ТКМ*. При­клад­ная ма­те­ма­ти­ка. За­да­ча на вы­жи­ва­ние

*ТКМ - Тео­рия кри­ти­че­ско­го мыш­ле­ния.

На­ве­я­но очень ин­те­рес­ной кни­гой: "Дис­крет­ная ма­те­ма­ти­ка без фор­мул".

Че­ло­ве­ка бро­си­ли в яму глу­би­ной в три его роста. Ос­но­ва­ние ямы - квад­рат со сто­ро­на­ми в один его рост. На дне ямы лежат два де­ре­вян­ных бруса, один из ко­то­рых равен длине между про­ти­во­по­лож­ны­ми уг­ла­ми ос­но­ва­ния ямы, а вто­рой длин­нее.

Смо­жет ли че­ло­век вы­брать­ся из такой ямы с по­мо­щью име­ю­щих­ся средств, и если да, то на­сколь­ко длин­нее пер­во­го дол­жен быть вто­рой брус? 

Раз­ни­цу в длине брусьев можно отоб­ра­жать как в виде со­от­но­ше­ния дро­бей (про­стых или де­ся­тич­ных), так и в про­цен­тах, при­чем как боль­ше­го к мень­ше­му, так и на­обо­рот.

P.S. От­ве­ты зав­тра не ранее этого же вре­ме­ни, то есть как ми­ни­мум через сутки.

ОТ­ВЕ­ТЫ.

Итак, как вы уже по­ня­ли, за­да­ча ре­а­ли­стич­ная. Пред­ста­вим себе ее как ре­аль­ность. Зачем ко­па­ли яму? Ско­рее всего, какой-​то про­ект, воз­мож­но, под хра­не­ние, или ин­же­нер­ные ком­му­ни­ка­ции.

От­ку­да бру­сья? По ви­ди­мо­му, неда­ле­ко от ямы ле­со­за­го­тов­ка, и либо брев­на/бру­сья упали/ска­ти­лись у того, кто их пилил, иди у того, кто их пе­ре­ме­щал на по­груз­чик. По­че­му раз­ной длины? Пред­по­ло­жи­тель­но - одно де­ре­во было силь­но по­вре­жде­но и боль­шую его часть про­сто оста­ви­ли на месте, а  мень­шую от­пи­ли­ли на нужды. Или там рядом ле­со­пил­ка и брев­на рас­пи­ли­ва­ли раз­ной длины.

Что же это за брев­на/бру­сья? Ну либо све­же­спи­лен­ные и неоко­рен­ные, или уже око­рен­ные и даже рас­пи­лен­ные на брус. Од­на­ко уж точно они не про­фес­си­о­наль­ный брус ка­мер­ной сушки, то есть как ми­ни­мум есте­ствен­ной влаж­но­сти, то есть от­но­си­тель­но тя­же­лые, но один конец все же как ми­ни­мум можно при­под­нять.

Итак, вы­брать­ся можно, и вот воз­мож­ные ре­ше­ния. Все чис­ло­вые вы­ра­же­ния в ро­стах че­ло­ве­ка.

Пер­вое брев­но имеет длину, рав­ную диа­го­на­ли квад­ра­та в ос­но­ва­нии ямы (квад­рат, по­то­му что сто­ро­ны ямы в ос­но­ва­нии оди­на­ко­вые), то есть ко­рень квад­рат­ный из двух, что при­мер­но равно 1,41 и весит не менее 50 кг. Это общее для всех ре­ше­ний.

Ва­ри­ант 1. Кла­дем пер­вое брев­но на пол по диа­го­на­ли, как раз по­ме­ща­ет­ся и рас­кли­ни­ва­ет­ся в про­ти­во­по­лож­ных углах ямы. Вто­рое брев­но упи­ра­ем одним кон­цом в се­ре­ди­ну пер­во­го, а вто­рым - в углу между плос­ко­стя­ми сте­нок ямы, упи­рая его кон­цом в этот угол. По­лу­ча­ет­ся на­деж­но за­фик­си­ро­ван­ный с обеих сто­рон брус, рас­по­ло­жен­ный под на­кло­ном к плос­ко­сти ос­но­ва­ния ямы под опре­де­лен­ным углом. 

Как узнать длину вто­ро­го брев­на? Оно не может быть дли­ной с вы­со­ту ямы, иначе его про­сто не под­нять. Оно не может своим кон­цом верх­ним опи­рать­ся слиш­ком низко, иначе из ямы не вы­брать­ся. По­лу­ча­ем при­мер­ную длину вто­ро­го бруса такой, чтобы можно было вы­брать­ся из ямы, то есть верх­ний конец его дол­жен быть не слиш­ком выше двух ро­стов че­ло­ве­ка, иначе оно будет неподъ­ем­ным, но и не менее длины пер­во­го, то есть боль­ше чем 1,41. Для удоб­ства най­дем длину сна­ча­ла при усло­вии, что вы­со­та верх­не­го конца бруса на уровне двух ро­стов че­ло­ве­ка. 

По­лу­ча­ем тре­уголь­ник, в ос­но­ва­нии ко­то­ро­го по­ло­ви­на длины пер­во­го бруса, по­ло­ви­на диа­го­на­ли квад­ра­та со сто­ро­на­ми ос­но­ва­ния, то есть 1/2 от 1,41, при­мем за 0,7. Вто­рая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равно 2 (вы­со­та верх­ней части бруса), между ними угол 90 гра­ду­сов, то есть диа­го­наль тре­уголь­ни­ка и есть длина бруса. Ко­рень квад­рат­ный из суммы 2 квад­рат и 0,7 квад­рат равен 2,12. Это тот ми­ни­мум длины, чтобы вы­брать­ся из ямы. 2,12 к 1,41 от­но­сит­ся как 1,5 к 1, то есть вто­рой брус длин­нее пер­во­го на 50%, или в пол­то­ра раза.

То, что брус не может быть дли­ной в три роста че­ло­ве­ка, по­нят­но, ис­хо­дя из того, что вес та­ко­го бруса будет не менее 100 кг, и под­нять даже один его конец уже тя­же­лая за­да­ча для че­ло­ве­ка, ко­то­рый сидит в яме без еду и воды, и неиз­вест­но, сколь­ко у него оста­лось сил, воз­мож­но, он уже про­го­ло­дал­ся и на­ча­лось обез­во­жи­ва­ние. В любом слу­чае, вы­брать­ся из ямы с вы­со­кой ве­ро­ят­но­стью можно как пра­ви­ло в пер­вые 4 часа после по­па­да­ния в нее, если че­ло­век в со­зна­нии и не спит. Даль­ше он нач­нет те­рять силы и под­нять боль­ший брус будет не в со­сто­я­нии.

Таким об­ра­зом, брус дли­ной 2,12 роста че­ло­ве­ка уже весит не менее 75 кг, то есть слиш­ком удли­нять его нель­зя. По­это­му мак­си­мум, что мы имеем, это при­бав­ка не более 10% от уже име­ю­ще­го­ся.

Ва­ри­ант 2. Пер­вый брус при­кла­ды­ва­ем к плос­ко­сти стены ямы под углом, рас­пи­рая его кон­ца­ми угол при­мы­ка­ния двух стен - одну у ос­но­ва­ния, дру­гую - на опре­де­лен­ной вы­со­те. Узнать эту вы­со­ту не слож­но. По­лу­ча­ет­ся тре­уголь­ник с углом между сто­ро­на­ми в 90 град, в ко­то­ром одна сто­ро­на равна 1, вто­рая неиз­вест­на, а диа­го­наль равна 1,41. Квад­рат диа­го­на­ли от­ни­ма­ем от квад­ра­та одной сто­ро­ны, из­вле­ка­ем ко­рень. Округ­ля­ем для удоб­ства. 2-1=1, ко­рень из 1 равен 1. 

Вто­рой брус упи­ра­ем ниж­ним кон­цом в конец пер­во­го, а верх­ним - в угол между сто­ро­на­ми ямы. По­лу­чив­ший­ся угол между брев­на­ми не может быть мень­ше 90 гра­ду­сов, а длина вто­ро­го бруса - мень­ше длины пер­во­го, но и, как мы уже по­ня­ли из ва­ри­ан­та 1, не может пре­вы­шать длину пер­во­го более чем на 50%. По­сколь­ку за­пих­нуть вто­рой конец вто­ро­го бруса в таком по­ло­же­нии не очень легко, то при­мем, что он может быть при­мер­но на 10-20% длин­нее пер­во­го, то есть от 1,51 до 1,61. При этом верх­ний конец вто­ро­го бруса будет на­хо­дить­ся на вы­со­те чуть более 2 ро­стов че­ло­ве­ка.

Ва­ри­ант 3. Ста­вим вто­рой, более длин­ный брус ниж­ним кон­цом в угол между ос­но­ва­ни­я­ми двух стен, а вто­рой упи­ра­ем в про­ти­во­по­лож­ный угол, то есть на­ис­ко­сок под углом к плос­ко­сти ос­но­ва­ния ямы. Вто­рой брус ста­вим пер­пен­ди­ку­ляр­но пер­во­му от­но­си­тель­но плос­ко­сти ямы. По­лу­ча­ет­ся, что мень­ший брус рас­кли­ни­ва­ет­ся на про­ти­во­по­лож­ных углах ямы, а также своей се­ре­ди­ной опи­ра­ет­ся на боль­ший брус, ко­то­рый также опи­ра­ет­ся на про­ти­во­по­лож­ные углы ямы, но в дру­гой плос­ко­сти и под углом.

Длина вто­ро­го бруса нам нужна такая, чтобы можно было вы­брать­ся, но не такая, чтобы он стал слиш­ком тя­же­лым, чтобы под­нять хотя бы один его конец. 

Пред­по­ло­жим, что верх­ний конец бруса опи­ра­ет­ся в угол на вы­со­те 2 роста че­ло­ве­ка. Тогда длина этого бруса будет равна корню из суммы квад­ра­тов вы­со­ты 2 и диа­го­на­ли 1,41, то есть ко­рень из 6 или 2,45. От­но­ше­ние боль­шей длины к мень­шей равно 1,74, то есть вто­рой брус длин­нее и тя­же­лее пер­во­го на 74%, и весит не менее 87 кг. Это очень тя­же­лый брус, даже тя­же­лее, чем в при­ме­ре 1.

Вы­чис­лять вы­со­ту, на ко­то­рой будет на­хо­дить­ся пер­вый брус, я не буду, там уже нужно фор­му­лы при­ме­нять три­го­но­мет­ри­че­ские. Пред­по­ло­жи­тель­но она долж­на быть не менее 1 и не более 2, но в дан­ном слу­чае у нас огра­ни­че­ния на вес вто­ро­го бруса и его длину. 

Можно по­про­бо­вать вы­брать­ся даже с по­мо­щью од­но­го длин­но­го бруса, за­лезть по нему на­верх. Тогда вы­со­та рас­по­ло­же­ния мень­ше­го бруса зна­че­ния не имеет.  

От­ветв­ле­ние ва­ри­ан­та 3: мень­ший брус кла­дет­ся одним кон­цом на верх­ний конец боль­ше­го бруса, а вто­рым упи­ра­ет­ся в угол между сте­на­ми под углом к плос­ко­сти ос­но­ва­ния ямы. 

Тогда длина вто­ро­го бруса будет той же, но вы­со­та, на ко­то­рой смо­жет встать че­ло­век, будет уже 2 его роста, хотя креп­ле­ние вто­ро­го конца мень­ше­го бруса и не такое на­деж­ное.