Математика с системной точки зрения (ко дню математика)

Сегодня, 1 апреля, не только день смеха, но еще и неофициальный День Математика в России. По этому поводу, я решил выложит давно маринующийся текст про математику. Вопрос о математике и ее основаниях на этом ресурсе периодически подымается. В этом посте я попытаюсь объяснить это с системной точки зрения.

Предмет математики

Математика работает с моделями. Более того она работает с формой моделей, в отрыве от содержания. У фразы «апельсин, и еще один апельсин» и «яблоко, и еще одно яблоко» схожая форма «Х, и еще один Х». И в математике договорились эту форму обозначать как «1*x +1*x»,  или «1*x +1*x =2 * x». Так как, работа с формой не вовлекает содержание, то в формулах математики часто содержание совсем игнорируют в виде «1+1=2». Это иногда ведет к эпическим неудачам.

Правила математики, это правила преобразования моделей из одной форму в другую. Например, из записи «1+1=2» и правил арифметики следует запись «2-1=1». Соответственно, по модели «у нас есть два апельсина», мы можем сделать вывод «если у нас заберут один апельсин, то у нас останется только один апельсин». Данное преобразование следует чисто из формы изначального высказывания, и не добавляет новой информации, оно позволяет узнать следствие из этой информации. Математика позволяет раскрыть дополнительные смыслы того, что мы уже записали, но эти смыслы уже заложены в формулировке исходной модели.

Такой разрыв между формой и содержанием позволяет нам делать очень много. Например, арифметика позволяет описывать и анализировать количественные операции с предметами, независимо от природы объектов. Не важно, это яблоки или апельсины. Принципы одинаковые.

То есть, математические объекты – это форма за вычетом содержания. Причем, в современной математике, почти каждую математическую запись можно свести к тексту. Геометрия долго стояла слегка в стороне, так как использовала запись моделей в виде рисунков. С появлением декартовых координат, и геометрия стала сводима к тексту.

Математические преобразования

Еще раз, математика работает с формой, а не содержанием, сначала строится модель, потом она преобразовывается, а потом преобразованная форма позволяет нам сделать выводы относительно реального мира, используя другую форму модели, и восстановив связь с содержанием.

Так как мы работаем с формой в отрыве от его содержания, то мы не можем проверять правильность преобразований здравым смыслом. Так как математика раскрывает смысл моделей, она не добавляет новых фактов в модель, она работает с моделью, как она есть.

Это накладывает определенные ограничения на преобразования модели. Пространство всех следствий из модели называется теорией модели. Использования правил вывода приводит модель в новую форму, где теория новой модели является подмножеством пространства следствий исходной модели (или равно, для эквивалентных преобразований). То есть, в преобразованной модели потенциально меньше информации, чем в исходной.

В качестве примера, пусть у нас есть набор дней рождения учеников школы, и путем очевидных преобразований, мы получаем средний возраст на первое сентября сего года, и передаем это среднее значение ГорОНО. Чиновник из ГорОНО не может восстановить дни рождения по полученной информации по среднему возрасту. Так как математическими преобразованиями мы убрали эту информацию из модели. На этом простом примере видно, что математические методы позволили извлечь интересную информацию из модели, но также отбросили исходную информацию.  Это типично для многих математических преобразований, так в формуле «2+3» больше информации чем, в числе «5». Так как, «5» может быт получено из «0+5», «1+4», «2+3», «3+2», «4+1», и «5+0», и то если это ограничится одной операцией «+» и натуральными числами.

Эволюция математики

Математика – это постоянно развивающаяся область человеческой деятельности. И у этого развития есть свои закономерности, которые вызваны ролью математики в жизни.

В математике появляются новые математические объекты, которые расширяют возможности формальной записи моделей.

В математике появляются новые преобразования математических объектов. Математики ищут преобразования моделей, которые позволяют выделить интересные следствия из моделей. Для более-менее сложных моделей (достаточно арифметики) – пространство следствий бесконечно. Например, из «1+1=2, x+0=x, x-x=0» следует «1+1+1-1=2», «1+1+1-1+2-2=2», и так далее. Это приводит к тому, что из практически любой более-менее интересной модели следует бесконечное количество логических выводов. Из-за этого, полного исследования всех следствий провести невозможно, за конечное время. Очевидно, что не все такие выводы нам интересны. Интересны следствия, которые могут повлиять на решения, связанные с реальным миром.

Не обязательно каждый раз повторять одну и ту же цепочку выводов при исследовании теории модели. Теоремы и леммы – это уже доказанные типовые преобразования моделей, которые предоставляют потенциально интересные выводы из модели, и эти выводы собраны из более простых теорем и аксиом. И такие выводы могут быть разработаны для размышления об одном содержании (например, небесной механики) и потом применены уже в другом контексте, например, судостроении. Опять, таки теоремы и леммы редко формируются на пустом месте, обычно они являются ключевыми точками на пути поиска ответов на интересные вопросы относительно модели.

Но все эти преобразования не увеличивают пространство выводов в модели, они позволяют обнаружить, что именно следовало из изначальной модели.

Иногда обнаруживается, что новые объекты в математике не соответствуют этим критериям не увеличения пространства теории модели. В частности, это произошло с наивной теорией множеств Кантора. Позже были обнаружены парадоксы, и в современной математике есть два подхода к их решению, ограничение теории множеств (ZFC), и отказ от закона исключенного третьего (Конструктивная Математика). Это еще раз показало, что развитие математики, это живой процесс. Математические открытия делаются людьми, а людям свойственно ошибаться.

Математика и точные науки

Иногда возникает вопрос: а почему реальный мир описывается математикой, в частности в физике? Я думаю, что ответ на этот вопрос уже очевиден. Математика предоставляет язык, на котором записываются модели. Физики работают над тем, что бы эти модели адекватно описывали реальность. В частности, модели уточняются, чтобы математические следствия из этих моделей, можно было бы применять к реальному миру.

И здесь нужно различать, область ответственности естественных наук (например, физики), и математики. Преобразование от реального мира в математическую модель, и от преобразованной модели обратно – это область ответственности физики. А вот преобразование модели из одной формы в другую – это область ответственности математики. Прикладная математика стоит на грани этих двух областей, и занимается разработкой более специализированного языка построения моделей, и типичными преобразованиями моделей, интересными для данной предметной области.

То есть, соответствие происходит по построению моделей. Это тоже живой эволюционный процесс, когда физики подбирают язык для описания, и проверяют правильность выбранного описания через математические следствия из описания. Если следствия из описания не соответствуют, то меняется описание. Это конечно идеализированное описание этого процесса, и в реальности процесс несколько сложнее, так как здесь замешена политика, неопределённость измерений, и ограничения человеческого ума.

Математика и психология

В настоящее время есть разделение между точными науками, которые интенсивно используют математику, и гуманитарными, которые математику используют в лучшем случае эпизодически. Так в психологии, математика почти исключительно используется для статистической проверки гипотез. То есть выдвигается неформальная гипотеза (по меркам точных наук), делаются неформальные предположения и проводится эксперимент, а потом в научную статью добавляется статистика.

Проблема с таким подходом, это то, что математика не используется для работы с базовой моделью, а только для оформления результатов экспериментов. И у этого действительно были причины. В частности, до появления теории систем не было подходящего языка для описания неустойчивых самореферентных процессов. Математика долго развивалась в тесной связи с физикой и химией, и расширяла свой язык в соответствии с этими науками. И соответственно, математика занималась созданием языка для описания простых процессов, так как физики первым делом занимались тем, что попроще, имеет линейные зависимости или простые функциональные зависимости, и хорошо воспроизводимо.

Гуманитарные науки не могли действовать так же, так как человек – это очень сложная, нелинейная, неустойчивая система, с памятью (и соответственно пониженной воспроизводимостью). То есть, почти полная противоположность задачам, которыми занимались физики в 19-ом веке. В гуманитарных науках пошли по пути создания неформальных моделей, и там удалось как-то продвинуться в понимании.

Однако, в настоящее время этот путь заводит в тупик. Почти каждый способный психолог создает собственную неформальную модель психики, и психических процессов, которая отражает его личный опыт. Единой модели, с хорошими предсказательными качествами – нет. По сути, психология сейчас – это ремесло, а не наука. Учебники как правило дают описание фактов, и немного несогласованных определений. На практических курсах как правило дают шаблоны поведения, а не теорию, которая бы позволяла надежно конструировать эти шаблоны самим. Научные статьи, как правило ограниченны каким-либо явлением, и тяготеют к феноменологии. Существующие теории скорее - описательного плана с очень низкими предсказательными возможностями. Критика Фрейдизма Поппером – все еще актуальна.

Я думаю, что теория систем, как раз позволит создать единую модель в психологии, или хотя бы единый подход к моделированию психических процессов. Однако, некоторые попытки создания моделей делаются скорее за пределами психологии (например, Расселл Л. Акофф, Фред Эдмунд Эмери «О целеустремленных системах»). Такая модель сократила бы усилия по развитию психологии, вычисления по модели обычно гораздо дешевле экспериментов. Тем более, что в случае человека, измерение потенциально влияет на поведение.

Аналогичная ситуация в других гуманитарных науках. За исключение математической лингвистики, из всего богатства математики, используется в основном статистика.

Заключение

Математика – это прежде всего область человеческой деятельности, с особой ролью в процессе познания. Эта роль определяет, как предмет математики, так и операции доступные в ее контексте. Развитие математики – это живой эволюционный процесс, где ищутся новые пути, некоторые пути заводят в тупик, некоторые забрасываются, а некоторые бурно развиваются.

Математика порождена способностью человека думать о форме в отрыве от содержания, и она позволяет экономить усилия и накапливать опыт при смене декораций. Это естественное следствие способности человека видеть общее в частностях, и в данном случае как общее была выделена форма.

Такое накопление иногда создает иллюзию, что математика нечто вневременное и вечное. Это не так, математика была вкована молотом сознания на наковальне реальности. И были и успехи, были и неудачи. С ростом вызовов от реальности, будет расти и математика. Ибо математика – это язык, на котором мы можем искать решения не только учитывая опыт данной конкретной области, но и опираться на опыт решения проблем человечеством в целом.

И не нужно ожидать, что выводы, полученные с помощью математики, будут всегда применимы к реальности. Чем длиннее цепочка рассуждений в рамках модели, тем больше шансов выйти за пределы области применимости модели. Это может быть вызвано, как факторами, неучтенными в модели (осознанно отброшенными, или неизвестными), так и ошибками преобразований. Способность человеческого сознания по работе с символами - ограничена, математика позволяет увеличить мощность этой работы, но не способна преодолеть эту ограниченность.