Сатанизм субатомного мира

Возьмём одинаковых зверюшек и разнесём их по трём разным континентам. И бросим их там дав им хорошего пинка под зад - плодитесь и размножайтесь, твари. Через тысячи лет мы, возможно, обнаружим три совершенно разных вида животинок совсем непохожих друг на дружку. Такое происходит не только со зверушками, но и с идеями тоже. Притом гораздо быстрее, тут тысяч лет не нужно, так как разум сам по себе является сильнейшим мутагеном для любой идеи.

Ещё в средние века стало ясно, что с этим миром что-то не так. В гармонию музыки сфер вторгались какие-то злобные демоны из потустороннего мира, тряся астролябии, алхимические колбы, и мухлюя с игральными костями и картами (в античности, впрочем, то были боги, а не демоны).  Особенно всех ставила в тупик игра в кости - вроде бы тупая игра, не шахматы, но рука дьявола в ней чувствовалась особенно сильно. Дьявол всегда, когда хотел, обыгрывал творение божье. У учёных монахов Европы появилась сверхзадача: обыграть чёрта в кости. А как? Вот и задумались монахи…

Сущностью творческой эволюции Анри Бергсона является развитие по расходящимся направлениям. Всё мутирует, всё изменяется. Так произошло и с идеей вероятности-шанса. Минули столетия. К 30-ым годам прошлого века вполне оформились три основных вида теории вероятностей. Три зверушки, чем-то очень похожие, но всё же различные. Первая - это Байесовская статистика, вторую условно назовём Колмогоровской теорией вероятностей (условно, так как в её построении очень-очень много кто поучаствовал включая Макса Планка и даже Эйнштейна), и третья - волновая механика. Именно так: квантовая (волновая) механика - это мутант теории вероятностей, а в частности мутант её подвида: теории марковских процессов. Что ж, не всякий разглядит в голубе птеродактиля. Но мы сможем.

Байесовскую теорию мы обсуждали ранее (Говорящее кресло Стивена Хокинга), поэтому касаться её здесь не будем несмотря на то, что она действительно весьма любопытна сама по себе. Остановимся на волновой механике и Колмогоровской теории.

Джеймс Максвелл был одним из первых, кто привнёс идею вероятности в физику. Он напрямую связывал хаос с демонами из потустороннего мира. Однако максвелловские демоны были рациональны и даже полезны, а хаос – молекулярным: хаотические столкновения молекул влияли на измерительные приборы приводя к тому, что любые измерения имели разброс. Но главное - Максвелл перетащил функции распределения из математики в физику, а в частности распределение Гаусса.

Потом появилось знаменитое уравнение Больцмана, где функцию распределения можно было найти решая это уравнение. Больцмановская функция распределения частиц определена в шести-мерном конфигурационном (фазовом) пространстве координат и импульсов (или скоростей, что неважно), а само уравнение описывает эволюцию этой функции. Это интегро-дифференциальное нелинейное уравнение, содержащее “интегральный” столкновительный член в правой части, который учитывает баланс частиц приходящих в элемент фазового объёма и уходящих из него в результате столкновений. Решение этого уравнения (даже численное) до сих пор представляет большие трудности. Однако, считая моменты, то есть умножая уравнение на единицу, скорость, квадрат скорости, смешанные произведения компонент скорости, и тд., и интегрируя по всему пространству скоростей, можно получить уравнения газовой динамики (Эйлера) путём "обрезания" бесконечной цепочки уравнений Боголюбова.

Таким образом из молекулярного хаоса вылупились хоть и нелинейные, но вполне детерминистические уравнения. Это очень красивый результат! Более того, стало ясно, что с функцией распределения можно поступать так же, как и с плотностью вероятности вычисляя моменты, а зная моменты мы знаем всё.

У уравнения Больцмана есть линейный аналог, а именно уравнение переноса излучения (the radiative transfer equation). Это тоже интегро-дифференциальное уравнение описывающее фотоны в рассеивающей среде в пяти-мерном фазовом пространстве. Левая часть уравнения говорит нам сколько фотонов ушло с какого-то направления распространения света в результате рассеяния и абсорбции, а интегральный справа - сколько пришло с других направлений. А пяти-мерное оно потому, что в каждой точке пространства скорость света одинакова по всем направлениям, другими словами в пространстве скоростей фотоны распределены на сфере - отсюда минус одна размерность.

Уравнение очень любопытное, но в данном случае оно интересно нам тем, что без абсорбции первые два момента этого уравнения приводят к уравнению Фоккера-Планка (часто называемым уравнением диффузии или приближением Эддингтона). Возникает вопрос: почему моменты уравнения Больцмана не дают Фоккера-Планка, а моменты уравнения переноса дают. Ответ в общем-то прост: процесс рассеяния фотонов в мутной среде - марковский. Что это такое?

Рассмотрим какую-нибудь случайную величину, зависящую от времени. Пусть для определённости это будет координата частицы x(t), фотона, например. Если последующее значение x за один тик времени τ зависит только от предыдущих значений, а, скажем, не от “внезапного” изменения свойств среды или, ха-ха-ха, климата, то такое блуждание частицы - марковский процесс. Куда прыгнет частица определяется плотностью вероятности w(x,t).

Эволюция плотности вероятности подчиняется уравнению Фоккера-Планка, которое получается из более сложного уравнения, если ограничиться только первыми двумя моментами: средним значением <x> = ∫xw(x,t)dx и средним от квадрата <x²> = ∫x²w(x,t)dx (или вариации, не важно). Это уравнение обычно записывают в "гидродинамической" форме как уравнение непрерывности: ∂_tw + ∂_xS = 0 (так более стильно, полагаю), куда входит поток вероятности (именно так: “поток вероятности”, что будет важно в дальнейшем): S = K₁w - (1/2)∂_x(K₂w), где ∂_t и ∂_x - операторы взятия частных производных по времени и координате, соответственно.

Несмотря на гидродинамическую форму, это параболическое уравнение типа диффузии, содержащее член со второй производной по координате. Его простота обманчива. Всё дело в коэффициентах. В общем случае они такие: K₁ = <Δx>/τ, и K₂ = <Δx²>/τ, где Δx = x(t + τ) – x(t). Другими словами выражаются через производные от моментов по времени, а сами моменты вычисляются с помощью искомой плотности вероятности w. То есть, уравнение Фоккера-Планка по своей сути нелинейное (есть и линейные аналоги, разумеется, - рассеяние фотонов тому пример). Тем не менее в некоторых случаях коэффициенты можно угадать. Или найти из "физических соображений", что в принципе то же самое, что и угадать.

Колмогоров существенно развил и математически формализовал теорию вероятности и теорию марковских процессов добавив также своё, сопряжённое к Фоккеру-Планку, уравнение. Да и вообще очень много сделал, поэтому мы и назвали эту зверушку Колмогоровской.

Так сложилось, что Колмогоровская зверушка живёт и питается на полянке теории множеств. Метаболизм её тушки основывается на операциях манипулирования со множествами такими как разбиение множеств на подмножества, а также операциями пересечения, объединения, дополнения, симметричного дополнения и тд., задающими так называемую σ-алгебру (как в арифметике мы поступаем с числами - делим, складываем, вычитаем и умножаем). Множества "перевариваются и усваиваются" с помощью теории меры, то есть множествам ставится в соответствие какое-то число, и далее на основе меры считается вероятность.

Правомерно спросить: а можно ли жить без всех этих σ-алгебр, борелевских множеств, меры Лебега в конце концов? Ответ положительный. Действительно, при решении уравнения Фоккера-Планка часто раскладывают искомую плотность вероятности по ортонормированному функциональному базису (пример: ряды Фурье). И сделав всего один шажок вперёд - маленький для человека, но огромный для человечества - мы попадаем в Гильбертовы пространства. В них и обитает другая зверушка, родственица этой. А что у нас с ней?

С начала прошлого столетия уже было известно несколько странных свойств потустороннего мира, и прежде всего интерференция субатомных объектов. Поэтому в создании волновой механики особую роль сыграла волновая оптика. Из оптической аналогии естественным образом следовали также и соотношения неопределённостей Хайзенберга.

С одной стороны комплексные функции хорошо подходили для описания интерференции и дифракции, как это и делалось в оптике. Но с другой стороны плотность вероятности должна быть вещественной и положительной функцией. Всё это необходимо было учесть, и поэтому "тупо" копировать теорию марковских процессов не получалось.

Более того, плотность вероятности в новой теории должна была зависеть от начальных условий самым простейшим образом, то есть начальные условия не могут содержать производных по времени от самой плотности вероятности, что подразумевало уравнение первого порядка по времени.

Первый порядок по времени являлся существенным условием ещё и потому, что дисперсионное соотношение де Бройля связывало частоту с квадратом волнового вектора свободной частицы двигающейся в определённом направлении (без всяких минусов и плюсов появляющихся при извлечении, например, квадратного корня), а сам квадрат волнового вектора недвусмысленно указывал на вторую производную по координатам. Именно это последнее условие, конечно, подразумевало что-то à la уравнения Фоккера-Планка.

Были и другие условия, такие как "нечувствительность" плотности вероятности к выбору нулевого уровня энергии (в нерелятивистской версии). Это тоже был намёк на то, что нулевой уровень должен был бы входить в комплексную экспоненту.

Какой из намёков оказался решающим история умалчивает. Макс Борн и Пол Эренфест по аналогии с электродинамикой, ставшей основой волновой оптики, ввели понятие волн вероятностей, где какая-то комплексная функция ψ играла бы роль электрического и/или магнитного полей, и чей квадрат абсолютного значения давал бы плотность вероятности, а именно w = ψ*ψ, что сильно смахивало на формулу для плотности энергии электромагнитного поля. И не случайно.

Уже после войны Шрёдингер, отдыхая на лыжном курорте с одной из своих жён пока другая в очередной раз развлекалась где-то в Гёттингене с Хер-мэном Вайлем (H. Weyl), придумал уравнение для волновой функции ψ, удовлетворявшем всем вышеперечисленным условиям и похожим на уравнение Фоккера-Планка. Но с одним существенным различием: первая производная по времени входила в уравнение вместе с мнимой единицей: iℏ∂ψ/∂t = Hψ, где H - Гамильтониан.

Что даёт мнимая единица? Так, если представить волновую функцию как сумму вещественной и мнимой частей: ψ = U + iV, то при подстановке её в уравнение Шрёдингера видно, что вещественная часть выражается через мнимую, а мнимая через вещественную. То есть, мнимая единица их "спутывает", и ни та, ни другая части по отдельности не являются решениями уравнения Шрёдингера, а только вместе. А это уже что-то новенькое, чего не было в оптике. И действительно, оптическое волновое уравнение - второго порядка по времени и по координатам (гиперболическое), из чего следует, что при подстановке f = U + iV вещественная часть выражается через саму себя, и мнимая тоже. Одна из них избыточна. Это различие между волновой механикой и оптикой принципиально и означает, что уравнение Шрёдингера по-сути является системой из двух "спутанных" уравнений для двух вещественных функций. Тогда w = U² + V².

Далее, если продифференцировать по времени плотность вероятности (w = U² + V²) и выразить производную по времени от вещественной части через мнимую, а мнимую через вещественную с помощью уравнения Шрёдингера, то получим аналог "гидродинамического" уравнения неразрывности Колмогоровской теории, но с тем различием, что и вещественная и мнимая части волновой функции входят в поток вероятности на равных. Уравнение неразрывности особенно просто выглядит для свободной частицы, где поток вероятности будет таким: S = (ℏ/m)(U∇V - V∇U). Разумеется, и U и V можно написать непосредственно в терминах ψ* и ψ.

Теперь имея в руках молоток и отвёртку можно начинать забивать в голову гвозди и вкручивать шурупы. Можно сперва посчитать среднее значение координаты частицы воспользовавшись плотностью вероятности: <x> = ∫ψ*xψdx. Далее таким образом можно найти и все моменты координаты xⁿ и среднее значение какой-нибудь функции от координат f(x). А что с импульсом p = ℏk? Да в общем-то так же. Применим к волновой функции преобразование Фурье и посчитаем: <p> = ℏ∫ϕ*kϕdk, где ϕ - Фурье образ ψ в k-пространстве. Но всё же нам “интересно посмотреть”, как будет выглядеть среднее значение импульса частицы в координатном пространстве. Для этого применим обратное преобразование Фурье к выражению для <p> и найдём, что импульс выражается через производные по координатам, то есть он стал оператором p = -iℏ∇ действующим на волновую функцию. Подобным образом получаются и другие операторы, такие как, например, оператор энергии (Гамильтониан): H = p²/2m + V(r), где V(r) потенциал кулоновского поля.

Средневековые монахи и не подозревали как сильно отличается потусторонний мир от мира божьего. Черти субатомного мира оказались настолько циничными и безжалостными, что лишили частицы самых основных и естественных прав вроде бы данных им от рождения Богом, таких, например, как право иметь траекторию, положение в пространстве и тд. И как же теперь быть с законами Ньютона? Но волновая механика и здесь берёт чёрта за рога: нет и не надо. Средних значений (мат-ожиданий) вполне достаточно. А они есть.

С этого момента мутировавшая зверушка начала отращивать когти и клыки: Шрёдингер с австрийского лыжного курорта вернулся не только полностью удовлетворённым, но и с решением своего уравнения для атома водорода, где было всё что надо, включая и дискретные уровни энергии. Стало так же ясно, что не нужно каждый раз считать моменты используя плотность вероятности ψ*ψ, а достаточно подействовать нужным оператором на волновую функцию. А так как среднее значение - это всё равно число, а волновая функция нормирована, то число выносится, а интеграл даёт единицу (в случае собственных функций, об этом чуть ниже). Вот и всё.

А что у нас в результате с соотношениями неопределённостей? Да вроде всё в порядке. Можно посчитать, например, корреляцию (x - <x>)(p - <p>), что по сути то же, что и ΔxΔp, и убедиться, что она всегда больше или равна постоянной Планка. Более того, неопределённость ΔxΔp строго равна постоянной Планка, то есть минимальна, когда координата x распределена по Гауссу. Частица находится “в покое” танцуя вокруг своего среднего значения - танцы-шманцы в субатомном мире.

Со временем в квантовой механике сложился и свой кокни диалект отличный от скауза Колмогоровской теории. Так, под действием оператора L стали понимать измерение случайной величины, называя последнюю наблюдаемой. Получалось так, что многократное действие оператора L на волновую функцию в общем случае приводило к разбросу значений наблюдаемой. Но наибольший интерес представляли случаи, когда действие оператора давало одно и тоже значение. То есть, когда вариация наблюдаемой обращалась в ноль: ∫ψ*(L² - <L>²)ψdx = 0. Из этого условия следовало, что волновая функция должна удовлетворять уравнению Lψ = Cψ, где C - число. Такие функции стали называть собственными функциями оператора L, а числа C собственными значениями, соответственно (впрочем, задачи на собственные функции и числа были известны с 19-го века, но не в операторном виде). Таким образом собственные значения являются мат-ожиданиями наблюдаемых когда система описывается собственными функциями.

В дальнейшем для нас важно следующее: если операторы коммутируют, то есть соответствующие наблюдаемые могут быть измерены одновременно с "бесконечной точностью", то они имеют одни и те же собственные функции. Так, например, у операторов координаты и импульса частицы нет общих собственных функций, так как они не коммутируют, что видно из соотношений неопределённостей. А оператор углового момента вдоль выбранной оси z и квадрат оператора полного углового момента коммутируют, и, значит, у них существуют общие собственные функции.

Что ж, мы вкратце описали процесс творческой эволюции двух теорий, а теперь задействуем этих зверушек в деле и посмотрим какая из них зубастее.

Рассмотри следующее: Допустим из полости, или с поверхности металла вылетают электроны. Выберем ось z и будем измерять ориентации спинов вдоль оси z у каждой пары электронов. И поинтересуемся: какова вероятность того, что спины антипараллельны? Спутанности тут никакой нет, просто статистика.

Что нам говорит Колмогоровская теория?

Множество событий состоит из трёх элементов: спины ввёрх, спины вниз, и спины антипараллельны при условии неразличимости электронов (то есть измеренный угловой момент пары равен или +ℏ, или -ℏ, или 0). Таким образом, событие "спины антипараллельны" имеет вероятность 1/3. Если бы электроны были классическими частицами, то есть их можно было бы пометить как монетки, то 1/2.  Это всё, что она в принципе может сказать.

А что скажет волновая механика?

Мы интересуемся мат-ожиданиями значений для системы из двух спинов. Они получаются в результате действия соответствующего оператора, в данном случае двухчастичного оператора спина вдоль оси z, на собственные волновые функции. Мы уже знаем, что собственные функции оператора "суммы проекций спинов на ось z" (совместного углового момента) такие же, как и у квадрата полного момента, ибо коммутируют. Поэтому его сперва и рассмотрим - так проще.

Имеем квадрат полного момента: (σ₁ + σ₂)² = σ₁² + σ₂² + 2σ₁⋅σ₂, где под σ₁ и σ₂ подразумевается сумма трёх матриц Паули для первой и второй частиц, сооветственно. В выражение входят квадраты σ₁² и σ₂² - посмотрим, что с ними. Посчитаем, например, σ² = (σ_x + σ_y + σ_z)². Перемножим марицы Паули друг на друга соблюдая порядок и учтём, что σ_xσ_y + σ_yσ_x = σ_xσ_z + σ_zσ_x = σ_yσ_z + σ_zσ_y = 0 (нулевой матрице). Получим: σ² = (3/4)ℏ²I, где I единичная матрица. Тогда: (σ₁ + σ₂)² = (3/2)ℏ²I + 2σ₁⋅σ₂.

Если кто ещё не заметил: последний член с 2σ₁⋅σ₂ - интерференционный! Подчеркнём ещё раз - электроны разные и не спутаны между собой. Откуда берётся их интерференция? Здесь проявляется одно из самых зловещих и воистину сатанинских свойств субатомного мира - принципиальная неразличимость частиц и так называемое обменное взаимодействие. К нему ещё вернёмся, а пока продолжим.

Далее найдем собственные функции. Волновые функции в данном случае векторные и представляют из себя спиноры (спайноры). Для каждой частицы их две: спин вверх и спин вниз. Из них составим четыре волновый функции для системы из двух спинов: i) спин вверх у обеих частиц; ii) спин вверх у первой и вниз у второй; iii) спин вниз у первой и вверх у второй; iv) спин вниз у обеих. Проверим, являются ли они собственными функциями оператора совместного спина вдоль оси z: σ_z = σ_1z + σ_2z. Первая и последняя волновые функции являются, а вторая и третья - нет.

Чтобы найти собственные функции воспользуемся интерференционным членом σ₁⋅σ₂ = σ_1xσ_2x + σ_1yσ_2y + σ_1zσ_2z. Его достаточно, так как для единичного оператора любая функция, разумеется, - собственная. Собственные функции будем искать в виде линейной комбинации второй и третьей. Решим задачу на собственные значения и функции для интерференционного члена и найдём два собственных значения равные 1 и -3, и, соответственно, две собственные функции. Одна из них оказывается суммой второй и третьей, а другая их разностью.

Хорошо, сделали, и что дальше? А то, что только последняя даёт антипараллельные спины! Это видно из квадрата полного углового момента: когда мы выбираем собственное значение равное -3, тогда интерференционный член даёт 2σ₁⋅σ₂ = -(3/2)ℏ²I (для первых трёх 2σ₁⋅σ₂ = (1/2)ℏ²I). Ещё раз прописью: три из четырёх собственных функций дают параллельные спины, и только одна - антипараллельные. Но самое смешное, что это не шутка.

Таким образом, вероятность обнаружить антипараллельные спины у двух электронов равна 1/4, а паралельные 3/4. Понятно, что 1/4 - это не то же самое, что 1/3!^†

А как на самом деле? Что говорит эксперимент? Что ж, попробуйте догадаться сами…  Верующим в этом месте настоятельно рекомендуется перекреститься, а марксистам, соответственно, перезвездиться.

Волновые функции состоящие из суммы и разности произведений функций для спина вверх у первой и вниз у второй и, соответственно, спина вниз у первой и вверх у второй впервые “всплыли” именно в теории обменного взаимодействия (Хайзенберг). Запишем их для выпендрёжа в тензорном виде так: ψ_± = (|01> ± |10>)/√2, где 0 и 1 - просто символы обозначающие наравление спина вверх и вниз, соответственно. Такой базис также часто называют Бэлловским в честь Джона Бэлла, придумавшым своё знаменитое неравенство. Считается, что частицы в состояниях с волновыми функциями обменного взаимодействия ψ_± максимально спутаны.

Что же это за неравенство такое? И при чём тут спутанность? Разберёмся...

Спутанность появляется из законов сохранения, таких как сохранение углового момента. Допустим у нас распалась частица с нулевым угловым моментом на две поменьше со спинами 1/2. Их направления должны быть противоположны. Но в каком смысле противоположны? Выберем ось z и измерим спин у одной из частиц. Тогда мы автоматически знаем спин другой: он противоположен первому по отношению к оси z. Измерив его, мы убедимся, что это так. В чём вся фишка? А в том, что ось z мы выбираем произвольно, и в зависимости от направления спина первой частицы вдоль произвольно выбранной оси z, спин второй всегда будет направлен в противоположную сторону вдоль той же оси z (в статистическом смысле). Это, конечно, напоминает неявные измерения. Однако, до момента измерения и, следовательно, до выбора оси z спины частиц не имеют никакой ориентации. Вообще никакой - таковы порядки в субатомном мире. Это отчасти похоже на то, что вы заранее не знаете ответ на вопрос, пока вам его не задали. Вы даже не знаете о чём вас спросят: о погоде на Колыме или как пройти в библиотеку.

Говоря о спутанных частицах мы прежде всего имеем в виду электроны, протоны, нейтроны и прочие фермионы. Стоит подчеркнуть, что фотоны не могут быть спутаны, так как не существует закона сохранения поляризации, да и закона сохранения самих фотонов нет. Они рождаются и умирают. Но в экспериментах частенько именно фотоны используются в качестве почтальонов, переносчиков информации о спутанных частицах. Главное чтобы им никто подножку не поставил пока они несут свои послания. Во время вручения послания адресату фотоны тут же на месте убивают.

Далее, допустим мы "приготовили" две спутанные частицы, скажем два электрона с общим нулевым моментом, и послали один Алисе с прибором (так на современном кокни квантовой механики теперь принято выражаться), а другой Бобу. Алиса может выбрать ось z из трёх предложенных вариантов и измерить спин, получив его направление либо вверх, либо вниз вдоль оси z. Бобик о выборе Алиски ни хрена не знает, но должен выбрать ось z из тех же трёх вариантов. Если он измерит спин относительно своей оси, он, разумеется, тоже получит результат: либо вверх, либо вниз. Бэлл учёл запутанность: в случае если Бобик угадал направление оси, то приписал вероятности обнаружить противоположно направленный спин, чем у Алиски, единицу. Соответственно, вероятности сонаправленности - ноль. Что, конечно, логично. И это всё, где в его неравенстве используется спутанность.

Бэлл составил своё неравенство из трёх мат-ожиданий: i) Алиска с прибором выбрала ось номер 1, а Бобик - ось 2; ii) Алиска - снова ось 1, а Бобик - ось 3; iii) Алиска - ось номер 2, Бобик - ось номер 3. Он учёл в доказательстве, что при угадывании одной и той же оси Бобиком и Алиской, мат-ожидание равно -1, так как с вероятностью 1 спины разнонаправленны. Бэлл для простоты везде отбросил общий множитель ℏ²/4. И мы его тут отбросим и обозначим три мат-ожидания как А, В, и С, соответственно.

Бэлл из этих мат-ожиданий составил выражение |A - B| - C и скормил его сперва Колмогоровской зверушке. Зверушка пожевав немного сказала, что это всегда меньше или равно единице.

Волновая зверушка поинтересовалась сперва конкретикой. Конечно, три направления могут быть любыми, но и точность тоже важна как и в аптеке. Поэтому выберем направления: i) вдоль оси x, (1, 0, 0)^T; ii) по серединке между осью x и осью z, (1/√2)(1, 0, 1)^T; и iii) ось z, (0, 0, 1)^T. Далее, возьмём собственную функцию обменного взаимодействия ψ_*, именно ту, которая соответствует системе с нулевым спином, и получим плотность вероятности ψ_*ψ_. Посчитаем мат-ожидания с её помощью (возможно это проще сделать в тензорном виде) и найдём, что они равны косинусам углов между осями с обратным знаком. Подставим мат-ожидания в выражение Бэлла и получим √2, корень из двух!

Конечно √2 тут вылез из нашего выбора второго направления, того, что по серединке. Если выбрать другое направление, то получим другое число, но снова скорее всего не равное единице. Например, если в качестве второго направления выбрать (1/√3)(1, 1, 1)^T, то бэлловское выражение даст 2/√3, что меньше √2. А если в качестве направлений выбрать координатные оси, то получим 0. В общем, √2 - это максимальное значение. Но, тем не менее...

А что на самом деле? Ален Аспе, Джон Клаузер (Нобелевский лауреат 2022-го года Джон Клаузер о глобальном потеплении) и Антон Зайлингер ровно год тому назад получили нобелевку именно за это. Эксперименты были выполнены в 70-80-ые годы и показали, что классическое неравенство Бэлла, где ≤ 1, нарушается. Они, правда, придумали аналог Бэлловского неравенства, который был более удобен для эксперимента, но это не суть.

Что мы видим? Во-первых, в отличии от волновой, Колмогоровская зверушка чертей совсем не ловит. Это мы знали ещё из первого примера, не так ли? Во-вторых, никаких скрытых параметров не нужно вовсе. Это старое Эйнштейновское пальто, которое зачем-то повесили на новую ёлку поверх игрушек. В-третьих, сравнивая примеры трудно отделаться от мысли, что спутанность сама по себе - фигня. Основное - это обменное взаимодействие и принципиальная неразличимость частиц. Дьявол там.

Что можно сказать в заключении? Колмогоровская теория не годится для экзорцизма, но прекрасно справляется с мышами в макромире. С другой стороны, волновая механика великолепна. Но в этом и проблема. Она попала в поле внимания политиков и буллшит-монгеров всех мастей и градусов. Её уже посадили в клетку и начали показывать публике как какую-то диковинную зверушку в зоопарке, возить по всем платформам интернета и ТВ. Даже полуграмотные премьер-министры, цыгане и прочие чурки заголосили на кокни о каком-то квантовом будущем мира бредя квантовыми компьютерами и квантовым превосходством. Возбудилась БиБиСня. Слово "квантовый" стало брендом прям как название популярного крема для лица у женщин. Это плохие знаки. Всё указывает на то, что ей скоро вырвут зубы, спилят напильником когти, выколют глаза и посадят на цепь. А кто? Чёрти!

---

^†Следует отметить, что это частный случай более общей формулы. Так, если частица состоит из многих элементарных частиц со спином 1/2 каждая, то её угловой момент σ = ħs, где s = {1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, ...}. Bероятности для пары таких частиц следующие: i) P₁ = (s + 1) / (2s + 1) для параллельных спинов; и ii) P₂ = s / (2s + 1) для антипараллельных. При неограниченном росте s→∞ мы получаем классические вероятности 1/2 для обоих случаев.