Его теоремы о неполноте разгромили поиск математической теории всего. Почти сто лет спустя мы всё ещё пытаемся осмыслить последствия этого.
В 1931 году австрийский логик Курт Гёдель провернул, вероятно, один из самых потрясающих интеллектуальных трюков в истории.
Математики той эпохи искали неколебимые основы математики: набор базовых фактов, аксиом, которые были бы непротиворечивыми и полными, играя роль строительных блоков всех математических истин.
Однако шокирующие теоремы Гёделя о неполноте, опубликованные им всего лишь в 25-летнем возрасте, разбили эту мечту. Он доказал, что любой набор аксиом, который вы можете предложить на роль основы математики, неизбежно будет неполным. Всегда найдутся истинные утверждения, касающиеся чисел, которые невозможно будет доказать при помощи этих аксиом. Он также показал, что ни один набор аксиом нельзя использовать для доказательства их собственной непротиворечивости.
Его теоремы о неполноте означают, что математической теории всего быть не может, и нельзя объединить множество доказуемых утверждений со множеством истинных. То, что математики могут доказать, зависит от начальных предположений, а не от какой-то фундаментальной истины, из которой происходят все ответы.
За 89 лет, прошедших с открытия Гёделя, математики уже натыкались на подобные вопросы без ответов, существование которых предсказывали его теоремы. К примеру, сам Гёдель помог установить, что континуум-гипотеза, касающаяся мощностей бесконечностей, неразрешима – как и проблема остановки, в которой требуется определить, завершится ли когда-нибудь выполнение компьютерной программы с определёнными входными данными, или она будет работать вечно. Неразрешимые вопросы возникали даже и в физике, что говорит о том, что гёделева неполнота влияет не только на математику, но и в каком-то (не совсем понятном) смысле, на реальность.
Далее идёт краткая, упрощённая и неформальная сводка того, как Гёдель доказал свои теоремы.
Нумерация Гёделя
Главным ходом Гёделя стало сопоставление утверждений, касающихся системы аксиом, с утверждениями, сделанными в рамках этой системы – с утверждениями, касающимися чисел. Такое сопоставление позволяет системе аксиом спокойно рассуждать о себе самой.
Первый шаг – сопоставить любое возможное математическое утверждение, или последовательность утверждений, с уникальным номером, который называется номером Гёделя.
Немного исправленная версия нумерации Гёделя, представленная в книге 1958 года «Доказательство Гёделя» за авторством Эрнеста Нагеля и Джеймса Ньюмена, начинается с 12 элементарных символов, служащих словарём для выражения набора базовых аксиом. К примеру, утверждение о существовании чего-либо можно выразить символом ∃, а сложение – символом +. Символ s, обозначающий «следующий элемент», даёт возможность обозначать числа: к примеру, ss0 обозначает двойку.
Затем этим двенадцати символам назначаются номера Гёделя с 1 по 12.
Обозначение константы | Нумерация Гёделя | Обычное значение |
~ | 1 | не |
∨ | 2 | или |
⊃ | 3 | если,… то.. |
∃ | 4 | существует |
= | 5 | равняется |
0 | 6 | ноль |
s | 7 | следующий элемент |
( | 8 | знак препинания |
) | 9 | знак препинания |
, | 10 | знак препинания |
+ | 11 | плюс |
× | 12 | умножить |
Затем буквы, обозначающие переменные, начиная с x, y и z, сопоставляются с простыми числами, большими 12 (13, 17, 19,..).
Затем каждая из комбинаций этих символов и переменных – то есть, любая арифметическая формула или последовательность формул, которые только можно составить – получает свой номер Гёделя.
Рассмотрим, к примеру, утверждение 0 = 0. Три её символа соответствуют номерам Гёделя 6, 5 и 6. Гёделю нужно заменить эту последовательность из трёх номеров одним уникальным – номером, который не выдаст ни одна другая последовательность символов. Для этого он берёт три первых простых числа (2, 3 и 5), возводит каждое из них в степень, равную соответствующему номеру в последовательности, и перемножает их. Таким образом 0 = 0 превращается в 26 × 35 × 56, или 243 000 000.
Эта разметка работает потому, что никакие две формулы не дадут один и тот же номер Гёделя. Номера Гёделя – целые числа, а числа можно разложить на простые множители единственным способом. Поэтому единственный способ разложить 243 000 000 на множители — это 26 × 35 × 56, то есть, расшифровать этот номер Гёделя можно только одним способом: написав формулу 0 = 0.
Затем Гёдель пошёл ещё дальше. Математическое доказательство состоит из последовательности формул. Поэтому Гёдель назначил каждой последовательности формул свой номер Гёделя. В данном случае он также начинает с последовательности простых чисел – 2, 3, 5, и т.д. Затем он возводит каждое из них в степень, соответствующую номеру Гёделя для формулы, находящейся на том же порядковом месте в последовательности (допустим, 2243 000 000, если первой идёт формула 0 = 0), и перемножает всё вместе.
Арифметизация математики
Замечательно, что даже утверждения, касающиеся арифметических формул, т.н. метаматематические утверждения, можно перевести в формулы, и назначить им собственные номера Гёделя.
Рассмотрим сначала формулу ~(0 = 0), означающую «ноль не равен нулю». Она явно ложная. Тем не менее, у неё есть номер Гёделя: 2 в степени 1 (номер Гёделя для символа ~), умноженное на 3 в степени 8 (номер Гёделя для символа «левая скобка»), и так далее, что в итоге даёт 21 × 38 × 56 × 75 × 116 × 139.
Поскольку мы можем генерировать номера Гёделя для всех формул, даже ложных, мы можем осмысленно рассуждать о них, используя их номера Гёделя.
Рассмотрим утверждение «Первый символ формулы ~(0 = 0) это тильда». Это истинное метаматематическое утверждение, касающееся ~(0 = 0), превращается в утверждение о номере Гёделя конкретной формулы – а именно, что его первая степень равняется 1, то есть, номеру Гёделя для тильды. Иначе говоря, наше утверждение говорит о том, что в 21 × 38 × 56 × 75 × 116 × 139 есть только один множитель «2». Если бы ~(0 = 0) начиналась с любого другого символа, кроме тильды, в её номере ГЁ было бы, по меньшей мере, два множителя 2. Так что, если сформулировать точнее, 2 является множителем 21 × 38 × 56 × 75 × 116 × 139, а 22 — не является.
Мы можем преобразовать последнее предложение в точную математическую формулу, и записать её при помощи элементарных символов. У этой формулы, естественно, будет свой номер Гёделя, который мы сможем подсчитать, сопоставив её символы степеням простых чисел.
Если вам интересно, то формулировка получается такая: существует такое целое х, что х, помноженное на 2, будет равно 21 × 38 × 56 × 75 × 116 × 139, но не существует такого целого х, чтобы оно, помноженное на 4, давало 21 × 38 × 56 × 75 × 116 × 139. Соответствующая формула выглядит так:
(∃x)(x × ss0 = sss … sss0) ⋅ ~(∃x)(x × ssss0 = sss … sss0)
Где sss … sss0 обозначает 21 × 38 × 56 × 75 × 116 × 139 копий символа следующего элемента s. Символ ⋅ означает «и», и представляет собой более краткую запись для фундаментального словаря: p ⋅ q означает ~(~p ∨ ~q).
Данный пример, как писали Нагель и Ньюмен, «иллюстрирует общую и глубокую идею, лежащую в основе открытия Гёделя: мы можем очень точно говорить о типографических свойствах длинных последовательностей символов, но не напрямую, а через свойства разложения на простые множители больших целых чисел.
Преобразовать в символы можно и метаматематические утверждения. „Существует некая последовательность формул с номером Гёделя х, доказывающая формулу с номером Гёделя k“ – или, короче говоря, „формула с номером Гёделя k доказуема“. Именно возможность „арифметизировать“ подобные заявления и заложила основы переворота.
G само по себе
Дополнительно Гёдель догадался о том, что можно подставить собственный номер Гёделя, обозначающий формулу, в саму формулу – а это уже ведёт к нескончаемым проблемам.
Чтобы понять, как работает эта подстановка, рассмотрим формулу (∃x)(x = sy). Она означает „существует переменная x, являющаяся следующим элементом для y“, или, проще говоря, „у ''y'' есть следующий элемент“. Как и у всех формул, у неё есть свой номер Гёделя – некое большое целое число, назовём его m.
Теперь введём число m в формулу вместо символа y. Получится новая формула (∃x)(x = sm), означающая „у m есть следующий элемент“. Как назвать номер Гёделя для этой формулы? Нам нужно передать три особенности: мы начали с формулы, имеющей номер Гёделя m. В ней мы заменили символ y на символ m. И, согласно ранее описанной схеме сопоставления, номер Гёделя у символа y равен 17. Давайте тогда обозначим номер Гёделя новой формулы sub(m, m, 17).
Подстановка формирует основу доказательства Гёделя.
Студент Курт Гёдель в Вене. Теоремы о неполноте он опубликовал в 1931 году, через год после получения диплома.
Он рассмотрел следующее математическое утверждение: „Формулу с номером Гёделя sub(y, y, 17) нельзя доказать“. Вспоминая только что принятые нами обозначения, мы знаем, что формулу с номером Гёделя sub(y, y, 17) мы получаем, взяв формулу с номером Гёделя y (некая неизвестная переменная) и подставив эту переменную y везде, где в формуле стоит символ с номером Гёделя, равным 17 (то есть, везде, где встречается y).
Голова уже начинает кружиться, но, тем не менее, мы определённо можем перевести наше метаматематическое утверждение, „формулу с номером Гёделя sub(y, y, 17) нельзя доказать“, в формулу с уникальным номером Гёделя. Назовём его n.
И последний этап подстановок: Гёдель создаёт новую формулу, подставляя число n везде, где в предыдущей формуле стоит y. Его новая формула получается следующей: „Формулу с номером Гёделя sub(n, n, 17) нельзя доказать“. Назовём эту формулу G.
У G, естественно, есть номер Гёделя. Каков этот номер? Вуаля – он должен равняться sub(n, n, 17). По определению, sub(n, n, 17) – это номер Гёделя для формулы, которая получается путём взятия формулы с номером Гёделя n и подстановки n везде, где в формуле встречается символ с номером Гёделя, равным 17. И G именно такая формула и есть! Поскольку целые числа раскладываются на простые множители уникальным способом, нам становится понятно, что формула G говорит нам только о самой формуле G, и более ни о какой другой.
G говорит о том, что её саму нельзя доказать.
Но можно ли доказать G? Если бы это было возможно, это означало бы, что существует некая последовательность формул, доказывающих формулу с номером Гёделя, равным sub(n, n, 17). Но это противоположность формулы G, утверждающей, что такого доказательства не существует. Противоположные утверждения, G и ~G, в непротиворечивой системе аксиом не могут быть одновременно истинными. Поэтому G должна быть недоказуемой.
Однако, несмотря на то, что G доказать нельзя, она определённо правдива. G говорит, что „формулу с номером Гёделя sub(n, n, 17) нельзя доказать“, а именно это мы и установили! Поскольку G – истинное, но недоказуемое утверждение, существующее в рамках аксиоматической системы, которую мы использовали для его построения, эта система неполна.
Можно подумать, что мы можем просто добавить некую дополнительную аксиому, использовать её для доказательства G, и разрешить этот парадокс. Но это невозможно. Гёдель показал, что дополненная система аксиом позволит создать новую истинную формулу G' по той же схеме, что и ранее, которую нельзя будет доказать в рамках новой, дополненной системы. Пытаясь построить полную математическую систему, вы будете лишь безуспешно гоняться за собственным хвостом.
Отсутствие доказательства непротиворечивости
Теперь мы знаем, что если набор аксиом непротиворечив, он неполон. Это первая теорема Гёделя о неполноте. Из неё легко следует вторая – ни один набор аксиом не может доказать свою непротиворечивость.
Что означало бы, если бы набор аксиом мог доказать, что он никогда не вызовет противоречий? Это означало бы, что существует последовательность формул, построенных на этих аксиомах, доказывающих формулу, которая метаматематически означает „этот набор аксиом непротиворечив“. Но тогда, согласно первой теореме, этот набор аксиом обязательно был бы неполным.
Однако сказать, что „набор аксиом неполон“, это то же самое, что сказать „существует истинная формула, которую нельзя доказать“. А это равнозначно нашей формуле G. А мы знаем, что аксиомы не могут доказать G.
Так Гёдель построил доказательство от противного: если бы набор аксиом мог доказать собственную непротиворечивость, тогда мы могли бы доказать G. Но мы этого сделать не можем. Следовательно, ни один набор аксиом не доказывает собственную непротиворечивость.
Доказательство Гёделя убило поиски непротиворечивой и полной математической системы. Математики „не смогли осознать всю глубину“ неполноты, писали Нагель и Ньюмен в 1958. И сегодня это утверждение остаётся истинным.
Комментарии
Вот так человек вновь возвращается к понятию Триединства,
которое ставит "полноту" на своё место,
вместо игры с нулевой суммой, "или - или",
вместо "непримиримой" борьбы "добра" со "злом", во главе с добреньким богом неминуемым победителем,
ставит крест на "однополярном Мире", Армагедоне
Спасибо!
Как из юности окатило!
Нас этому учили куда как загогулистее. И, соответственно, менее понятно.
P.S. Кстати, господа агностики, из тех, что потолковее, здорово оживились тогда…
А чему учили то ? Нас учили понимать заявления Геделя как пример глупости порождающей глупость.
Никакого доказательства в этой шутке нет - есть простой пример извращения логики и формализма. Студент просто пошутил таким образом - он показал пример шифрования ,никак не связанный с логикой и математикой. Но из-за ограниченности математических вычислений прошлого эту шутки приняли "как есть".
Но разве сегодня кто то воспринимает этот прикол иначе как прикол ?
Ещё как воспринимает!
Кстати (я серьёзно), если у вас под рукой есть ссылки про опровержение, я бы зачитал.
Понятно, сейчас я «страшно далёк от», но всё же…
Фокус то не в этом. Сами опровергните это заявление Гёделя. Вам это под силу, так как само высказывание лишь играет с логикой, но не следует ей.
:))) Так весь то и не требуется. А потом, с позиции доказанности Теории о неполноте возникает резонный вопрос - а что такое познание? :)))
Это получение опыта, которым можно повторно воспользоваться.
Математики... Нет слов
Ну, собственно, познание не имеет границ. На любые границы всегда найдётся Гёдель. И знаете, данный тезис был известен первой обезьяне взявшей в лапу камень. Только никто до Гёделя этот посыл не формулировал. Вернее не доказывал.
Но в практическом смысле это как "квадрат Малевича" + "сказка про голого короля". Или минус сказка. Это каждый выбирает сам.
Прошу прощения за перевод эмпирической математики в примитивную логику.
Для того, чтобы понять обычному человеку, о чем идет речь, или привлечь детей к сильной любви к математике, советую две тоненьких книжки Рэймонда Смаллиана:
1. Как называется эта книга (это такое название!)
2. Принцесса и тигр.
Я у же в 45 лет несколько раз прочитал их взахлеб!
Вот, по таким книгам нужно учить детишек 7...10 лет!
Полностью согласен. Прекрасные книги. И весь Мартин Гарднер конечно тоже :-)
Смаллиана я в детстве читал. Офигенные книги и отличные загадки на логику.
Книги хорошие. Но понять бредовость заявлений Гёделя можно и без них. Шутник то номер своего числа g показал или и сам не осилил вычислить ? А зависимость этого числа от соседних он как то выстроил ? А без связей нет и системы формальной логики.
По сути студент просто заявил что глупость может породить глупость. Стоит ли этому учить детей ?
Мы никогда не познаем весь мир.бог периодически добавляет новые постоянные в формулу мира
Да Гёдель уже всё добавил. Бог не нужен.
это только одна из постоянных или переменных, мы не знаем-пути господни неисповедимы
Бог не нужен, Гёдель это доказал.
На мой взгляд, Теория о неполноте Гёделя просто математическое доказательство антропного принципа. В том смысле, что мы способны понимать только ту часть вселенное которую "наблюдаем" и в которой существует, но не вся вселенная наблюдаема и не во всей вселенной мы существуем. Опять же, в том смысле что не вся вселенная существует как мы понимаем существование. Что следует понимать как концепция мультивселенной, не все варианты существуют, но и несуществующие варианты оказывают влияние на наблюдаемую вселенную.
Значит все-таки нет Правды на земле.
Слабоват человек супротив Бога-то!
аск!
Мир и существует из-за противоречий. Ничего здесь противоречивого нет.
Мир сам является парадоксом. Замороженным таким парадоксом. Фокусом.
Америку открыли.
Делюсь скриншотом. Вопрос волнует самые разные социальные группы населения:
Матерщина-то зачем? Можно ведь было бы найти эту цитату в другом месте, или самому набрать.
Не вопрос. Исправил на меньший фрагмент. В данном случае важен контекст. Это реальный скриншот.
Ах шайтанъ! А ведь если б не он, то математики до сих пор бы могли пилить бабло на создании "автоматических доказывателей всего"...
А вот физикам и биологам повезло больше - никто пока не доказал, что создание термояда или живой клетки невозможно.
Если вкратце, то теорема Геделя помогает не мучиться ответом на вопрос, что произойдёт, если всесокрушающее ядро попадёт в несокрушимый столб?
А ничего. Их аксиоматики не пересекаются, они друг для друга не существуют.
В очередной раз напоминаю, что наряду с теоремой о неполноте, Гедель доказал теорему о полноте.
что однако не мешает распиливать млрды на коллайдере, ища то, чего нет. так что положили они на Гёделя.
Лом, а вы - в отместку - пилите на навозе...))
мне им не за что мстить. а почему, кстати, навоз? родное село вспомнил?
bom100, да, это один из забавных прецедентов в математике...) с тяжелыми и полезными последствиями...)) Почему с тяжелыми? Потому, что в философском плане Гёдль доказал несуществование абсолюта (некоторые называют это богом). Почему с полезными? Потому, что его доказательство ведет к бесконечному процессу познания.
Но есть некоторые нюансы в отношении самого доказательства Гёдля. Его доказательство построено на... текущей аксиоматике...)) И, по-сути, Гёдль, всего лишь выполнил переход в некую другую алгебру (преобразования в нумерацию Гёдля), но в рамках исходной аксиоматики... А вот своиства этогго множества он как-то не шибко изучал, что оставляет вопросы касательно того, что за операции с множеством Гёдля он совершал и не является ли результат следствием ошибочных (недопустимых в данной алгебре) операций? (касательно последней сентенции было бы интересно послушать математиков).
Доказательство Гёдля доказывает что оно ложное?
А ошибочность доказательства Гёдля доказывает что оно истинное?
Не совсем так, но есть существенный риск, что это - софистика...))
Как раз наоборот, каким бы странным это не казалось. Кроме своей знаменитой теоремы и других работ Гёдель опубликовал ещё и доказательство существования бога, обобщение онтологического аргумента Ансельма. Само доказательство - десяток строк в формате матлогики, а перевод на простой "человеческий" язык, если кому интересно, есть вот тут: Онтологический аргумент Гёделя. Точнее, по ссылке - последняя, четвертая заметка на эту тему, а в начале её есть ссылки на предыдущие 3.
Спасибо за ремарку...) Здесь надо поразбираться в аксиоматике...))
Там в текстах есть построчный разбор с примерами. Начало тут: "Онтологическое доказательство Гёделя. Перевод."
Забавно. Недавно написал этот пост: https://aftershock.news/?q=comment/9671456#comment-9671456 И только потом прочитал этот комментарий.
Все дело в точке зрения. И никакая точка зрения не будет полной на момент времени и уровня знаний. Но можно смотреть и в совокупности точек зрения. В некотором смысле, написанная мной статья является "общей теорией" жизни, интеллекта, общества и разума. Включая практический "рецепт" создания "сильного ИИ". Но одновременно ее можно считать "доказательством бога". Хотя такое доказательство и делает бессмысленной "концепцию бога", "создателя" и "первопричины". Например, если посмотреть на плоскость правил "разум", то это легко принять за "концепцию бога". Как он есть во всех религиях мира.
не в каую другую аолгебру он не переходил...Он построил реккурентно мноожетсво, геделевы глмера которые соотвествуют длказуемым высказываниям выводимых в рамках арифметики Пеано(или модели конечно расширяюшей арифметику) и дрказал, путкм диагонализации ,что это перечислимое множество не совпадает с множеством истиннх высказываний - тем самы кстати установи что геделевы номера истнинных высказываний не перечисолимы...и все... но напрнимер к з-фддическим числам ее уже не применишь - ибо они не расширяют арифметику
С моей точки зрения, Гёдель, несколько, неправ. Его проблема в понятии "истина". Он не знает что это такое потому и теорема о неполноте. Или можно рассмотреть вопрос ещё шире. Проблема в отсутствии понимания что такое Математика.
Математик?...))
Не-а :) Круче.
Только никому не говори. истина = 1, ложь = 0.
Искренне ваши, программисты.
Ну да, где-то так. Вопрос понимания и интерпретации.
Вот это вот утверждение и есть главная ошибка и противоречие в рассуждениях Геделя.
Потому-что оно нарушает принцип причинности.
Нельзя подставлять в формулу ничего, что не было предусмотренно при определении этой формулы.
Это нарушает принцип причинности.
И любое последующее доказательство в котором нарушается принцип причинности - противоречиво, а при помощи противоречивых рассуждений можно доказать что угодно.
Следовательно, после фразы "можно подставить собственный номер Гёделя, обозначающий формулу, в саму формулу" - дальше можно не читать - ибо все что дальше будут ложные рассуждения.
То есть если я в формулу "x=x" подставлю 0 и получу "0=0", то я на самом деле не имел права так делать, что ли? Вы сформулируйте поточнее, что такое этот ваш "принцип причинности".
В формулу x=x можно подставить ноль, потому-что это было заранее предусмотренно в этой формуле.
Но в формулу x=x нельзя подставить саму формулу x=x, потому-что при ее определении не было предусмотренно такой подстановки.
Вы можете модифицировать формулу x=x таким образом, чтоб подстановка в нее x=x была корректной, но это уже будет другая формула: (X=X) (после подстановки в нее x=x будет: (x=x)=(x=x))
Но ее "номер" будет уже не тот, что у формулы x=x , в X=X уже можно подставить x=x, но по прежнему нельзя подставить X=X (саму себя).
Хорошо. Тогда подставили в формулу "x=x" число 243000000, и получили "243000000 = 243000000". Или лучше подставим число "2430000000000000" и получим "2430000000000000=2430000000000000". Тут противоречие есть?
Что касается чисел, то у них должна быть иерархия - порядок ,очередность, в котором они создавались.
Нельзя просто сказать что вот существуют все на свете числа (так мы получим "множество всех множеств" которого не существует и такое определение противоречиво) - нет, надо последовательно определять число за числом.
Это аналог времени , а принцип причинности запрещает путешествия во времени.
Т.о. Вы можете подставить в функцию все числа созданные ДО создания этой функции и ни в коме случае не можете подставить в нее числа созданные после и саму функцию.
Это тот же парадокс лжеца :"Я лгу, в том числе и когда говорю эту фразу" - подстановка в функцию "я лгу" самой этой функции нарушает принцип причинности - когда эта функция создавалась, еще не было известно ложна она или нет, т.е. про нее этого еще было нельзя сказать - это частный случай путешествия во времени, когда я утверждаю что какое-то утверждение ложно, хотя само это утверждение еще не было произнесено.
Присвоение каких-то номеров математическим понятиям служит цели все запутать и замаскировать нарушение принципа причинности - хотя конечно это было сделано непреднамеренно но сильно все запутало и навредило.
Страницы