Практика показывает, что человек на уровне интуиции очень плохо чувствует вероятности. И антиваксовый срач, во многом, — следствие этой особенности.
Предлагаю вам решить простую задачку. Результат вас, скорее всего, изумит. И в будущем, читая про ПЦР-тесты, вспоминайте эту задачу. Итак,
В городе бушует болезнь. Известно, что вирусом поражено 10% населения.
Для быстрого выявления больных придумали экспресс-тест с очень хорошим результатом — он даёт правильный ответ в 95% тестов. Иными словами, ложноположительных и ложноотрицательных результатов — по 5%.
/// Почему-то это вызвало проблемы. Поясню. Если человек больной, то в 95% тест даст положительный результат, и в 5% — отрицательный. Если человек здоров, то тест даст в 5% положительный результат, и в 95% — отрицательный. Положительный — значит, тест считает, что вирус есть.
Вы прошли тест. Результат — положительный.
1. Какова вероятность того, что вы реально болеете?
2. А если тест оказался отрицательным?
3 и 4. Задача со звёздочкой. Если два подряд теста дали одинаковый результат, какова вероятность болезни?
В идеале хочется получить все 4 результата.
/// Посты совсем не по делу буду удалять. Просто не по делу — свертывать. Ибо нефиг!
/// Ответ в полдень, если никто не соберётся с силами и не посчитает правильно.
Комментарии
С козырей зашли, с теоремы Байеса
Ну, для решения задачи таких умных слов знать необязательно.
Достаточно варианты перебрать.
Айка, это старая класика,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, видишь суслика?Нет,,,,,,,И я не вижу,,,,,,,,,,,,, А он есть,,
А если тупо произведение вероятностей? Вроде подходит.
97, 5%
В идеале хочется 4 ответа
Тут написали ниже 50/50 либо иы болен, либо здоров. У меня сейчас знакомая лежит в ковид диспансер, так первый тест показал что она здорова, два теста бесплатно наша медицина не готова предоставлять даже если 39 температура. Дотянули до диспансера, когда уже совсем плохо стало.
Когда я ьалел, мне вообще не дали, ни мне, ни жене, дочери дней через 10 когда уже отпустило всех тест сделали. Дали ей направление в ПТ, примерно в 10, а тесты у нас брали до 9:00 или ПЦР это было. Короче в ПН сдали анализ, когда всем уже отлегло.. Отрицательный, да и болела она так себе..
с вероятностью 90% я действительно принадлежу группе здоровых, и с вероятностью 10%- группе больных.
Вероятность ложноположительного теста- 0,9*0,05= 4,5%. вероятность реально положительного теста- 0,1*0,95=9,5%. получается, что вероятность того, что я получил реально положительный тест в 2,11 раза выше, чем вероятность того, что я получил ложноположительный тест, и потому суммарная вероятность того, что я реально болен после одного положительного теста- 9,5/(4,5+9,5) = 0,68, чуть больше, чем две трети (а вероятность, что тест ошибся- 0,32). вероятность того, что два раза подряд я получу ошибочный положительный тест- 0,32*0,32 = 10%, то есть, после двух положительных тестов с вероятностью 90% я болен, а с вероятность 10%- тесты ошиблись.
Если тест оказался отрицательным- то вероятность ложноотрицательного теста у меня 0,1*0,05= 0,5%. Вероятность реально отрицательного теста у меня 0,9*0,95 = 85,5%. вероятность того, что я здоров- 85,5/(85,5+0,5)= 96,06%.
Вероятность ложноотрицательного теста- 3,94%. Вероятность того, что два раза подряд я получил ложноотрицательный тест, хотя на самом деле болен- 3,94%*3,94% = 0,15%.
а ведь мои расчеты для случая двух тестов подряд- полная лажа.
В этих расчетах я предполагал, что и в первом случае, и во втором я независимо выбираюсь из группы больных или здоровых, но на самом деле независимо я выбираюсь только один раз, а на втором разе моя истинная природа уже не меняется, и потому не является случайной.
поэтому вероятности для случая двух тестов надо рассчитывать иначе:
вероятность дважды положительного теста у здорового- это 0,9*0,05*0,05= 0,00225
вероятность дважды положительного теста у больного 0,1*0,95*0,95 = 0,09025
получается, что если я дважды получил положительный тест, то с вероятностью 0,09025/(0,09025+0,00225) = 97,(567)% я реально болен, а с вероятностью 2,(432)% я все таки здоров.
вероятность дважды отрицательного на здорового- 0,9*0,95*0,95 = 81,225%.
вероятность дважды отрицательного теста на больного- 0,1*0,05*0,05 = 0,025%
Вероятность того, что с двумя отрицательными тестами я действительно здоров- 81,225/(81,225+0,025)=0,99969(230769)
Вероятность того, что с двумя отрицательными тестами я болен- 3,08*10-4
И хоть бы кто заметил... учите математику.
не 5%..а вроде около 30-40%....)))
урок в школе. учитель:
- кацо, сколько будет дважды два.
- двадцать пять!
- неправильно, кацо
- вано, сколько будет дважды два
- ну не знаю, учитель когда семь, когда восемь...
- воот, видишь не "двадцать пять", а около 7-8...
1. 95%
2. 1-((1-0.95)*(1-0.95)) = 0.9975 ~ 99.8%
Вах, за такое, пожалуй, даже разбаню!
Махнем по 50 вискарика, пока не набежали идиоты с теоремой Байеса.
есть ещё нюанс. что при отсутствии болезни её идентифицируют. внизу дополнил.
Воу, воу, тормози с вискариком!
"Не болеет, но результат положительный" это, как раз, те самые 5% ложных срабатываний.
смотри.
есть четыре варианта.
болеет - результат положительный (95%) результат отрицательный (5%)
не болеет - результат отрицательный (95%) результат положительный (5%)
вероятность 95% - это вероятность того, что чел точно болен, и его правильно определили.
но. есть вероятность того, что чел точно не болен, но его определили как болен - это 5%.
в задаче не сказано, что чел точно болен или нет. то есть мы работаем в обратную сторону - от вероятности.
таким образом возможны два варианта
он болен и это определили - 95%
он не болен но тут ошиблись - 5%
второй вариант возможет только при положительном диагнозе, который определяется с вероятностью 95%.
следовательно, общая вероятность - произведение вероятностей, то есть 90.25%
ну и соответственно второй пункт - 1-((1-0.9025)*(1-0.9025)) = 0.99049375 ~ 99%
Это все страшно интересно и ячейки матрицы можно перемножать разными способами, но вопрос задачи какой? )
1.
95%апдейт 90.25%чел болеет - диагноз положительный
вероятность ошибки при положительном тесте при наличии болячки 5% - общая 95%
чел не болеет - диагноз положительный
вероятность ошибки при положительном тесте при отсутствии болячки 5% - общая 0.95*0.95 = 90.25%
Логика хорошая. Но что-то где-то с циферками не то… ;)
97,5%
Два подряд >= 99.75%
Если, конечно ложноположительных и ложноотрицательных всего 5%
Автор, для того, чтобы ставить такие задачки, сначала научитесь их правильно формулировать:
95+5+5=105%
Так торопился, что перечитать не успел?
А если подумать?
Результат теста может быть положительным, либо отрицательным.
В обеих случаях тест даёт 95% правильных ответов, и в 5% — ложных.
В одном случае ошибочный результат называется ложноположительным, в другом — ложноотрицательным.
То что вы имели ввиду мы все поняли, а вот излагать мат задачи надо грамотно.
Вы сначала усвойте, что такое несовместимые события, а потом рассуждайте.
Если правильных результатов 95%, то неверных и ложноположительных и ложноотрицательных в СУММЕ 5%, а не по 5% как указано у Вас.
Ответ задачи
При одном тесте -95% что Вы здоровы если тест отрицательный.
При двух отрицательных тестах -99,75% что здоровы.
Не так.
Если обозначить больное состояние как 1, а здоровое как 0, и записывать истинное состояние и результат теста через знак /, то:
P1/1 + P1/0 = 1 (первая полная группа событий, 0,95+0,05 =1)
P0/1 + P0/0 = 1 (вторая полная группа событий, 0,95+0,05 =1)
Поэтому, если вероятности правильного обнаружения и правильного необнаружения 0,95, то это и есть вероятности верного ответа, что больной или здоровый.
Если выполняется серия - то перемножаются соответствующие результатам вероятности и вычитаются из 1:
1. Оба теста дали 1: P1 = 1 - P1/0*P1/0 = 1-0,05*0,05 = 0,9975
2. Оба теста дали 0: P0 = 1- P0/0*P0/0
3. Тесты дали противоположные результаты: в этом случае, если пациент не изменил состояния между тестами, один тест верен, второй дал ложный результат и вероятность такого события P10 = P1/1*P1/0, P01 = P0/0*P0/1. При указанных исходных вероятность этого = 0,95*0,05 =0,0475, результат должен браковаться и тесты следует повторять до достижения заданной достоверности.
Логика почти правильная. Но не совсем.
О, вероятность увидеть в этом мире нечто совсем правильное дорогого стоит!
:)
100% - 5% ложноотрицательных - 5% ложноположительных дает 90% правильных ответов. С этого надо начинать.
А тест выявляет инфицированных или больных? А инфицированные бессимптомные считаются больными? А на каком основании? А не является ли вирус персистентным, как герпес? А насколько жестко установлена связь между инфицированием и характером болезни? А проводились ли исследования на наличие других инфекицонных агентов, кроме того, что выявляет этот ПЦР-тест? А различает ли ПЦР-тест вирусы и частицы РНК-вирусов?
Вы не понимаете, что нельзя быть одновременно больным и здоровым. Поэтому ваш расчёт вероятностей неверен.
Не надо сюда засовывать хрень всякую. Есть конкретная задача, неплохо прочищающая мозги.
Нельзя утверждать то или другое, а можно только предполагать. Устранить данную коллизию может только предположение, т.е. вероятность. Решение о том кто-то болен или здоров, принимает человек в зависимости от своих предпочтений на основанных на опыте.
Вы, похоже, читать не умеете.
По городу с уверенностью (будем считать, что при помощи более точных тестов) установлен уровень заболевания.
Кроме того, в рамках данной задачи есть только два состояния здоровья — здоров / не здоров. И два состояния теста — плюс / минус.
Почему везде надо тянуть муть всякую?
Мне кажется, что уровень распространения заболевания к схеме испытаний отношения не имеет. Тестирование - это инструментарий, результативность которого не может зависеть от того, сколько в очереди больных, а сколько здоровых. Это не схема извлечения
шара из урныбольного из популяции без возврата или с возвратом.Имеет. Поверьте!
Обоснуйте?
Не путаете ли Вы вероятностные характеристики тестирования с вероятностью выявления больных в популяции?
История с узелками. Льюис, мать его, Кэррол до сих пор рулит
Это вопрос с вероятностью рака груди. Там про редкое заболевание и относительно слабый тест. При вероятности заболевания в 1% и точности теста в 80% из чохом потестенных ста женщин 19 окажутся с ложнопозитивными тестами и одна с совпадением. Токмо, у медицинских тестов намеренно выкручивается вероятность положительного ответа невзирая на ухудшение точности. Ибо цена жизни выше цены ложного ответа.
Что-то общее есть. Но я привёл достаточно типичные значения для вирусной инфекции.
Ага. Совпадение до степени смешения.
Вы, кстати, спрашиваете, какова вероятность того, что я реально болею, а не какова вероятность того, что тест предсказал правильный результат. Эту вероятность вы задали в условиях задачи - 10%, она от результатов теста не зависит. Кроме того, у вас кое-какие условия нечетко поставлены. С теми же 95±5%, например.
зависит. Вероятность того, что наугад выбранный случайный человек здоров или болен- вот она 90/10. А вот вероятность того, что наугад выбранный случайный человек с положительным тестом здоров- она уже другая. Выше расчеты привел.
Ох, действительно. Был не прав. Признаю свою ошибку.
Чет я к ночи подумал-подумал, и понял- что рассчеты мои для двух тестов были тухловаты, и я их пересчитал.
Практика показывает ровно наоборот, иначе род человеческий пресекся бы
Тогда пожалте правильные ответы в студию!
Баес, априорная, апостериорные
Хорошие слова. Надежные. Итак, каковы ответы?
Главное правильные
я не буду считать
Логично… это ж сложно, наверно…
нет, я не собираюсь сдавать экзамен
Страницы