Буду краток. Вот:
- Прямая, повёрнутая вдоль направления, соединяющего любые две её точки, совпадает сама с собой.
- Любые две прямые одинаковы. Прямые, две любые точки которых совпадают, совпадают полностью.
Не знаю, насколько статья соответствует правилам АШ. Если не — удалите её.
Комментарии
Одну надо сделать прозрачной, а другую — в виде котёночка, это стандартный запрос.
Тогда уж правильнее будет - конгруэнтны, если пользоваться геометрическими терминами.
Дык конгруэнтны, канешно. "Одинаковы" — более общее и строгое условие.
Насчет строгости я бы поспорил. Одинаковые куртки у прохожих, как пример.
Одинаковые — они во всём одинаковые. Тут я даже заднего врублю: в направлении они не одинаковые могут быть. Спасибо за поправку.
Перспективный чат детектед! Сим повелеваю - внести запись в реестр самых обсуждаемых за последние 4 часа.
Повторюсь с прошлого спора - определения хромают.
Для начала, определите, что такое "повернуть вдоль направления". И что такое " направление". И как оно "соединяет 2 точки". И откуда у нас взялось "направление, соединяющее любые две точки заданного мн-ва" - может, такого и не может существовать вообще.
И да, постарайтесь не делать этого в R^m, даже несмотря на то, что пространства кроме R^3 вы не признание.
Соединить две точки можем? Вот и направление. Ваши метрики вдоль проезжих дорог оставьте себе — они местечковые какие-то.
направление не отвечает принципу "соединить"
направление - это вектор--)) и часто даже ноль-вектор у которого и точек-то нет-)))
У Евклида было понятие "вектор"?
так мы ограничиваемся Евклидом?-)))
Тады конечно никуда не годится-))
Если не ограничиваемся, то я кучу других определений прямоты наваляю, тогда вообще нет проблем. Старался не выходить за границы базовых интуитивных понятий.
Традиционно: что такое "соединить"? И в каком случае мы можем " соединить" две точки? И что у нас получается, "направление" - это множество из двух точек? Тогда как в "направлении" могут быть все точки бесконечного мн-ва? И т.д. и т.п.
Давайте так: вот скажем, что у нас множество точек - пространство, и его подмножества - объекты пространства. Какие свойства вам нужны, чтобы ваше определение работало?
А вам не кажется, что вот это вышенаписанное — просто ниачом? Попытка заболтать очевидную вещь? Все концепции, которые вы выставляете, это просто слова об абстрактном. Я могу их просто игнорировать, без всякого вреда для своих утверждений.
Ага, можете. Пока всё очевидно и вы пользуетесь этим утверждением чисто для себя.
Но как только вы показываете его другому человеку - ему моментально становится не очевидно. А выводы, которые которые он сделает на основе своего понимания этого утверждения, уже по кажутся не очевидными вам. Поэтому в математике и физике и прочих науках используют формализацию - формальное определение, формализованное доказательство.
Это как если бы вы мне сказали - чтобы быть богатым, надо больше зарабатывать и меньше тратить. Вам очевидно, мне - нифига.
И ещё одно предназначение формализации - это отсечение подразумеваемых свойств. Скажем, если вы формулирует определение прямой, неявно подразумевая что она может существовать только в R^1, R^2 или в R^3, в процессе формализации это поймёте.
Итак, что именно непонятно? Про вращение прямой? Про совмещение прямых? Только чтобы реально были непонятки, а то ведь можно и не понять, что собственно непонятно :)
1) Что это за объект - направление? Как мы вокруг него вращаем? Что это в принципе за операция - вращение? И ведь надо это определить без использования прямых, особенно косвенного.
2) Надо полагать, "совмещение прямых" это какое-то отображение пространства в пространство, при котором все точки "прямой 1" перейдут в точки "прямой 2". Какие должны быть свойства у данного отображения? Опять-таки, косвенно ссылаться на понятие прямой нам нельзя.
Гыгы. Для начала, чтобы у меня был хоть какой-то стимул: что такое "расстояние"?
Если пространство метрическое - метрика. Если нет - чёрт его знает.
Что такое "метрика"? Я не понимаю.
Хорошо. Тогда пусть мы задали на множестве точек функцию F из множества пар точек в рациональные числа, такую, что :
1) F(x, x) = 0 для любого x.
2) F(x, y) = F(y, x) для любых x, y.
3) F(x, y) + F(y, z) <= F(x, z) для любых x, y, z.
Такая функция называется метрикой.
Что такое "множество"? Что такое "функция"? Понятнее не стало.
Отступление 1.1 Понятие множества, как и любое другое исходное понятие математических теорий, не определяется. Ведь всякое определение содержит другие понятия, логически предшествующие определяемому; поэтому по крайней мере первое определение теории обязательно содержит неопределяемые понятия. В качестве исходных обычно выбирают понятия, в понимании которых не возникает существенных разногласий; более точно: различия в понимании которых не нарушают правильности ни одного положения теории.
Оказывается, что множество не определяется, так же как и точка.
Выше я привел пример с прямой на сфере Римана - на комплексной плоскости она прекрасно вращается. Сама сфера Римана и расширенная комплексная плоскость по сути одно и тоже. И поэтому что на сфере, что на плоскости - это одна и та же прямая. Хотя на сфере прямая становится "кривой" и её уже не повращаешь так, как это понимаете Вы. Кстати, а как Вы это понимаете?
Я тоже как и mk2
хочу в этом разобраться. И Вы. Давайте найдём общие определения. И я вот даже не поленился и перенабрал эти отступления из учебника "Дискретная математика для инженера" Кузнецов О.П. Адельсон-Вельский Г.М., Москва, Энергоатомиздат, 1988. Другого у меня нет. У Вас, наверное, другой учебник. Но ведь не может такого быть, чтобы математики не договорились бы друг с другом? Вроде на одном языке говорят. Или как?
Отступление 1.2 Рассмотрение способов задания множества приводит к мысли, что само понятие "точно задать множество" нуждается в уточнении. Такое уточнение совсем не просто, а его важность крайне велика и выходит далеко за пределы самой теории множеств. Язык множеств - это универсальный язык математики....
...Анализ возникших трудностей привел в первой трети XX-го века к бурному развитию области математики, получившей название оснований математики или метаматематики...
...Здесь укажем лишь, что одной из её основных задач является разработка средств задания математических объектов вообще и множеств в частности...
По учебнику функцией называется функциональное соответствие, когда каждому элементу множества A ставится в соответствие единственный элемент из множества B.
В свою очередь, соответствием между множествами A и B называется подмножество, которое получается с помощью прямого произведения множества A и множества B - это множество всех пар (a,b)
Таким образом всё сводится к множествам и подмножествам. Об этом говорится в третьем отступлении
Отступление 1.3 Для функций возникает тот же вопрос, что и для множеств: что значит "задать функцию"? По смыслу нашего определения задать функцию f: A -> B - это значит описать определяющее её подмножество AxB, поэтому вопрос сводится к заданию некоторого множества. Однако можно определить понятие функции, не используя языка теории множеств: функция считается заданной, если вычислительная процедура, которая по любому заданному значению аргумента выдаёт соответствующее значение функции....
...Уточнение понятия однозначной и результативной функции привело к созданию теории алгоритмов. Понятие алгоритма может быть принято за исходное при построении всей системы понятий математики. Такой подход к обоснованию математики, называемый конструктивным, допускает только те математические объекты и утверждения, которые могут быть получены с помощью алгоритмов...
...Однако последовательное проведение конструктивного подхода показало, что он требует более радикальной ревизии основных понятий математики, чем это кажется с первого взгляда
И если с множествами и функциями разобрались, теперь нужно, действительно, формализовать "проведение прямой", " направление", "повернуть вдоль направления" - как справедливо замечает mk2
Придётся выходит за пределы базовых интуитивных понятий, ведь делать революцию в математике это не шутка, одной интуиции далеко недостаточно. Вы же не просто так взяли и придумали, а давай-ка я буду вращать прямые?! Похоже, просто так от Лобачевского не отделаться
Вот если бы я хотел докопаться, я бы сразу вопросил: что такое "элемент"? что такое "задать"? что такое "соответствие"? Понятно, что есть дно, которое словами невыразимо. мк2 называет это аксиоматикой, но это внасамомделе глубже и страшнее — это онтология за пределами слов. Мы можем просто согласиться, что понимаем её одинаково (хотя проверить это у нас нет никаких средств). Вот такое шаткое основание не только у меня с определениями, но и у абстракционистов с их аксиомами.
Нет, не просто так. Невнятность пятого постулата проистекает из отсутствия внятного определения прямизны прямой, потому прямой стало позволено называть всё что угодно — окружность, параболу и всякое прочее. В своё время я дал определения прямой, которые были справедливо раскритикованы как рекурсивные. Нынешнее определение свободно от рекурсии и опирается на простые и понятные вещи. Я его считаю вполне завершённым.
А как узнать, что прямая повернулась вокруг своего направления ?
Если мы этого не знаем, то не можем делать вывод, что она совпала сама с собой
Если взять некоторую точку на прямой и повернуть эту прямую вокруг другой прямой, проходящей через взятую точку и перпендикулярную нашей прямой, то все точки нашей прямой повернуться на одинаковый угол.
А как зафиксировать поворот прямой вокруг направления, совпадающего с самой прямой?
Или признать бессмысленность такой операции
Или сказать, что поворот всей прямой означает поворот всех её точек вокруг направления нашей прямой на одинаковый угол.
Как узнать, что точка повернулась? В каждой точке прямой задать вектор, перпендикулярный направлению прямой в этой точке. Неважно, куда смотрит этот вектор, в каждой точке он может быть свой, главное, чтобы был перпендикулярен направлению прямой в этой точке.
Затем поворачиваем прямую. Всю. И смотрим, как повернулись все вектора в каждой точке. Если все вектора повернулись на одинаковый угол, значит нам удалось повернуть нашу прямую вокруг её собственного направления.
Если это так, тогда таким образом мы сможем вращать любую линию, не обязательно прямую. Ту же самую геоиду на земной поверхности. Вокруг направления.
А вообще, поворот одномерного объекта в одномерном пространстве невозможен
Какой параметр этого одномерного объекта изменяется в процессе поворота?
Придётся "расширять размерность" нашей прямой, если хотим вращать её вокруг своего направления
Осталось понять, как это определить.
То как я описал, не подходит, иначе так можно вращать любую линию, и она будет оставаться сама собой, и мы не узнаем, прямая она или кривая
Может лучше отказаться от поворота и перейти к расстояниям?
Линейный геометрический объект, расстояние любой точки которого до прямой, соединяющей любые другие две точки этого объекта, равно нулю, называется прямой.
Ну а там где расстояния, там и метрики, вспоминаем mk2
Смотрите, есть линия, и мы пока не знаем, прямая она или кривая. Берём две точки на ней, и поворачиваем её так, чтобы эти две точки остались на своих местах. Если все остальные точки остались на своих местах, то линия — прямая. Если нет, то линия — кривая. Более простого и однозначного способа определить прямизну линии я не вижу.
Другие подходы, с применением расстояния (а это штука относительная в разных метриках), неоднозначны, и я их сразу исключил из возможных вариантов.
кстати, вот ещё придумал пример
берём синусоиду. закрепляем её в двух точках, скажем в 0 и в пи
поворачиваем вокруг оси х на 360 градусов и получаем туже самую синусоиду
поворачиваем вокруг оси х на 180 градусов и получаем... ту же самую синусоиду!
Не-а, с синусоидой не получится, как и с любой другой кривой. Фишка в любых двух точках. Любая кривая попалится на этом условии.
Я хочу донести простую мысль, которая ничуть не сложнее вашей. Ясно, что у определений есть дно, ниже которого только мычание. Я на самой границе этого дна смог внятно описать прямоту прямой. Вы от меня чего хотите? Чтобы я признал, что ниже уже ничего нет? Так и у вас ниже ничего нет, я ваши метрики раздолбаю не утруждаясь ничуть — это такая же пустота на пустоте. Зачем?
Это дно называется аксиоматикой. А что я хочу - найти, как определение на грани вашего дна привести к стандартной аксиоматике - то есть найти цепочку понятий от её дна к вашему определению. Либо найти ваше дно и его аксиомы свести к стандартным. Либо в процессе этого найти противоречие.
А если вы таким же образом сведете определение прямой через метрику к вашей аксиоматика или докажете её противоречивость - буду только рад.
Самое дно — когда мы смотрим вдоль прямой и видим, что она реально прямая, то есть нигде не выступает за свои пределы. Можем повернуть её, и будет всё то же самое. Это отличает прямую от любой кривой.
Вот я внезапно хочу привести это определение к той самой стандартной аксиоматике. И что у меня получается? Мы упираемся в понятие "видеть", для начала. Возникает вопрос: что такое "мы видим из точки"? Очевидный ответ - проводим прямую. Ой, мы уперлись в понятие прямой, значит так определять нельзя.
И так далее.
Оно всегда будет. Нет описания мира, в котором мы отсутствуем. Вся наша жизнь, и наука в т.ч. — это непрерывная герменевтика.
ЗЫ. Герменевтика через умвельт, канешно. А он всегда с нами, и нам от него никуда не деться. Хотя желание избавиться от оного я вполне понимаю, хоть и не верю в результат.
Хорошо.
Но при этом ваше определение становится непригодным для использования другими людьми, т.к. его надо истолковывать. Такая вот вещь в себе.
А определения стандартной аксиоматики - вещь в стандартной аксиоматике. Соответственно, работаешь с описываемыми ей вещами - можешь пользоваться описанными ей инструментами. И ваше определение прямой - таким инструментом не является, а попыткам его таковым сделать оно сопротивляется.
Таким образом, ценность остаётся только для вас либо философская как объект спора.
Дык любое определение подлежит интерпретации — и в равной степени непригодно. Однако проще принять как факт "прямоту", чем "функцию".
Ух, с обессмысленными аксиомами... Да, ими можно двигать по установленным правилам, да кто и как проконтролирует результат? Его же тупо не с чем соотнести!
Прокомментируйте "0! = 1".
Строго говоря, факториал в точке 0 не задан. Как и результат деления на 0 любого числа.
Но чтобы никого этим не смущать, сказали что 1.
Это общепринятое соглашение — бессмыслица и позор. Никакого 0! быть не может исходя из самого смысла инструмента. Область определения функции — натуральный ряд без нуля (иначе все факториалы были бы равны нулю).
1. О чем я и сказал - "в нуле не определена"
2. А доопределили в нуле исходя из рекуррентного соотношения (n-1)! = n! / n.
3. иначе все факториалы были бы равны нулю - а почему, не поделитесь?
При ряде "1,2,3..." такая рекурсия неуместна — нет при n=1 значения n-1. Если же ряд "0,1,2...", то любое произведение n*n+1*n+2... автоматически =0.
1. Натуральные числа - числа 1, 2, 3, ...., n, n + 1, ...
2. Факториал n - "произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно"
3. Также, выполняется рекуррентное соотношение n! = (n-1)! * n
4. Доопределим факториал в точке 0 как 1 - сохраняя рекуррентное соотношение.
5. Профит!
Ну вот и приехали. Здрасьте, девочки! С какой такой стати "доопределим"? Вот таким доопределениям я должен доверять? В чём смысл? Сколько комбинаций можно составить из отсутствия карт?
1. Кстати да, спасибо, что напомнили! Из 0 элементов(карт) мы можем составить ровно 1 комбинацию - пустую. Очередное свидетельство логичности данного доопределения.
2. Суть доопределения в том, что на исходном множестве функция не меняется. Так что сидите на натуральных числах, и вы ничего не заметите. А мне удобно иметь "факториал-штрих", который определён от 0. И я беру и доопределяю исходную функцию "факториал".
3. Не доверяйте, кто же вам мешает? Но тогда задумайтесь, почему вы доверяете остальным математическим штукам, которые вывели математики на том же наборе аксиом? Например, что площадь круга = pi * r^2. Вы ведь на своём "интуитивно понятном" базисе их не доказали.
1. То есть вы реально видите то, чего нет?! Тогда я спокоен, ибо понял суть абстрактной математики.
2. То же самое.
3. Я ничему не доверяю, после 0! = 1 перепроверяю всё, что существенно. пи эр квадрат — вполне достоверно :)
1. Пустое множество - это множество. И оно такое одно.
3. "Тут читаем, тут не читаем, а тут рыбу заворачиваем". А не подскажете, как пи эр квадрат вывести "интуитивно"?
1. Вот в этом мне никогда не прийти к согласию с абстракционистами. Если чего нет, так его тупо нет. Пустое множество — это то, чего нет. Ноль. Пусто.
3. Да это тупо эмпирический факт. Есть радиус, есть окружность, их можно померить и соотнести. А вот вывести — хрен там. Так что ещё вопрос, кто там рыбу заворачивает :)
1. Скажите, может ли существовать пустой пакет? И чем множество от него отличается?
1б. Или по-другому. У нас есть коробка, на которой 2 переключателя - вкл. и выкл. Сколько существует состояний? А теперь - у нас есть 0 переключателей на этой коробке, на неё ничто влиять не может. Сколько у неё существует состояний теперь?
3. Померить, ага. Между прочим, вы таким образом приняли на веру теорему о предельном переходе. С другой стороны, мне как-то сложно найти пример из математики, про который нельзя сказать либо "я это ручками померял" либо "этого не существует".
1. Может. Может быть пакет, или может не быть пакета. Но уж если пакета нет, то — нет его.
1б. Состояние, если мы его считаем, есть. Независимо от наличия переключателя.
3. Вы под мою наивную веру в пиэрквадрат пытаетесь впарить отвратительные вещи типа 0!. Вы плохой.
Вообще, как вывести, основываясь только на абстракциях, этот пиэрквадрат?
1. Пустое множество - это пакет, внутри которого ничего нет. Но сам пакет есть.
1б. Так сколько вы насчитали состояний-то?
3. Не понимаю человека, который верит в определенный интеграл, но ругается на простое доопределение функции в точке. Такое ощущение, что в собственно интеграл вы не заглядывали.
Страницы