Практика показывает, что человек на уровне интуиции очень плохо чувствует вероятности. И антиваксовый срач, во многом, — следствие этой особенности.
Предлагаю вам решить простую задачку. Результат вас, скорее всего, изумит. И в будущем, читая про ПЦР-тесты, вспоминайте эту задачу. Итак,
В городе бушует болезнь. Известно, что вирусом поражено 10% населения.
Для быстрого выявления больных придумали экспресс-тест с очень хорошим результатом — он даёт правильный ответ в 95% тестов. Иными словами, ложноположительных и ложноотрицательных результатов — по 5%.
/// Почему-то это вызвало проблемы. Поясню. Если человек больной, то в 95% тест даст положительный результат, и в 5% — отрицательный. Если человек здоров, то тест даст в 5% положительный результат, и в 95% — отрицательный. Положительный — значит, тест считает, что вирус есть.
Вы прошли тест. Результат — положительный.
1. Какова вероятность того, что вы реально болеете?
2. А если тест оказался отрицательным?
3 и 4. Задача со звёздочкой. Если два подряд теста дали одинаковый результат, какова вероятность болезни?
В идеале хочется получить все 4 результата.
/// Посты совсем не по делу буду удалять. Просто не по делу — свертывать. Ибо нефиг!
/// Ответ в полдень, если никто не соберётся с силами и не посчитает правильно.
Комментарии
В экселе ведь можно общую формулу вбить =D1*0,95/(D1*0,95 + (100-D1)*0,05) и посмотреть как зависит от процента поражения населения.
Всё что выше 50 или даже 30% поражения, можно вполне пользоваться обычной житейской интуитивной теорией вероятности.
А вот когда процент поражения меньше 10% там уже будут расхождения.
Вы имеете прибор, погрешность которого равна 5%. Через какое количество измерений одной и той же величины погрешность прибора станет равной 3%?
Хорошая задача. Желающие могут подумать!
Погрешность прибора всегда постоянна, наверное вопрос был о погрешности измерения
Через какое количество измерений одной и той же величины погрешность прибора станет равной 3%?->Через какое количество измерений одной и той же величины погрешность измерения величины станет равной 3%?
Вы правы, конечно! С другой стороны, можно придумать прибор с автоокруглением, и тогда можно говорить об ошибке прибора.
Но сама задача хорошая, согласитесь!
никогда не станет.
а вот погрешность измеренного результата в результате обработки нескольких измерений уменьшится
Ответ никогда.
Каждый раз погрешность=5%
Иначе , Вам 90 лет.
Сколько раз Вас надо спросить , чтобы услышать ответ , что Вам 18 лет. ?
Дружище. У вас сумма вероятностей (0,1 + 0,95) = 1,05. Это вас не смущает?
Годный срач. Ахтунг - пахнет трольчатиной! Автор, нет ли в обсуждении упырей? Сим повелеваю - внести запись в реестр самых обсуждаемых за день.
1. 95%
2. 5%
3. 95%
4. 5%
1. Безусловная вероятность. У нас на руках тест, говорящий, что мы больны. Тест имеет погрешность 95 %. Вероятность того, что мы действительно больны ~ 95 %.
2. Тут посложнее. Мы больны, но у нас на руках тест, который это отрицает. Вероятность такого исхода - 0.5 % (пол процента).
(Для полноты группы в п.2, есть ещё вероятность того, что мы больны и нас "выщемили" (9.5 %) (это, кстати, вероятность реализации события из п.1), что мы здоровы, но нас неверно записали в больных (4.5 %) и совершенно невероятное событие, состоящее в том, что мы здоровы и тест с этим согласен (85.5 %). В сумме дают 100 %).
Дальше, по-моему, можно обойтись и без Бейса.
3. два положительных теста. Считаем вероятность того, что мы больны за вычетом вероятности ошибки. Опираясь на п.1, считаем: 1-q^2=1-(1-0.95)^2=0.9975
Вероятность того, что мы больны с двумя "позитивными" тестами на руках ~ 99.75 %
4. два положительных теста. Аналогично п.3, с опорой на п.2: 1-(1-0.005)^2=0.009975
Вероятность того, что мы больны с двумя "негативными" тестами на руках ~ 0.9975 % (меньше 1 %). На нашем могильном камне будет написано, что нам очень сильно не повезло.
Автор! Даёшь побольше таких задач!
Да как в 1 может быть ответ 95, если это совершенно не учитывает процент заболевших? По вашей логике получается, что если все 100% населения больны, или 0% населения больны, то ответ всё равно 95%?
Первая задача субъективная. Касается нашей оценки риска того что мы действительно больны, когда у нас есть положительный тест. Объективные процессы начинаются со второй задачи. Вот там уже подключается процент больных в популяции
+1.
Итак, правильные ответы есть. Выделены зелёным.
Первым ответил на два вопроса ejz. Мои извинения, я не заметил ответа вчера за борьбой с ботами его ответа.
Приз за наглядность решения уходит к Franz L. Ещё более наглядно было бы нарисовать табличку, но и так получилось отлично! Правда, с арифметикой чуть напутал в конце…
Приз за полноту и краткость решения уходит к delta345. Правда, совсем непонятно там все… Но после решения Franz L разобраться можно!
Автор просил 4 числа в качестве ответа, они и были представлены
Так возражений нет! Но доходчивое решение всегда приятнее…
del
Что я хотел бы отметить.
1. Несмотря на то, что тест в 95% случаев не ошибается, вероятность того, что вы болеете при положительном тесте — всего 2/3. Так что паниковать совсем не надо!
2. А вот отрицательный тест, даже одиночный, даёт хорошую уверенность в отсутствии болезни.
3. И становится ясно, зачем делают два теста. Если у вас последовательно два одинаковых результаты теста — им вполне можно верить.
Неверно.
При единичном положительном тесте вероятность верного определения болезни (или здоровья) составляет 90,7375%. Соответственно, вероятность ошибки 9,2625%
При двукратном тестировании, соответственно 99,1420609375% и 0,8579390625%. То есть вероятность ошибки уменьшается на порядок.
Именно поэтому, для исключения ОШИБКИ и проводят двукратное тестирование.
Но даже единичный тест даёт точность почти в 91%, а вовсе 2/3.
4. И главное. Нет почти никаких четких знаний. Везде — вероятности. Даже после отрицательных 10 ПЦР-тестов есть вероятность, что вы больны. И после 10 положительных — что вы здоровы.
Постарайтесь, когда говорите о заражениях, переносе вируса от носителя к носителю, протекании болезни легко или тяжело или даже смерти думать в этом ключе. Картина станет сильно чётче!
И ещё. Если бы тест давал всего 90% гарантию результата, на его однократное положительное значение можно было бы при условиях данной задачи вообще наплевать!
Вы так и не поняли, что в задаче задали сумму вероятностей равную 1,05 или 105%. Вас это не смущает?
Успокойтесь уже. И подумайте чуть-чуть!
Цитирую.
"Для быстрого выявления больных придумали экспресс-тест с очень хорошим результатом — он даёт правильный ответ в 95% тестов. Иными словами, ложноположительных и ложноотрицательных результатов — по 5%." (с)
То есть, 95% + 5% + 5% =105%.
Я уже задавал вопрос. Как это следует понимать?
Количество всех ложных (и положительных, и отрицательных) результатов должно быть равно 5%, поскольку количество верных результатов вы сами определили в 95%.
100% - 95% = 5%.
У вас альтернативные арифметика и теория вероятностей?
Каждый следующий тест повышает точность на десятичный порядок.
То есть, после третьего теста вероятность ошибки составила бы менее 0,1%, после четвёртого - менее 0,01% и так далее.
Что такое точность в вашем понимании в этой задаче?
Прочтите условия задачи. Прочтите решение. Подумайте. Я больше ничего посоветовать вам не могу!
Ещё раз для альтернативно одарённых
Вероятность лежит в пределах от 0 до 1. Сумма вероятностей противоположных (альтернативных) событий равна строго 1.
Вот якобы решение.
Сложите вероятности.
Так зачем вы это складываете? 0.1 это процент населения, он заранее известен по условию задачи.
Формулу можно чуть изменить 10*0.95/ (10*0.95 +90*0.05) = 0.6785
10 - больных
90 - здоровых
Та же формула, но перешли к абсолютным числам. Вверху количество больных умножается на вероятность выявления больного получается истинно положительный результат.
Это число нужно разделить на количество всех кому выдан положительный результат.
Поэтому внизу к истинно положительному результату надо прибавить ложноположительный. Ложноположительный результат может быть получен только из здоровых людей, соответственно 90*0.05.
Вот и всё, количество диагностированных реальных больных делим на общее количество диагностированных больных.
Формулу можно проверить для граничных случаев 0 и 100.
0 - больных
100 - здоровых
0*0.95/ (0*0.95 +100*0.05) = 0
100 - больных
0 - здоровых
100*0.95/ ( 100*0.95 + 0*0.05) = 1
И решение Франца гляньте, там же всё понятно.
Процент населения и точность теста - это несвязанные события. Мы определяем вероятность верного результата теста для 1 конкретного человека.
Вопрос стоит так: верен ли результат теста для этого конкретного человека? Не имеет значения сколько до этого было заболевших, сколько было верных или ошибочных результатов тестирования.
А вот при двух тестах возможны варианты:
1. Оба теста верны с вероятностью P₁
2. Один любой из двух тестов (первый или второй) неверен с вероятностью P₂
3. Оба теста неверны с вероятностью P₃
Вот и считайте. Не забудьте только, что сумма этих вероятностей должна равняться 1.
Тут надо тоже не забыть правомерность суммирования вероятностей.
Правомерно, поскольку это альтернативные исходы событий.
Но для этого тесты должны быть альтернативами одного и того же измерения. Но строго говоря, они независимы.
Нет. Они связаны целевой функцией. Представьте аналогию
Вы запускаете по самолёту две ракеты. Вероятность поражения одной ракетой 0,95. Самолёт либо сбит, либо нет.
Какова вероятность сбить его двумя ракетами?
Варианты:
1. Обе ракеты попали
2. Обе ракеты промахнулись
3. Промахнулась одна из ракет (первая или вторая)
Согласен, пример хороший, за исключением того, что самолетов два (апостериори) может быть даже и больше (априори), но зенитчики об этом не задумываются.
Нет. Вполне стандартные данные любого ЗРК. Вероятность поражения одиночной цели одной ракетой и залпом.
Вот для Бук-М1:
Вероятность поражения самолета одной ЗУР
0,8 - 0,95
Про самолеты это я относительно задачки про тесты.
И в в случае тестов, и в случае ракет имеется целевая функция.
В первом случае - определить наличие болезни у конкретного человека. Болен или здоров. Да или нет.
Во втором случае - сбить конкретный самолёт. Сбит или нет. Да или нет.
Это тоже я учитываю, но вот вопрос - а почему в СМИ уже проходила информация о важности правильного забора материала для теста? Это может означать, что самолет то не один в поле зрения системы наведения.
А сообщения в СМИ не имеют никакого отношения к теории вероятностей.
Опять вы не про это. У нас более сложная схема.
Давайте рассмотрим чуть иначе: у нас есть один человек, делающий тест.
Изначально человек или болен или нет. И это от вас и от меня не зависит. Это — входное условие.
Если он болен, то тест угадывает правильно с вероятностью 95%. Все!
Если он здоров, то тест тоже угадывает правильно с вероятностью 0.95. Все!
Человек не может быть одновременно и больным, и здоровым!
Если расписать все возможные события, получим ровно то, что делал Franz L:
Человек с вероятностью 0.10 болен, из них:
Человек с вероятностью 0.90 здоров, из них:
Ну а дальше все просто…
1. Вы тупо не понимаете сути задачи.
"Если он болен, то тест угадывает правильно с вероятностью 95%. Все!" (с)
Откуда у вас стопроцентная уверенность, что ошибки нет? Наша задача и состоит в том, чтобы выяснить мат. ожидание верного результата. С какой вероятностью полученный результат верен.
2. "Человек с вероятностью 0.10 болен" (с)
Вот откуда взята эта вероятность? С потолка? И ложноположительные, и ложноотрицательные результаты - одинаково ложные. Они и входят все вместе в те самые 5% ложных результатов, которые даёт тест.
Мы не знаем как распределяются ложноположительные и ложноотрицательные результаты в этих 5% всех ложных результатов.
Надо хотя бы разобраться со случаем из одного теста, можете привести расчёты как вы эти числа получили?
Долго объяснять. К тому же считал на бумажке, мог слегка ошибиться. Но порядок чисел верен.
Как я уже заметил, при больных 10% населения и при тесте с 90% правильных ответов вероятность того, что ты болеешь после одного положительного теста — всего 50%.
Иными словами, это вообще ни о чем. Как с тем динозавром!
Нет, не верно.
Такой ответ был бы, если бы было условие: взять первого попавшегося человека, и сделать ему тест, какова вероятность, что он болен?
У Вас другое условие: "Вы прошли тест".
Процент больных не имеет никакого отношения к вопросу о том, верен или неверен результат теста у конкретного человека здесь и сейчас. Это несвязанные события.
Страницы