1) Три "ботаника". Лето, жара, речка. Деревенским хулиганам в сельмаге в долг не продают. Они пришли в пионерский лагерь и поймали троих вожатых. "Сняли" с них деньги и весело решают, кто же из ботанов побежит за водкой.
А эти трое вожатых как раз клеили и разрисовывали маски для праздника - две белые и три цветные, всего пять масок. Хулиганы надели на каждого ботана одну из этих пяти масок, а две сожгли. Вожатых посадили в кружок так, что каждый видит других двоих, но своей маски увидеть не может. Кто первый поймет, какая у него маска — тот, значит, и побежит за водкой и прочим, а над остальными будут глумиться. Сидят молча, думают.
Как самый умный ботан догадался, что у всех троих оказались маски цветные, а сожгли белые?
2) Три путника решили перекусить в складчину. У одного было с собой 5 ломтей хлеба, у другого — 3. У третьего не было хлеба, но он обещал заплатить. Двое согласились. Когда все ломти хлеба были поровну разделены и съедены, третий путник заплатил 8 таньга. Как справедливо разделить полученные деньги? Кому сколько?
3) Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. А может и не открывать. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой?
Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. В чужом конверте равновероятно может находиться 2*X или X/2. Поэтому если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет (2*X + X/2)/2=(5/4)*X, то есть больше, чем сейчас. Значит, обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Или как? Где в их рассуждениях кроется ошибка?
4) (Повторно) Даны 2 точки на плоскости на расстоянии 1 друг от друга. Укажите алгоритм построения окружностей с РАДИУСОМ 1/n, где n - 1,2,3....
Построение осуществлять только и исключительно с помощью "математического" циркуля - фиксирует расстояния, одна ножка с иголкой, другая с тонким грифелем. Рисует окружности, делает засечки. Кроме циркуля ничего нет. И только две точки. Ранее была задача: Разделить произвольный отрезок, соединяющий две точки, на две равные части...
5) (Повторно) Елочные игрушки - 2 красных, 2 зелёных и 2 синих, всего 6 штук. В каждой паре игрушек одинакового цвета одна легче другой, причём известно, что все лёгкие игрушки весят 10 грамм, а все тяжёлые - 20 грамм. Легкие игрушки будем вешать на тонкие верхние веточки, а тяжелые на нижние крупные.
В вашем распоряжении чашечные весы без гирь. Как определить лёгкие и тяжёлые игрушки за два взвешивания?
6) Рассмотрим бесконечную ступенчатую пластинку, состоящую из прямоугольников: первый из них — квадрат со стороной 1 см, второй имеет размеры 0,5 × 2 см, а каждый следующий вдвое у́же и вдвое длиннее предыдущего. Площадь каждого прямоугольника равна 1 см2, а общая площадь пластинки бесконечна. Чтобы всю её покрасить, потребуется бесконечное (по объёму или массе) количество краски. Это на первый взгляд.
Однако формально рассуждая, можно предложить такую модель окраски, что краски понадобится совсем немного, не более 7 кубических сантиметров. Как?
7)
Берем лист клетчатой бумаги. Режем его как показано на верхней картинке. Потом перекладываем части как на нижней картинке. И... Один квадрат размером с целую клетку остался лишним (лучше взять масштаб 1 см). Куда он пропадает?
8) Попробуйте самостоятельно закончить афоризмы с "веселым цинизмом", потренируйте способность к "хуцпе":
8.1) Мало знать себе цену — надо еще пользоваться *****
8.2) Если вам долго не звонят родственники или друзья, значит *****.
8.3) Красиво жить не запретишь. Но *****
8.4) В историю трудно войти, но легко *****
8.5) Обидно, когда твои мечты сбываются *****
8.6) На своих ошибках учатся, на чужих *****
8.7) Пока семь раз отмеришь, другие *****
8.8) Мало найти свое место в жизни, надо *****
8.9) Если человека нельзя купить, то его *****
8.10) В любом из нас спит гений. И с каждым днем *****
8.11) Из двух зол я выбиpаю то, которое *****
8.12) Добpо всегда побеждает зло, значит, кто победил *****
9) Спросили мудреца - Что вас удивляет в людях? Мудрец ответил, - Люди устают от детства, и спешат стать взрослыми, но потом желают ***************1. Теряют здоровье в погоне за богатством, но потом тратят это богатство, чтобы ***************2. С тревогой думая о будущем, забывают настоящее, и не живут ни в настоящем, ни в будущем. Живут, как будто никогда и не умрут, и умирают, как будто ***************3.
Комментарии
все верно, только не кривая а слегка ломаная. КОгда начертим тщательно и проведем прямую, то увидим, что в этой иллюзии кривой кажется именно прямая гипотенуза :)
Вы правильно указали про тангенсы, это решение
8.1) Мало знать себе цену — надо еще пользоваться услугами маркетолога
8.2) Если вам долго не звонят родственники или друзья, значит заняли денег не у тебя
8.3) Красиво жить не запретишь. Но делать это нужно за счет других
8.4) В историю трудно войти, но легко её переписать
8.5) Обидно, когда твои мечты сбываются - приходится увольнять весь отдел планирования
8.6) На своих ошибках учатся, на чужих делают состояние
8.7) Пока семь раз отмеришь, другие распилят и продадут тебе в 7 раз дороже
8.8) Мало найти свое место в жизни, надо уметь впарить его лохам
8.9) Если человека нельзя купить, то его уже кто-то купил до вас
8.10) В любом из нас спит гений. И с каждым днем цена просыпания все возрастает
8.11) Из двух зол я выбиpаю то, которое подороже продам
8.12) Добpо всегда побеждает зло, значит, кто победил - Хуцпа
1-3,5 ясно
Про построение: линейки тоже нет? Тогда неясно.
посмотрите мое решение на третей странице настоящего Выпуска[27] в адрес ботаника12
1. Рассуждения таковы: Двух белых, очевидно, нет, иначе как минимум одну я бы видел. Но если бы на мне была белая, то любой из двух партнеров, видя такж, что белых не две, объявил бы, что на нем цветная. Но раз все молчат, то на мне цветная!
2. Напрашивающийся ответ 3+5, естественно, неправильный, т.к. путники ели свой хлеб тоже, а не отдали весь третьему. Каждый съел по 8/3. Следовательно, первый отдал третьему 5-8/3 = 7/3, а второй 3 - 8/3 = 1/3. И вознаграждение распределяется пропорционально : 7 таньга и 1 таньга.
очень четкие рассуждения в обеих задачах
4. Если с двумя циркулями ,
имеем отрезок АВ
у 1-го циркуля радиус не меняется
1. выбираем произвольную точку D по острым углом к отрезку, например правее и выше него
2. строим 1-ым циркулем от точки А дугу (или засечку) по направлению к точке D (радиус запоминаем)
3. 2-ым циркулем строим из точки D касательную дугу к этой дуге - на пересечении получаем новую точку
4. 1-ым циркулем от полученной точки строим новую дугу по направлению к точке D с тем же самым радиусом, что и в первый раз
Повторяем так n- раз
Мы получили n точек, расположенных на одной прямой АD на равном расстоянии
5. n-ую полученную точку обзовём например С,
6. Далее строим с помощью циркуля из точки n-1 отрезок, параллельный ВС - получим новую точку на отрезке АВ, обзовем ее X
отрезок XB будет иметь искомую длину 1/n
строим касательную к касательной?
в задачке есть лишь одна прямая линия - изначальный отрезок длиной 1, все остальное - окружности.
Зы, я вам завидую) потому что подглядел ответ и теперь не могу гордится своей догадливостью(
имелась в виду касательная дуга, поменял, чтоб стало понятней,
вообще такие вещи проще рисовать, чем объяснять на пальцах,
на 6 пункте тоже придется попыхтеть - нетривиальная задачка для циркуля, но решаема
не, все равно не понятно. Вот вы построили отрезок АД, дальше на этой прямой строите ДС, СЕ, ЕФ и т.д куча отрезков, равных АД. И что дальше?
Ладно, не хотите рисовать, то и не отвечайте. Все равно ниче не понять
дальше по теореме Фалеса
при чем тут теорема Фалеса...
точку D выбираем так, чтобы между ней и A можно было разместить n точек ( п.1) , потому я и написал выше и правее
второй рисунок, только наклонная прямая начинается из точки А, теорема все равно будет верна
Ну, тогда мы возвращаемся обратно к исходной задаче - как поделить отрезок (теперь уже AD) на n частей.
D - это точка для иголки циркуля, а части мы рисуем последовательно от точки А до точки С
Возьмем k танков. Нет, k мало, возьмем m танков.
да хоть миллион, главное подходящий циркуль и достаточно места для рисования
а, понял, что имеете в виду. Но тогда как нарисовать циркулем параллельную прямую?
а, понял, что имеете в виду. Но тогда как нарисовать циркулем параллельную прямую?
вы ниже сами показали, как примерно это делается, понадобится нарисовать три окружности и появляется еще одна точка прямой, а зная направление обеих прямых, мы уже сможем найти и саму точку пересечения
конечно метод сложнее в конце - но тоже рабочий )
не, моим способом можно нарисовать не линию, а серию точек на прямой, с заранее жестко заданным шагом. У вас же нужна случайная точка.
у меня три точки уже известно, а так находится четвертая для параллельной прямой
а дальше например методом инверсии, определяем искомую точку пересечением этой прямой с АВ,
есть более простой (школьный) способ, но без циркуля не вспомню,
метод инверсии более общий и для более широкого спектра задач в геометрии
я не говорил, что невозможно найти точку на параллельной прямой циркулем. Я уверен, что с одним лишь циркулем не получится построить случайную точку на прямой.
Так она не случайная, она есть пересечение двух четко обозначенных точками прямых, а это уже совершенно определенная точка.
Между прочим как раз сторонники метода инверсии говорят, что с помощью него, можно с помощью одного циркуля решать любые задачи для циркуля и линейки, но я не приверженец, так как сам метод довольно громоздкий.
На математическом кружке в школе такие штуки находили, что диссертации можно было писать, но СССР же был, а счас уже помню только как циркуль выглядит )
На самом деле, все проще и красивее)
а разве я утверждал, что это один единственный вариант решения?
выложите свой, если знаете
АС = АB, АО = 3 АB (по построению ;) )
ACO подобен ACD, следовательно AD = 1/3 AC = 1/3 AB
ничего не понял
как строили циркулем АО? имеется в виду же, что бумага без клеток
и где подобие? совершенно разные фигуры
красная линия есть исходный отрезок, и она равна зеленой. Очевидно, что так можно продолжать бесконечно.
Треугольники разные, но таки подобные)
на основании чего?
подумайте) все нарисовано)
это не ответ,
вы утверждаете, что они подобны, а не я
забьемся на 100р, что все необходимые сведения для доказательства подобия уже есть на рисунке?
но вы же их не привели, а я вам привел в доказательство своей версии теорему Фалеса,
зачем мне забиваться с вами? соггласен, что такое решение попроще, но без док оно выглядит абсурдно
Жадина!
AC, CD и AO, ОC - радиусы, след-но стороны равны, т.е. треугольники равнобедренные. Они имеют общий угол. Из равнобедренности следует, что и второй угол у них одинаков. И соответственно третий никуда не денется и будет равен. Из равенства углов следует подобие треугольников со всеми вытекающими следствиями.
Здесь другой вариант решения: http://aftershock.news/?q=comment/2128841#comment-2128841
хы, с какого перепугу?ай, не, сам же рисовал))осталось дело за малым, доказать что АВ = 1/n
1. Треугольники ОА1В1 и ОА2В2 подобны с коэффициентом подобия n. Таким образом А1В1=А2В2/n, а А2В2=1, т.е. А1В1=1/n.
2. Рассмотрим фигуру образованную двумя отрезками ОА2 и ОА3 и дугой ОА3. При повороте этой фигуры вокруг точки О на угол равный 2*аrcsin(1/2n) получается фигура состоящая из отрезков ОВ2, ОВ3 и дуги ОВ3. При этом точка А1 лежащая на окружности с радиусом 1 переходит в точку В1. Соответственно точка А переходит в точку В. При этом АВ=А1В1=1/n.
Шикарная графика! У меня, кстати, в том Выпуске эти картинки не высветились, ъхотя они были Вами сделаны еще в ноябре. Или сегодня? Редакцию коммента провели сегодня?
Шикарная графика! Довольно понятная, если всем понятно, как мы строим радиусы произвольной длины, Ну, надеюсь.
Спасибо!
нет. нарисовал сразу.
весь день думал над задачей. к вечеру осенило.
Потом почитал Ваши старые задачки. Там был разбор подобной задачи. Только там отрезок делился пополам. Smogg подобное решение привел. Оказывается можно двумя способами решить.
если все так плавно переходит-поворачивается, то почему O, A, A3 не лежат на одной прямой?
потому что это точки одной окружности.
ок, теперь доказывайте, что АВ=А1В1. А2В2=А3В3 видно, что равны, ибо радиусы и хорды.
Пусть r=1, а R=r*n. А2В2=2*R*sin(arcsin(1/2n))=r,
тоже будет справедливо для А3В3.
Выразим А1В1 и АВ через функцию поворота вокруг т.О на угол arcsin(1/2n):
А1В1=2*А1О*sin(arcsin(1/2n)), АВ=2*АО*sin(arcsin(1/2n)), поскольку А1О=АО=r, то А1В1=АВ.
если я нигде не ошибся.
вот я и спрашиваю - отчего углы А1ОВ1 и АОВ равны? У меня ощущение, что при n стремящемся к бесконечности или к нулю А1В1 и АВ сливаются, а на середине же смещение не пропорционально.
вся окружность с радиусом R поворачивается относительно т.О.
Для меня же очевидно, что окружности r и R поворачиваются на разные углы.
Мы поворачиваем одну окружность с центром в т.А2 на угол 2arcsin(1/2n) и получаем окружность с центром в т. В2. Все точки этой окружности отстоящие от центра поворота (т.О) на одинаковом расстоянии имеют одинаковое смещение.
можете повторить еще 20 раз про поворот, но это доказательством не станет. Потому что вы не поворачиваете, а рисуете вспомогательные круги, и уже это называете поворотом.
Страницы