Возьмём одинаковых зверюшек и разнесём их по трём разным континентам. И бросим их там дав им хорошего пинка под зад - плодитесь и размножайтесь, твари. Через тысячи лет мы, возможно, обнаружим три совершенно разных вида животинок совсем непохожих друг на дружку. Такое происходит не только со зверушками, но и с идеями тоже. Притом гораздо быстрее, тут тысяч лет не нужно, так как разум сам по себе является сильнейшим мутагеном для любой идеи.
Ещё в средние века стало ясно, что с этим миром что-то не так. В гармонию музыки сфер вторгались какие-то злобные демоны из потустороннего мира, тряся астролябии, алхимические колбы, и мухлюя с игральными костями и картами (в античности, впрочем, то были боги, а не демоны). Особенно всех ставила в тупик игра в кости - вроде бы тупая игра, не шахматы, но рука дьявола в ней чувствовалась особенно сильно. Дьявол всегда, когда хотел, обыгрывал творение божье. У учёных монахов Европы появилась сверхзадача: обыграть чёрта в кости. А как? Вот и задумались монахи…
Сущностью творческой эволюции Анри Бергсона является развитие по расходящимся направлениям. Всё мутирует, всё изменяется. Так произошло и с идеей вероятности-шанса. Минули столетия. К 30-ым годам прошлого века вполне оформились три основных вида теории вероятностей. Три зверушки, чем-то очень похожие, но всё же различные. Первая - это Байесовская статистика, вторую условно назовём Колмогоровской теорией вероятностей (условно, так как в её построении очень-очень много кто поучаствовал включая Макса Планка и даже Эйнштейна), и третья - волновая механика. Именно так: квантовая (волновая) механика - это мутант теории вероятностей, а в частности мутант её подвида: теории марковских процессов. Что ж, не всякий разглядит в голубе птеродактиля. Но мы сможем.
Байесовскую теорию мы обсуждали ранее (Говорящее кресло Стивена Хокинга), поэтому касаться её здесь не будем несмотря на то, что она действительно весьма любопытна сама по себе. Остановимся на волновой механике и Колмогоровской теории.
Джеймс Максвелл был одним из первых, кто привнёс идею вероятности в физику. Он напрямую связывал хаос с демонами из потустороннего мира. Однако максвелловские демоны были рациональны и даже полезны, а хаос – молекулярным: хаотические столкновения молекул влияли на измерительные приборы приводя к тому, что любые измерения имели разброс. Но главное - Максвелл перетащил функции распределения из математики в физику, а в частности распределение Гаусса.
Потом появилось знаменитое уравнение Больцмана, где функцию распределения можно было найти решая это уравнение. Больцмановская функция распределения частиц определена в шести-мерном конфигурационном (фазовом) пространстве координат и импульсов (или скоростей, что неважно), а само уравнение описывает эволюцию этой функции. Это интегро-дифференциальное нелинейное уравнение, содержащее “интегральный” столкновительный член в правой части, который учитывает баланс частиц приходящих в элемент фазового объёма и уходящих из него в результате столкновений. Решение этого уравнения (даже численное) до сих пор представляет большие трудности. Однако, считая моменты, то есть умножая уравнение на единицу, скорость, квадрат скорости, смешанные произведения компонент скорости, и тд., и интегрируя по всему пространству скоростей, можно получить уравнения газовой динамики (Эйлера) путём "обрезания" бесконечной цепочки уравнений Боголюбова.
Таким образом из молекулярного хаоса вылупились хоть и нелинейные, но вполне детерминистические уравнения. Это очень красивый результат! Более того, стало ясно, что с функцией распределения можно поступать так же, как и с плотностью вероятности вычисляя моменты, а зная моменты мы знаем всё.
У уравнения Больцмана есть линейный аналог, а именно уравнение переноса излучения (the radiative transfer equation). Это тоже интегро-дифференциальное уравнение описывающее фотоны в рассеивающей среде в пяти-мерном фазовом пространстве. Левая часть уравнения говорит нам сколько фотонов ушло с какого-то направления распространения света в результате рассеяния и абсорбции, а интегральный справа - сколько пришло с других направлений. А пяти-мерное оно потому, что в каждой точке пространства скорость света одинакова по всем направлениям, другими словами в пространстве скоростей фотоны распределены на сфере - отсюда минус одна размерность.
Уравнение очень любопытное, но в данном случае оно интересно нам тем, что без абсорбции первые два момента этого уравнения приводят к уравнению Фоккера-Планка (часто называемым уравнением диффузии или приближением Эддингтона). Возникает вопрос: почему моменты уравнения Больцмана не дают Фоккера-Планка, а моменты уравнения переноса дают. Ответ в общем-то прост: процесс рассеяния фотонов в мутной среде - марковский. Что это такое?
Рассмотрим какую-нибудь случайную величину, зависящую от времени. Пусть для определённости это будет координата частицы x(t), фотона, например. Если последующее значение x за один тик времени τ зависит только от предыдущих значений, а, скажем, не от “внезапного” изменения свойств среды или, ха-ха-ха, климата, то такое блуждание частицы - марковский процесс. Куда прыгнет частица определяется плотностью вероятности w(x,t).
Эволюция плотности вероятности подчиняется уравнению Фоккера-Планка, которое получается из более сложного уравнения, если ограничиться только первыми двумя моментами: средним значением <x> = ∫xw(x,t)dx и средним от квадрата <x2> = ∫x2w(x,t)dx (или вариации, не важно). Это уравнение обычно записывают в "гидродинамической" форме как уравнение непрерывности: ∂tw + ∂xS = 0 (так более стильно, полагаю), куда входит поток вероятности (именно так: “поток вероятности”, что будет важно в дальнейшем): S = K₁w - (1/2)∂x(K₂w), где ∂t и ∂x - операторы взятия частных производных по времени и координате, соответственно.
Несмотря на гидродинамическую форму, это параболическое уравнение типа диффузии, содержащее член со второй производной по координате. Его простота обманчива. Всё дело в коэффициентах. В общем случае они такие: K₁ = <Δx>/τ, и K₂ = <Δx2>/τ, где Δx = x(t + τ) – x(t). Другими словами выражаются через производные от моментов по времени, а сами моменты вычисляются с помощью искомой плотности вероятности w. То есть, уравнение Фоккера-Планка по своей сути нелинейное (есть и линейные аналоги, разумеется, - рассеяние фотонов тому пример). Тем не менее в некоторых случаях коэффициенты можно угадать. Или найти из "физических соображений", что в принципе то же самое, что и угадать.
Колмогоров существенно развил и математически формализовал теорию вероятности и теорию марковских процессов добавив также своё, сопряжённое к Фоккеру-Планку, уравнение. Да и вообще очень много сделал, поэтому мы и назвали эту зверушку Колмогоровской.
Так сложилось, что Колмогоровская зверушка живёт и питается на полянке теории множеств. Метаболизм её тушки основывается на операциях манипулирования со множествами такими как разбиение множеств на подмножества, а также операциями пересечения, объединения, дополнения, симметричного дополнения и тд., задающими так называемую σ-алгебру (как в арифметике мы поступаем с числами - делим, складываем, вычитаем и умножаем). Множества "перевариваются и усваиваются" с помощью теории меры, то есть множествам ставится в соответствие какое-то число, и далее на основе меры считается вероятность.
Правомерно спросить: а можно ли жить без всех этих σ-алгебр, борелевских множеств, меры Лебега в конце концов? Ответ положительный. Действительно, при решении уравнения Фоккера-Планка часто раскладывают искомую плотность вероятности по ортонормированному функциональному базису (пример: ряды Фурье). И сделав всего один шажок вперёд - маленький для человека, но огромный для человечества - мы попадаем в Гильбертовы пространства. В них и обитает другая зверушка, родственица этой. А что у нас с ней?
С начала прошлого столетия уже было известно несколько странных свойств потустороннего мира, и прежде всего интерференция субатомных объектов. Поэтому в создании волновой механики особую роль сыграла волновая оптика. Из оптической аналогии естественным образом следовали также и соотношения неопределённостей Хайзенберга.
С одной стороны комплексные функции хорошо подходили для описания интерференции и дифракции, как это и делалось в оптике. Но с другой стороны плотность вероятности должна быть вещественной и положительной функцией. Всё это необходимо было учесть, и поэтому "тупо" копировать теорию марковских процессов не получалось.
Более того, плотность вероятности в новой теории должна была зависеть от начальных условий самым простейшим образом, то есть начальные условия не могут содержать производных по времени от самой плотности вероятности, что подразумевало уравнение первого порядка по времени.
Первый порядок по времени являлся существенным условием ещё и потому, что дисперсионное соотношение де Бройля связывало частоту с квадратом волнового вектора свободной частицы двигающейся в определённом направлении (без всяких минусов и плюсов появляющихся при извлечении, например, квадратного корня), а сам квадрат волнового вектора недвусмысленно указывал на вторую производную по координатам. Именно это последнее условие, конечно, подразумевало что-то à la уравнения Фоккера-Планка.
Были и другие условия, такие как "нечувствительность" плотности вероятности к выбору нулевого уровня энергии (в нерелятивистской версии). Это тоже был намёк на то, что нулевой уровень должен был бы входить в комплексную экспоненту.
Какой из намёков оказался решающим история умалчивает. Макс Борн и Пол Эренфест по аналогии с электродинамикой, ставшей основой волновой оптики, ввели понятие волн вероятностей, где какая-то комплексная функция ψ играла бы роль электрического и/или магнитного полей, и чей квадрат абсолютного значения давал бы плотность вероятности, а именно w = ψ*ψ, что сильно смахивало на формулу для плотности энергии электромагнитного поля. И не случайно.
Уже после войны Шрёдингер, отдыхая на лыжном курорте с одной из своих жён пока другая в очередной раз развлекалась где-то в Гёттингене с Хер-мэном Вайлем (H. Weyl), придумал уравнение для волновой функции ψ, удовлетворявшем всем вышеперечисленным условиям и похожим на уравнение Фоккера-Планка. Но с одним существенным различием: первая производная по времени входила в уравнение вместе с мнимой единицей: iℏ∂ψ/∂t = Hψ, где H - Гамильтониан.
Что даёт мнимая единица? Так, если представить волновую функцию как сумму вещественной и мнимой частей: ψ = U + iV, то при подстановке её в уравнение Шрёдингера видно, что вещественная часть выражается через мнимую, а мнимая через вещественную. То есть, мнимая единица их "спутывает", и ни та, ни другая части по отдельности не являются решениями уравнения Шрёдингера, а только вместе. А это уже что-то новенькое, чего не было в оптике. И действительно, оптическое волновое уравнение - второго порядка по времени и по координатам (гиперболическое), из чего следует, что при подстановке f = U + iV вещественная часть выражается через саму себя, и мнимая тоже. Одна из них избыточна. Это различие между волновой механикой и оптикой принципиально и означает, что уравнение Шрёдингера по-сути является системой из двух "спутанных" уравнений для двух вещественных функций. Тогда w = U² + V².
Далее, если продифференцировать по времени плотность вероятности (w = U² + V²) и выразить производную по времени от вещественной части через мнимую, а мнимую через вещественную с помощью уравнения Шрёдингера, то получим аналог "гидродинамического" уравнения неразрывности Колмогоровской теории, но с тем различием, что и вещественная и мнимая части волновой функции входят в поток вероятности на равных. Уравнение неразрывности особенно просто выглядит для свободной частицы, где поток вероятности будет таким: S = (ℏ/m)(U∇V - V∇U). Разумеется, и U и V можно написать непосредственно в терминах ψ* и ψ.
Теперь имея в руках молоток и отвёртку можно начинать забивать в голову гвозди и вкручивать шурупы. Можно сперва посчитать среднее значение координаты частицы воспользовавшись плотностью вероятности: <x> = ∫ψ*xψdx. Далее таким образом можно найти и все моменты координаты xn и среднее значение какой-нибудь функции от координат f(x). А что с импульсом p = ℏk? Да в общем-то так же. Применим к волновой функции преобразование Фурье и посчитаем: <p> = ℏ∫ϕ*kϕdk, где ϕ - Фурье образ ψ в k-пространстве. Но всё же нам “интересно посмотреть”, как будет выглядеть среднее значение импульса частицы в координатном пространстве. Для этого применим обратное преобразование Фурье к выражению для <p> и найдём, что импульс выражается через производные по координатам, то есть он стал оператором p = -iℏ∇ действующим на волновую функцию. Подобным образом получаются и другие операторы, такие как, например, оператор энергии (Гамильтониан): H = p²/2m + V(r), где V(r) потенциал кулоновского поля.
Средневековые монахи и не подозревали как сильно отличается потусторонний мир от мира божьего. Черти субатомного мира оказались настолько циничными и безжалостными, что лишили частицы самых основных и естественных прав вроде бы данных им от рождения Богом, таких, например, как право иметь траекторию, положение в пространстве и тд. И как же теперь быть с законами Ньютона? Но волновая механика и здесь берёт чёрта за рога: нет и не надо. Средних значений (мат-ожиданий) вполне достаточно. А они есть.
С этого момента мутировавшая зверушка начала отращивать когти и клыки: Шрёдингер с австрийского лыжного курорта вернулся не только полностью удовлетворённым, но и с решением своего уравнения для атома водорода, где было всё что надо, включая и дискретные уровни энергии. Стало так же ясно, что не нужно каждый раз считать моменты используя плотность вероятности ψ*ψ, а достаточно подействовать нужным оператором на волновую функцию. А так как среднее значение - это всё равно число, а волновая функция нормирована, то число выносится, а интеграл даёт единицу (в случае собственных функций, об этом чуть ниже). Вот и всё.
А что у нас в результате с соотношениями неопределённостей? Да вроде всё в порядке. Можно посчитать, например, корреляцию (x - <x>)(p - <p>), что по сути то же, что и ΔxΔp, и убедиться, что она всегда больше или равна постоянной Планка. Более того, неопределённость ΔxΔp строго равна постоянной Планка, то есть минимальна, когда координата x распределена по Гауссу. Частица находится “в покое” танцуя вокруг своего среднего значения - танцы-шманцы в субатомном мире.
Со временем в квантовой механике сложился и свой кокни диалект отличный от скауза Колмогоровской теории. Так, под действием оператора L стали понимать измерение случайной величины, называя последнюю наблюдаемой. Получалось так, что многократное действие оператора L на волновую функцию в общем случае приводило к разбросу значений наблюдаемой. Но наибольший интерес представляли случаи, когда действие оператора давало одно и тоже значение. То есть, когда вариация наблюдаемой обращалась в ноль: ∫ψ*(L² - <L>²)ψdx = 0. Из этого условия следовало, что волновая функция должна удовлетворять уравнению Lψ = Cψ, где C - число. Такие функции стали называть собственными функциями оператора L, а числа C собственными значениями, соответственно (впрочем, задачи на собственные функции и числа были известны с 19-го века, но не в операторном виде). Таким образом собственные значения являются мат-ожиданиями наблюдаемых когда система описывается собственными функциями.
В дальнейшем для нас важно следующее: если операторы коммутируют, то есть соответствующие наблюдаемые могут быть измерены одновременно с "бесконечной точностью", то они имеют одни и те же собственные функции. Так, например, у операторов координаты и импульса частицы нет общих собственных функций, так как они не коммутируют, что видно из соотношений неопределённостей. А оператор углового момента вдоль выбранной оси z и квадрат оператора полного углового момента коммутируют, и, значит, у них существуют общие собственные функции.
Что ж, мы вкратце описали процесс творческой эволюции двух теорий, а теперь задействуем этих зверушек в деле и посмотрим какая из них зубастее.
Рассмотри следующее: Допустим из полости, или с поверхности металла вылетают электроны. Выберем ось z и будем измерять ориентации спинов вдоль оси z у каждой пары электронов. И поинтересуемся: какова вероятность того, что спины антипараллельны? Спутанности тут никакой нет, просто статистика.
Что нам говорит Колмогоровская теория?
Множество событий состоит из трёх элементов: спины ввёрх, спины вниз, и спины антипараллельны при условии неразличимости электронов (то есть измеренный угловой момент пары равен или +ℏ, или -ℏ, или 0). Таким образом, событие "спины антипараллельны" имеет вероятность 1/3. Если бы электроны были классическими частицами, то есть их можно было бы пометить как монетки, то 1/2. Это всё, что она в принципе может сказать.
А что скажет волновая механика?
Мы интересуемся мат-ожиданиями значений для системы из двух спинов. Они получаются в результате действия соответствующего оператора, в данном случае двухчастичного оператора спина вдоль оси z, на собственные волновые функции. Мы уже знаем, что собственные функции оператора "суммы проекций спинов на ось z" (совместного углового момента) такие же, как и у квадрата полного момента, ибо коммутируют. Поэтому его сперва и рассмотрим - так проще.
Имеем квадрат полного момента: (σ₁ + σ₂)² = σ₁² + σ₂² + 2σ₁⋅σ₂, где под σ₁ и σ₂ подразумевается сумма трёх матриц Паули для первой и второй частиц, сооветственно. В выражение входят квадраты σ₁² и σ₂² - посмотрим, что с ними. Посчитаем, например, σ² = (σx + σy + σz)². Перемножим марицы Паули друг на друга соблюдая порядок и учтём, что σxσy + σyσx = σxσz + σzσx = σyσz + σzσy = 0 (нулевой матрице). Получим: σ² = (3/4)ℏ²I, где I единичная матрица. Тогда: (σ₁ + σ₂)² = (3/2)ℏ²I + 2σ₁⋅σ₂.
Если кто ещё не заметил: последний член с 2σ₁⋅σ₂ - интерференционный! Подчеркнём ещё раз - электроны разные и не спутаны между собой. Откуда берётся их интерференция? Здесь проявляется одно из самых зловещих и воистину сатанинских свойств субатомного мира - принципиальная неразличимость частиц и так называемое обменное взаимодействие. К нему ещё вернёмся, а пока продолжим.
Далее найдем собственные функции. Волновые функции в данном случае векторные и представляют из себя спиноры (спайноры). Для каждой частицы их две: спин вверх и спин вниз. Из них составим четыре волновый функции для системы из двух спинов: i) спин вверх у обеих частиц; ii) спин вверх у первой и вниз у второй; iii) спин вниз у первой и вверх у второй; iv) спин вниз у обеих. Проверим, являются ли они собственными функциями оператора совместного спина вдоль оси z: σz = σ1z + σ2z. Первая и последняя волновые функции являются, а вторая и третья - нет.
Чтобы найти собственные функции воспользуемся интерференционным членом σ₁⋅σ₂ = σ1xσ2x + σ1yσ2y + σ1zσ2z. Его достаточно, так как для единичного оператора любая функция, разумеется, - собственная. Собственные функции будем искать в виде линейной комбинации второй и третьей. Решим задачу на собственные значения и функции для интерференционного члена и найдём два собственных значения равные 1 и -3, и, соответственно, две собственные функции. Одна из них оказывается суммой второй и третьей, а другая их разностью.
Хорошо, сделали, и что дальше? А то, что только последняя даёт антипараллельные спины! Это видно из квадрата полного углового момента: когда мы выбираем собственное значение равное -3, тогда интерференционный член даёт 2σ₁⋅σ₂ = -(3/2)ℏ²I (для первых трёх 2σ₁⋅σ₂ = (1/2)ℏ²I). Ещё раз прописью: три из четырёх собственных функций дают параллельные спины, и только одна - антипараллельные. Но самое смешное, что это не шутка.
Таким образом, вероятность обнаружить антипараллельные спины у двух электронов равна 1/4, а паралельные 3/4. Понятно, что 1/4 - это не то же самое, что 1/3!†
А как на самом деле? Что говорит эксперимент? Что ж, попробуйте догадаться сами… Верующим в этом месте настоятельно рекомендуется перекреститься, а марксистам, соответственно, перезвездиться.
Волновые функции состоящие из суммы и разности произведений функций для спина вверх у первой и вниз у второй и, соответственно, спина вниз у первой и вверх у второй впервые “всплыли” именно в теории обменного взаимодействия (Хайзенберг). Запишем их для выпендрёжа в тензорном виде так: ψ± = (|01> ± |10>)/√2, где 0 и 1 - просто символы обозначающие наравление спина вверх и вниз, соответственно. Такой базис также часто называют Бэлловским в честь Джона Бэлла, придумавшым своё знаменитое неравенство. Считается, что частицы в состояниях с волновыми функциями обменного взаимодействия ψ± максимально спутаны.
Что же это за неравенство такое? И при чём тут спутанность? Разберёмся...
Спутанность появляется из законов сохранения, таких как сохранение углового момента. Допустим у нас распалась частица с нулевым угловым моментом на две поменьше со спинами 1/2. Их направления должны быть противоположны. Но в каком смысле противоположны? Выберем ось z и измерим спин у одной из частиц. Тогда мы автоматически знаем спин другой: он противоположен первому по отношению к оси z. Измерив его, мы убедимся, что это так. В чём вся фишка? А в том, что ось z мы выбираем произвольно, и в зависимости от направления спина первой частицы вдоль произвольно выбранной оси z, спин второй всегда будет направлен в противоположную сторону вдоль той же оси z (в статистическом смысле). Это, конечно, напоминает неявные измерения. Однако, до момента измерения и, следовательно, до выбора оси z спины частиц не имеют никакой ориентации. Вообще никакой - таковы порядки в субатомном мире. Это отчасти похоже на то, что вы заранее не знаете ответ на вопрос, пока вам его не задали. Вы даже не знаете о чём вас спросят: о погоде на Колыме или как пройти в библиотеку.
Говоря о спутанных частицах мы прежде всего имеем в виду электроны, протоны, нейтроны и прочие фермионы. Стоит подчеркнуть, что фотоны не могут быть спутаны, так как не существует закона сохранения поляризации, да и закона сохранения самих фотонов нет. Они рождаются и умирают. Но в экспериментах частенько именно фотоны используются в качестве почтальонов, переносчиков информации о спутанных частицах. Главное чтобы им никто подножку не поставил пока они несут свои послания. Во время вручения послания адресату фотоны тут же на месте убивают.
Далее, допустим мы "приготовили" две спутанные частицы, скажем два электрона с общим нулевым моментом, и послали один Алисе с прибором (так на современном кокни квантовой механики теперь принято выражаться), а другой Бобу. Алиса может выбрать ось z из трёх предложенных вариантов и измерить спин, получив его направление либо вверх, либо вниз вдоль оси z. Бобик о выборе Алиски ни хрена не знает, но должен выбрать ось z из тех же трёх вариантов. Если он измерит спин относительно своей оси, он, разумеется, тоже получит результат: либо вверх, либо вниз. Бэлл учёл запутанность: в случае если Бобик угадал направление оси, то приписал вероятности обнаружить противоположно направленный спин, чем у Алиски, единицу. Соответственно, вероятности сонаправленности - ноль. Что, конечно, логично. И это всё, где в его неравенстве используется спутанность.
Бэлл составил своё неравенство из трёх мат-ожиданий: i) Алиска с прибором выбрала ось номер 1, а Бобик - ось 2; ii) Алиска - снова ось 1, а Бобик - ось 3; iii) Алиска - ось номер 2, Бобик - ось номер 3. Он учёл в доказательстве, что при угадывании одной и той же оси Бобиком и Алиской, мат-ожидание равно -1, так как с вероятностью 1 спины разнонаправленны. Бэлл для простоты везде отбросил общий множитель ℏ²/4. И мы его тут отбросим и обозначим три мат-ожидания как А, В, и С, соответственно.
Бэлл из этих мат-ожиданий составил выражение |A - B| - C и скормил его сперва Колмогоровской зверушке. Зверушка пожевав немного сказала, что это всегда меньше или равно единице.
Волновая зверушка поинтересовалась сперва конкретикой. Конечно, три направления могут быть любыми, но и точность тоже важна как и в аптеке. Поэтому выберем направления: i) вдоль оси x, (1, 0, 0)T; ii) по серединке между осью x и осью z, (1/√2)(1, 0, 1)T; и iii) ось z, (0, 0, 1)T. Далее, возьмём собственную функцию обменного взаимодействия ψ_*, именно ту, которая соответствует системе с нулевым спином, и получим плотность вероятности ψ_*ψ_. Посчитаем мат-ожидания с её помощью (возможно это проще сделать в тензорном виде) и найдём, что они равны косинусам углов между осями с обратным знаком. Подставим мат-ожидания в выражение Бэлла и получим √2, корень из двух!
Конечно √2 тут вылез из нашего выбора второго направления, того, что по серединке. Если выбрать другое направление, то получим другое число, но снова скорее всего не равное единице. Например, если в качестве второго направления выбрать (1/√3)(1, 1, 1)T, то бэлловское выражение даст 2/√3, что меньше √2. А если в качестве направлений выбрать координатные оси, то получим 0. В общем, √2 - это максимальное значение. Но, тем не менее...
А что на самом деле? Ален Аспе, Джон Клаузер (Нобелевский лауреат 2022-го года Джон Клаузер о глобальном потеплении) и Антон Зайлингер ровно год тому назад получили нобелевку именно за это. Эксперименты были выполнены в 70-80-ые годы и показали, что классическое неравенство Бэлла, где ≤ 1, нарушается. Они, правда, придумали аналог Бэлловского неравенства, который был более удобен для эксперимента, но это не суть.
Что мы видим? Во-первых, в отличии от волновой, Колмогоровская зверушка чертей совсем не ловит. Это мы знали ещё из первого примера, не так ли? Во-вторых, никаких скрытых параметров не нужно вовсе. Это старое Эйнштейновское пальто, которое зачем-то повесили на новую ёлку поверх игрушек. В-третьих, сравнивая примеры трудно отделаться от мысли, что спутанность сама по себе - фигня. Основное - это обменное взаимодействие и принципиальная неразличимость частиц. Дьявол там.
Что можно сказать в заключении? Колмогоровская теория не годится для экзорцизма, но прекрасно справляется с мышами в макромире. С другой стороны, волновая механика великолепна. Но в этом и проблема. Она попала в поле внимания политиков и буллшит-монгеров всех мастей и градусов. Её уже посадили в клетку и начали показывать публике как какую-то диковинную зверушку в зоопарке, возить по всем платформам интернета и ТВ. Даже полуграмотные премьер-министры, цыгане и прочие чурки заголосили на кокни о каком-то квантовом будущем мира бредя квантовыми компьютерами и квантовым превосходством. Возбудилась БиБиСня. Слово "квантовый" стало брендом прям как название популярного крема для лица у женщин. Это плохие знаки. Всё указывает на то, что ей скоро вырвут зубы, спилят напильником когти, выколют глаза и посадят на цепь. А кто? Чёрти!
†Следует отметить, что это частный случай более общей формулы. Так, если частица состоит из многих элементарных частиц со спином 1/2 каждая, то её угловой момент σ = ħs, где s = {1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, ...}. Bероятности для пары таких частиц следующие: i) P1 = (s + 1) / (2s + 1) для параллельных спинов; и ii) P2 = s / (2s + 1) для антипараллельных. При неограниченном росте s→∞ мы получаем классические вероятности 1/2 для обоих случаев.
Комментарии
Следует. КМ иногда не интуитивна. В том и разница с классикой.
Из вышесказанного вообще-то следует 1/4.
Не понятно, но интуитивно вы правы! (но не во всём)! :))
Но, кмк, зря духов тянете в материю, в божье творение!
Как Бог её создал и/или организовал одному ему известно :))
Если Бог - Слово, то дьявол (обезьяна Бога) - и есть сама ложь (ложное слово=
намереннаязапутанность)!Т.е. дьявол не материален! (как и неразличимость). Кмк. :))
Да я так, образно, следуя Максвеллу. А так же выражению "дьявол в деталях".
Для spinor'а:
Получив в почту сообщение о Вашей статье с таким интригующим названием, я тут же полез ее читать, с удовольствием прочитал и почти со всем сказанным в ней согласился. И под ее впечатлением решил вернуться на короткое время на АШ исключительно чтобы прокомментировать вот это Ваше:
Далее многабуквов.
Вы, как и другие физики, предпочитаете НЕ ДАВАТЬ строгого математического определения понятию «волновая функция», ограничиваясь перечислением ее свойств, которые нужны для решения конкретных физических задач. Одно из главных таких свойств — это то, что квадрат модуля волновой функции должен давать вероятность какого-то наблюдаемого события (например. вероятность нахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени). Более того, Вы, как и другие физики, чаще всего предполагаете (не оговаривая этого явно), что плотность вероятности ЗАВЕДОМО СУЩЕСТВУЕТ. Другими словами, считаете «по умолчанию» функцию распределения АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНОЙ. Более того, эту абсолютно непрерывную функцию (и/или ее плотность вероятности) вы, физики, реконструируете на основе конечного (!!!) числа наблюдений!!! Но хорошо известно, что ЛЮБОЕ вероятностное распределение P есть СУММА ТРЕХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, дискретного P_d, абсолютно непрерывного P_a, и сингулярного (=вырожденного, т.е. сосредоточенного на множестве меры 0) P_s: P=c_a P_a+c_d P_d+c_s P_s, где c_a+c_d+c_s=1 (разложение Лебега). Физики, разумеется, рассматривают и дискретные распределения, но «чисто сингулярные» отметают напрочь. Бог бы с ним, с этими чисто сингулярными (типа сосредоточенных на канторовском множестве), но ведь и абсолютно непрерывные и дискретные распределения физики рассматривают порознь, а не как сумму. Вдобавок еще и чаще всего «реконструируя» абсолютно непрерывное распределение из дискретного на основе конечного числа наблюдений (а бесконечным это число быть не может). Другими словами, физики заведомо предполагают мир «непрерывным» (= значения физических величин — действительные числа), т.е. «делимым вниз до бесконечности» (иначе говоря, архимедовым), несмотря на то, что сами же и рассуждают о каких-то планковских длинах и т.п.
Заметьте, Yana Hazina написала точно
Напомню, что ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМОЙ мат. статистики является теорема Гливенко-Кантелли, которая говорит, что выборочная функция любого распределения равномерно сходится (при неограниченном увеличении объема выборки) к "обычной" функции распределения почти наверное (т.е. множество точек, где не сходится, имеет меру 0).
А теперь следите за моими руками: из-за принципиально ограниченной точности физических измерений все ИЗМЕРЕННЫЕ значения физических величин в пределах ошибки измерения РАЦИОНАЛЬНЫ. Стало быть, говоря о сходимости, надо говорить, относительно какой МЕТРИКИ эту сходимость считать. НО таких нетривиальных неэквивалентных друг другу метрик на поле рациональных чисел счетное множество, причем архимедова (используемая физиками «по умолчанию») ОДНА-ЕДИНСТВЕННАЯ, остальные все неархимедовы. И вот тут возникает нетривиальный момент: с одной стороны, бесконечность — это математическое, а не физическое понятие, никакой «физической бесконечности» не существует, никто не смог убедительно доказать, что какой-то физический объект бесконечен хоть в каком-то разумном смысле. С другой стороны, использованием только КОНЕЧНЫХ множеств, т.е. без предельного перехода, в физических моделях никак не обойтись (а без него не обойтись, иначе ошибку на каждом шаге округления считать замучаешься). Поэтому приходится пополнять поле рациональных чисел до полного метрического пространства, а разных таких пополнений, по теореме Островского, счетное множество: одно архимедово (действительные числа), а все остальные --- неархимедовы (p-адические числа, где p --- простое число: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...) Поэтому ФИЗИЧЕСКИЙ ЗАКОН ДОЛЖЕН БЫТЬ ИНВАРИАНТЕН ОТНОСИТЕЛЬНО ВЫБОРА МЕТРИКИ (постулат Воловича, да и Владимиров то же самое утверждал), т.е. относительно выбора этого пополнения. Это значит, что физики, используя «по умолчанию» только одно пополнение, архимедово (=действительные числа), т.е. только один тип «измерительного прибора», условную «мерную ленту», т.е. АНАЛОГОВЫЙ девайс, и думать забыли про все другие пополнения, неархимедовы, т.е. про другой тип измерительного прибора, условный «абак», ЦИФРОВОЙ девайс. Но человечеству только этих два типа измерения и известны, аналоговый и цифровой, использовать надо ОБА.
Теперь должно стать видно, что волновая функция (как «физический закон») как раз и является характеристической функцией распределения, причем именно распределения в общем виде, взвешенной суммы абсолютно непрерывного и сингулярного распределений (потому что дискретное распределение тоже по факту сингулярно, оно же на множестве меры 0), да при этом еще и меру нужно рассматривать не только лебегову на действительных числах, но и меру Хаара на p-адических числах, и метрики архимедову и неархимедову. Вот только тогда и можно говорить об «объективных законах природы».
Кстати, характеристические функции сингулярных распределений на счетных множествах тоже ведь «живут» в гильбертовых пространствах, а именно, в пространствах комплекснозначных последовательностей. А все сепарабельные бесконечномерные гильбертовы пространства изоморфны другу другу. Так что и с этой точки зрения все ОК: волновые функции являются характеристическими функциями распределений. Обратное, скорее всего, неверно, но этого и не требуется.
Так мы плавно подъезжаем к тому, что «объективная реальность» МОДЕЛЬНО ЗАВИСИМА. Это «модельно-зависимый реализм», о котором первыми, видимо, заговорили Хокинг (то самое «кресло» из Вашей давней статьи) и Млодинов в свой книге «Великий замысел». Модельно-зависимый реализм требует рассматривать ВСЕ «хорошие» модели:
Пример: Вы совершенно правильно пишете о марковости. Но марковость — это, другими словами, математическая ипостась закона причинности. Детерминированный автомат — это, по сути, и есть цепь Маркова. И никаким физическим измерением невозможно отличить функцию, задаваемую таким автоматом (с достаточно большим числом состояний) от чисто случайной. Это я о совершенно конкретной квантовой игрушке пишу, реальной «железке» из проекта, в котором сам участвую. Хотя блоховские осцилляции («непрерывная модель», «аналоговый девайс») тоже хорошо все описывают, но автомат («дискретная модель», «цифровой девайс») ничуть не хуже справляется.
Ну и в итоге: как «на самом деле» устроен квантовый мир сказать нельзя, потому что никакого «на самом деле» нет и быть не может, а есть разные модели одного и того же мира, неразличимые ни в каком эксперименте. Такая вот «свобода выбора», free choice: хотите, считайте дискретным и жестко детерминированным, хотите --- непрерывным, случайным, хаотичным. Это корректный математический вывод. Модели экспериментально неразличимы, просто "непрерывная" физикам пока привычнее. Но это временно, кмк. :)
Мне, кстати, некоторые верующие, с которыми я недавно обсуждал эту тему, сказали сходу, что это все бесовщина. :) Так что с «сатанизмом» Вы не ошиблись: верующие бесовщину за версту чуют. :)
Абсолютно верно. Мы не хотим отбирать хлеб у математиков. Это было бы несправедливо по отношению к ним.
Тут вспоминается фраза из фильма Калигула, где на возглас сенатора:
- Это невозможно сделать!
Калигула возразил:
- Если это сделать, то станет возможно.
Это не так. Например, у Леонарда Шиффа именно вместе. Книжка, правда, очень старая. Он ввёл ещё свои обозначения, которые ужастны. Но тем не менее, ваше утверждение несправедливо. С нулевой мерой, конечно, там ничего нет. А надо ли?
Я считаю это преимуществом, а не дефектом. Более того, в кинетической теории, да и в твёрдом теле, мы дифференцируем по числу частиц в объёме, притом прекрасно понимаем, что это число-то натуральное. То же можно сказать и о планковской длине - до неё ещё добраться надо.
К тому же, физики работают с "реальными вещами". Поэтому поступают как можно проще, но не проще, чем нужно. Непрерывные функции в данном случае работают. Если бы не работали, то стали бы думать, а если ли другие варианты.
Берут у математиков, то что есть, и то, что выглядит привлекательным и может пригодиться "в хозяйстве". В данном случае не надо "на зеркало пенять".
Может быть я под характеристической функцией понимаю более узкое её определение. Так, есть плотность вероятности, нормированная, вещественная и положительная функция. Характеристической функцией называется её преобразование Фурьё. Это математический приём, который очень удобен, так как все моменты (и куммулянты) получаются дифференцированием характеристической функции, а не интегрированием плотности.
Волновая функция сама по себе не является плотностью вероятности. Она к тому же не вещественная. Чисто формально, её преобразвание Фурье не является соответственно характеристической функцией.
Может мы под "характеристической" понимаем разные вещи? Конечно, можно "расширить" определение и обозвать волновую характеристической, но надо ли? Это приведёт к хаосу - люди перестанут друг друга понимать.
Согласен. Тут возразить нечего. Но это и так было понятно.
Если "модели экспериментально неразличимы", то выбирать надо ту, которая проще, чтобы потом "не было мучительно больно за бесцельно прожитые годы". Возможно так произошло с квантовой электродинамикой. Она слишком сложная, и как-то не очень продуктивная - на совести Файмана. Явление Файмана совпало с появлением телевизора. Он по праву стал первым теле-учёным. Куммуляивный эффект телевизора помог ему затмить славу Николы Тесла. Поэтому многое файнманское не подвергаеся критике и сомнению. Да, смешно шутил и ярко говорил, написал много книжек. Однако, многие вещи у него откровенно слабы - как, например, его курс лекций по физике - достаточно просто сравнить с Ландау.
Посмотрел Воловича, кстати. И пришёл в ужас. Он из своих предположений получил абсолютно абсурдный результат об отрицательной размерности пространства. Из чего со стеклянной ясностью следует, что его изначальные предположения не верны. Но нет, он такого вывода не делает и развивает тему дальше.
А как же тогда вас, физиков, понять? Вы же говорите --- волновая ФУНКЦИЯ! Ну, раз это функция, то какова ее область определения и область значений хотя бы?
В математике характеристической функцией случайной величины X называется мат. ожидание величины exp{itX}, где t пробегает все действительные числа, а i^2=-1. Это одномерный случай, т.е. X --- принимает действительные значения. Для многомерного тоже можно ввести аналогичное определение, но надо бы для начала с одномерным случаем разобраться, волновая это функция с точки зрения физиков или нет.
В частности, если функция распределения случайной величины X абсолютно непрерывна, то из этого определения сразу следует, что это мат. ожидание есть интеграл по x от минус до плюс бесконечности от функции exp{itx}p(x), где p(x) --- плотность вероятности. Если X дискретна, принимает значения x_1, x_2, ... с вероятностями p_1,p_2, ..., то это мат. ожидание есть ряд по n от 1 до бесконечности, общий член которого есть exp{itx_n}p_n, где p_n --- вероятность того, что X=x_n.
Разве волновые функции для, скажем, случаев непрерывного и дискретного спектров нельзя представить в таком виде, как мат. ожидания exp{itX}? Что мешает?
Нет, просто обозвать не имеет смысла, надо понять, являются ли волновые функции характеристическим функциями каких-то распределений. Потому что если да, то можно изучать волновые функции методами теории характеристических функции, которая очень неплохо разработана. А если нет, то надо понять, что же именно не дает волновым функциям быть характеристическими функциями каких-то распределений.
Что за книжка? Можно ее точные данные? Очень интересно было бы посмотреть.
Конечно, надо: дискретные спектры в физике же есть, вот это как раз на множестве меры 0. Значение спина вверх или вниз --- дискретная случайная величина, т.е. на множестве лебеговой меры 0. Формула Ридберга, и т.д. и т.п. Как только появляется дискретность, то появляются и случайные величины на множестве меры 0.
А может, физики и математики вообще по-разному понимают вероятность? Есть книжка хорошая (ну, мне понравилась) R.F. Streater "Lost Causes in and beyond Physics", в ней очень подробно разобраны всякие недоразумения и ошибки, которые возникают в квантовой механике банально по причине неправильного использования физиками математической техники теории вероятностей. Взгляните, у автора и сайт, вроде, есть.
Кто бы спорил. Вопрос только в том, что делать, если обе примерно одинаковы по сложности обсчета, но одна говорит, что какой-то физический дискретен и строго детерминирован, а вторая --- что этот же феномен непрерывен и случаен. А в эксперименте они дают одно и то же.
Это как в математической теории сложности: псевдослучайная последовательность --- эта та, которая никаким алгоритмом не может быть отличима от случайной за полиномиальное от входных данных время (т.е. за полиномиальное число шагов алгоритма). При этом сама эта псевдослучайная последовательность может быть крайне неслучайной. На этом современная криптография держится, кстати. Но криптография --- это некоторая математическая технология, по сути, а вот если речь идет о физическом мире? Похоже, что физики называют более простой модель, которая им более привычна, и только. Как во времена Максвелла пытались свести действие полей к механике, Томсон развивал свою вихревую теорию молекул, сводя ее к вихрям эфира наподобие вихрей в жидкости как у Гельмогольца, насколько я понимаю.
Физическое поле --- это ведь тоже абстракция. Да что там, Ньютона упрекали за его закон всемирного тяготения потому что нет той "веревки", которая тянет: получается, что небесное тело крутится как шар на веревке, но только веревки нет. Мистика какая-то получается! ;)
Ну вот нельзя выяснить никакими измерениями, дискретен мир "в своей основе" или непрерывен, случаен или жестко детерминирован. Получается, что сама эта альтернатива бессмысленна: как хочешь, так и считай, как в анекдоте про Ходжу Насреддина.
А почему абсурдный? Почему дробная размерность (т.е. фрактальность) не смущает, а отрицательная смущает? Когда-то ведь и отрицательные числа народ смущали, а потом ничего, привыкли.
Конечно, разумно поставить вопрос о том, как физически ИНТЕРПРЕТИРОВАТЬ отрицательную размерность. Ну, думать надо. Мнимую единицу интерпретировали же худо-бедно.
Какова в общем-то ясно из самой задачи.
Похожесть несомненно есть. И эта похожесть неслучайна, поэтому я и написал всё это. Однако, мат-ожидания наблюдаемых получаются только из собственных для оператора волновых функций. Более того, для двух и более наблюдаемых операторы должны коммутировать, иначе наблюдаемые не будут мат-ожиданиями. И это ещё не всё. Мат-ожиданий может и не быть вовсе. Плюс к этому наблюдаемые могут интерферировать.
Таким образом волновая функция имеет свойства каких нет у характеристической. То есть "спецификация", какими свойствами должна обладать ВФ, шире.
Леонард Шифф, Квантовая Механика. Год точно не помню, где-то конец 40-ых. Есть и на русском.
Похоже, что да. Колмогоровская и Байесовская вероятности разные. Почему бы и квантовомеханической не отличаться.
R.F. Streater "Lost Causes in and beyond Physics" нашёл. Посмотрю.
Вот-вот, такие примеры, конечно, есть: Шрёдингеровская волновая механика и Хайзенберговская матричная. Потом оказалось, что это одно и тоже. Но не сразу это стало ясно.
Надо, но у меня думается не в эту, а "в обратную сторону". Его рассуждения выглядят как доказательство от противного, что чёрных дыр не существует. Предположил существование - получил абсурдный результат.
Опять же, при гравитационном коллапсе Δx стремится к нулю. Из соотношений Хайзенберга следует, что Δp неограниченно растёт. А именно импульс входит в волновую функцию туннельного перехода. То есть, часть вещества должна протуннелировать сквозь горизонт событий. Коллапс должен остановиться с потерей массы. В общем, надо подумать... Может быть есть какие-нибудь "туннельные взрывы"?
Освежил в памяти критерий Толмана-Опперхаймера-Волкоффа для коллапса. Они решают уравнения Эйнштейна, но за горизонтом получают не внутреннюю метрику Шварцшильда, а внешнюю. То есть, коллапс у них как бы изначально заложен в их критерий. А ведь рассматривая коллапс нейтронной звезды мы должны, как казалось бы, взять внутреннюю метрику за горизонтом.
Я хотел бы для начала разобраться с простейшим случаем, когда волновые функции являются собственными для оператора, операторы коммутируют, мат. ожидания существуют. Какие свойства в этом случае необходимо имеет волновая функции, которых заведомо не может быть у характеристической функции? Т.е. я хочу понять для начала, как соотносятся в этом случае класс всех характеристических функций и класс всех волновых функций. Получается, что эти функции, волновые и характеристические, имеют одну и ту же область определения и область значений. Стало быть, эти два класса либо не пересекаются вообще, либо у них есть какое-то непустое пересечение, не совпадающее ни с одним из этих двух классов (а тогда какие функции лежат в этом пересечении?), или один полностью содержится в другом. Дело в том, что характеристические функции находятся во взаимно-однозначном соответствии с функциями распределения случайных величин. Стало быть, ЕСЛИ существуют волновые функции, не являющиеся характеристическими, ТО они либо (1) не соответствуют вообще функциям распределения, либо же (2) мат. ожидания у exp{itX} не существует. Но мат. ожидание у exp{itX} существует всегда, для любой случайной величины X, даже если плотность вероятности у X не существует. Значит, есть волновые функции, которые вообще никаким случайным величинам не соответствуют, так что ли? И как это понять? Можно хоть один пример привести такой волновой функции, которая никакому распределению не соответствует?
Я понимаю, что если есть ДВЕ случайные величины, то СОВМЕСТНОГО распределения у них может и не быть. Вся эта квантовая запутанность и нелокальность (которая никакая не нелокальность, а контекстуальность) на этом и держится, кмк. Ну да, у таких случайных величин, как СЧИТАЮТ физики, волновая функция общая, а совместного распределения у этих случайных величин нет. По отдельности у каждой есть, а вместе нет. Это имеется в виду? Если да, то это один из тех Lost Causes, о которых пишет Streater. Для математиков тут никакой загадки, "нелокальности", "мгновенного дальнодействия" и т.п. нет: совместное распределение не существует, поэтому и говорить не о чем, ни о каком "...действии", хоть ближнем, хоть дальнем.
Строго говоря, байесовская вероятность (как и вероятность по фон Мизесу) математически некорректны. А колмогоровская --- корректна.
Считать-то можно и по Байесу, и по фон Мизесу, но ДОКАЗАТЬ что-то можно пока только по Колмогорову. Квантовомеханическая вероятность --- из той же серии: объединение двух "событий" не есть в этой вероятности "событие", потому что "событие" --- это не любое измеримое подмножество пространства исходов, а обязательно подпространство гильбертова пространства, т.е. надо брать не объединение двух подпространств, а порождать ими подпространство. Вот отсюда все проблемы и вылезают у квантовомеханической вероятности: появляются "доказательства на физическом (а НЕ математическом!) уровне строгости" и т.п.
Не абсурдный он, а с непонятным (или непонятым пока) физическим смыслом. Дробная размерность фрактала тоже кажется изначально абсурдным выводом, но ведь это не значит, что фракталов нет в том смысле, что нет физических явлений или процессов, достаточно хорошо описываемых именно с помощью фракталов: они не только есть, их просто огромное количество. Но это стало ясно не сразу.
Конечно, до физического смысла хотелось бы докопаться. Но в этом я пас, а если Вы до чего-то додумаетесь, то я с удовольствием ознакомлюсь.
PS. Книжку Шиффа нашел, 1959 год, почти 500 страниц, однако. Где там именно про смешанные распределения, в смысле, про сумму дискретного и абсолютно непрерывного? А то я закопаюсь и не найду ...
PPS.
Подозреваю, что с дискретностью/непрерывностью и случайностью/детерминизмом то же самое будет.
Тут, пожалуй, вы правы. Волновая функция ведёт себя как характеристическая. И в этом нет никакого сюрприза, так как наблюдаемые ведут себя как классические случайные величины.
Различие чисто формальное. Так, волновое уравнение - это система из двух уравнений для двух вещественных функций. То есть мы имеем систему из двух уравнений Фоккера-Планка для классического марковского процесса.
Да.
Тоже да. То есть, есть волновая функция для частицы. Или частиц которые могут интерферировать. Интерференция - свойство, специально сконструированое и внедрённое в волновую мехнику Борном, Эренфестом и Шрёдингером. Получилось не сразу (заняло 10 лет после Планка и Фоккера). Именно здесь, с этого момента и начинаются различия.
Спутаности, как мне кажется, придаётся слишком большое значение. Это квантовый аналог неявных измерений. Слон, которого не все замечают, это обменное взаимодействие и принципиальная неразличимость частиц, которая приводит к "странной и зловещей" интерференции удалённых друг от друга частиц. Что это такое - во многих текстах сильно "замылено". Даже у Ландау без стакана не разобраться.
Скачал книжку. Почитаю, разберусь, что за "контекстуальность". Спасибо, вроде пока интересно.
Не знаю... Пока мне это кажется ересью. Даже у фракталов размерность неотрицательная. Опять же, Гильбертовы пространства бесконечномерные. Линейные пространства могут быть любой размерности. Но все размерности неотрицательные. Более того, это же не физическая размерность.
К сожалению тут помочь не смогу, не помню. Не в начале. Но точно до релятивистких уравнений и уравнения Дирака.
С этим случаем вроде все стало понятно: в этом простейшем случае волновая есть характеристическая и для физиков тоже. Спасибо.
Здесь тоже стало понятнее: совместного распределения нет, хотя по отдельности есть, а волновая функция общая. Для математиков же раз нет совместного распределения, то и характеристической функции нет. Разница понятна.
С интерференцией вопрос. Можно ли ФОРМАЛЬНО описать интерференцию двух волновых функций в этом случае? Т.е. по отдельности волновые функции являются характеристическими (как в первом случае), т.е. распределения у каждой существуют, а совместное распределение не существует. Как на языке этих двух распределений формально описать интерференцию? Т.е. я понимаю, как физически интерферируют волны и как это описывается в терминах волн. А в терминах характеристических функций это можно описать? Скорее всего, это уже сделано, тогда что почитать?
Я с обменным взаимодействием знаком только на примере модели Изинга. Кстати, эта модель описывается и на автоматном языке, т.е. она в этом смысле есть пример жестко детерминированной системы. Но там все-таки соседние спины взаимодействуют, определяя общую энергию системы. Т.е. удаленности друг от друга здесь вроде бы нет? Что тогда понимать под интерференцией удаленных частиц? Или модель Изинга вообще не годится для иллюстрации "странной и зловещей" интерференции удалённых друг от друга частиц?
Поделитесь потом впечатлениями, интересно, как физики эту книжку воспринимают. Мне книжка понравилась, даже очень. Но я математик.
Вот я попробую как-то пояснить, какой может быть (?) физический смысл у отрицательной размерности. Кратко: дело в голографическом принципе, когда вся информация о пространстве "кодируется" на границе. Для черной дыры это значит, что вся информация о трехмерном объекте закодирована на 2-мерной поверхности черной дыры. Т.е. черная дыра как бы "отъела" 1 у размерности. Но это отъедание 1 можно же трактовать именно как добавление отрицательной размерности? Физически, может, это и ересь, но математически выглядит вполне нормально: отрицательные числа так и появились (доход-расход в бухгалтерских книгах). Энтропия черной дыры пропорциональна площади горизонта событий, а не объему дыры. Хотя казалось бы, что энтропия (а стало быть, информация) о 3-мерном объекте должна быть пропорциональна объему. Т.е. черная дыра уменьшает размерность, так получается? Но тогда можно считать, что у нее самой отрицательная размерность. Конечно, все это туманно очень, но вдруг здесь есть рациональное зерно?
С волновыми функциями поступают точно так же как и в волновой оптике - их складывают: ψ = ψ₁ + ψ₂. Из плотности вероятности ψ*ψ появляется интерференционный член(ы). Соответствующие операторы для двух разных частиц коммутируют, а значит для наблюдаемых ψ и есть их характеристическая функция.
Характеристическая функция - это то, что мы "придумали", а как получается интерференция есть в любом (я полагаю) учебнике по КМ. То есть, в общем получается, что волновая механика - это теория марковских процессов с интерференцией.
Вопрос. Тут я рассказал случай измерения совместного спина двух электронов. Они могут находиться вместе, что я в общем-то и предположил. Но теория не накладывает такого условия - они могут быть где угодно. У Ландау, например, нет никаких условий на их положение - один на Марсе, другой на Венере.
Поделюсь.
Есть геометрия и есть физика. Солнце, например, теряет миллионы тонн плазмы ежесекундно за счёт солнечного ветра несмотря на гравитацию. Притом частицы покидают "поверхность" (там конечно никакой поверхности нет) со скоростью 350-450 км в секунду (!) в плоскости эклиптики и 800-850 км в секунду у полюсов. Всё великолепно объясняется и просчитывается магнитной гидродинамикой (MHD).
Мне кажется что с чёрными дырами слишком увлеклись геометрией полностью забыв про физику.
Более того, я думаю будет "более продуктивно" разрушить всю концепцию чёрных дыр, а основания для этого есть. Это как у Достоевского: если чечевичное зерно не умрёт, то останется одно, а если умрёт, то принесёт много плода.
Ну, чтд и в этом случае: волновая функция есть характеристическая. Мне только это и надо. Спасибо.
И со вторым выделенным соглашусь, я так и думал: есть марковский процесс (автомат, попросту говоря), а вот данные, генерируемые автоматами (=характеристические функции), интерферируют. Вот последнее --- это физический факт нашего мира. Поскольку частота волн очень высокая даже в оптике, то наблюдать можно только интенсивность различных областей интерференционной картинки, а эта интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды волны. Ну и все. Т.е. модель может быть и такой: физическая система есть дискретная цепь Маркова, выходные данные которой "наблюдаемые из разных точек пространства" интерферируют. Как-то так. Это уже вполне можно обсчитать.
Тоже вроде понятно. Такая уж физика. Кто-то бросает с одинаковой частотой камешки в круглый пруд, точно в центр, и по кругу бежит круговая волна. Если два наблюдателя находятся на расстояниях от центра пруда, кратных длине полуволны, но у одного расстояния коэффициент кратности четный, а у другого нечетный, то, когда один наблюдатель видит гребень волны, другой видит впадину, и наоборот. Так?
"Весь мир насилья мы разрушим до основания, а затем ..." Вот что именно разрушим, а что оставим, и что "затем" --- это и есть главный вопрос. ОТО оставим? Уравнение Шварцшильда? И т.п. И "затем"-то что? Что добавим вместо разрушенного?
Не сомневаюсь, что Вы знаете, что был такой физик, Джон Арчибальд Уиллер, (J.A.Wheeler), учитель Фейнмана, кстати. Который геометродинамику изобрел, которую сам же потом и похоронил. Это он изобрел термин "черная дыра", емнип. Вот Уилер говорил, что "в самой своей глубине" физика сводится к информатике: мы задаем природе вопросы "да/нет" и получаем ответы тоже в виде "да/нет". Он даже игрой такой это иллюстрировал: люди в комнате загадывают какой-то предмет, потом человек входит в комнату и задает вопросы типа "Это жидкое?", "Это горячее?", "Это красное?" и т.п., а люди по очереди отвечают только да/нет, и человек должен в итоге догадаться, что за предмет был задуман. Кто быстрее догадается, тот выиграл. Так вот, как-то раз люди в комнате не стали сговариваться, какой предмет задумать, а просто каждый, держа в уме какую-то свою задумку, слыша вопросы и ответы на них других, отвечал, когда дойдет до него очередь, да/нет на заданный ему вопрос. В итоге когда-то предмет, задуманный кем-то, УГАДЫВАЛСЯ, потому что каждый предмет характеризуется конечным набором да/не, т.е. конечным объемом информации. Это я кратко и на пальцах описал it from bit, концепцию Уиллера.
Так что в этом контексте предел Бекенштейна (который я неявно упоминал в своем предыдущем комментарии) --- это, возможно, шаг в правильном направлении, и это физика, кмк. Физических сингулярностей (т.е. бесконечно больших или бесконечно малых физических объектов или бесконечных значений физических величин) в теории возникать не должно вообще: бесконечность --- это математическая, а не физическая концепция, кмк. Ну, а если принять этот "постулат физической конечности" всего и вся, то это "затем" и есть чисто информационная модель, т.е. через всякие энтропии. Больше, вроде, ничего на эту роль и не видно пока.
Но если так, то отрицательная размерность возникает как бы сама собой. Примерно так же, как интерференцию можно трактовать, вводя понятие отрицательных вероятностей.
Файнман выразил основную идею обменного взаимодействия в парадоксальной форме: “у нас во Вселенной есть всего один электрон”. Мастер слова - ничего не скажешь. То есть, какой-нибудь галактический украинец в одном из рукавов галактики Андромеда состоит из тех же протонов и электронов, что и вы. Получается так...
Интернационал, наверное, тут не подойдёт. Достоевский лучше (если чёрная дыра не умрёт, то останется одна, а если умрёт, то принесёт много плода), хотя цитата всё же из библии. Разрушить - значит сперва поставить под вопрос. Если вопрос поставить ребром, то может само развалится (а может и нет). Томас Кун в своей "Структуре научных революций" революциями называл по сути мутации. Он конечно не использовал терминологию из генетики, но подразумевал именно это. А чтобы мутации закрепились и стали творчески эволюционировать по Бергсону нужно "выйти из колеи". А вся эта история с чёрными дырами - колея, которая становиться всё глубже и глубже. Из-за сложности "математических наворотов" всё сложнее увидеть голубое небо. А получив очередной абсурдный результат придумывать, что бы это значило – оставаться именно в колее (ну хоть слава Богу Биг Бэн из-за Вэбба накрылся медным тазом - хотя, наверное, всё равно будут выворачиваться). Более того, по Куну астрофизика - квази-наука из-за отсутствия эксперимента. Поэтому, ко всем парадоксам в ней надо относиться предельно скептически.
Это вроде бы не Фейнман сказал, а как раз Уилер Фейнману. По телефону. Что все электроны во Вселенной --- это один-единственный электрон, движущийся во времени туда-сюда.
Кстати, раз уж Файнман, то Айнштайн? У нас-то говорят Фейнман и Эйнштейн. Ну да ладно...
Разве Кун выделял астрофизику в отдельную науку? Астрофизика, кмк, часть науки физики, а физика, по Куну, нормальная наука. Так что парадоксы астрофизики --- это физические парадоксы. Короче, кмк, научная революция в физике если когда начнется, то пойдет не по Ленину (=в отдельно взятой стране, т.е. в отдельно взятой области физики), а пойдет по Марксу , (=грохнется все сразу, и КМ, и ОТО). :)
Подслушали и разболтали!
Айнштайн - это по-немецки, а по-английски - Айнстайн. У нас так и говорят.
Кун нет. Но это очевидно.
Климатическая кувалда
Говорят, сам Фейнман-Файнман и разболтал, что это ему Уилер напел по телефону. :)
Это какая-то смесь немецкого с английским получается: начало фамилии читается на немецком, а конец --- на английском.
Читал я и Вашу "кувалду", и Томаса Куна читал. Его --- практически сразу же как вышел русский перевод, еще в СССР.
Не готов обсуждать астрофизику, я в ней всерьез и не разбирался никогда, если честно. Но всякие доклады, даже весьма известных в этой области физиков, слушаю регулярно. Хотя, не разбираясь в сути, отделить овнов от козлищ я не в состоянии. Но слушать интересно. Как песню на незнакомом языке: о чем поют --- непонятно, но поют красиво. :)
Я тоже не астрофизик. Столкнулся с этим когда занимался численным моделированием солнечного ветра. Приезжали люди, рассказывали, обсуждали. В общем очень интересно. Но там гигантский спектр мнений: астрофизика - это полигон для всяких идей. Область, где можно пофантазировать вдоволь и за это "ничего не будет". Главное, чтобы не "затаптывать". Конечно затаптывают... в научпропе типа БиБиСи там всё бетоном залито. Но, тем не менее, с тех пор так и отношусь к астрофизике. Отрицательные размерности - да замечательно! Ну... и я тоже что-нибудь выдумаю - конечно не на таком уровне, но всё же. Им можно, а мне нельзя?
Этим астрофизика меня и привлекает: полигон для всяких идей и фантазий. Это же просто интересно, к тому же --- вдруг какая-то идея и выстрелит потом? Лично меня какие-то астрофизические идеи навели на мысли в моей области, никак с астрофизикой не связанной. Точнее, интуитивно почувствовались какие-то аналогии между тем и этим, какие-то мысли появились, пусть туманные, но если в этом тумане что-то есть, то в конце концов оно проявится.
Не просто можно, а нужно! Выдумывайте! А вдруг выдумка окажется плодотворной гипотезой, а потом и теорией? Да еще с экспериментальным подтверждением?
Science is very interesting, and if you don't agree you can fuck off (приписывается Докинзу). Без этого интереса тоска же заест в прогрессирующем мракобесии, которое некоторые называют постмодерном. Как поет Городницкий, "не страшно потерять уменье удивлять, страшнее потерять уменье удивляться". Ну, а поудивляться в хорошей науке много чему есть. :)
Бериллиевым (извините, не удержался...)
Да, им!
Прочитал ваш с Арбалетом диалог (извините, что отвлекаю от пятничного вечера), и решил вставить свои "пять копеек" касаемо "физического смысла". Он не всегда может быть. Математическое описание некоторых сторон мироустройства не обязательно предусматривает наличие в этом описании физического смысла. Математика в этом смысле первичнее физики. Физика это только то, что умеет "перевести" математику (мироописания) в человеческое понимание, которое в свою очередь завязано на конечный набор феноменов сознания, в коих мы и понимаем Мир. Из-за этой "конечности" обязательно должны быть такие стороны Мироздания, которые в принципе не позволяют описать их физически.
Физика, образно, начинается с планковской длины и планковского времени - того, что позволяет реализоваться феноменам протяженности и длительности в сознании (кванты, кстати, могут быть "побочным эффектом" феномена длительности). Это та "надводная часть айсберга", которую возможно описать = представить в феноменах сознания (пространство-временных координатах). Математика в этом плане должна быть свободна от этих ограничений. Но то, чем она оперирует, может не встретить понимания (невозможно найти физический смысл), что обесЦелит математика в его умственных усилиях. Ну, посчитал, получил некое выражение. А дальше что? Дальше ему надо "вынырнуть на поверхность" и как-то привязать "подводное описание" к "надводной части". То есть, даже принцип "заткнись и считай" рано или поздно даст сбой. Может наступить такая ситуация, когда математики не смогут понять, что они высчитали, а физики не смогут понять, куда и как это может быть применено...
В некоторой степени положение может быть облегчено отказом от материалистической парадигмы. Если положить в основу не материю, а информацию, физика ничуть не пострадает, но мировоззренческие препоны падут. Тогда понятие бесконечности перестанет быть невозможным с "естественно-научной точки зрения"; пространство сможет быть бесконечным (и бесконечно-мерным - железное следствие).
Собственно, физики уже это сделали, положив в основу материи "абстракцию от формализма" - поле. Просто, пока не осознали это. Но начало положено...
Вы думаете, что есть какая-то цель, всё делается ради чего-то. А если какая-то глобальная цель в спорте? Нету. Так же и в науке. Это интеллектуальный спорт. Мотивация похожая на обычный - быть круче чем другие + интерес. Ну и как в спорте есть разные виды.
Что касается математиков и физиков - они думают по разному. Физик задаётся вопросом: а что будет если...? И как на самом деле? Математик: наверное такое-то утвержение верно - и доказывет теорему (либо не доказывет).
Oops! Сразу не отреагировал, а сегодня прочитал еще раз и удивился: как это?
Берем две независимые случайные величины X, Y берем их сумму X+Y, тогда ее характеристическая функция ψ_{X+Y}=ψ_Xψ_Y. Характеристическая функция суммы двух незаисимых случайных величин -- это произведение характеристических функций слагаемых, а не сумма! А у Вас сумма. Причем требование независимости случайных величин НЕ является здесь необходимым: существуют ЗАВИСИМЫЕ с.в. X,Y, хар. функция суммы которых есть произведение хар. функций слагаемых.
Что вообще такое сумма ψ₁ + ψ₂ у Вас? Это же должна быть снова волновая ф-я. Значит, эту сумму для начала нормировать надо, насколько я понимаю. Ну ладно, нормировали, что в итоге получилось? Это же снова характеристическая функция какого-то распределения. Какого? Как оно связано с исходными?
Растолкуйте, пожалуйста, а то у меня здесь явное непонимание.
Коротко говоря - это принцип Гюйгенса, который полностью взят из волновой оптики. Да, нормирование нужно. Это и есть проявление "знаменитой" суперпозиции. Наверное, вполне "понятное" объяснение дано в Вики (там в конце и про волновую механику):
wave interference
Раздел-то про оптическую интерференцию этой статьи из Вики я давно знаю. Но ведь волновая функция --- это все-таки не волна в классическом смысле. Какой физический смысл у суммы волновых функций? То, что частица ведет себя как волна (двухщелевой эксперимент)? Две щели=два источника, по Гюйгенсу?
PS. Похоже, здесь и кроется разница между волновой и характеристической функциями. Независимости с.в. заведомо нет, х.в. непонятно какая у суммы будет (если будет), но интерференция есть .
PPS. Но, блин, отсюда же следует, что применение всех методов мат. статистики, которые физики используют сплошь и рядом, не обосновано! Строго говоря, выводы на основе стат. обработки данных в КМ не обоснованы. А чтобы их обосновать (если возможно это сделать вообще), то надо заново переделать весь аппарат мат. статистики под КМ. Иначе фигня получается.
Волна вероятности. Именно. Макс Борн и Пол Эренфест так предложили по аналогии с волновой оптикой (электродинамикой). Я и подчёркивал раньше, что волновая функция "сложнее" характеристической. Полной аналогии может и не быть - по крайней мере надо думать.
Ну да. Только вот "волна вероятности" с точки зрения теории вероятностей и основанной на ней мат. статистике есть невесть что, строго говоря. Да, получается, что выводы КМ, основанные на методах мат. статистики, как минимум некорректны, а как максимум неверны: на маленьких выборках еще туда-сюда, но на больших, которые пока недоступны для анализа, все может разъехаться...
Говорил же Резерфорд, что эксперимент, который требует статистической обработки результатов --- это плохой эксперимент.
Ленился, считать ведь много надо и вручную, а компютеров тогда ещё не было.
Я и говорю, что смысл понятия "вероятность" разный. За сто лет сделаны сотни тысяч экспериментов, если не миллионы. Целая наука - физика твёрдого тела - полностью основана на КМ. Тут всё не просто. И я даже больше скажу: физики предпочтут КМ мат. статистике с лёгкостью (с облегчением).
На самом деле надо понять, что физики имеют в виду под вероятностью, основанной на статистике, причем на конечной выборке из непонятно чего. Обосновывать-то все равно надо.
Примеры корректного обоснования некорректно введенных физиками понятий есть: та же функция Дирака, например. Любой студент моментально докажет., что таких функций нет. А что есть? А есть распределения и классы Шварца. И все получается корректно. НО это потом стало ясно, что это за зверь: функция Дирака, на самом деле. И только после этого выводы стали математически корректными.
С интегралами по траекториям не разобрались до сих пор. А теперь еще и нарушение неравенства Бэлла подъехало.
В общем, чем дальше, тем любопытственнее, как говорила Алиса, которая не ИИ.
Ну, я разобрался, наконец, с суммой волновых функций, точнее, с распределением, которое соответствует этой сумме. "На третий день индеец Зоркий Глаз заметил, что четвертой стены у сарая нет".
Вы писали:
В одном из моих предыдущих комментариев я давал математическое определение характеристической функции. Вот оно, напомню:
Отсюда моментально следует (и Вы это тоже упоминали) , что распределение и его характеристическая функция связаны преобразованием Фурье,
Теперь становится понятно, что за распределение соответствует сумме волновых функций. Пусть X_1 и X_2 есть распределения, соответствующие волновым функциям ψ₁ и ψ₂. Имеем:
ψ₁ + ψ₂=E(exp{itX_1})+E(exp{itX_2})=E(exp{itX_1}+exp{itX_2}),
т.к. мат. ожидание суммы с.в. равно сумме мат. ожиданий слагаемых. Если X_1 и X_2 абсолютно непрерывные с.в. (т.е. имеющие плотности вероятности P(X_1), P(X_2)), то т.к. E(exp{itX})=\int_{-\infty}^{+\infty}exp{itx}P(x)dx, получаем
ψ₁ + ψ₂=\int_{-\infty}^{+\infty}\exp{itx}P_1(x)dx+\int_{-\infty}^{+\infty}\exp{itx}P_2(x)dx=
\int_{-\infty}^{+\infty}\exp{itx}(P_1(x)+P_2(x))dx. Плотность вероятности P(X) --- это производная ф-ии распредeления абсолютно непрерывной с.в. X, т.е.
\int_{-\infty}^{+\infty}\exp{itx}(P_1(x)+P_2(x))dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\exp{itx}P(x)dF(x)
где F(x) --- ф-я распределения с.в. с плотностью P(x)=P_1(x)+P_2(x). Ну и все: сложили плотности, нашли хар. ф-ю с.в. с этой плотностью (=проинтегрировали), вот эта с.в. и есть искомая: ее хар. ф-я и есть сумма ψ₁ + ψ₂.
"Интерференционные члены" вылезают из-за этой связи распределения с его хар. ф-ей через преобразование Фурье.
Это классическая колмогоровская теория вероятностей в чистом виде.
А может быть всё таки Фурье преобразование от самой плотности вероятности ψ*ψ считать характеристической функцией? Тогда видно в чём её похожесть и различие от Колмгоровской. И что нового вносит суперпозиция.
Но это так и есть:
E(exp{itX})=\int_{-\infty}^{+\infty}exp{itx}P(x)dx
где P(x) --- плотность вероятности действительной абсолютно непрерывной случайной величины X, т.е. это в чистом виде преобразование Фурье от P(x), и это характеристическая функция с.в. X. Ведь в Вашем случае X=ψ*ψ если * --- комплексное сопряжение. Тогда X --- действительная случайная величина. Физики по умолчанию считают ее имеющей плотность вероятности; стало быть, ψ*ψ --- абсолютно непрерывная случайная величина.
Отличие от колмогоровской в чем тогда?
Для некоммутирующих наблюдаемых. А так да, марковский процесс.
Возьмем для начала импульс и координату. Им соответствуют некоммутирующие операторы. Соотношение неопределенности для пары координата-импульс--- чисто математический факт: неравенство для произведения вторых моментов квадрата абс. величины функции и квадрата абс. величины ее Фурье-образа. Это теорема Вейля. Квадрат абс. величины функции есть функция распределения, т.е. соотношение неопределенности --- это просто (достижимая) нижняя граница произведения вторых моментов этой ф-ии и ее Фурье-образа. Причем граница достигается как раз на нормальном распределении.
Преобразования Фурье (прямое и обратное) имеют одинаковый вид если смотреть на них как на характеристические функции, поэтому можно каждое из них считать характеристической ф-ей соотв. с.в. , т.е. в одном случае это будет координата, в другом -- импульс.
Все равно чистая классическая теория вероятностей, кмк.
Значит, как получается, и смысл вероятности такой же.
Да, обычная вероятность, колмогоровская. Просто наблюдаемые случайные величины лежат в разных пространствах, в случае пары координата-импульс --- в сопряженных пространствах. Но это и есть контекстуальность, насколько я понимаю. Обычная теория вероятностей, но в разных пространствах событий. Поэтому и для одной с.в. все хорошо, и для второй с.в. все хорошо, но у них не то что совместного распределения нет, они вообще в разных пространствах событий могут лежать . Ну, а тогда все корреляции между ними либо бессмысленны, либо тривиальны: если пару перчаток положили в разные ящики, один отправили в туманность Андромеды, то, открыв ящик, оставшийся на Земле, и увидев в нем левую перчатку, мы точно и мгновенно узнаем, что в туманности Андромеды --- правая перчатка. Никакой информации так передать в принципе нельзя, никакой мистики нет, и никаких неклассических вероятностей тоже нет. НО есть (1) предположение об абсолютной непрерывности функции распределения (т.е. об архимедовости физического мира) и (2) есть переход к пределу относительно архимедовой метрики при построении плотности вероятности по конечному набору данных, а таких "пределов" заведомо не то что бесконечно много, их и континуум может быть. А берем только один, который привычен (или больше нравится). Насколько (1)-(2) физичны --- это большой вопрос. Похоже, экспериментально это вообще не определить никак в принципе, кмк.
Как-то так пока получается.
Так хорошо получается! Вся мистика исчезает. Да-с, отобрали хлеб у стэндаперов.
У них не отберешь, загрызут. :(
У них своя ниша любителей. Да к тому же они копенгагенианцы-схоластики.
Ну и хрен с ними со всеми. В конце концов, у меня цель самому разобраться в интересных для меня вопросах, а не с кем-то конкурировать или, тем более, у кого-то хлеб отбирать.
В том-то и дело. Никакой мистики в неравенстве Бэлла нет - надо просто взять правильную волновую функцию и посчитать мат-ожидания. Результат совпадает с экспериментальным. Вот и всё.
Конечно, нет никакой мистики. А вот неясность лично у меня осталась. Интуитивно мне доказательство Бэлла не нравится, в смысле, ощущаю в нем некоторую некорректность. Вот и пытаюсь разобраться.
Если взять правильную (собственную) функцию, то всё и получается как по учебнику.
Как понять, какая функция правильная, а какая нет? Собственная=правильная?
Именно собственная. Мы же мат-ожидания считаем.
Хорошо. Где можно посмотреть правильный вывод как по учебнику? Шаг за шагом?
Неравенство Бэлла? В моей статье я взял за основу объяснение из:
Wolfgang Scherer, Mathematics of Quantum Computing, Springer, 2019.
pdf (не путать с probability density function) есть бесплатно в интернете.
Там есть неправильный Бэлловский и правильный тоже, шаг за шагом, и Клаузеровская модификация неравенства. Обменного взаимодействия там нет - это надо в Ландау лезть.
Скачал, спасибо. Посмотрел уже, вроде вывод аккуратнее чем все то, что я видел раньше. Буду разбираться.
С обменным взаимодействием потом, после Бэлла.
Вероятности разные получаются. Да, притом существенно разные: неравенства Бэлла тому пример.
Именно. Не зря я к доказательству Бэлла отношусь с крайней настороженностью: используется классическая теория вероятностей, но применяется к объекту, который этой классической теорией заведомо не описывается, а стат. обработка экспериментальных данных делается на основе классической мат., статистике, основанной на классической колмогоровской теории вероятностей.
Не тут ли собака порылась?
Страницы