Связь экономики и физики: Аналогии между экономикой и статистической физикой

Данная заметка является продолжением публикаций: Аналогии экономики с термодинамикой и механикой

                                                                                           Метод научного познания 

                                                                                           Аналогии между механикой и микроэкономикой

                                                                                 Аналогии между поведением цен на рынке и теорией колебаний

                                                                                                 Аналогии между механикой, термодинамикой и макроэкономикой

Эти публикации являются популярным изложением книги: И.Г.Царев Математика и физика для экономистов.

В данной заметке описывается тот редчайший случай, когда автор этих строк смог не только построить математическую модель, которая отражает распределение дохода в экономической системе, но и получил аналитическое решение (!) задачи. Также автор отыскал реальные статистические данные, которые удовлетворительно описываются данной моделью, и тем самым подтверждают её – т.е. провел «эксперимент» и подтвердил свою гипотезу.

В классической термодинамике и статистической физике задача прямого (что называется, в лоб) интегрирования Гамильтоновых уравнений движения при наличии огромного числа частиц представлялась физикам непосильной. Но именно наличие огромного числа однородных частиц позволило им подойти к решению задачи с другой стороны. Вместо одной динамической системы с огромным числом координат, которая движется по очень сложной и запутанной траектории фазового пространства, физики решили рассмотреть не последовательность, а совокупность точек фазовой траектории. Вместо задачи рассмотреть последовательность состояний одной системы при изменении её конфигураций и скоростей была поставлена задача рассмотреть одновременно все возможные состояния системы при  различных конфигурациях и скоростях. Таким образом, вместо последовательности точек на одной запутанной фазовой кривой было рассмотрено «облако» точек в фазовом пространстве. При этом требовалось определить, как это огромное число систем одинаковой природы «распределено» между различными возможными конфигурациями и скоростями.

Такую воображаемую совокупность однородных систем Гиббс и Эйнштейн назвали «представляющим ансамблем системы», а такую «трансформацию» динамической системы – статистической системой. Распределение по числу систем, заключенных внутри определенных малых границ конфигураций и скоростей, является вероятностью различных состояний статистической системы.

Свойства этой функции распределения ρ согласно теории вероятностей, должны отвечать условию нормировки:

а малые границы конфигураций и скоростей называются бесконечно малым элементом фазового объема:

Распределение по энергиям называется «распределением Гиббса»:

где A – нормирующий множитель, E – энергия системы, k – постоянная Больцмана, T – температура.

В этом случае dV = dE.

Перейдем теперь к экономической системе и, как это принято при построении моделей, выделим некие «важные» свойства системы, а остальные «несущественные» опустим.

Предположим, что существует равновесное распределение дохода между экономическими субъектами. Сформулируем эту задачу таким образом, чтобы определить, как устанавливается это равновесие за счёт конкуренции между экономическими субъектами, и отбросим дополнительные факторы: изменение размера экономической системы от времени и роль государства в принудительном перераспределении дохода:

1. Будем считать, что величина совокупного дохода меняется значительно медленнее, чем происходит распределение этого дохода между экономическими субъектами. Другими словами, распределение дохода между субъектами (т.е. установление равновесия) происходит значительно быстрее, чем общий рост или спад производства, которые зависят от количества экономических субъектов и величины совокупного дохода. В этом случае величина совокупного дохода может считаться постоянной.

2. Будем искать распределение дохода между субъектами в отсутствии налоговой политики, которая предусматривает принудительное изъятие части дохода, и социальной политики, которая предусматривает адресное распределение части изъятого дохода. Грубо говоря мы рассматриваем систему «дикой конкуренции», но «без государства, очень крупных транснациональных корпораций, масонов, рептилоидов и т.д.». Если мы получим функцию равновесного распределения без учета указанных воздействий, то в дальнейшем мы попробуем сделать определенные выводы, как это воздействие должно влиять на смещение равновесия.

3. Если доход экономического субъекта становиться равен нулю, то субъект умирает (разоряется). При этом предполагается, что даже маргинальные элементы получают доход, который полностью уходит на покрытие их издержек.

При этих допущениях мы можем представить экономическую систему как совокупность экономических субъектов, состояние которых определяется уровнем их дохода. Согласно таблице аналогий между термодинамикой и экономикой доход системы интерпретирован как внутренняя энергия. Тогда выручка (доход) TR одного экономического субъекта можно интерпретировать как энергию его состояния E. Следовательно, функция распределения экономических субъектов по величине их дохода будет аналогична функции распределения Гиббса.

В этом случае вероятность P того, что значение дохода при измерении попадет в интервал от нуля до определенной величины TR, определяется уравнением

Откуда

Доля дохода, входящая в этот интервал, соответственно равна

Доказательство

Вероятность P эквивалентна доле граждан, располагающих соответствующей долей дохода D. Полученная зависимость для доли D при построении дает так называемую «кривую Лоренца», которая демонстрирует неравенство в распределении доходов.

Когда рассматривается интервал ΔP = P­­_2­ – P­_1­, доля дохода определяется как разница ΔD = D­­_2­ – D­_1­.

На рисунке изображена теоретическая кривая Лоренца, а также кривая Лоренца для России (2002), Японии (1994) и Бразилии (1994):

Очевидно, если бы распределение доходов было абсолютно равномерным, то точки кривой Лоренца лежали бы на биссектрисе. Смещение этой кривой вправо-вниз свидетельствует об усилении неравномерности распределения. В результате площадь фигуры, ограниченной с одной стороны биссектрисой, а с другой стороны – кривой Лоренца, увеличивается. Отношение площадей этой фигуры и треугольника, образованного биссектрисой и осями (D и P), называется «коэффициент Джини» J.

При абсолютно равномерном распределении доходов кривая Лоренца сливается с биссектриссой и коэффициент Джини будет равен нулю. Максимальная площадь фигуры между биссектриссой и кривой Лоренца может достигать площади треугольника, в этом случае коэффициент Джини будет равен единице, что будет означать абсолютное неравенство в распределении доходов – все доходы достаются самому богатому человеку.

Исходя из полученного уравнения мы можем вычислить равновесный коэффициент Джини, который оказывается равным 0,5.

Доказательство

Если государство не проводит активной социальной политики, то распределение совокупного дохода будет близко к равновесному, а если элита общества при помощи государства использует власть для перераспределения доходов в свою пользу либо, наоборот, в пользу малоимущих слоев населения, то распределение может смещаться в ту или иную сторону.

Однако, любое отклонение от этого равновесия может быть только искусственно вызванным и неоптимальным с точки зрения принципа наименьшего действия. Промежуток времени, в течение которого должен обязательно произойти переход к статистическому равновесию, называют временем релаксации.

Из рисунка видно, что в России (2002) распределение доходов было близко к равновесному, в Японии (1994) --- смещено в пользу бедных (в сторону более равномерного распределения), а в Бразилии (1994) --- в пользу богатых (более неравномерно).

Близкое к равновесному распределение доходов наблюдалось, кроме России, например, в Малайзии, Перу и Киргизской республике, смещённое в пользу бедных J = 0,2-0,3 – в некоторых европейских странах, и смещённое в пользу богатых J = 0,6-0,7 – в Уганде, Боливии и Гондурасе.

Для демонстрации того, что уравнение J = 0,5 является равновесным, отклонение экономической системы от указанного распределения дохода является искусственно вызванным, и система всегда пытается вернуться к равновесию, проследим распределение совокупного дохода населения России в течение 34 лет. Значения коэффициента Джини за указанный период представлены графически:

Снижение J в течение 1970-1990 годов отражает, по-видимому, тот факт, что борьба за сближение города и деревни, рабочих и интеллигенции приводила в СССР к элементарной уравниловке в заработной плате.

После 19 августа 1991 г. произошла смена способа производства и наступил период «дикого капитализма». Система распределения доходов населения вышла из под жесткого контроля государства, и коэффициент Джини двинулся к своему равновесному значению.

Процесс установления равновесия, приведенный на рисунке, хорошо описывается кинетическим уравнением

За время релаксации порядка 3 τ, т.е. где-то за 3 года, система пришла в равновесие. Примерно в это же время можно было подводить первые итоги приватизации. Значения J­_0­ и τ рассчитаны методом наименьших квадратов для нелинейной регрессии:

Тот факт, что коэффициент Джини достиг значения 0,4, а не теоретического значения 0,5, может иметь два объяснения. Во-первых, какая-то социальная политика, направленная на снижение социального неравенства, государством все-таки ведется. Во-вторых, официальные данные отражают картину распределения только «наблюдаемых» доходов, в то время как «ненаблюдаемые» с очевидностью распределяются существенно более неравномерно.

Распределение доходов населения в России на основании экспертных оценок давало коэффициент Джини около 0,48, т.е. значительно ближе к теоретическому равновесному значению.

Сформулируем несколько выводов из проведённого исследования:

1. В экономической системе существует весьма устойчивое равновесное распределение совокупного дохода с коэффициентом Джини 0,5 и временем релаксации около трёх лет. Таким образом, распределение доходов в обществе демонстрирует высокую устойчивость, и ни дефолты, ни «удвоения ВВП» не приводили к его изменению.

2. Любое отклонение от равновесного распределения совокупного дохода может быть только искусственно вызванным и приводит к некоторому замедлению экономического развития, так как перераспределение доходов сопровождается чистыми потерями общества. Однако прямая зависимость между неравенством и экономическим развитием при этом отсутствует.

Сделанный вывод не соответствует теории С.Кузнеца (1956), что экономическое развитие вначале ведет к увеличению неравенства, а затем к его уменьшению. Эта зависимость получила название кривой Кузнеца, или обратной U-кривой. За последние 40 лет предпринимались многочисленные попытки подтвердить эту зависимость. Тем не менее, она остается неясной, так как разные исследования демонстрируют прямо противоположные результаты.

3. Равновесное распределение дохода в принципе коррелирует с известным эмпирическим законом Парето, полученным на основании обширного статистического материала и имеющим степенную зависимость. Парето пришел к выводу, что параметры этого распределения примерно одинаковы и не различаются принципиально в разных странах и в разное время. «Кривая распределения доходов отличается замечательной устойчивостью, она меняется незначительно, хотя сильно преображаются обстоятельства времени и места, при которых ее наблюдают», – писал Парето в «Социалистических системах». Парето считал, что форма этой кривой зависит от биологически заданного распределения психологических особенностей людей.

Приведенные здесь рассуждения показывают, что полученная закономерность никакого отношения к психологии не имеет, а зависит от общих статистических закономерностей, которые имеют место, например в газах и жидкостях. Независимо от психологии человеческих взаимоотношений индивид всего лишь песчинка в игре законов больших чисел.

4. Равновесное распределение дохода возникает за счёт конкуренции между экономическими субъектами без государственного вмешательства. Следовательно, значения J > 0,5 не возникают даже при наличии олигархической структуры и одновременном отсутствии серьезной государственной социальной политики. Столь глубокое неравенство возможно только при целенаправленных административных или силовых методах (неэкономических действиях) государства.

5. Уменьшение неравенства также возможно только при целенаправленных законодательных, административных и силовых методах, например, при соответствующей налоговой и социальной политике государства. Но при этом должно произойти существенное подавление предпринимательской активности населения.

6. В развитой экономической системе самый эффективный путь для снижения уровня бедности состоит в увеличении среднего дохода на душу населения. Это означает, что за счет уничтожения богатых искоренить бедность не удастся.