Буду краток. Вот:
- Прямая, повёрнутая вдоль направления, соединяющего любые две её точки, совпадает сама с собой.
- Любые две прямые одинаковы. Прямые, две любые точки которых совпадают, совпадают полностью.
Не знаю, насколько статья соответствует правилам АШ. Если не — удалите её.
Комментарии
1. Вы пакет считаете за реальный объект? Тогда давайте его и считать. Не "пустой пакет", а объект "пакет". Иначе выходит мошенничество и подмена понятий.
1б. Какая разница? Если мы считаем состояния, то у нас ровно столько состояний, сколько есть. Если нет объекта, нет и состояний. Если объект есть, то есть все его возможные состояния. Та же фигня, что и с пакетом.
3. Что такое "доопределение"? Или есть точка 0, или её нет. Математика — точная наука :) Или нет?
1. Считаю. И пустое множество я тоже считаю объектом. Тут вся суть в том, что отсутствие объектов мы положили в пакет "множества" и получили новый объект.
1б. А всё-таки?
3. В множестве натуральных чисел - {1, 2, ...} - точки 0 нет. В множестве {0} - точка 0 есть. Факториал изначально определён на первом множестве, а я хочу, чтобы он был определён на объединении первого и второго.
1. Тогда "множество" у вас является одним из элементов. Это ошибка Рассела, рекурсия. Витгенштейн её ещё подметил.
3. Это подстава. Некорректный приём. Нет никакого 0 в этом ряду. Или множьте все факториалы на 0, по честному.
1. Не поясните, элементом чего?
3. Повторяю. В множестве {1, 2, ...} - 0 отсутствует. В множестве {1, 2, ...} U {0} - присутствует. Мне хочется всюду определенный факториал на втором множестве. Я его доопределяю. ДОопределяю, а не меняю определение нафиг. Поэтому он как был определен "произведение всех чисел от 1 до n включительно", так и остался "произведение всех чисел от 1 до n включительно", 1 на 0 мы не меняем. Наоборот, если бы поступить как вы хотите, получилась бы новая функция "произведение всех чисел от 0 до n включительно". Другая.
1. Вам виднее. На мой взгляд — элементом самого себя, иначе с чего бы мы его считали?
3. Ну так доопределите его на -1, посмейтесь. Не понимаю я этого вашего доопределения. Что вам позволяет так поступать?
Чем дальше, тем больше видно: абстрагирование от смысла ведёт к вещам страшным. Это — точно не моё.
То, что вы не хотите видеть смысла, не означает его отсутствие. Посмотрите на фракталы, поищите смысл. Не думаю, что найдёте без подсказок.
1. Пустое множество - это такое множество, в которое не входит ни один другой объект. В том числе оно само. А множество, в котором есть объект "пустое множество" - уже не пустое.
3. Что мне позволяет так поступать? Во-первых, удобство. Во многих местах, где используется факториал - требуется факториал от 0. Например, количество упорядоченных множеств из 0 элементов. Во-вторых, совместимость. Рекуррентная формула выполняется? Выполняется. Определение выполняется? В целом да, если считать произведением 0 элементов - нейтральный элемент, что делается в принципе везде.
Для -1 - неверно ни первое, ни второе. Размер любого множества => 0, поэтому отсюда он не появится. А найти число, которое при умножении на 0 даёт 1 - мы тоже не можем.
А, да, посмотрел - правильный термин будет не "доопределение" функции, а "продолжение". Надеюсь, к его звучанию у вас будет меньше претензий.
Вот интересно — для нуля у вас рекуррентная формула выполняется, и вам этого достаточно. А для -1 — уже харам. Кто тут рыбу заворачивает?
Множество из 0 элементов не содержит элементов, но само является элементом. Нормально так — из ничего раз, и создали сущность! У вас
ус отклеился0=1.Повторюсь.
1) Размер множества >= 0, факториал определен на числах > 0. Значит, если хочется использовать факториал от размера множества - надо продолжить функцию на 0.
2) На -1 нам продолжать и не нужно (множества не бывают отрицательного размера), и не получается (x * 0 = 1 решений не имеет).
3) Пустой пакет является сущностью несмотря на то, что он пустой. Как и любой другой пустой контейнер.
Вы сами не понимаете походу, как подставляетесь. Множество — совокупность элементов, так в определении. Совокупность — не элемент, а мысленное объединение. У вас же получается так: смотрим на пустое место, хлопаем себя по лбу — ёкарный бабай, да это же пустое множество! И сразу у нас появляется нечто исчислимое. Это либо глупость, либо мошенничество.
Повторюсь еще раз.
Множество = пакет.
"Пустое место" - пустое место, там ничего нет.
"Пустое место" в пакете - пустое множество.
Чтобы из ничего получить пакет с пустотой - нам нужен пакет.
Извините, но это измышления. Множество — не пакет. Ни в каком смысле. Пакет — вещь, такая же, как и то, что в нём потенциально лежит. Если всё из пакета выложить, то останется сам пакет. Множество — это просто мысль об объединяющем элементы признаке. Нет элементов — нет признака — нет множества. Пустое множество = 0. Всё остальное — попытки приписать мысли вещественность и исчислимость.
Извините, но тут у нас опять фундаментальное противоречие получается. По-моему, множество - само по себе элемент, с которым можно что-то делать. По-вашему - "это просто мысль об объединяющем элементы признаке", причём на признак наложено ограничение, что существуют соответствующие ему элементы.
И кстати, ваше "Пустое множество = 0." - с вашей же точки зрения неверно. Потому что 0 - элемент, а "пустое множество" - нет.
Ну и вот вам, например, признак : "множество чисел, больших 1 и меньших 0" - чем не устраивает?
Вы заметили, что мы ненавязчиво вернулись всё к той же теме — к семантике в математике? :)
Внимательно следите за руками: есть 0, это знак, означающий "ничего", "пусто". Пока мы воспринимаем 0 как знак, проблем нет — мы оперируем с означаемым. Но если мы воспринимаем 0 как самостоятельную сущность, то вместо ранее подразумеваемой пустоты у нас уже есть один элемент, и 0=1. Это неизбежное и прямое следствие изгнания смысла, и пока смысл не вернётся в математику, она будет имманентно противоречива.
Скажите, вы понимаете, чем отличается пустота и пакет с пустотой?
Вроде как да. Продолжайте :)
Скажем, что множество - это пакет.
Элемент принадлежит множеству = элемент лежит в пакете.
Пакет, в котором ничего не лежит, назовем пустым множеством.
Пакет, в котором лежит пустое множество = пакет с пакетом != пустое множество.
Проще говоря, надо различать множество как объект(пакет) и множество как его элементы (содержимое пакета).
Изложу по-другому. Есть совокупность предметов на моём столе. Я, чтобы эту совокупность обозначить, рисую на бумажке значок А. Внимание: я только что создал значок. Теперь я хочу обозначить совокупность созданных мною сегодня значков, и рисую значок В. Имеет ли смысл значок В? Имеет, несомненно. Имеет ли этот значок отношение к предметам на моём столе? Нет, никакого. Более того, значение значка В полностью зависит от того, захотелось ли мне перед этим создать значок А, то есть оно абсолютно произвольно.
Вот честно, в упор не вижу проблемы. Вы хотите работать с множеством предметов на столе? Вы создаёте множество А, в которое включаете все элементы на столе. Вы хотите работать с множеством созданных вами множеств? Вы создаёте множество В, в которое входят все созданные вами до этого множества. Правда, само множество В в себя не входит, т.к. его не существовало, когда определялись множества, которые в него войдут)
С множеством чего хотите работать, множество того и создаёте.
Жаль, что не видите. Она таки есть. Тут надо или трусы, или крестик, посередине никак не выходит. Либо "множество" — вещь виртуальная, мысль, либо его надо прибавлять к содержимому как элемент. Помните про различие пустого пакета и пустоты? Это оно и есть. Пустого множества как пакета логически быть не может — потому что есть пакет. Пустое множество-пакет не пустое, потому что есть пакет. Это плохая модель, ибо содержит имманентное противоречие 0=1. Давайте попробуем пакеты убрать. Останутся пиво из одного пакета, колбаса из другого и доширак из третьего. Есть множества? Да, есть, поскольку мы эти продукты различаем. Есть дополнительные элементы? Нет, поскольку различия только у нас в голове. Далее мы можем посчитать эти различия в голове и создать другое множество из них, но это уже другая история, не имеющая отношения к колбасе и дошираку. Рассел ведь не зря типами озаботился.
На колу мочало, начинай сначала.
Изнутри пакета - множество пустое, в пакете пусто. Но с пакетом мы изнутри работать не можем.
Снаружи пакета - есть пакет.
Таким образом множество разделяет всё на "внутри" и "снаружи".
"Есть множества? Да, есть, поскольку мы эти продукты различаем."
По моей аналогии - вы вытряхнули их в один пакет и работаете внутри этого пакета.
"Изнутри" чего?
Что вы себе там намыслили? Нет никакого "пакета". Множество — это просто слово такое, у него нет "внутри" и "снаружи". "Внутри" — это просто некий признак, "снаружи" — отсутствие признака, между ними ничего нет! 
Когда мы работаем с множеством как с находящимися в нем объектами - мы "внутри". Когда работаем с множеством как с объектом - мы "снаружи".
"Изнутри" и "снаружи" — метафоры. Реально же "есть признак" и "нет признака". Если очиститься от метафорического представления, то всё сразу станет на свои места. Нету газа теплорода!
Кстати, просветите: когда множество включает в себя другое множество, оно включает его как знак или как означаемое?
Если я вас правильно понимаю, то как знак (как объект).
Спасибо! Залез в вики, там вроде иначе всё:
То есть включается именно как содержимое (означаемое).Тогда следует куча неприятных выводов.
Это вы несколько не так поняли.
А
является элементом 
- это значок ∈, и это отношение между множеством и элементом.
Объясню на примере:
У нас есть множества A = {1, 2, 3} и B = {1, 2, 3, 4, 5}. A включено в В, но А не является элементом B.
Теперь у нас есть множества C = {1, 2} и D = { {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}. Здесь наоборот - С является элементом D, но C не включено в D.
И наконец, множества {}(пустое) и Е = {{}} (множество с элементом "пустое"). Здесь если посмотреть на пустое множество как на совокупность элементов, они все входят в Е, поэтому пустое мн-во включено в Е. С другой стороны, если посмотреть на него как на объект, оно является элементом Е.
Благодарю сердечно! С третьим вариантом не очень понятно, правда. Что входит в Е — пустое множество, или элементы пустого множества? Вместе как-то не сходится, это принципиально разные вещи. Видится, что ПМ всё же входит в Е как элемент, но не как подмножество, иначе выйдет логическая неувязка.
Тут забавно. Во-первых, пустое множество является подмножеством любого другого.
С другой стороны, Е специально включает в себя пустое множество {} как объект.
Так что и так, и так.
Или уходя от пустого множества, аналогичный пример - множества X = {1} и Y = {1, {1} }. Условно говоря, в X лежит колбаса, а в Y - колбаса и пакет с колбасой.
Ну вот и проясняется, откуда ноги растут.
Про ПМ более-менее понятно чисто по-человечески — буддизм, шуньята там, хридайя-сутра, но вызывает большие вопросы с т.з. обоснованности. Множества определяются признаками, а у пустого (отсутствующего) элемента признаков нет. На каком основании его включают во все множества? Еррор детектед.
Далее, как в одном множестве оказались 1 и {1}? Разве так можно?
0) Вот честно, не понял, что такое ПМ и при чём тут религии.
1) Смотрим на формальное определение :
включено в 
, если каждый элемент множества 
принадлежит также и множеству 
. Проще говоря, мы берём множество В и выкидываем из него какие-то элементы. Если в результате получилось А - то А является подмножеством В, или включено в В. Естественно, если мы выкидываем из множества все элементы - мы получаем пустое множество.
2) Запросто. В рамках стандартной на сегодня аксиоматики Цермело-Френкеля, по крайней мере. Множество - это набор произвольных объектов, каждый из которых может быть в том числе другим множеством. Интересный пример - посмотрите, как устроены ординалы.
0. ПМ — "пустое множество" так сократил, быстро писать приходится, работа всё же отвлекает от дел, ггг. Религии — "форма есть пустота, пустота и есть форма; нет формы помимо пустоты, нет пустоты помимо формы; где форма, там и пустота, где пустота, там и форма". Чисто музыкой навеяло, не грузитесь :)
1. Значение пустоты как элемента — есть в этом подвох и закладка, нутром чую. Я над этим ещё подумаю, хорошо?
3. "набор произвольных объектов" — не определяется? Тогда в чём смысл множеств?
Хочу по п.1 выразиться. Он реально плохой, этот пункт, как причина 0=1. Никак от него избавиться не выходит, как ни крутил.
Иллюстрирую. На столе 10 предметов, мы с вами их делим на две группы, одна образует множество "ваше", другая — множество "моё". Предположим, что мне ничего не досталось, все предметы ваши, тогда множество "моё" — пустое. То есть у меня ничего нет, "моё" = 0. Я могу сколько угодно говорить "моё", но от этого у меня ничего не появится. Но теория множеств полагает, что у меня есть множество (пустое). Выход из этого парадокса только такой:
1. {} тавтологически равно 0 и не существует.
2. {} и 0 — лишь способы обозначить то, чего нет.
3. Множество, из которого изъяли все элементы, не существует и не может быть элементом.
4. {} не является ничьим подмножеством или элементом как несуществующее.
5. Множество может быть только элементом множества множеств, ибо оно лишь способ обозначить группу элементов. Множество, включающее простые элементы наряду с множествами, не имеет смысла.
n. Ну и с нулём надо чистку провести, он сильно портит логику построений.
Это, конечно, сильно подрубает обширные перспективы теории множеств, но зато даёт ей прочное основание.
И проблема с факториалом моментально разрешится: 0 не существует, и комбинаций 0 не существует ({}), т.е. 0!=0.
Да сколько можно говорить, различайте множество как совокупность его элементов и множество как объект!
"Но теория множеств полагает, что у меня есть множество (пустое)."
Теория множеств такого не полагает, не надо выдумывать. Правильное утверждение - "Множество ваших объектов - пустое". Видите разницу? У вас нет {} как объекта. У вас ничего нету. Но если определить множество по признаку "ваше" - получим пустое множество. Вы его не имеете!!!!!!
Если бы у вас было множество {} как объект - то множество "ваше" определялось бы как { {} }.
Ещё раз - совокупность элементов множества "ваше" - пустота, отсюда множество "ваше" - пустое. Но блин, вы не имеете это множество как объект!!!! Вы имеете все входящие в него объекты!!!!
Оттого и проблемы, что различаю. А вот {{1},1} — не различает, для ТМ и {1}, и 1 равноправные элементы. Ваши же слова: мы выкладываем из пакета доширак, и у нас остаётся пакет. И тут же — "У вас нет {} как объекта. У вас ничего нету". {1,2,3} — просто высказывание об 1,2,3. Да, высказывания можно тоже констатировать, посчитать и сгруппировать, но это объекты другой природы, другого порядка.
Полез в вики, дабы освежить ТМ, и вдруг обнаружил, что эта проблема довольно давняя, и то, что вы мне излагаете, официально называется "наивная теория множеств" и признано теорией противоречивой на основании парадокса Рассела. Решение Рассела практически совпадает с моими соображениями и предполагает иерархию множеств с запретом нарушения порядковой (типовой) однородности множества. Т.е., высказываясь о пустом месте, мы не можем одновременно высказываться о {} или 0, а когда говорим о {} или 0, то про пустое место забываем. {{1},1} — некорректно. Также некорректен постулат о "пустом подмножестве" для любого множества, ибо {{}} тогда нарушает принцип однородности.
Ох, что-то мы с вами друг друга не понимаем.
"А вот {{1},1} — не различает"
Как раз в данном случае такого не возникает. {1} и 1 воспринимаются строго как объекты.
"мы выкладываем из пакета доширак, и у нас остаётся пакет. И тут же — "У вас нет {} как объекта. У вас ничего нету""
В данном примере именно что не "различаете множество как совокупность предметов и как объект". В первом случае что было? У нас был реальный пакет с дошираком, то есть объект {1}. Мы совершили с ним действие и получили {} - тоже как объект, т.е. пустой пакет. А во втором случае, множества "ваше" как объекта у вас не было - пакета-то нет.
Что касается теории типов Рассела -
А я так-то ZFC использую, если уж на то пошло.
3+0=3, 3-3=0, так? Тонкая смысловая подмена совершается в тот момент, когда мы говорим: "0 является частью 3, и мы можем сказать, что 0 и 3 — равноправные вещи". Это не так. 0 — просто знак, означающий пустоту, "ничего нет". Когда мы прибавляем 0 к 3, мы ничего не прибавляем, а когда вычитаем 3 из 3, то получаем ничто. 0 — просто знак, чтобы это ничто зафиксировать. Знак 0 не является частью знака 3, а означаемое знака 0 не является частью означаемого знака 3. То же самое и с {}. Когда мы высказываемся о знаке, мы имеем в виду именно знак, а не произвольно связанное с ним означаемое. {{1},1} — это яблоко и слово "яблоко".
Дабы было более понятно: как вы определите P(x) для {{}}?
Извиняюсь соврамши. Расселовские правила ограничивают только вверх, дабы избежать рекурсии — высказывания о самом себе. Т.е. Рассел поставил заплатку на парадокс своего имени, и тем и ограничился, а жаль. Парадокс лжеца устранён, а парадокс 0=1 — нет.
Вот честно, парадокс "0=1" вы буквально вывели из ничего. Парадокса не было - и вдруг вы его придумали.
А Рассел - так-то теория типов убрала и собственно парадокс Рассела, и парадокс лжеца, и много чего. А 0=1 - не убрала, потому что его нету.
Не из ничего. А вот объект "множество" как раз выводится из ничего. P(x) — это просто мысль об объекте, и благодаря этой мысли вдруг возникает новый объект — множество. Если начальный объект — пустое место, то мысль о нём сразу создаёт непустое место — {}. Не было ничего, и вдруг всё изменилось и стало 1. Мне трудно принять такие правила, попробуйте меня понять. Невозможно об одном и том же думать, что оно 0 и 1 одновременно. Раздельно — вполне: есть пустое место, и есть знак "пустое место". Но это совсем не одно и то же, их нельзя складывать, сравнивать и объединять.
Я "множества" воспринимаю как массивы в программировании. Может, так будет удобнее?
" P(x) — это просто мысль об объекте, и благодаря этой мысли вдруг возникает новый объект — множество."
Вот один из принципов ZFC - P(x) - это просто мысль, да. Но чтобы получить с помощью этого предиката множество, нам - сюрприз - на самом деле нужно какое-нибудь другое множество, возможно подразумевая неявно.
Возвращаясь к примеру о "моём множестве" - как вы его получили - применив предикат "моё" к множество "объекты на этом столе", которое было получено из множества "объекты" применением предиката "находятся на столе" и так далее. Проще говоря, множества не возникают из ниоткуда - а из других множеств.
Касательно пустого множества - тут собственно одна из аксиом ZFC - "существует пустое множество". Где-то там, далеко. И вот вы смотрите на пустое место, и думаете: о! А ведь эта пустота подозрительно похожа на содержимое пустого множества: про любой объект можно сказать, что его нет в пустом множестве, и что его нет в пустоте. От того, что вы подумали "пустота - это внутренность пустого множества" - эта пустота не изменилась. Вы не получили себе персональную (лицензионную
) копию пустого множества. Это то же самое, если бы сказать "Это пустота. Мы описали её словами "Это пустота". У нас появились эти слова. Ой, а это уже не пустота, это слова!"
От того, что мы описали пустоту как внутренность пустого множества(или наоборот) - она не перестаёт быть пустотой.
Знаете, почему Рассел был не только математиком, но и философом? Потому что ТМ непосредственно соприкасается с философией, и у него тупо не было выхода — он просто вынужден был заниматься философией. ТМ — это определение, границы рассмотрения, основа построения моделей, и эта система немыслима без правил выбора, поскольку выбор всегда субъективен. ТМ — это правила выбора, и они не могут быть отделены от конкретного смысла. Превратить ТМ в конечный автомат — это всё равно что вооружить обезьяну гранатой. Вы можете соглашаться или не соглашаться с этим, но всегда помните — зачем, с какой целью эти правила созданы. Предназначение ТМ — в осуществлении целей. Какие они, чьи они?
ЗЫ. Щас медленно и трудно пишу философию коммуникаций, подобие витгенштейновского трактата, там все здешние экзерсисы очень пригодятся. Вы мне очень помогли, и ТМ благодаря вам хорошо осознал. Если есть ещё желание продолжить беседу о 0=1 — с радостию продолжу, это важно, на мой взгляд. Касательно прямизны и параллельности: задача вроде как решилась с помощью метрики, так что на эту тему пока затухаю (но выложу решение снова на обсуждение).
Касательно аналогии с массивом. Красиво, да. Но я долго отучался от квазивещественного восприятия кусков кода — это очень мешало правильному пониманию их работы. Код это код, — значки. Что массив, что содержимое массива. Когда мы на столбах рисуем букву М — это другое. Буква М принципиально отличается от того, на чём мы её нарисовали. То, чем объединены столбы — только в нашем уме. Массив — весь в нашем уме. Цикл — не роторный механизм, а значки, которые означают последовательность действий, не более.
Понимаете, что это "моё" так же легко могло быть, как и не быть? Если совсем точно, то его нет как факта? А потому его никак нельзя засовывать в одно множество с моим кошельком?
Здесь подлог с первого слова — нет существования. Нет существующего означаемого, есть только мысль "ничего нет". Если эта мысль достойна предиката "существует" — тогда да, но это существование совсем иное, чем несуществование означаемого.
Да блин жеж! Объекты не появились в призрачном виде только оттого, что их тут нет. Они вообще никак не появились, их тут не было и нет. Пустота не являет собой бесконечный потенциал форм. По крайней мере в логике. Буддизм — да, даёт такие намёки.
Да я как раз всю дорогу об этом! Есть пустота, а есть слово "пустота". Вопрос только в том, как относиться к слову "пустота". Если объясните правила, то будет намного проще беседовать.
Тут уместно вернуться к началу:
0=1 во всей красе. Карт нет, но комбинация — есть! Если бы мы сидели тетатет, я попросил бы вас показать пальцем эту комбинацию.
Чтобы два раза не вставать: включается ли в число элементов множества пустой элемент? То есть если он исчислим, то пустое подмножество понятно, но тогда оно не пустое. А если не исчислим, то непонятно подмножество {}. Понимаете ход мысли?
Честно говоря - ход ваших мыслей я не понимаю. "пустое подмножество" - это вы про подмножества пустого спрашиваете?
У {} есть только одно подмножество - оно само.
Нет-нет, я про дефолтное "подмножество {}" в составе любого множества.
Страницы