Палка о трех началах: Формульный подход

В первой части рассказа мы рассмотрели фундаментальные следствия закона сохранения энергии – начала термодинамики. Теперь посмотрим, чем они могут помочь на практике. Сразу скажем, что изложение в этой части будет менее «дружественным», чем в первой. В частности, нам придется использовать различные формулы для записи результатов рассуждений.

---

Для начала представим, что у нас есть паровой двигатель, анимация действия которого представлена ниже:

Принцип его действия очевиден. В правую часть цилиндра подается пар под давлением, который толкает шток, влево. Одновременно другим штоком происходит воздействие на подачу пара в цилиндр: при прямом движении основного штока влево происходит закрытие входного окна, при обратном движении вправо – открытие. То есть, выполняется непрерывный процесс двух тактов: подачи и выпуска пара в цилиндре. Из школьного курса читатель помнит, что процесс подачи пара в цилиндр – это процесс его расширения. Поскольку процесс этот идет достаточно быстро, то можно принять его адиабатным, то есть, без существенного теплообмена с окружающей средой. Формульно такой процесс можно записать следующим образом:

Здесь – A и B – некие константы, p и v – соответственно, давление и удельный объем (величина обратная плотности) пара в цилиндре.

Основной момент, который нужно понимать, глядя на эту формулу, заключается в том, что обе переменные величины меняются в результате процесса расширения от неких начальных до конечных значений, а также не имеют однозначного соответствия. То есть, каждому значению давления может соответствовать бесчисленное множество значений удельного объема. Напомним, что плотность – это функция состояния и зависит не только от давления, но и от температуры. Графически в координатах «p-v» это соответствует множеству кривых между точками, соответствующими начальному и конечному давлению в процессе расширения (две красные линии на графики между точками начала и окончания процесса):

В принципе, так как температура пара на входе в цилиндр, а также по окончанию процесса – есть функция от конструкции паровой машины, то можно принять, что набор кривых пойдет между двумя точками. Но от этого не легче: их все равно будет бесчисленное множество:

Отметим, что кроме парового двигателя можно представить бесконечное множество иных двигателей, позволяющих «снять» работу в процессе расширения пара от приведенных точек начала и конца. Иными словами, существует бесчисленное множество путей осуществления процесса получения работы за счет расширения пара с заданного начального до заданного конечного давления. Формульно эта работа может быть определена следующим образом:

Здесь в левой части уравнения стоит работа, совершаемая в процессе расширения от точки начала до точки конца, а в правой интеграл изменения давления в зависимости от удельного объема пара, взятый между соответствующими его значениями в начале и конце процесса. Так как, повторим, величина левой части уравнения может принимать бесчисленное множество значений, нужно определить наиболее выгодный закон, по которому она должна изменяться.

Сразу скажем, что для рассмотренного парового двигателя нужно не просто однократно подвести пар в цилиндр, а делать это регулярно, что и отражает движение запорного клапана на анимации. То есть, у нас должен быть реализован цикл между точками начала и конца расширения. Этот цикл может быть как действительным, то есть отработанный пар обратно сжимается, нагревается в котле и отправляется в цилиндр, так и виртуальным, когда отработанный пар сбрасывается в атмосферу, а в котел подается вода со стороны. В любом случае, принципиально мы должны получить график такого вида:

Здесь по верхней кривой происходит процесс расширения пара в цилиндре, а по нижней – его сжатие. Естественно, для сжатия пара требуется затратить некую работу, которая рассчитывается по формуле:

Очевидно, что двигатель будет иметь смысл только в том случае, если эта работа окажется меньше полученной от него. Поскольку работа равна интегралу, а, следовательно, площади под кривой, то это соответствует требованию прохождения кривой сжатия под кривой расширения.

Теперь нам нужно вернуться к первой статье, и вспомнить, про первое и второе начало. Напомним, что первое говорит, что изменение внутренней энергии пара в процессе движения по двум кривым (процесс точка начала – точка конца – точка начала) равно разности работ, совершенной паром при расширении и над паром при сжатии, суммированной с разностью теплоты подведенной и пару и отведенной от него. О том, что отведенная теплота есть, нам говорит второе начало. С другой стороны, процесс заключается в том, что мы из точки начала пришли в нее же, а, значит, изменение внутренней энергии равно нулю. То есть, дебаланс работы равен дебалансу тепла. Далее опять-таки воспользуемся формулой, которой отразим этот вывод:

Здесь l_c – это нетто-работа, а в правой части разность подведенной и отведенной теплоты. Тогда очевидно, что КПД любого двигателя может быть рассчитано по формуле:

Индекс «t» – означает «термический», а сам этот КПД так и называется: термический КПД.

Теперь перед нами встает следующий вопрос: откуда подводится тепло в цикле, и куда оно отводится? Для ответа на него в теплотехнике вводятся понятия горячего и холодного источника тепла. Горячим источником называют систему, из которой отводится тепло для подвода в цикл, а холодным источником – систему, в которую сбрасывается тепло из цикла. При этом, как правило, принимается, что оба источника имеют такие температуры, что забор и сброс тепла из цикла – никак не сказываются на их значении.

Однако, все вышесказанное было не более, чем прелюдией, так как мы до сих пор ничего не сказали о том, каким образом можно применить цикл «вообще» на практике. Первым на этот вопрос дал ответ в 1824 г. французский инженер Карно. Он сумел теоретически обосновать цикл, графическое изображение которого представлено ниже:

Получившийся график играет очень важную роль в теплотехнике, и в честь первооткрывателя назван циклом Карно. Суть его заключается в следующем. От точки 1 до точки 2 к рабочему телу идет подвод теплоты от горячего источника при постоянной температуре. Этот процесс из школьного курса известен, как изотермический. Естественно, что в таком процессе тело будет расширяться. Далее оно от точки 2 до точки 3 оно расширяется уже по адиабате, реализацией чего является и уже представленный выше процесс расширения пара в цилиндре. От точки 3 до точки 4 происходит отвод тепла к холодному источнику, также по изотерме. Разумеется, при этом будет происходить сжатие. И, наконец, от точки 4 до точки 1 тело сжимается адибатно.

Для такого цикла, при условии, что в процессе нагрева тело достигает температуры горячего источника, а в процессе охлаждения – холодного, Карно сумел вывести расчетное значение термического КПД, которое рассчитывается по формуле:

Здесь T₁ и T₂ – это температуры горячего и холодного источника, соответственно, взятые в градусах Кельвина. Правая же часть равенства была нами выведена еще раньше. Отсюда можно вывести такое равенство:

Если, вслед за немецким ученым Клаузиусом, ввести величину S, равную отношению в левой и правой части равенства, то можно написать такой закон для всего цикла:

То есть, величина S в таком процессе остается постоянной. Тут уже некоторые читатели должны криком кричать: «Давай уже энтропию!».

Даю. Эта величина и есть энтропия. Из наших рассуждений видно, что применительно к циклу Карно она обладает таким свойством: если цикл идет при условии равенства предельных температур рабочего тела температурам горячего и холодного источников, то изменение энтропии равно нулю. Если же нет, то это изменение будет положительным: энтропии добавится. А, вот, убавиться она не может, что дало право Клаузиусу выдвинуть гипотезу тепловой смерти Вселенной: раз все процессы идут с возрастанием энтропии, то рано или поздно она станет максимальной, когда процессы закончатся. А, кроме того, в начале это пути должно быть Нечто, запустившее все процессы, над которым закон возрастания энтропии не властен. Ответ смог дать лишь Больцман, показавший связь между энтропией и уже знакомой нам по первой статье термодинамической вероятностью:

Здесь W – это термодинамическая вероятность системы, а k – переводной коэффициент, равный 1,38*10^-23 Дж/К. То есть, оказывается, что энтропия носит вероятностный характер, и отражает степень неупорядоченности системы, то есть является мерилом хаоса. И любой процесс ведет к увеличению хаоса, к переходу к наиболее вероятному состоянию Вселенной. То есть, второй закон термодинамики можно сформулировать еще и так:

Ни один процесс не может идти с уменьшением энтропии.

 

Это может показаться странным, ибо даже в примере с шариками в банке можно представить себе человека, который после удаления перегородки вручную разведет шарики разных цветов по ее разным половинкам. Однако, парадокс лишь кажущийся: человек произведет некую работу, которая вызовет увеличение энтропии, и общая энтропия в мире возрастет. Отметим, что процесс, в котором энтропия остается равной нулю называется обратимым, прочие – необратимыми.

Из связи энтропии и термодинамической вероятности видно и еще одно следствие. При абсолютном нуле, когда термодинамическая вероятность становится равной единице, энтропия становится равна нулю. То есть, третье начало может быть сформулировано еще и так:

Энтропия тела при приближении к абсолютному нулю температур стремится к нулю.

 

Что же касается неизбежности тепловой смерти Вселенной и наличия в ней Перводвигателя, то некий оптимизм тут добавляет именно статистический характер энтропии. Можно показать, что если число шариков в банке равно числу атомов в одном моле вещества, то мы не сможем на практике наблюдать отклонения от наиболее вероятного состояния системы. Даже если бы мы могли измерять разность энтропии равную 10^-6 кДж/кг (что пока что невероятно), то это бы соответствовало отношению термодинамических состояний наиболее вероятного и наблюдаемого, как 1:10²⁰⁰. Как будто бы это говорит о неизбежности существования Перводвигателя и тепловой смерти, но при сравнении со временем жизни Вселенной – такие флуктуации оказываются вероятными, а само ее существование – именно ими и объясняется. Примерно такие слова и можно было встретить в любом советском учебнике по термодинамике. Не знаю кому как, но меня такие рассуждения не убеждают, и представить себе Вселенную без Бога – я не могу. Впрочем, это уже к делу не относится.

Важнейшим свойством обратимого цикла Карно является то, что при заданных значениях температур горячего и холодного источников его КПД выше, чем у любого другого цикла. Кроме того, на такой цикл, как и на любой иной обратимый цикл, распространяется теорема Карно: термический КПД любого обратимого цикла, осуществляемого между двумя источниками тепла, зависит лишь от температур этих источников, и не зависит от свойств вещества, применяемого в цикле. Еще одной особенностью обратимого цикла Карно является то, что в обеих его адиабатах процессы происходят по изоэнтропе, то есть энтропия в процессе от точки 4 к 1 и то точки 2 к 3 – не меняется. Это значит, что в координатах «T-S» цикл Карно изображается в виде прямоугольника. Из этого графика, к слову, видна и очевидность того, что КПД цикла Карно выше КПД любого иного цикла:

Из графика видно, что отношение площадей под циклом Карно (синие линии), соответствующих отведенной работе и подведенному теплу, больше, чем для лежащего в тех же температурных границах произвольного цикла (красные линии). А так как КПД обратимого цикла Карно зависит только от температур источников, то это значит, что КПД любого такого цикла будет выше, чем КПД красного цикла.

Читателю ясно, что обратимый цикл Карно, равно, как и любой иной обратимый цикл – это «сферический конь в вакууме: реальные процессы всегда необратимы. Поэтому при попытке реализовать на практике тепловой цикл, его экономичность будет всегда ниже экономичности теоретического обратимого цикла Карно. Можно показать, что любому тепловому циклу можно поставить в соответствие некий цикл Карно, термический КПД которого равен термическому КПД этого цикла. При этом температуры горячего и холодного источников для эквивалентного цикла Карно будут, соответственно, меньше и больше таковых для исходного цикла. Кроме того, на практике помимо «карнотических» потерь экономичности на отвод тепла к холодному источнику, имеются и иные потери: трения в шарнирах, излучения через стенки и т.д. Эти все потери характеризуются внутренним относительным КПД цикла, причем у каждого его элемента есть свой внутренний КПД, произведение которых и равно внутреннему относительному КПД цикла. Для разобранного выше случая с паровым цилиндром – это величина, являющаяся отношением работы снятой со штока, к работе, которую совершил пар при расширении. Тогда реальный внутренний КПД цикла равен произведению термического КПД эквивалентного цикла Карно и внутреннего относительного КПД. Думается, теперь читатель не попадет впросак, когда наткнется на слова о том, что «КПД новой паровой турбины на электростанции равно 90%», и скажет: «ерунда какая, КПД станции же равен 30%!». Просто 90% – это внутренний относительный КПД турбины, а 30% – это внутренний КПД всего цикла.

А также нам думается, что теперь-то любой читатель понимает всю ущербность популярного ныне принципа оценки экономичности станции по EROI в сравнении с оценкой по КПД. Первый подход еще как-то применим при грубых прикидках по энергобалансу района в целом, но для конкретного производства он не годится, ибо никак не учитывает «качество» затраченной и полученной энергии.

К слову, в конце статьи нам предстоит ознакомиться с еще одной формулой, имеющей отношение именно к циклам при сжигании органического топлива. Для таких циклов верно следующее соотношение:

В этой формуле слева записан внутренний КПД цикла (обязательно нужно помнить, что это именно КПД цикла без учета затрат электроэнергии на собственные нужды!), а справа – отношение полученной от производства цикла электрической мощности, МВт, к подведенной теплоте – произведению секундного расхода топлива на цикл, кг/с, с удельной теплотворной способностью топлива, МДж/кг. Тогда удельный расход топлива на выработку единицы электрической мощности равен:

Для сравнения удельного расхода циклов с разным топливом вводится понятие «условного топлива» с удельной теплотворной способностью 7000 ккал/кг. При пересчете в МДж/кг это соответствует 29,33 МДж/кг, а сама формула, если выразить удельный расход в г/кВтч, приобретает вид:

Впрочем, о конкретных производствах мы поговорим в третьей части.