Парадокс расширяющейся Земли

Принципиальное отличие между Ньютоновской теорией гравитации и общей теорией относительности заключается в том, что по Ньютону на тело падающее в гравитационном поле действует сила притяжения, а по Эйнштейну падающее тело движется по геодезической и никакая сила на него не действует. Оно, падая, находится в покое. Кто прав, Ньютон или Эйнштейн, вам скажет любой космонавт побывавший в невесомости на орбите.

Теории дают разную картину мира и для существ находящихся на поверхности Земли. По Ньютону сила гравитации компенсируется силой реакции поверхности Земли, и поэтому те, кто стоит, сидит или лежит, находятся в покое. По Эйнштейну, однако, они находятся в движении, притом равноускоренном. Даже Депардьё после пяти бутылок бургунского равноускоряется.

Мир Ньютона прост и понятен. Мир Эйнштейна, несмотря на логическую очевидность многих вещей в нём, продолжает преподносить сюрпризы в виде парадоксов и говоломок. Впрочем, поэтому он и интересен.

Ландау в своём курсе теоретической физики многое замёл под ковёр. Тем не менее некоторые “соринки” были найдены и вытащены на всеобщее обозрение. Так, в 59-ом Дюэн и Бэран (Edmond M. Dewan; Michael J. Beran) перечитав внимательно ещё раз Ландау (в их коротенькой статье всего одна ссылка на второй том Ландау и Лившица) придумали парадокс. Спустя лет 15-ть Джон Бэлл, тот самый чьи неравенства, переформулировал этот парадокс в более наглядной форме. Теперь он звучит так:

Два космических корабля связанные непрочной верёвкой начинают равноускоренно двигаться один за другим. Ускорение обоих одинаковое. Во общем-то вроде понятно, что корабли и верёвка двигаются как одно целое. Тем не менее верёвка порвётся. С чего бы рваться верёвке? Бэлл даже приехал в CERN и предложил свой парадокс (присвоил, бывает) для обсуждения физикам CERNа. Как он впоследствии описал свой опыт общения: никто не поверил. Ни один. Даже ведущие спецы по теории относительности. Однако после скрупулёзного и подробного разбора все с ним в результате согласились. Рвётся.

Наглядность важна - скорее всего именно поэтому парадокс и носит имя Бэлла, а ни Ландау-Лившица и ни Дюэна-Бэрана. Мы, пожалуй, воспользуемся трюком Бэлла и переформулируем этот парадокс по-своему, назвав его в добавок “парадоксом расширяющейся Земли”. Более того, Бэлл по каким-то причинам объяснял свой парадокс на основе частной (специальной) теории относительности, которая применима только для инерциальных систем отсчёта (постоянная скорость). Мы пойдём другим путём и воспользуемся общей теорией относительности, что, как нам представляется, правильно, так как система отсчёта двигающаяся с ускорением - неинерциальная.

Итак. Представим себе двух наблюдателей, к примеру, чёрта с бэтмэном. Чёрт лежит вверх брюхом на Земле и жрёт свой макдональдс, а второго, бэтмэна, злые русские выкинули с космической станции потому, что тот засрал им туалет, и он, находясь в полном покое (крылья в вакууме ни к чему), двигается по геодезической предвкушая встречу с Землей. Допустим он летит вертикально вниз. Введём сферическую систему координат с началом в центре Земли. Чтобы не возиться с телесными углами направим z-ось вдоль геодезической летящего бэтмэна, то есть положим θ = 0. Таким образом задача стала двумерной: имеем координатное время, t, и радиальное расстояние, r.

Обозначим радиус летящего бэтмена через r’, а радиус лежащего чёрта как r. Тогда они связаны соотношением: r′ = r + h - gt²/2, где h - какая-то начальная высота, g - ускорение свободного падения. Метрика бэтмэна плоская, то есть Минковского: ds² = c²dt² - dr’². Бэтмэн является удалённым наблюдателем и ему интересно знать, что же чёрт возьми происходит на поверхности Земли. И нам тоже. Поэтому, найдём, что dr′ = dr - gtdt и подставим это в ds² (можно и иначе как в Квантовых технологиях империи Цинь, что непринципиально). Получим:

ds² = c²[1 - (gt/c)²]dt² + 2gtdtdr - dr².

Очевидно - это уже не Минковский. Расстояния в неинерциальной системе отсчёта считаются следующим образом. Пусть из некоторой точки В пространства-времени отправляется световой сигнал в бесконечно близкую к ней точку А, а затем сразу обратно по тому же пути. Необходимое для этого время, отсчитываемое в точке В, умноженное на скорость света с, есть, очевидно, удвоенное расстояние между А и В.

Можно написать интервал ds² в общем виде в точке В, отделив временные компоненты от пространственных. В точке В интервал равен нулю, ds² = 0. В результате получается квадратное уравнение для промежутка координатного времени необходимого сигналу, чтобы вернуться. Его нетрудно решить. Собственное время получается умножением координатного на квадратный корень от временной компоненты метрического тензора делённого на скорость света с. Чтобы получить собственное расстояние надо всего лишь умножить собственное время на с/2. В результате получаем пространственный метрический тензор γ_αβ, определяющий метрику трехмерного пространства:

γ_αβ = - g_αβ + g_0αg_0β/g₀₀,

где g₀₀ обозначает временную компоненту метрического тензора пространства-времени; с греческими буковками g_αβ – чисто пространственные; а g_0α обозначает смешанные компоненты, временные и пространственные.

Как видно, в пространстве-времени, где метрический тензор g_ij диагонален, компоненты пространственного метрического тензора γ_αβ такие же как и g_αβ, но взятые с обратным знаком. Однако наличие внедиагональных членов g_0α существенно меняют картинку. А у нас как раз этот случай.

Посчитаем и получим пространственную метрику в виде:

dℓ² = dr² / [1 - (gt/c)²],

из чего следует, что чёртов дифференциал собственного радиуса Земли растёт со временем как:

dR = dr / [1 - (gt/c)²]^1/2.

И это действительно очень интересный и парадоксальный результат! Теперь понятно, почему физики CERNа приняли парадокс Бэлла в штыки, а Ландау в своё время замёл это всё под ковёр.

Для того чтобы получить зависимость радиуса Земли R от времени надо проинтегрировать dR по r, зная зависимость g от радиуса. Эта зависимость есть в литературе и она достаточно сложная и, главное, не аналитическая. По уму всё это надо делать, конечно, численно.

Здесь прежде всего отметим, что ускорение свободного падения зависит от собственного чёртова радиуса R, а не от бэтмэновского r. Более того, координатное время на поверхности Земли также должно быть выражено через собственное, чёртово. Но, чтобы почувствовать вкус парадокса расширяющейся Земли, поступим просто и грубо. Предположим, что чёртов радиус и чёртово время в первом приближении не сильно отличаются от координатного бэтмэнского. Это допустимо при очень коротких промежутках времени.

Далее возьмём среднюю плотность, которая, разумеется, тоже меняется во времени. В начальный момент - это масса Земли на её объём. Из закона Ньютона - ха-а! привет Ньютону - найдём линейную зависимость ускорения свободного падения от радиуса. Подставим её в интеграл и получим простенький эллиптический - ну нам просто повезло (в последнее время как-​то редко так везёт). Посчитаем и найдём:

R = (c/kt)arcsin(ktr₀/c),

где k = (4π/3)Gρ(t); G - гравитационная постоянная; ρ(t) - средняя плотность зависящая от времени; r₀ - начальный радиус. Можно найти и зависимость средней плотности от времени. Для этого используем радиус R(t) и тот факт, что полная масса Земли остаётся постоянной. В результате поимеем достаточно сложное нелинейное уравнение для ρ(t), но которое, кстати, очень просто решается численно.

Если затем посчитать увеличение радиуса Земли используя найденные чёртовы зависимости от времени, то получим сотни метров в год. Такая прыть - ну очень-​очень много. Конечно, это отчасти объясняется тем, что мы всё очень сильно загрубили. С другой стороны Бэлл не зря упомянул именно непрочную верёвку. Возьмём, к примеру, сверхпрочный трос. Тогда он не порвётся сразу, а будет растягиваться сопротивляясь увеличению расстояния между космическими кораблями - сопромат на то и сопромат. Вязкость, упругость и эластичность внутренностей Земли также будут иметь свой эффект. Из чего в частности следует, что кроме тангенциальных разрывов коры Земли должны присутствовать субгоризонтальные трещины и зоны растяжения (рифты). И они, впрочем, должны быть видны на сейсмо-​томографических изображениях (seismic imaging) не осадочных пород, а таких как гранит и базальт. А вот так ли это?