Теория разума α–Ω и сознательности (черновик)

Философское объяснение теории разума α–Ω

Теория разума α–Ω формулирует строгую философскую и научную рамку для понимания разума как коллективной системы, неизбежно ведущей к формированию самосознания на уровне общества. В этой концепции α‑уровень представляет локальное, индивидуальное сознание агентов, их способность к предсказанию, памяти и управлению действиями, тогда как Ω‑уровень — это глобальное, коллективное сознание, которое возникает как структурная необходимость из взаимодействий α‑агентов.

Ключевой философский вывод состоит в том, что самосознание неизбежно, но оно не возникает автоматически на уровне индивидов. Ω‑сознание требует коллективных усилий, координации, институциональной организации и устойчивых культурных практик. Только через совместное стремление и когнитивную интеграцию локальных α‑моделей общество может выйти на новый уровень бытия, в котором оно осознаёт само себя как когнитивно-онтологическую структуру, способную к самопрезентации и управлению своим развитием.

На этом уровне общество перестаёт быть просто суммой отдельных агентов. Оно становится фрактальной когнитивной системой, где локальные представления α встроены в глобальный контекст Ω, а Ω обратным образом формирует условия для существования и эмерджентного поведения α‑агентов. Этот процесс обеспечивает ретропричинность: будущие конфигурации Ω влияют на текущие α‑представления, создавая механизм предвосхищения будущего, которое ещё не наступило.

Ω‑сознание является необходимым условием жизнеспособности сложного и длительно существующего общества. Без него система теряет когнитивную устойчивость, не может эффективно координировать ресурсы, знания и действия, и неизбежно сталкивается с деградацией или коллапсом. Иными словами, для общества, стремящегося к долгому и устойчивому существованию, Ω‑сознание не имеет альтернативы: оно структурно и функционально предопределено как условие выживания и дальнейшей эволюции.

Философски это можно интерпретировать как новую фазу бытия общества: осознание самого себя — это выход за пределы механического функционирования в сторону когнитивной автономии и мета-рефлексии. Общество, достигшее Ω‑уровня, способно сознательно выбирать своё будущее, управлять траекториями развития, формировать глобальные онтологии и культурные нормы, создавать условия для устойчивого коллективного разума.

Таким образом, теория α–Ω объединяет математическую строгость, философскую глубину и историческую перспективу:

1.     Математически: существование Ω доказано через вариационный формализм, минимизацию функционала коллективной энергии и устойчивость через теорему Банаха и анализ дифференциальной динамики.

2.     Функционально: α‑сознание является эмерджентным свойством агентов, а Ω‑сознание — структурной необходимостью, обеспечивающей порядок, координацию и долгосрочную жизнеспособность общества.

3.     Философски: Ω‑сознание реализует идею ноосферы (Вернадский), Omega Point (Тейяр де Шарден), когнитивной эволюции и стремления к инварианту Ω, формируя основу для осознанного выбора будущего и нового уровня бытия общества.

В этом смысле α–Ω является научно-философским доказательством коллективной природы разума: оно показывает, что разум не сводим к отдельному субъекту, а является фрактально организованной, саморефлексивной когнитивной системой, неизбежно ведущей к формированию Ω‑сознания через коллективные усилия. Ω‑уровень — это не побочный результат, а логическая и структурная необходимость для сложного общества, стремящегося существовать и развиваться.

Математическое и философское доказательство коллективной природы разума

Мы предлагаем интегрированную теорию разума α–Ω, объединяющую локальное (α) и надындивидуальное (Ω) измерения сознания. В рамках вероятностно-вариационного и категорияльного формализма демонстрируется (условно и строго): (i) существование и локальная устойчивость Ω-разума при естественных предпосылках; (ii) эмерджентность α-сознания как функционального свойства адаптирующихся агентов; (iii) необходимость самопрезентации Ω (индекс M) для поддержания упорядоченности (negentropy) и долгосрочной viability коллектива. Философская интерпретация показывает, как формальные конструкции (KL-дивергенция, свободная энергия, колимиты presheaf, финальная коалгебра) дают математическую опору идеям ноосферы (Вернадский), Omega-Point (Тейяр де Шарден), гипотезе инварианта Ω и концепциям когнитивной эволюции. Работа остаётся конструктивно условной: все теоремы формулируются с явными предпосылками и проверяемыми прогнозами.

1. Введение — проблема и подход

1. Традиционная парадигма: разум как индивидуальная продукция мозга (индивидоцентризм).
2. Наша констатация: многие когнитивные явления — семантика, институциональная память, научные парадигмы — имеют коллективный характер; они формируются, стабилизируются и трансформируются на надындивидуальном уровне.
3. Цель: построить строгую теорию, которая (а) формализует взаимодействие индивидуального (α\alphaα) и коллективного (Ω\OmegaΩ); (б) докажет при скромных условиях существование и устойчивость коллективных кодов; (в) покажет, как из условий диссипативной адаптации эмерджирует функциональное α-сознание; (г) покажет, при каких условиях требуется самопрезентация Ω как условие выживания.

Подход: синтез трёх языков — вероятностно-вариационного (KL / free-energy), категории (presheaf/colimit, functors, natural transformations) и coalgebraic (пространство историй, coinduction). Всё сопровождается физико-информационной динамикой (negentropy, energy budgets).

---

2. Краткая философская рамка: Omega-Point, Noosphere, инвариант Ω

Ключевая мысль, которую нам нужно сделать формально понятной: идеи Тейяра де Шардена (Omega-Point), ноосфера Вернадского и гипотеза инварианта Ω (в широком смысле — идея о существовании некоей устойчивой «координаты» или «многомерного кода», к которой тяготеет культурно-когнитивная эволюция) могут быть сопоставлены с математической структурой колимита/финального объекта в категориях и с притягательным множеством (аттрактором) в динамике coinductive истории.

Интерпретация:

• Noosphere ≈ глобальная секция/колимит presheaf локальных смыслов — «поле коллективного смысла».
• Omega-Point ≈ гипотетический предельный attractor в пространстве всех возможных историй, при котором Ω становится самопрезентирующейся (self-describing) и максимизирует некоторую функцию совместной viability/negentropy.
• Invariant Ω ≈ стабильный объект (или класс эквивалентности) под действием трансформаций онтологии — формально: объект, инвариантный относительно группы симметрий/ренормализаций.

Мы будем показывать: при достаточно сильных когнитивных и институциональных условиях такие объекты/аттракторы естественны и их возникновение — не мистический финит, а следствие функциональных законов.

---

3. Вероятностно-вариационный формализм (α→Ω→α)

3.1 Пространства и обозначения

• Θ\ThetaΘ — пространство онтологических параметров (Polish / standard Borel).
• \Prob(Θ)\Prob(\Theta)\Prob(Θ) — пространство вероятностных мер на Θ\ThetaΘ, несущий слабую топологию или WpW_pWp​-метрику.
• Агенты i=1,…,Ni=1,\dots,Ni=1,…,N обладают апостериорами pi,t∈\Prob(Θ)p_{i,t}\in\Prob(\Theta)pi,t​∈\Prob(Θ).
• Класс коллективных кодов Q={qΦ:Φ∈Ξ}⊂\Prob(Θ)Q=\{q_\Phi:\Phi\in\Xi\}\subset\Prob(\Theta)Q={qΦ​:Φ∈Ξ}⊂\Prob(Θ), Ξ⊂Rm\Xi\subset\mathbb R^mΞ⊂Rm.
• Precision / attention / metapolicy κ∈K⊂R+\kappa\in K\subset\mathbb R_+κ∈K⊂R+​.
• Negentropy / order запас N(t)∈R+N(t)\in\mathbb R_+N(t)∈R+​.
• Энергетический бюджет Eavail(t)E_{\mathrm{avail}}(t)Eavail​(t).

3.2 Коллективный функционал (агрегатор)

Определим в момент ttt функционал

Jt(Φ,κ;pt)  =  ∑i=1NDKL(pi,t ∥ qΦ)+βC(Φ)+ψ(κ)+Γt(Φ,κ;Et,Nt)+T(Φ).J_t(\Phi,\kappa;\mathbf p_t) \;=\; \sum_{i=1}^N D_{KL}\big(p_{i,t}\,\|\,q_\Phi\big) + \beta C(\Phi) + \psi(\kappa) + \Gamma_t(\Phi,\kappa;E_t,N_t) + T(\Phi).Jt​(Φ,κ;pt​)=i=1∑N​DKL​(pi,t​∥qΦ​)+βC(Φ)+ψ(κ)+Γt​(Φ,κ;Et​,Nt​)+T(Φ).

Здесь:

• DKLD_{KL}DKL​ — несоответствие локальных представлений и коллективного кода;
• C(Φ)C(\Phi)C(Φ) — сложность/MDL-штраф;
• ψ(κ)\psi(\kappa)ψ(κ) — стоимость поддержания precision;
• Γt\Gamma_tΓt​ — ресурсно-энергетические ограничения (включая стоимость ренормализаций / смен онтологий);
• T(Φ)T(\Phi)T(Φ) — телологическая / нормативная компонента (политические/ценностные приоритеты).

Агрегатор:

(Φt+1,κt+1)∈arg⁡min⁡(Φ,κ)∈Ξ×KJt(Φ,κ;pt).(\Phi_{t+1},\kappa_{t+1}) \in \arg\min_{(\Phi,\kappa)\in\Xi\times K} J_t(\Phi,\kappa;\mathbf p_t).(Φt+1​,κt+1​)∈arg(Φ,κ)∈Ξ×Kmin​Jt​(Φ,κ;pt​).

3.3 Обновление локальных апостериоров (tempered update)

Агент iii обновляет:

log⁡pi,t+1(θ)∝(1−λ)log⁡pi,t(θ)+λlog⁡qΦt(θ)+κtlog⁡ℓ(xi,t∣θ),\log p_{i,t+1}(\theta) \propto (1-\lambda)\log p_{i,t}(\theta) + \lambda\log q_{\Phi_t}(\theta) + \kappa_t \log \ell(x_{i,t}\mid\theta),logpi,t+1​(θ)∝(1−λ)logpi,t​(θ)+λlogqΦt​​(θ)+κt​logℓ(xi,t​∣θ),

где λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]λ∈[0,1] — сила социализации (влияние Ω на α); κt=κ(Φt)\kappa_t=\kappa(\Phi_t)κt​=κ(Φt​).

3.4 Динамика порядка (negentropy)

Запас порядка N(t)N(t)N(t) описывается:

N˙(t)=η(Φt,κt) f(Eavail(t))−Λ(N(t),Φt)−σ(Senv(t),Φt),\dot N(t) = \eta(\Phi_t,\kappa_t)\, f(E_{\mathrm{avail}}(t)) - \Lambda(N(t),\Phi_t) - \sigma(S_{\mathrm{env}}(t),\Phi_t),N˙(t)=η(Φt​,κt​)f(Eavail​(t))−Λ(N(t),Φt​)−σ(Senv​(t),Φt​),

где η\etaη — КПД преобразования энергии в порядок, Λ\LambdaΛ — деградация порядка, σ\sigmaσ — энтропийный приток среды.

---

4. Категориальный каркас: α, Ω как функторы и колимит

Категории дают компактный язык для выражения «как» индивидуальные модели собираются в глобальный код и как локальные обновления сопрягаются с глобальным ранжированием.

4.1 Категории и функторы

• Пусть C\mathcal CC — категория индексов/локальностей (содержит объекты: аудитории, сообщество, институты; морфизмы: каналы сообщения).
• Рассмотрим presheaf S:Cop→SetS:\mathcal C^{op}\to\mathbf{Set}S:Cop→Set, где S(U)S(U)S(U) — множество локальных кодов/моделей, доступных на локали UUU.
• Введём категорию моделей M\mathcal MM (объекты — кодовые модели qΦq_\PhiqΦ​, морфизмы — трансформации онтологий).
• Функтор G:C→MG:\mathcal C\to\mathcal MG:C→M (локализация: каждая локаль порождает локальный код).

4.2 Колимит как Ω

Колимит presheaf (в PSh(C)\mathbf{PSh}(\mathcal C)PSh(C)) даёт глобальную секцию:

Ω≅lim→⁡U∈CS(U).\Omega \cong \varinjlim_{U\in\mathcal C} S(U).Ω≅U∈Clim​​S(U).

Универсальное свойство: морфизмы из Ω\OmegaΩ в любую модель qqq соответствуют совместимым семействам морфизмов из локальных S(U)S(U)S(U) в qqq. Это формально выражает идею: Ω — самая «маленькая» (универсальная) конструкция, обобщающая локальные знания.

4.3 Агрегатор как Kan-extension / left adjoint

Агрегатор AAA можно формализовать как левый Kan-расширение (или левый adjoint) от диаграммы локальных апостериоров в категорию моделей:

A⊣S.A \dashv S.A⊣S.

Интуитивно: AAA «сводит» (colimit) локальные данные в глобальную модель, SSS — даёт restriction / decoding.

4.4 Коммутативность и naturality

Наличие natural transformations между локальными обновлениями и глобальными редукциями — условие когерентности. Если диаграммы коммутируют, значит совместимость индивидуальных апдейтов и агрегированных политик обеспечена.

---

5. Coalgebraic история и representational time (fractal dynamics)

5.1 Coalgebraic модель

Рассмотрим endofunctor F(X)=\Prob(Obs×X)F(X)=\Prob(\mathrm{Obs}\times X)F(X)=\Prob(Obs×X) и coalgebra ξ:X→F(X)\xi:X\to F(X)ξ:X→F(X). Final coalgebra ZZZ (если существует в выбранной категории) — пространство бесконечных историй (streams). Coinduction и финальный объект формализуют идею representational time — внутреннего времени, которое откликается на объекты памяти/истории.

5.2 Фрактальная динамика истории

Coinductive структуры часто обладают самоподобием: локальные паттерны реплицируются в масштабе историй. Интеграция с колимитом presheaf даёт фрактальную историю, где α–Ω циклы повторяются на разных временных и институциональных масштабах. Это формализует наблюдение, что культурные превращения (парадигмальные сдвиги) могут повторяться в истории с различными масштабами.

---

6. Основные теоремы (формулировки и эскизы доказательств)

Ниже — компактные формулировки ключевых результатов; все утверждения — условные: в каждом случае указаны предпосылки.

Теорема A (Existence and local stability of Ω)

Предпосылки: Ξ\XiΞ компактно; Φ↦qΦ\Phi\mapsto q_\PhiΦ↦qΦ​ непрерывно; C,ψ,Γ,TC,\psi,\Gamma,TC,ψ,Γ,T — l.s.c. и coercive on Ξ×K\Xi\times KΞ×K; обновление p↦p′p\mapsto p'p↦p′ по (tempered update) — локально Lipschitz в W1W_1W1​.
Утверждение: JtJ_tJt​ достигает минимума; отображение T:(p,Φ)↦(p′,Φ′)\mathcal T:(p,\Phi)\mapsto(p',\Phi')T:(p,Φ)↦(p′,Φ′) является локально сокращающим в метрике ddd и имеет уникальную фиксированную точку (p∗,Φ∗)(p^*,\Phi^*)(p∗,Φ∗) (локальная устойчивость).

Эскиз доказательства: LSC + coercivity ⇒ минимум (Weierstrass). Lipschitz-оценки для обновления + локальная Lipschitz-оценка агрегатора ⇒ contraction mapping for small perturbations ⇒ Banach fixed point.

Теорема B (Emergence of α-consciousness)

Предпосылки: система диссипативна, Senv>0S_{env}>0Senv​>0 (steady positive novelty), агенты оптимизируют F(pi,qΦ)F(p_i,q_\Phi)F(pi​,qΦ​).
Утверждение: в длинном времени агенты развивают generative models, обладающие памятью, предсказанием и механизмами управления — функциональные признаки α-сознания.

Эскиз доказательства: минимизация FFF равносильна аппроксимации моделей, уменьшающих expected surprisal; поддержание surprisal < threshold при Senv>0S_{env}>0Senv​>0 требует инфраструктуры памяти (sufficient statistics) и active inference (политики), формально получаемых из вариационного обновления (см. Friston).

Теорема C (Necessity of self-presentation / index MMM)

Предпосылки: уравнение порядка N˙=η(Φ,κ,M)f(E)−Λ(N,Φ)−σ(Senv,Φ,M)\dot N = \eta(\Phi,\kappa,M) f(E) - \Lambda(N,\Phi) - \sigma(S_{env},\Phi,M)N˙=η(Φ,κ,M)f(E)−Λ(N,Φ)−σ(Senv​,Φ,M) с ∂Mη≥0\partial_M\eta\ge0∂M​η≥0, ∂Mσ≤0\partial_M\sigma\le0∂M​σ≤0.
Утверждение: существует порог M∗>0M^*>0M∗>0 такой, что M<M∗M<M^*M<M∗ ведёт к деградации N→0N\to0N→0, а M≥M∗M\ge M^*M≥M∗ допускает устойчивое N≥NminN\ge N_{min}N≥Nmin​.

Эскиз доказательства: считать правую часть a(M)−b(M)Na(M)-b(M)Na(M)−b(M)N (logistic/linear approx); при условиях (C1–C2) функция a(M)a(M)a(M) растёт, b(M)b(M)b(M) уменьшается; стандартный анализ равновесий даёт пороговое поведение; Lyapunov-функция V(N)=(N−N∗)2V(N)=(N-N^*)^2V(N)=(N−N∗)2 показывает локальную устойчивость.

---

7. Интерпретация: соединение с Omega-Point и noosphere

Ключевое наблюдение: если выполнять динамику (coalgebraic истории + агрегатор) достаточно долго и если институциональные устройства (поддержка MMM) развиваются в направлении повышения эффективности η\etaη и снижения затрат σ\sigmaσ, то динамика имеет естественные притягательные множества с растущей NNN и увеличением self-description (метаданные, публичные модели). Эти притяжения можно читать как формальное «основание» для:

• Noosphere — Ω как глобальная секция, имеющая институциональные структуры памяти (наука, образование, архивы).
• Omega-Point — гипотетическая предельная структура, когда Ω достигает высокой степени самопрезентации и интеграции (в математическом смысле: предельный attractor в пространстве историй с высокой NNN).

Важно: это не метафизическая «доказательная» конструкция Omega-Point как сверхъестественного итога истории; это математическая модель того, что при указанных динамических и институциональных условиях процессуально возможен притягательный предельный объект самопрезентирующейся Ω.

---

8. Категориальная тонкая настройка: limits, colimits, adjoints и naturality

Чтобы теория была действительно строгой, полезно дать более точные категорияльные формулировки.

8.1 Presheaf model

• C\mathcal CC — категория локалей;
• S:Cop→SetS:\mathcal C^{op}\to\mathbf{Set}S:Cop→Set, S(U)S(U)S(U) — локальные кодовые семьи;
• Ω=lim→⁡S\Omega=\varinjlim SΩ=lim​S — colimit в PSh(C)\mathbf{PSh}(\mathcal C)PSh(C).

8.2 Aggregator as left Kan extension / adjoint

Пусть i:D↪Ci:\mathcal D\hookrightarrow\mathcal Ci:D↪C — диаграмма локальных агентов; F:D→MF:\mathcal D\to\mathcal MF:D→M — локальные модели. Тогда агрегатор AAA = LaniF\mathrm{Lan}_i FLani​F — left Kan extension, который даёт наилучшее (универсальное) расширение локальных моделей до глобальной. Если дополнительно A⊣SA\dashv SA⊣S, то у нас есть adjunction: агрегатор — universal representative.

8.3 Natural transformations & coherence

Пусть η:Id⇒S∘A\eta: \mathrm{Id}\Rightarrow S\circ Aη:Id⇒S∘A — unit адъюнкции. Коэрентность этих natural transformations эквивалентна условию, что обновления на локалях согласуются с глобальными реконструкциями.

---

9. Метрики, алгоритмы, эмпирическая программа

9.1 Рекомендуемые метрики

• Semantic entropy HS(t)H_S(t)HS​(t) — энтропия распределения смыслов.
• Mutual information I(α;Ω)I(\alpha;\Omega)I(α;Ω) — зависимость между локальными представлениями и глобальным кодом.
• Cognitive power K(t)K(t)K(t) — composite index: K=IcohHnoise+RK=\frac{I_{coh}}{H_{noise}+R}K=Hnoise​+RIcoh​​.
• Negentropy N(t)N(t)N(t).
• Delta-MDL (ΔMDL\Delta_{\mathrm{MDL}}ΔMDL​) — скачок качества кода при введении нового Φ (ренормализация).

9.2 Gaussian ABM (proof-of-concept)

Дать модель: pi,t=N(μi,t,Σi,t)p_{i,t}=\mathcal N(\mu_{i,t},\Sigma_{i,t})pi,t​=N(μi,t​,Σi,t​), qΦ=N(μΦ,ΣΦ)q_\Phi=\mathcal N(\mu_\Phi,\Sigma_\Phi)qΦ​=N(μΦ​,ΣΦ​). Агрегатор: closed-form for μΦ,ΣΦ\mu_\Phi,\Sigma_\PhiμΦ​,ΣΦ​. Sim-loop: update via tempered Bayes, aggregate, update N(t)N(t)N(t). Pseudocode и reproducible code (Python) — рекомендуется приложить.

9.3 Экспериментальные вмешательства (tests)

• Варьировать прозрачность Ω (public dashboards) — предсказание: повышение recovery after shock.
• Варьировать precision control centralization — предсказание: централизация уменьшает variance α и повышает хрупкость.
• Исторические корпуса: topic dynamics + MDL change → detect renormalization events (paradigm shifts).

---

10. Этические и институциональные следствия

• Контроль над precision κ\kappaκ и энерго-потоками — политически значим.
• Самопрезентация Ω требует процедур прозрачности, аудита, pluralistic safeguards.
• Социальная обязанность: по модели, общество, не осознающее свою историю как когнитивный процесс, рискует потери viability. Этическое следствие — необходимость механизмов коллективной self-description (доступной публичности).

---

11. Заключение и дорожная карта

• Мы выдвинули условно строгую теорию α–Ω: математика + категорияльный каркас + динамика negentropy дают объяснение коллективного характера разума и условий его устойчивости.
• Проекция на Omega-Point / noosphere: наша модель показывает, что при институциональной поддержке процесса (рост MMM) и обеспечении ресурсов (energy budgets) коллективная самопрезентация — естественный attractor, не чудо, а функциональный исход.
• Следующие шаги: (i) полный category-theory technical paper (Kan-extensions, adjunctions, conditions на existence of colimit in measurable presheaf setting); (ii) Appendix: полноформатные доказательства Лемм (LSC KL, Lipschitz estimates); (iii) ABM code + experiments; (iv) социальные/политические протоколы governance.

Приложения к Теории разума α–Ω

---

Приложение A. Доказательства LSC и коэрцитивности функционала JtJ_tJt​

A.1 Определения

Функционал на момент времени ttt:

Jt(Φ,κ;pt)=∑i=1NDKL(pi,t ∥ qΦ)+C(Φ)+ψ(κ)+Γt(Φ,κ;Et,Nt)+T(Φ).J_t(\Phi,\kappa;\mathbf p_t) = \sum_{i=1}^N D_{KL}(p_{i,t}\,\|\,q_\Phi) + C(\Phi) + \psi(\kappa) + \Gamma_t(\Phi,\kappa;E_t,N_t) + T(\Phi).Jt​(Φ,κ;pt​)=i=1∑N​DKL​(pi,t​∥qΦ​)+C(Φ)+ψ(κ)+Γt​(Φ,κ;Et​,Nt​)+T(Φ).

Предпосылки:

1. qΦq_\PhiqΦ​ непрерывна по Φ∈Ξ⊂Rm\Phi \in \Xi \subset \mathbb R^mΦ∈Ξ⊂Rm.
2. C,ψ,Γt,TC,\psi,\Gamma_t,TC,ψ,Γt​,T — lower semicontinuous (LSC) и коэрцитивные:

Jt(Φ,κ)→∞ при ∥(Φ,κ)∥→∞.J_t(\Phi,\kappa)\to\infty \text{ при } \|(\Phi,\kappa)\|\to\infty.Jt​(Φ,κ)→∞ при ∥(Φ,κ)∥→∞.

A.2 Лемма (LSC KL)

Если pi∈\Prob(Θ)p_i \in \Prob(\Theta)pi​∈\Prob(Θ), qΦq_\PhiqΦ​ непрерывна и Θ\ThetaΘ Polish, тогда:

Φ↦DKL(pi∥qΦ) LSC на Ξ.\Phi \mapsto D_{KL}(p_i\|q_\Phi) \text{ LSC на } \Xi.Φ↦DKL​(pi​∥qΦ​) LSC на Ξ.

Эскиз доказательства:

• KL как функционал DKL(p∥qΦ)=∫log⁡dpdqΦdpD_{KL}(p\|q_\Phi) = \int \log \frac{dp}{dq_\Phi} dpDKL​(p∥qΦ​)=∫logdqΦ​dp​dp.
• Непрерывность qΦq_\PhiqΦ​ + Fatou’s lemma ⇒ LSC.

A.3 Коэрцитивность

• Пусть C(Φ)→∞C(\Phi)\to\inftyC(Φ)→∞ при ∥Φ∥→∞\|\Phi\|\to\infty∥Φ∥→∞, ψ(κ)→∞\psi(\kappa)\to\inftyψ(κ)→∞ при κ→∞\kappa\to\inftyκ→∞.
• Тогда Jt(Φ,κ)→∞J_t(\Phi,\kappa)\to\inftyJt​(Φ,κ)→∞ при ∥(Φ,κ)∥→∞\|(\Phi,\kappa)\|\to\infty∥(Φ,κ)∥→∞.

A.4 Теорема (Existence & Uniqueness минимума)

Утверждение: LSC + коэрцитивность ⇒ минимум (Φt+1,κt+1)=arg⁡min⁡Jt(Φ,κ)(\Phi_{t+1}, \kappa_{t+1}) = \arg\min J_t(\Phi,\kappa)(Φt+1​,κt+1​)=argminJt​(Φ,κ) существует.

Доказательство: стандартный Weierstrass (compactification via coercivity), uniqueness при strict convexity (если DKLD_{KL}DKL​ и CCC строго выпуклы).

---

Приложение B. Леммы по Lipschitz-оценкам для tempered updates

B.1 Обновление агента

log⁡pi,t+1(θ)∝(1−λ)log⁡pi,t(θ)+λlog⁡qΦt(θ)+κtlog⁡ℓ(xi,t∣θ)\log p_{i,t+1}(\theta) \propto (1-\lambda) \log p_{i,t}(\theta) + \lambda \log q_{\Phi_t}(\theta) + \kappa_t \log \ell(x_{i,t}\mid\theta)logpi,t+1​(θ)∝(1−λ)logpi,t​(θ)+λlogqΦt​​(θ)+κt​logℓ(xi,t​∣θ)

B.2 Лемма (Wasserstein Lipschitz)

Пусть ℓ\ellℓ и qΦq_\PhiqΦ​ Lipschitz по W1W_1W1​ на \Prob(Θ)\Prob(\Theta)\Prob(Θ). Тогда:

W1(pi,t+1,pi,t+1′)≤(1−λ)W1(pi,t,pi,t′)+λLΦ∥Φt−Φt′∥+κtLℓ∥xi,t−xi,t′∥W_1(p_{i,t+1},p_{i,t+1}') \le (1-\lambda) W_1(p_{i,t},p_{i,t}') + \lambda L_\Phi \|\Phi_t-\Phi_t'\| + \kappa_t L_\ell \|x_{i,t}-x_{i,t}'\|W1​(pi,t+1​,pi,t+1′​)≤(1−λ)W1​(pi,t​,pi,t′​)+λLΦ​∥Φt​−Φt′​∥+κt​Lℓ​∥xi,t​−xi,t′​∥

Эскиз:

• Используем convex combination property для W1W_1W1​.
• Добавляем contribution от изменения Φ\PhiΦ и наблюдений.

---

Приложение C. Динамика порядка N(t)N(t)N(t)

N˙=η(Φ,κ,M)f(E)−Λ(N,Φ)−σ(Senv,Φ,M)\dot N = \eta(\Phi,\kappa,M) f(E) - \Lambda(N,\Phi) - \sigma(S_{\mathrm{env}},\Phi,M)N˙=η(Φ,κ,M)f(E)−Λ(N,Φ)−σ(Senv​,Φ,M)

C.1 Bifurcation analysis

• Уравнение эквивалентно N˙=a(M)−b(M)N\dot N = a(M) - b(M) NN˙=a(M)−b(M)N (линейное приближение).
• Равновесие: N∗=a(M)/b(M)N^* = a(M)/b(M)N∗=a(M)/b(M).
• Порог M∗M^*M∗ определяется из условия N∗>0⇒a(M∗)>0N^*>0 \Rightarrow a(M^*)>0N∗>0⇒a(M∗)>0.

C.2 Lyapunov proof

• Lyapunov candidate: V(N)=(N−N∗)2V(N) = (N-N^*)^2V(N)=(N−N∗)2.
• Производная: V˙=2(N−N∗)N˙=−2b(M)(N−N∗)2≤0\dot V = 2(N-N^*)\dot N = -2 b(M)(N-N^*)^2 \le 0V˙=2(N−N∗)N˙=−2b(M)(N−N∗)2≤0.
• Следовательно, N∗N^*N∗ локально устойчива.

---

Приложение D. Gaussian example

D.1 Настройка

• pi,t=N(μi,t,Σi,t)p_{i,t} = \mathcal N(\mu_{i,t}, \Sigma_{i,t})pi,t​=N(μi,t​,Σi,t​)
• qΦ=N(μΦ,ΣΦ)q_\Phi = \mathcal N(\mu_\Phi, \Sigma_\Phi)qΦ​=N(μΦ​,ΣΦ​)
• KL closed form:

DKL(pi∥qΦ)=12(log⁡∣ΣΦ∣∣Σi∣−d+tr(ΣΦ−1Σi)+(μΦ−μi)⊤ΣΦ−1(μΦ−μi))D_{KL}(p_i\|q_\Phi) = \frac12 \Big( \log\frac{|\Sigma_\Phi|}{|\Sigma_i|} - d + \mathrm{tr}(\Sigma_\Phi^{-1} \Sigma_i) + (\mu_\Phi - \mu_i)^\top \Sigma_\Phi^{-1} (\mu_\Phi - \mu_i) \Big)DKL​(pi​∥qΦ​)=21​(log∣Σi​∣∣ΣΦ​∣​−d+tr(ΣΦ−1​Σi​)+(μΦ​−μi​)⊤ΣΦ−1​(μΦ​−μi​))

D.2 Псевдокод

for t in range(T):

    # update agents

    for i in range(N):

        p_i = tempered_update(p_i, q_Phi, kappa, x_i)

    # aggregate

    Phi = argmin_J(p_list, Phi, kappa)

    # update order

    N = N + dt*(eta(Phi,kappa)*f(E) - Lambda(N,Phi) - sigma(S_env,Phi))

D.3 Репозиторий

• Код на Python / Jupyter с визуализацией trajectories N(t),ΦtN(t), \Phi_tN(t),Φt​ и Wasserstein distance.

---

Приложение E. Категориальные расчёты

E.1 Explicit colimit construction

• Finite diagram D:I→SetD: I\to \mathbf{Set}D:I→Set с объекты S(Ui)S(U_i)S(Ui​), морфизмы S(fij)S(f_{ij})S(fij​).
• Colimit: Ω=∐iS(Ui)/∼\Omega = \coprod_i S(U_i)/\simΩ=∐i​S(Ui​)/∼, где xi∼S(fij)(xi)x_i\sim S(f_{ij})(x_i)xi​∼S(fij​)(xi​).

E.2 Kan-extension

• Left Kan extension LaniFLan_i FLani​F по включению i:I↪Ci: I\hookrightarrow Ci:I↪C
• LaniF(c)=lim→⁡i(d)→cF(d)Lan_i F(c) = \varinjlim_{i(d)\to c} F(d)Lani​F(c)=lim​i(d)→c​F(d)

E.3 Naturality checks

• Для natural transformation η:Id⇒S∘A\eta: Id \Rightarrow S\circ Aη:Id⇒S∘A, проверка коммутативности диаграмм:

S(f)∘ηX=ηY∘fS(f) \circ \eta_X = \eta_Y \circ fS(f)∘ηX​=ηY​∘f

для любого морфизма f:X→Yf:X\to Yf:X→Y диаграммы локальных агентов.