Откуда у функций появляются "точки" и почему "Теорема Ферма" называется великой?

0.7K 01:55 - 13/мая/17 Аккаунт приостановлен

(9 лет 4 месяца)

В статье Что такое: "функция" в современной математике? я попытался дать обобщенное понятие функции, как однозначную связь переменных величин между собой, но дойдя до определения функции, данного в Википедии, слегка "тормознул". Почему и для чего тормознул? Ну, хотя бы для того, чтобы получить пару комментариев с "непонятками". В чем могут быть "непонятки"? Для объяснения даю свое определение функции: Функция - это правило (закон), согласно которому переменные величины ставятся в однозначное соответствие между собой.

1. Функции могут быть дискретными, аналоговыми и смешанными. В Википедии дается пример частного случая дискретной функции, заданной табличным способом, который оптимален для данного частного случая функций:

2. Там же дается пример еще одного частного случая функций, который называется числовая функция и показаны четыре способа задания этих функций:

3. А вот теперь следим внимательно "за руками"! Для начала можно подготовиться, почитав этот диалог на тему "производной функции в точке". Смотрим на два последних способа задания числовых функций. Аналитически заданную функцию можно изобразить в виде таблицы таким способом (далее текст из Википедии):

"...Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём интерполяции или экстраполяции...

Само по себе равенство $y=f(x)$ , без указания что это функция, заданная на некотором множестве, функцией не является.

Например, $y=x^{2}$ есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Аналогично, если $f(x)$ является другим обозначением переменной $y$ , то $f(x)=x^{2}$ также есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Если же в равенстве $f(x)=x^{2}$ слева стоит обозначение выражения, содержащего переменную {\displaystyle x} $x$ , то имеется равенство двух выражений, содержащих одну переменную.

Однако высказывание функция $y=x^{2}\;$ (или функция $f(x)=x^{2}$ ) на множестве задания обозначает именно функцию..."

Другими словами: табличный способ задания функции является наиболее универсальным, хотя, в случае числовых функций, может быть достаточно трудоемким. Зато в случае нечисловых функций он может оказаться самым продуктивным как, например, в случае, рассмотренном в п.1.

4. Берем функцию площади круга: y = πx² (рисунок из Википедии):

5. Чертим таблицу:

6. Делим таблицу:

7. Чертим для наглядности линии связи значений двух переменных:

8. Теперь проводим некую дополнительную манипуляцю. До этого момента связь двух переменных была непосредственной (!) Теперь введем дополнительно некую опосредованную связь в виде красной ломаной линии:

9. До этого момента, изучая функции в общем виде и в виде различных частных случаев нам не требовалось понятие "точки". Еще раз: Понятие "функция" и понятие "точка" до сих пор не имели ничего общего, даже при рассмотрении различных частных случаев!

Что мы делаем далее? Используем понятие числовой оси. Чертим схематично без соблюдений масштаба и соотношений:

10. Наконец-то, у нас появились точки! Отмечаем для себя, что точки появились лишь в очень узком частном случае рассмотрения понятия функции. То есть при рассмотрении числовой функции, когда мы стали рассматривать частный случай общего понятия величины: длину (смотреть здесь).

Чтобы не загромождать статью схемами и чертежами, поясняю дальнейшие действия в нашем эксперименте по установлению истины:

11.1. Ось аргументов не трогаем, а ось ординат совмещаем с осью абсцисс в точке (0;0) и, поворачивая против часовой стрелке, следим внимательно за двумя связями пар чисел: непосредственной и опосредованной.

11.2. Довернув ось ординат до угла в девяносто градусов, обращаем внимание на следующие моменты:

11.3. Никаких тангенсов и никаких касательных не было до прямого угла, хотя все "принадлежности" функции сохранялись!

12. Теперь смотрим на результат поворота (на оси ординат я не стал вставлять схематические значения):

13. Нижний гиф-файл здесь, мне кажется способен "вправить" мозг в нормальное состояние...

Теперь о Теореме Ферма. Великой ее назвали те, кто не смог всунуть в свой мозг три множества, вместо двух, ограничивающих количество множеств определением функции, принятым в современной математике. На самом деле - это элементарная задачка для функции двух аргументов, которую будут изучать в средней школе после того, когда мне дадут возможность ввести в научный оборот разработанный мною структурный анализ. Ну, а если не дадут, то она так и останется великой на неопределенное время. Подробнее в конце этой статьи, в комментариях к ней, здесь и здесь.