⁶, где в грядущем коммунизме семейный надел 3-4 десятины, а с каждой десятины собирают 500 пудов. В наших единицах: 380 соток и 82 центнера с гектара. Притом, тракторов в утопии Чаянова не было, всё на лошадках. \Chapter 04\Test_Island_6.py

Из абсолютно спокойных входных данных получилась колебательная затухающая система. С 200 по 500 годы популяция увеличивается в 20 раз, далее происходит срыв. Амплитуда колебаний нарастает, вплоть до вымирания популяции, однако пики производства D видны на кривой и ранее.

Что это за пики? Ясно, кризисы перепроизводства! Производство продовольствия нарастает быстрее, чем население, накапливается слишком много лишней еды, цена падает... Короче, вы поняли картину.

Великий критик мальтузианства К.Маркс писал [16]:

Every history of religion, even, that fails to take account of this material basis, is uncritical. It is, in reality, much easier to discover by analysis the earthly core of the misty creations of religion, than, conversely, it is, to develop from the actual relations of life the corresponding celestialised forms of those relations. The latter method is the only materialistic, and therefore the only scientific one. The weak points in the abstract materialism of natural science, a materialism that excludes history and its process, are at once evident from the abstract and ideological conceptions of its spokesmen, whenever they venture beyond the bounds of their own speciality.

Даже изучая историю религии, тот, кто не берёт в расчёт материалистической основы – не может религию критиковать. Гораздо легче обнаружить с помощью анализа земные последствия туманных творений религии, чем, наоборот, выводить из реальных жизненных отношений – высшие формы небесных законов. Последний метод является единственно-материалистическим, и оттого единственно-научным. Слабость абстрактного материализма естественных наук, материализма, который исключает историю и процесс, немедленно можно наблюдать в абстрактных идеологических концепциях естествоиспытателей, всякий раз, когда они рискуют выходить за пределы своей специальности. [ссылка 4 в главе 15 первого тома «Капитала» «Машины и современная промышленность» страница 261.]⁷

На самом деле, это Маркс писал про Чарльза Дарвина, которого очень почитал и даже хотел посвятить автору «Происхождения видов» первый том «Капитала», но Дарвин от такой чести благоразумно отказался – врагов теории эволюции и так хватало.

Ясно, что на момент выхода немецкого издания «Капитала» 1867 года Маркс не удосужился ознакомиться с основными положениями теории своего естественнонаучного кумира, напечатавшего книгу 9 годами ранее. Ибо критиковать Мальтуса и возносить Дарвина – всё равно что славить Эйнштейна и Планка, одновременно проклиная Ньютона.

Чарльз Дарвин не просто упоминал Мальтуса в «Происхождении видов» [17]. Вся эволюционная теория построена на мальтузианских катастрофах. Раздел 3 главы 3 (стр 79 в моём экземпляре книги) так прямо и называется: «Увеличение численности в геометрической прогрессии», а первые три абзаца там – краткое изложение теории Мальтуса, со ссылкой на имя автора. Про «бутылочные горлышки» было упомянуто выше.

Об «альтернативных» теориях бесконечного экономического роста будет отдельная глава, а пока просто скажем, что популяционная теория Мальтуса подтверждает основные положения «Капитала», как бы ни ругался автор последнего. А то, что Маркс прочитал Мальтуса, да не понял математики – бородатому мыслителю простительно. Восьмым вранглером не был, в дифференциальные уравнения не умел, в университете, по причине неправильной национальности – доучиться не дали⁸.

Мы же воспользуемся уравнениями и компьютерами, чтобы сделать нашу модель ещё более реалистичной. Известно, что погода на острове не постоянна, и, допустим, раз в десять лет случается неурожай. Один серьёзный неурожай мы уже моделировали выше, но он действительно был катастрофическим – пять или десять лет вообще ни зёрнышка не росло. В следующей модели, неурожаи будут относительно небольшие (Чунга-Чанга же!) – каждый десятый год, при этом, производство продовольствия – 50% от нормального.

Сначала модифицируем плавное решение \Chapter 04\Test_Island_3.py, превратив его в \Chapter 04\Test_Island_7.py

def is_Drought( self, t):

tt = int(t)

if (tt%10) == 0: return True

return False

Как видим, решение остаётся достаточно гладким даже при внешних возмущениях. Теперь повторим то же самое для острова с 50-кратным увеличением урожайности. \Chapter 04\Test_Island_8.py

Нечто подобное происходит и на настоящем Рапа-Нуи. В 1722 году белые открыватели обнаружили на острове около 2'500 аборигенов, уже забывших, как строить огромные океанские плоты и перешедших от высокой культуры к каннибализму и кровавым кланово-племенным разборкам. Всего столетием раньше, на острове жило более пятнадцати тысяч. Современное население острова – 6'150 человек.⁹ Собственно, от полного вымирания аборигенов спас туризм. Прокрутите текст назад к картинке (обратите внимание на бетонный пирс на заднем плане справа!) Именно так и выглядят современные жители чилийского острова Пасхи – когда выступают перед американскими туристами. Теперь поглядите на график и прикиньте, куда двинет синяя кривая, когда поток туристов вдруг иссякнет.

Итоги главы.

• Мы разобрали некоторые «альтернативные» способы задания функций А(t) и B(t). Продемонстрировано на примере, в какие дебри заводит «феноменологический подход» без учёта материального баланса.

• Создана и испытана простая числовая модель, где при выходе за пределы природопользования происходит срыв в катастрофическую осцилляцию. На той же модели исследована зависимость от технологий землепользования и скорости их ввода.

• Продемонстрирована устойчивость решений к циклическим возмущениям входных параметров, например, засухам.

• Показано, что для моделирования «кризиса затоваривания» АКА «кризиса перепроизводства» необязательно вводить понятие стоимости. Достаточно моделировать население и материальный баланс производства/потребления.

• Независимо от Д.Адамса и других авторов, подтверждена мировая константа 42.