Внеплановая публикация в продолжение темы предыдущей статьи, посвящённой проблеме конвертации диаспорического воздействия в гонорарии отдельных членов.

Напомню, что правильным целеполаганием следует считать не решение некоторой задачи. И даже не оптимальное (с точки зрения затрачиваемых ресурсов, помня такой неочевидный нюанс как то, что основные деньги зарыты в процессе эксплоатации, а выражаются в экономии ресурсов общества) решение задачи. Но поддержание технологической традиции в масштабе длинного времени (то есть способности решать данный тип задачи как сейчас, так и век-два-три… спустя.

Темой статьи является постановка задачи трассологической реконструкции дезорганизующего воздействия длинного Времени (т.е. прилагаемого к системе образования).

В качестве первого предварительного замечания напомню практически аналогичную подборку свидетельств по комплексу мер, решавших задачу пресечения неконвенционной технологической традиции в области физического производства.

В обсуждении предыдущей статьи приводится свидетельство того, что учебники Киселёва использовались до семидесятых годов прошлаго века. И тут у меня сработал сторожок. На предмет того, что замена дегрессии основного учебного пособия по базовому предмету (коим является математика) — действие не вполне тривиальное, требующее времени и изрядных приложений труда.

Откуда вполне очевидным образов вырисовывается хронологическая параллель с решением проблемы антагонистичности советской технологической традиции в области вычислительной техники (интересующимся подробностями рекомендую цикл статей, первая — здесь).

Возвращаясь к теме статьи напомню новейший комментарий от рыжего-полосатого:

У учебников до 60-70-х годов есть одно волшебное свойство: они куда понятнее. Хоть алгебра, хоть физика с химией.

Ну и теперь можно переходить к предмету статьи. Слово Льву Семёновичу:

---

О математике и качестве её преподавания

Моё внимание привлекло в школьном учебнике определение вектора.

Вместо общепринятого и наглядного представления о нём как о направленном отрезке (именно такое определение, например, сохранилось и в «Политехническом словаре», М., «Советская энциклопедия», 1976, с. 71) школьников заставляют заучивать следующее: «Вектором (параллельным переносом), определяемым парой (A, B) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка M отображается на такую точку M1, что луч MM1 сонаправлен с лучом AB и расстояние |MM1 | равно расстоянию |AB|» (В. М. Клопский, З. А. Скопец, М. И. Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. 6-е изд. М., «Просвещение», 1980, с. 42).

В этом сплетении слов разобраться нелегко, а главное — оно бесполезно, поскольку не может быть применено ни в физике, ни в механике, ни в других науках.

Что же это? Насмешка? Или неосознанная нелепость? Нет, замена в учебниках многих сравнительно простых, наглядных формулировок на громоздкие, нарочито усложнённые, оказывается, вызвана стремлением… усовершенствовать (!) преподавание математики.

Если бы приведённый мною пример был только досадным исключением, то ошибку, по-видимому, легко можно было бы устранить. Но, на мой взгляд, в подобное состояние, к сожалению, пришла вся система школьного математического образования…

Однако прежде, чем об этом говорить, целесообразно высказать предварительные замечания о самой математике. Значение её на наших глазах возрастает, своими приложениями она охватывает всё новые области познания и практики. Одновременно происходит стремительный прогресс и в ней самой. Возникнув некогда как сугубо прикладная наука и имея своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира — то есть весьма реальный материал, — в ходе своего развития математика принимала всё более абстрактную форму, которая в известной степени затушевывала её «земное» происхождение. Ведь чтобы исследовать названные формы и отношения в чистом виде, приходилось мысленно отделять их от содержания, оставляя его в стороне как нечто безразличное. На это не случайно указал Ф. Энгельс в своей гениальной работе «Анти-Дюринг».

Отвлекаясь от действительности, люди получили точки, лишённые измерений, линии, лишённые толщины и ширины, разные «a» и «b», «x» и «y», постоянные и переменные величины, а далее — дошли до продуктов «свободного творчества и воображения самого разума» — до мнимых величин. «Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами своего собственного творчества и воображения», — писал Энгельс (К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, с. 37). И выведение математических понятий друг из друга, кажущееся не опирающимся на определённые данные и факты, доказывает не их априорное возникновение, а лишь их рациональную связь. Нельзя не согласиться с мыслью: «Как и все другие науки, математика возникла из практических потребностей людей… Но, как и во всех других областях мышления, законы, абстрагированные из реального мира, на известной ступени развития отрываются от реального мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, с которыми мир должен сообразоваться… Чистая математика применяется впоследствии к миру, хотя она заимствована из этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм связей, — и как раз только поэтому и может вообще применяться» (там же, с. 37–38).

«Воспаряя» над жизнью, над действительностью, математика в силу необходимости своего же развития непременно то и дело возвращается к своим истокам, к практике, находя в ней тот оселок, на котором она удостоверяется в действительной ценности своих теоретико-математических построений и пересматривает или утверждает свои основания, совершенствует свои подходы и методы.

Поэтому несерьёзными выглядят философствования типа, например, следующего: «Общепринято (?! — Л. П.) математику подразделять на следующие отрасли: чистую математику (или собственно математику), прикладную математику и метаматематику. В свою очередь, чистая математика подразделяется на формальную и содержательную математики». (Цитируется брошюра о «философских проблемах математики», выпущенная издательством «Знание». Не называю имени автора только потому, что брошюра вышла семь лет назад.) В математике нет «надматематических» (ведь «мета» по-гречески означает «вне», «за пределами») разделов (отраслей), равно как совершенно нелепо подразделять её на «формальную» и «содержательную». Я отнюдь не умаляю значения специализации исследовательской деятельности на теоретическую и прикладную. Однако, познакомившись ближе, нетрудно убедиться, сколь тесно взаимодействие и взаимопереплетение фундаментальных изысканий и сферы их приложений. Высокий уровень абстракций современной математики способен гипнотизировать тех, кто не является в ней специалистом, и, очевидно, порождать в их среде досужие мнения, неверные представления, особое почтение лишь к кабалистическим формулировкам типа приведённой мною из школьного учебника и недоверие к ясности и простоте действительно научных утверждений. Именно подобное отношение, порождённое дилетантизмом в специальной области и одновременно узостью общего кругозора, способно послужить неблагоприятной почвой для принятия решений в практических делах.

Действительно, существует область математики, именуемая математической логикой, которая занимается изучением формальных математических высказываний, способов их построения, правилами вывода и тому подобными, точно определёнными в строгом математическом смысле действиями. Из сказанного, однако, не следует, будто есть целый раздел математики, как изображает процитированный автор, названный им «формальной математикой», в котором специалисты заняты-де производством практически ненужных «высказываний». Его деление «чистой математики» на «формальную и содержательную» не имеет никакого смысла и непонятно математикам. Если же учесть, что он «перемешивает» и без того трудные математические понятия с туманными философскими формулировками, прибегает к неоправданным обобщениям, то просто диву даёшься, какое пустословие можно выдавать за науку на страницах массового издания.

Не тем же ли обусловлены и рассуждения о некоем «предмете философии математики», суть-де которого составляют «свойства и отношения математики, о присущности или неприсущности которых мы (т. е. он, автор. — Л. П.) можем судить, опираясь на категории и положения философии»? Философские категории и положения у написавшего приведённые строки «выступают в роли базиса (основания), необходимого для решения философских проблем математики».

Боюсь, что при таком подходе автор удаляется не только от самой математики, но и от той научной философии, которая служит фундаментом господствующего в нашем обществе мировоззрения, методологии нашего познания. Действительно, рассуждения о «формальной математике» (само это выражение не может не покоробить учёного-математика) как о «совокупности формальных теорий, главными интерпретациями которых являются системы математических объектов», представляются мне не иначе как словесным сором, а умозрения, что, мол, «понятие формулы (предложения) языка является чисто синтаксическим (формальным), не опирающимся на содержание (семантику) и независимым от него», — принципиально ложными. Определение же: «Под формальной теорией понимается правильное подмножество… формул формального языка» — бессмыслицей.

Всё это могло бы быть только забавным, если бы не дезориентировало умы, не вносило (ввиду распространения массовым тиражом) искажённых представлений в сознание широкой читающей общественности, особенно молодёжи, формирующийся ум которой особенно впечатлителен и восприимчив.

Зрелый специалист, обладающий должной профессиональной культурой, наделён иммунитетом против подобных приведённым выше «идей» — он лишь иронически пожмёт плечами. Ну кто, спрашивается, из математиков станет представлять элементарную арифметику «подмножеством… формул формального языка», как это делает данный автор? Специфической особенностью «формальных теорий», согласно ему, является то, что их «предложения» распознаются неким «эффективным методом» лишь «на основе их формы вне зависимости от содержания». «Самое же главное, — пишет он, — заключается в том, что формальные теории строятся и развиваются независимо от семантики, или интерпретаций (если не считать эвристического значения интерпретаций)».

Как это понимать?.. Да, форма может иметь специфические особенности своего развития, но отнюдь не независимо от логики развития содержания.

Это уже философские азы, указывать на которые просто неловко.

Абстрактность математики — производное, следствие её специфической природы, а не наоборот; абстракция есть логический акт, производный от содержательной деятельности; «форма как таковая» есть определённая содержательная предметная деятельность, состоящая в воспроизведении стороны предметов, явлений, процессов объективного мира; рассмотрение её «самой по себе», вне этой предметной деятельности приводит в конце концов к отождествлению предмета науки с её «языком», то есть к соскальзыванию в идеализм, в метафизику. Отождествление предмета теории с её формальным аппаратом приводит к тому, что математика — в представлениях горе-философов — вырождается в лингвистику (подобно тому как аналогичная тенденция приводит теоретическую лингвистику, наоборот, к отождествлению с математикой).

Не стану более задерживаться на этом вопросе, равно как и на критике несовершенств и искажений в случайно попавшей мне в руки брошюре. Можно было бы привести и другие примеры — они стали возникать в большом количестве, как головастики в весенних водах, и в общем не заслуживали бы внимания. Но любой землепашец знает, сколь опасна сорная трава на культурной ниве. Если своевременно не принимать мер, она может агрессивно распространиться, забивая собою злаки. И вот что хотелось бы подчеркнуть: ложные идеи способны исказить поле сознания, стихийная цепная реакция их — породить ложные тенденции в нашей жизни. А это уже не может не тревожить.

Я думаю, любого специалиста не могут не заботить дальнейшие судьбы той области, в которой протекает его деятельность, её кадрового обеспечения. Люди, некомпетентные в математике, но имеющие отношение к организации научных исследований и подготовке специалистов, вообще к системе просвещения и образования, питаясь «чтивом», подобным приведённому выше, могут невольно оказаться дезориентированными и совершать ошибочные действия, чреватые далеко идущими последствиями.

Вопрос о том, например, чем следует заниматься, стоит для самих математиков, быть может, острее, чем для представителей других областей знания. Возникшая в свое время в ответ на практические нужды, математика имела, имеет и будет иметь своей основной задачей изучение окружающего нас материального мира с целью его дальнейшего освоения человеком. В то же время у неё, разумеется, есть и своя внутренняя логика развития, в силу которой учёные создают весьма отвлечённые теоретические построения, не связанные непосредственно с окружающей нас действительностью и не сразу находящие для себя в ней приложения.

Мне знакомо восхищение замечательной стройностью и своеобразной красотой подобного рода построений. Однако оно не может служить единственным оправданием их существования. Математика не музыка, красота которой доставляет радость и широкой аудитории немузыкантов. Эстетическое наслаждение, порождаемое лишь математической красотой, способен испытать только узкий круг специалистов, и создавать ценности исключительно в этом смысле — значит заведомо искажать высокое предназначение математики, замкнув её только на себя и тем самым фактически заставив работать на холостом ходу.

Я не собираюсь утверждать, что обладающие внутренней стройностью, но лишённые непосредственного практического значения разделы математики не имеют права на существование; они включены в самую ткань науки, иссечение которой могло бы привести к нарушению всего её организма. Кроме того, оказывается, что некоторые отделы математики, лишённые практических приложений в течение многих веков, позже находят такие приложения. Классическим примером служат кривые второго порядка, созданные в древности из внутренних потребностей «чистой» науки и нашедшие лишь позже очень важное применение. С другой же стороны, некоторые разделы математики, посвящённые лишь её внутренним проблемам, оставаясь «вещью в себе», постепенно вырождаются и почти наверняка в конце концов оказываются ни для чего не нужными. Думаю, что для впавших в грех таких математических упражнений никакие «философские» обоснования «формальной теории» не послужат ни оправданием, ни утешением. Сказанное, по-видимому, имеет и прямое отношение к «философии для философии» (быть может, кто-нибудь пустит выражение: «формальная философия»? Именно так, наверное, следовало бы окрестить вышеприведённые мудрствования, претендующие на «философские основания математики»). Однако дело философии не в том, чтобы созерцательно объяснять мир, и не в том, чтобы умозрительно изобретать «философские принципы» или «основания» (например, математики), а в том, чтобы исследовать предметную деятельность, служа одновременно методологической основой её преобразования и руководством к практическому действию (в частности, к выбору тематики исследования).

Итак, принимая во внимание высокую степень развития сегодняшнего математического аппарата, а также тот факт, что прогресс математической науки стимулируется не только внешними по отношению к ней побудительными причинами, но и внутренними факторами, вопрос о выборе тематики исследований становится для математиков весьма тревожным. Я считаю, что если не все, то во всяком случае многие из них должны в своей работе обращаться к первоисточникам, то есть к приложениям математики. Это необходимо для того, чтобы влить новую свежую струю в научные исследования, чтобы более активно применять весьма эффективные математические методы на практике.

Поскольку всё живое в нашей жизни имеет диалектический характер, хотел бы, подчеркивая значимость прикладных исследований, предостеречь от обращения их в свою противоположность под внешне как будто «верной» оболочкой. Я имею в виду математическую мистификацию практических задач, от которой не бывает пользы ни уму, ни сердцу. В последнее время можно встретить, например, так называемые экономико-математические работы, насыщенные сложной математической символикой, но не содержащие ни одного конкретного, численного примера, — непонятные, недоступные и фактически ненужные экономистам, а с точки зрения математиков — представляющие ничтожную ценность, либо вообще не обладающие ею.

В последнее время опасными становятся математические спекуляции в теоретической физике и в технических науках. Дело доходит до того, что серьёзная работа в области техники может быть ошельмована на том основании, что в ней нет математических обоснований, хотя всем может быть ясна практическая пригодность исследования. Для математики обидно, что иногда её привлекают для бутафории, для того, чтобы спрятать бедность и немощность той или иной специальной работы (например, в биологии и медицине). Обидно прежде всего за то, что действительное, правильное применение математики в специальных исследованиях может дать весьма ощутимый эффект.

Нужно признать, и я об этом заявлял (см. «Успехи математических наук», том 33, вып. 6 (204), 1978, с. 21), что некоторые дела в области математики сильно запущены из-за нашей собственной беспечности и непонимания происходящего.

К числу таких запущенных дел принадлежит положение с математическим образованием в средней школе. Реформа преподавания, проведённая более 10 лет назад, привела его, на мой взгляд, к странному состоянию. Об этом мне уже довелось выступать на страницах газеты «Социалистическая индустрия» (21 марта 1979 года — статья «Этика и арифметика»), вместе с моими коллегами в журнале «Математика в школе» (1979, № 3).

Пищу для печальных раздумий даёт письмо тринадцати старшеклассниц из Вильнюса, опубликованное в «Комсомольской правде» 12 марта 1978 года — «Бесталанные ученики?», неубедительно, по-моему, прокомментированное. В нём было выражено настоящее отчаяние: «Нам никак не одолеть программу по математике… Многого не понимаем, зубрежкой не всё возьмёшь… Такие заумные учебники… Вот и ходим мы в „дебилах“, как называют нас учителя…»

Однако всеобщая тревога возникла гораздо раньше. О преподавании математики заговорили повсюду, начиная с семей, в которых есть дети-школьники, и кончая высокими инстанциями. Родители обеспокоились, что, имея даже инженерное образование, они не понимают излагаемого в школе материала и не могут помочь своим детям в приготовлении уроков. Не ясен и смысл этого материала. Среди школьных педагогов — растерянность и недоумение по поводу новых программ. От многих из них мне приходится получать письма, в которых это выражено весьма эмоционально.

О причинах данного явления я узнал из телевизионного выступления министра просвещения СССР М. А. Прокофьева (в 1979 году). Он сообщил, что двенадцать лет тому назад некоторыми авторитетами было признано, что математика, преподававшаяся тогда в средней школе, отстала от требований времени и потому её нужно «модернизировать». Нет слов, в определённых усовершенствованиях школьная математика нуждалась, но осуществлённые мероприятия не улучшили, а ухудшили положение. В результате, в частности, возникли те учебные программы и пособия, по которым ныне и учатся математике в школе.

На одном совещании мне довелось услышать из уст академика-физика: «Совершенно понятно, почему родители даже с инженерным образованием не понимают школьной математики, — ведь это современная математика, а они учили только старую…» Вот, оказывается, в чём «секрет». Тут уж у меня самого возник вопрос: зачем же детям такая математика в средней школе, что в ней не могут разобраться даже специалисты с высшим техническим образованием?

В современных условиях закономерно возросли требования к содержанию программ по математике и их конкретной реализации в учебниках. Осуществлённый в последние годы пересмотр содержания школьного курса математики, включение в него элементов математического анализа, теории вероятностей и так далее можно в принципе рассматривать как явление прогрессивное. Однако в основу изложения авторы ныне действующих учебников положили теоретико-множественный подход, отличающийся повышенной степенью абстракции и предполагающий определённую математическую культуру, которой школьники не обладают и не могут обладать. Её нет и у большинства преподавателей. Что же в итоге произошло? Искусственное усложнение учебного материала и непомерная перегрузка учащихся, внедрение формализма в содержание обучения и отрыв его от жизни, от практики. Многие важнейшие понятия школьного курса математики (такие, как понятие функции, уравнения, вектора и т. д.) стали труднодоступными для сознательного усвоения их учащимися.

На определённом этапе развития математики высокоабстрактная теоретико-множественная концепция ввиду её новизны стала модной, а увлечение ею — превалировать над конкретными исследованиями. Но теоретико-множественный подход — лишь удобный для математиков-профессионалов язык научных исследований. Действительная же тенденция развития математики заключается в её движении к конкретным задачам, к практике. Современные школьные учебники по математике поэтому — шаг назад в трактовке этой науки, они несостоятельны по своему существу, поскольку выхолащивают суть математического метода.

Нет ничего предосудительного в том, чтобы в средней школе употреблялось «множество» как слово русского языка. Так, определение окружности можно дать в двух вариантах. Первый: «Окружность состоит из всех точек плоскости, отстоящих от заданной точки на одном и том же расстоянии». Второй: «Окружность есть множество всех точек, находящихся на заданном расстоянии от заданной точки». Второй вариант определения окружности ничем не хуже и не лучше первого. И слово «множество» совершенно безвредно, а, в общем, бесполезно. Но в модернизированных учебниках и программах оно возведено в ранг научного термина, и это повлекло за собой уже серьёзные последствия. Сразу же появились и такие понятия, как «пересечение множеств», «объединение множеств», «включение множеств». И вводятся соответствующие значки. Кажущиеся нам, математикам-профессионалам, очень понятными, эти выражения и значки не так уж легко воспринимаются учениками, а главное — они не нужны для понимания школьных истин математики.

Стремление к большей общности, свойственное новым программам, и повсеместное употребление «множества» как научного термина выражается, например, в том, что геометрическая фигура определяется как «множество точек». А так как в теории множеств два множества могут быть равными, лишь полностью совпадая, то слово «равенство» уже не применимо к двум различным треугольникам. Это слово заменяется другим, не свойственным русскому языку, термином «конгруэнтность». Этот термин не употребляется в практике. Никакой строитель не будет говорить о двух «конгруэнтных балках» (или закройщик из ателье о «конгруэнтных кусках ткани»), а будет говорить о равных, или одинаковых балках (кусках ткани).

Выше мы привели неудобоваримое определение вектора. Очень характерный пример того, как относительно простое, интуитивно ясное понятие преподносится педагогически абсурдным способом. А получилось оно у авторов таким ввиду того, что прежнее определение не укладывается в теоретико-множественную концепцию. Ведь вектор не есть «множество». И равенство векторов не есть теоретико-множественное равенство. Потому в современном школьном курсе геометрии вектор и предстал как «параллельный сдвиг пространства», а сложение двух векторов — как «последовательное применение двух параллельных сдвигов». Определения эти не только чрезвычайно сложны — они совершенно не соответствуют общепринятому аппарату физики, механики, всех технических наук.

Так же обстоит дело и с определением функции. Вместо того, чтобы сказать, что функция есть величина «игрек», числовое значение которой можно найти, зная числовое значение независимой переменной «икс», — что в общем виде записывается: y = f (x), — и дать ряд примеров её при помощи формул, функцию определяют, по существу, как отображение одного множества на другое. Делается это, однако, в школьных учебниках куда сложнее: сперва вводится понятие отношения между элементами двух различных множеств, а потом говорится, что при выполнении некоторых условий, наложенных на это отношение, последнее является функцией.

Новые учебники переполнены такого рода громоздкими, сложными, а главное, ненужными определениями. Математическое понятие уравнения стремятся свести к грамматическому понятию предложения. На бедные детские головы обрушивается понятие уравнения как «предложения с переменной» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин. Алгебра. Учебник для 6-го класса средней школы. М., «Просвещение», 1977, с. 12). Наткнувшись на него, я никак не мог понять, что же это значит. Примеры уже даются в учебнике для четвёртого класса. Так, приводится «предложение»: «Река x впадает в Каспийское море». Далее разъясняют, что если вместо x подставить «Волга», то мы получим правильное утверждение, и, следовательно, «Волга» есть решение этого уравнения. Если же вместо x подставить «Днепр», то получится неверное утверждение, и потому «Днепр» не является решением этого уравнения (см. Н. Я. Виленкин, К. И. Нешков, С. И. Шварцбурд, А. С. Чесноков, А. Д. Семушин. Математика. Учебник для 4-го класса средней школы. М., «Просвещение», 1979, с. 39).

Какое это имеет отношение к математике? У неё своя специфика, и нет надобности сводить её к грамматическим понятиям. Однако этот факт в высшей степени симптоматичен, если вернуться к тому, что говорилось выше о «философии математики», готовой свести предмет математической теории к манипулированию её «языком» — к «лингвистике».

Чрезмерно абстрактный характер придан преподаванию математики уже в первых классах и уже там мешает освоению её основного предмета — арифметики. Внедрение нарочито усложнённой программы, вредной по своей сути, осуществляется к тому же с помощью недоброкачественных, в ряде случаев просто безграмотно выполненных учебников. Но главный порок, конечно же, в самом ложном принципе — от более совершенного его исполнения школа не выиграет.

А ведь, признаться, неплохим, в общем, был предшествующий опыт школьного обучения, неплохими были и учебники, — не случайно именно к ним обращаются репетиторы, подготавливая сегодня абитуриентов в вузы. Кстати говоря, не отказ ли от того положительного, что было раньше в школьном преподавании, способствовал развитию «чёрного рынка» репетиторства с его спекулятивными ценами — явления возмутительного, несовместимого с нравственными принципами нашего общества.

Такого рода «стихийные бедствия» совершенно не согласуются и с принципами социального управления, которым неукоснительно должна следовать и наша школьная система.

Что же касается более благополучных вариантов учебников, то есть такие — например, по геометрии, написанный академиком А. В. Погореловым (А. В. Погорелов. Геометрия. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1979). Однако создаётся впечатление, что Министерство просвещения СССР не спешит умножить число подобных примеров.

Иногда официальные лица министерства, защищая теоретико-множественный подход как «современный» в школьной педагогике, ссылаются на пример западноевропейских стран: мол, там этот подход вошёл в жизнь, а мы-де отстаём от передового опыта. А между тем Парижская Академия наук, например, ещё в 1972 году обнаружила, что подобная модернизация преподавания математики приводит к появлению неудовлетворительных и ошибочных учебников и методов преподавания, что обучение математике во французских школах не приносит общему образованию той пользы, которой от него следовало бы ожидать.

Четыре года назад крупнейший французский математик Жан Лере, выступая в Рабате на первом панафриканском Математическом конгрессе, критически оценил постановку школьного дела в развитых капиталистических странах, отметив, что преподаватели и учебники там всё с большим трудом передают детям те знания, которые им необходимы для жизни. Вот что сказал он о математике, преподаваемой в школах Франции: «Развитие понятия множества в последнее время значительно расширило область применения и силу математических методов, но значит ли это, что преподавание математики юношам и девушкам должно быть основано на этом понятии, то есть проходить по схеме, принятой в прекрасном трактате Н. Бурбаки? Ответ может быть только отрицательным… Можно ли строить курс математики для юношества логически на теории множеств, то есть выразить сущность этой теории на простом и доступном языке? Во Франции это пытались сделать с самонадеянностью, основанной на непонимании, что не могло не привести к катастрофе… Торжество методики, основанной на повторении многословных определений, имеет самые серьёзные социальные последствия. С одной стороны, это отваживает от научного образования способных юношей, которые лишены привилегии иметь взрослого руководителя, способного объяснить им, что они правы, не понимая того, что им преподают, с другой стороны, это привлекает к занятиям как раз наименее способных и думающих учеников, которые учат наизусть и повторяют, не понимая смысла… Извращённая ситуация, в которой оказалось преподавание математических дисциплин во Франции, в большей степени, чем в англо-саксонских странах, возникла из вполне законного стремления к прогрессу. Наши самые искренние и цельные реформаторы не сумели отстранить от этого дела шарлатанов, которые использовали их инициативу, например, тех, кто с лёгкостью написал толстые учебники, полные ошибок, и получил преимущественное право на их переиздание, то есть воспроизведение ошибок. Сами учителя были подготовлены интенсивной пропагандой… Методисты боятся потерять авторитет, если исправят допущенные ошибки. Я прочёл двум, сменившим один другого, министрам национального образования Франции основное содержание министерских инструкций, имеющих целью ошеломить наших детей научными определениями прямой… Они признали, что не понимают сами того, что предлагают в качестве обязательных инструкций, однако инструкций не отменили».

Приведённые слова невольно порождают желание провести параллельное сравнение с тем, что происходит с математикой в нашей школе. «Современные» учебники по математике, утверждённые Министерством просвещения СССР и миллионными тиражами выпускаемые издательством «Просвещение», напоминают по своему подходу учебники французских авторов, критикуемые Жаном Лере.

В последние годы некоторую часть школьного курса заполнили элементы высшей математики. Поскольку она должна быть рассчитана на всех учеников, а не только на тех, кто собирается впоследствии стать профессиональным математиком, изложение её должно быть достаточно ясным и простым, без лишнего формализма. На деле же оно усложнено, перегружено ненужными фактами и недоступно пониманию школьников. Что же касается элементарной математики, то основные её разделы весьма сокращены, излагаются неполно и не подкреплены достаточным числом примеров и задач. Вот и получилось, что, с одной стороны, школьники оглушены формальным, трудно воспринимаемым материалом, по большей своей части ненужным, а с другой — не получают необходимых навыков в выполнении элементарных арифметических действий и алгебраических преобразований, в решении простейших уравнений и неравенств (в том числе квадратных), обнаруживают слабые знания тригонометрии, не умеют применять алгебру и тригонометрию для решения геометрических задач. В сознании их возникает ложное представление о математике как о чём-то заумном, далёком от реальной действительности и невозможном для освоения многими. Но, по-видимому, ответственных работников системы просвещения не смущает насыщение школьных страниц множеством «формул формального языка».

С большой досадой приходится констатировать, что вместо того, чтобы прививать учащимся практические умения и навыки в использовании обретаемых знаний, учителя подавляющую часть учебного времени тратят на разъяснение смысла вводимых отвлечённых понятий, трудных для восприятия в силу своей абстрактной постановки, никак не «стыкующихся» с собственным опытом детей и подростков, не способствующих развитию их математического мышления и, главное, ни для кого не нужных. Вот уж где уместно наконец сказать о делении математики на «формальную» и «содержательную», только несколько в ином — увы, более точном — смысле, нежели писал процитированный выше философ. Содержательная часть математики на школьных уроках действительно потеснена сугубо формальной. Академики В. С. Владимиров, А. Н. Тихонов и я в журнале «Математика в школе» (1979, № 3) писали: «Чрезмерный объём и неоправданная сложность изложения программного материала развивают у многих учащихся неверие в свои способности, чувство неполноценности по отношению к математике. Этим отчасти объясняется снижение интереса к естественнонаучным и техническим дисциплинам… Создавшееся положение с преподаванием математики в средней школе требует принятия решительных мер по его исправлению».

В следующем номере того же журнала была опубликована статья академиков Л. В. Канторовича и С. Л. Соболева «Математика в современной школе». В ней авторы, стремясь защитить неудачные новшества, фактически (хотя и с оговорками) вынуждены были признать справедливость аргументов критики, но постарались представить её как «призыв к возврату ставших уже архаичными программ и учебников». Последний вывод смещал плоскость полемики, искажал существо её.

Не могу не процитировать и примечательный в некотором отношении абзац: «Следует сказать, что такие крайние выводы, первоначально высказывавшиеся на бюро Отделения математики, при более подробном ознакомлении с вопросом не были поддержаны на общем собрании Отделения» (подчёркнуто мною. — Л. П.).

Мне кажется, что этой фразой мои уважаемые коллеги пытались ввести в заблуждение общественность. Ведь общее собрание Отделения математики АН СССР в декабре 1978 года приняло в высшей степени принципиальное решение, поддержав мнение Бюро Отделения. Вот выписка из него: «1. Признать существующее положение со школьными программами и учебниками по математике неудовлетворительным. 2. Считать вновь представленную Министерством просвещения СССР программу по математике для средней школы неудовлетворительной. 3. Создать Комиссию по вопросам математического образования в средней школе при Отделении математики АН СССР…»

В связи с развернувшейся на страницах упомянутого журнала дискуссией академик-секретарь Отделения математики АН СССР Н. Н. Боголюбов попросил журнал опубликовать полный текст решения общего собрания Отделения по этому вопросу (копия письма была послана министру просвещения СССР). Главный редактор журнала Р. С. Черкасов счёл целесообразным ответить отказом…

В постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О дальнейшем совершенствовании обучения, воспитания учащихся общеобразовательных школ и подготовки их к труду» говорилось: «Школьные программы и учебники в ряде случаев перегружены излишней информацией и второстепенными материалами, что мешает выработке у учащихся навыков самостоятельной творческой работы». Эти слова целиком и полностью относятся к ныне действующему школьному курсу математики.

Пассивную роль в создании ныне действующих учебников сыграла Академия педагогических наук СССР, не обратив должного внимания на их качество.

Странно, что многие специалисты по методике преподавания математики, имеющие обширные научные знания, оказались бессильными понять непригодность для школы существующих программ. А между тем положительная инициатива школьных учителей по совершенствованию преподавания на местах нередко глушится циркулярами или — в лучшем случае — не поддерживается должным образом.

Принципиальное отношение к критике означает не столько словесное признание её, сколько конкретные действия по исправлению сложившегося положения. Цитаты из партийных документов — не мёртвая буква и не модная фраза. В нашей стране стало законом жизни неукоснительное исполнение партийных и государственных решений. В этом выражается единство слова и дела, теории и практики. Разрыв одного с другим — не что иное, как нарушение самого принципа нашего бытия. Так понимают все советские люди неисполнение директив своего руководства. А это предполагает конкретность принимаемых мер.

Что касается совершенствования школьного курса математики, то он должен, во-первых, обобщать наглядные представления и практический опыт учащихся и готовить их к применению математических знаний в последующей деятельности. Во-вторых, изучение математики должно способствовать выработке у школьников твёрдых навыков устного счёта, развитию логического мышления и пространственного воображения. В-третьих, учащиеся должны овладеть теми математическими понятиями, с которыми им придётся встречаться в практической деятельности, а вводимые термины и символы должны быть согласованы с общепринятыми в научно-технической литературе и используемыми в смежных дисциплинах. Эти требования не представляют собой чего-то из ряда вон выходящего, напротив, они просты. Кстати заметим, что чем ближе мы к истине, тем проще оказываются выводы, в то время как наукообразные мудрствования лишь отдаляют нас от неё.

В Советском Союзе имеется блестящая плеяда первоклассных математиков, опытная армия высококвалифицированных педагогических кадров — совместными усилиями с органами народного образования они способны успешно решить задачу большой социальной значимости: повысить качество математической подготовки школьников и тем самым способствовать дальнейшим успехам высшего образования и науки страны развитого социализма.

Впервые опубликовано в журнале «Коммунист», 1980, № 14.

Л. ПОНТРЯГИН

Академик, Герой Социалистического Труда

---

Извлечение из автобиографии («Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим», #611281).