К вопросу о теплоёмкости плазмы

Поздняя осень. Вечер, мелкий моросящий дождь. Березовый перелесок на границе между Вятской Пустошью и Казанским Ханством. Два путника сидят возле костра, греющего воду в котелке, висящем на походном треножнике. Один широкоплеч и коренаст, на лице заметны старые шрамы. На нем армейский бушлат из непромокаемой ткани, ватные штаны и резиновые сапоги на толстой подошве. Другой долговяз и сутул, гладкие черные волосы растущие прямо от бровей зачёсаны назад, одет в чёрную болоньевую куртку. На ногах у него сильно поношенные берцы на липучке.

– Что-то херовенько горит. Надо бы еще дровишек подбросить, – произнёс долговязый.

– Сырое все.

– М-да… Разверзлись говнеса господни и всё на нашу голову.

– Слава богу, хоть дождик не кислотный. Скоро снег пойдет. Недеюсь не стронцевый.

– Умеешь ты, блд, подбодрить.

– Всегда! Майки.

Налетевший порыв ветра погнал дым от костра с роем искр на Майкла. Он потёр глаза отворачиваясь с явным недовольством.

– Скотство… Мать её Природу, и она, курва, против меня? – Не пора ли положить? – Майкл подгрёб плохо горящие сучья к котелку.

– Не нарушай последовательности приготовления пищи. Вода должна сперва закипеть.

– Жрать хочу, – нервно дёрнул головой Майкл.

– Друг мой, не опускайся до рогулья с их мовой. Скажи лучше: я голоден.

– Я голоден, – недовольно произнёс Майкл.

–  Признаюсь, я тоже.

Путники сидели некоторое время молча.

– Не надо смотреть на меня с такой злобой, Майки.

–  Угу! Из-за тебя мы тут занимаемся каким-то средневековым ритуалом.

–  Это не ритуал, а процесс.

– Это мракобесие и марксизм.

–  Майки, термодинамику еще никто не отменял.

–  Бред собачий!

–  Мир держится на законах природы таких как термодинамика.

–  Твоя херова термодинамика не даёт этой чёртовой воде закипеть быстрее. Дэ-эф по дэ-тэ, дэ-пэ по дэ-вэ, дэ-е по дэ-эс…, Тфу! Всегда её терпеть не мог! С меня хватит! – Майкл решительно полез к рюкзаку.

Виктор предупредительно поднял трёхпалую руку, без указательного и среднего пальцев, всю покрытую рубцами.

– Настоятельно прошу тебя не делать глупостей. Отказавшись от моего рецепта приготовления пищи, ты не только лишишься вкусного и питательного блюда, но и глубоко обидишь меня.

Майкл с раздражением схватил рюкзак и бросил в ноги Виктору.

– Да делай что хочешь…, моралист херов! – презрительно буркнул он.

– Сделаю непременно… Ты говорил, что до войны был физиком. Мне представляется весьма удивительным твоё пренебрежение термодинамикой. Чем ты занимался?

– Физикой плазмы. Термоядом.

– Неужели? – удивился Виктор. – Вот это номер!

– Почему? Почему по твоей милости мы отказались от потрохов?! – развёл руками Майкл.

– Ты уже задавал этот вопрос, мой друг.

– Потроха слаще и мягче любого мяса. И их не надо долго жевать!

– Согласен, – произнёс Виктор развязывая рюкзак.

– И там их было навалом!

– И с этим нельзя не согласиться.

– Там лежали и молодые, и средних лет, были и бабы, выбирай на любой вкус! Любые органы. Что может быть слаще и полезней мозгов, печени, почек, сердца? А? Столько тел, боже мой! Боже мой! Выбирай, что хочешь…

– “И солнце эту гниль палило с небосвода, чтобы останки сжечь дотла, чтоб слитое в одном великая Природа, разъединенным приняла.” Откуда это, помнишь? Или ты совсем одичал?

– Мы бы уже давно поели!

– Да, набив животы гнилыми человеческими потрохами, мы были бы сыты и довольны. И нам бы на время показалось, что всё хорошо и жизнь удалась, не так ли?

Майкл злобно сверкнул глазами на Виктора.

– Друг мой, в твоём взгляде просто-таки запредельная концентрация ненависти.

– Выходку в том перелеске я тебе никогда не забуду.

– Не было там никакой выходки. Мы просто благородно прошли мимо поля битвы.

– Ага! Как последние кретины…

– Бесценный друг мой Майки, ты проклинаешь меня за то, что я забочусь о тебе и о твоём человеческом достоинстве. Я в очередной раз лишил тебя возможности опуститься на четыре конечности превратившись в животное.

– Твоя чёртова вода наконец-то закипела!

Виктор достал из рюкзака завёрнутую в тряпку руку мужчины, отрубленную по локоть. Затем он сбросил тряпку, взял тесак и одним ударом разрубил руку на две части.

– Вот так…, – Виктор закинул куски в котелок. – Варись-варись, мускулистая рука смелого татарского воина, защищавшего свою родину от украинских нацистов.

– И это все?

– Тебе мало?

– Мало!

Виктор достал из рюкзака обрубок стопы и бросил её в котелок.

– А вторую?

– У нас впереди долгий путь, а все поля сражений остались позади. Так что надо экономить белок человеческий, дабы двигаться дальше.

Подумав немного Виктор спросил:

– Почему у вас не вышло с термоядом?

– Почему-почему! Нестабильности. Слышал что-нибудь про МГД-неустойчивости? Сосиськи, перетяжки, шланговые неустойчивости и прочие “толчки в зад”? Их около 45, а то и больше.

– Я склонен думать, что причина в другом.

– “Склонен думать”, “представляется весьма удивительным”, “настоятельно прошу”, “не изволите ли откушать” - тфу! 19-ый век какой-то! – Передразнил Виктора Майкл.

Виктор не заметив насмешки достал из рюкзака две солдатские алюминевые миски и протянул одну из них Майклу. Тот положил миску себе на колени. Виктор помешал ложкой в котелке.

– Друг мой и товарищ, – продолжил он, – любой довоенный учебник по твёрдому телу начинался с вопроса о теплоёмкости при постоянном объёме. Не попробовать ли и нам применить ту же методу к плазме? Насколько я вижу этим вопросом пренебрегали.

– Мясо сварилось! – Майкл заглянул в котелок.

– Лучше ответь мне на вопрос: выпивать будем?

– Если будем жрать, то я не прочь и выпить.

Виктор достал из рюкзака фляжку, отвинтил крышку и протянул Майклу. Тот запрокинув голову сделал пару глотков и вернул фляжку. Виктор тоже выпил, завинтил крышку и убрал обратно.

– Прекрасно!

– Теперь я готов сожрать хоть целого хохла!

Виктор выхватил кусок руки из котелка и плюхнул его в миску Майкла. Затем положил и себе.

– Ну вот, главное блюдо готово.

Некоторое время они молча поглощали еду, отрывая куски мяса пальцами от костей. Закончив с рукой Виктор снова достал фляжку и они выпили по глотку.

– Тебе наверняка известно, что теплоёмкость определяется как производная от энергии по температуре.

– Угу-угу, дэ-е по дэ-тэ, – неодобрительно хихикнул Майкл.

– При постоянном объёме, – уточнил Виктор. – Так вот, в твёрдом теле энергия состоит из энергии электронов и фононов. Фононы подчиняются Планку, а электроны Ферми-Дираку.

– Знаю.

– Замечательно! Проинтегрировав по спектру получим для электронов квадратичную зависимость от температуры, а для фононов знаменитую тэ в четвёртой. Продифференцировав найдём, что теплоёмкость состоит из теплоёмкости электронов с линейной зависимостью от тэ, и тэ в кубе для фононов.

Виктор, перестав жевать, вытащил маленький осколок кости изо рта. Высунул язык и потрогал его пальцем. На нём была кровь.

– Что ж, друг мой, в плазме чуть иначе, но в принципе так же. Фононы надо заменить на фотоны с таким же планковским распределением, а Ферми-Дирака на Максвелла.

– Чушь собачья! – воскликнул Майкл. – Откуда в плазме Планк? Там тормозное излучение!

– Тормозное от чего?

– От протонов, – уверенно сказал Майкл.

– И электронов. Когда электрон движется в электрическом поле протона он ускоряется и тормозится излучая и поглощая фотоны. И каждый электрон делает это много-много раз. В термодинамическом равновесии излучение становится планковским. И это закон как для фотонов, так и для фононов в твёрдом теле.

– Я доем? – Не дождавшись ответа Майкл стал вылавливать из котелка ступню. Выловив, он вцепился в неё зубами.

– Напрасно ты брезгуешь бульоном. – Виктор миской зачерпнул отвар из котелка и стал его неспеша пить. – Он очень полезен и питателен.

– Мозги и почки полезней, – буркнул Майкл жуя. – Ум-м, вкуснятина!

Дождь кончился, тучи скрылись за горизонтом и в ночном осеннем небе повисли звёзды. Отставив миску в сторону Виктор лёг навзничь на пожухлую и мокрую траву, заложив руки за голову.

– Возьмём, к примеру, реликтовое излучение, – Виктор смотрел на звёзды. – Известно ли тебе, друг мой, почему оно такое? Три кельвина? Изотропное?

– Ясен пень! Был Большой Взрыв, а когда Вселенная стала прозрачной, излучение оторвалось от плазмы…, плазма стала адиабатически расширяться остывая и рекомбинируя... Потом появились первые звёзды и галактики. Поэтому и три кельвина, а изотропное потому что был Взрыв.

– Оторвалось? Хм… Не видишь ли ты в этих общих и пустых словах произнесённых тысячу раз большой глупости, друг мой Майки? Большей, даже чем сам взрыв?

– Это общепринятый консенсус, – ответил Майкл обгладывая большой палец ступни.

– Консенсус? – Виктор приподнялся и внимательно посмотрел на Майкла. – Консенсус говоришь? Это мы, получается, для консенсуса раскорячиваемся? Да? Согласия ищем?

– Ну..., я не то имел в виду, – Майкл оторвался от ступни и замер.

– Консенсус..., – презрительно хмыкнул Виктор. – Сколько лизоблюдства всего в одном слове!

Он снова лёг на спину и устремил свой взор к звёздам.

– Излучение не может, как ты говоришь, “оторваться” от плазмы. Оно всегда с ней. Реликтовое излучение находится в термодинамическом равновесии с веществом во Вселенной и изотропно, как и должно тому быть. И неважно, был взрыв или нет, расширяется Вселенная или сжимается. Закон!

– Я заметил, что у бигбэнщиков, ну у тех что трындели по интернету, необычайно крупные головы. Наверняка у них были очень сочные и вкусные мозги. Вот кому-то свезло так свезло! Ням-ням...

– Друг мой, мы не животные, чтобы жить одним желудком. Помни: “звездное небо над головой и моральный закон внутри нас наполняют ум все новым и возрастающим восхищением и трепетом, тем больше, чем чаще и упорнее мы над этим размышляем”.

– Всё равно, – Майкл пытался выковырять перочинным ножиком костный мозг из кости ступни, – излучение в плазме токамака неравновесное.

– Поздравляю тебя, мой друг. Ты сделал первый и очень важный шаг к пониманию. Лучше поздно, чем никогда! И да, неравновесное. Насколько?

Майкл перестал жевать и уставился на Виктора в ожидании.

– Фотоны в основном рассеиваются на электронах, не так ли? Комптоновское рассеяние фотонов на электронах делает излучение мягче и нагревает плазму. Планковское излучение забирает себе часть энергии потраченной на нагрев протонов с электронами, а комптоновское отдаёт. Чтобы количественно оценить вклад Комптона нам, мой друг, придётся решить нелинейное уравнение переноса излучения. А это не просто.

– Наверняка кто-то это сделал.

– Два нелинейных члена в уравнении переноса перемешивают частоты уширяя спектр излучения и сдвигая его влево. Нам понадобиться Максвелловское распределение электронов по скоростям для рассчёта фазовых функций рассеяния. Посчитаем эти функции взяв Рэйли по углам и Комптона по частотам. Воткнём Комптона в Максвелла и проинтегрируем по импульсам электронов. Комптон, как ты знаешь, автоматически учитывает эффект Доплера. Пренебрежём членами порядка эйч-ню на эм-си-в-квадрате, что логично, так как жёсткое гамма-излучение если и есть, то погоды не делает, далее...

– Воткнём-не-воткнём! Делает-не-делает..., – Майкл потерял нить рассуждений. – Результат-то какой?

– Энергия, перекачиваемая комптоновским рассеянием из излучения в тепловую энергию электронов, пропорциональна тэ в пятой, друг мой. Таким образом, теплоёмкость фотонов в плазме уменьшается как тэ в четвёртой по Комптону, но растёт как тэ в третьей по Планку.

– Так вот ведь! Фотоны могут греть плазму!

– Но в том то и дело, Майки, что в токамаке лидирует планковский член. Комптоновский может быть существенным где-то там, – Виктор поднял руку показывая на небо, – на небесах. Курить будешь?

– Пожалуй. Щас доем...

– Впрочем, в водородной бомбе он тоже существенен.

– Да уж! Жахнуло так жахнуло. Что долбанули?

– Не знаю, друг мой. Город какой-то на западе Вятской Пустоши.

– Хорошо, что далеко. Но красиво-то как! А?

– Да, красиво.

Виктор достал из рюкзака полиэтиленовый пакетик с табаком перевязанный резинкой и невесть откуда взявшуюся в такое время папиросную бумагу. Снял резинку с пакетика и начал скручивать папироску.

– Трудно, друг мой Майки, – продолжил беседу Виктор, – очень трудно удержаться, чтобы не бросить камень, нет, пожалуй даже целый кирпич в огород астрофизиков. Они выдумали обратное Комптоновское рассеяние, чтобы как-то объяснить гамма-излучение джетов массивных чёрных дыр и ядер активных галактик. Обратное! Смешно даже это обсуждать... Ведь процесс Комптоновского рассеяния в плазме идёт с увеличением энтропии, а обратный с её уменьшением. То есть, то, что они насочиняли физически невозможно. Да, нам долгие годы с умным видом дурили голову.

– Я знал одного такого умника. Съели.

– Печально это всё, друг мой, печально.

–  Хорошо! Лады! Так как энергия плазмы равна трём вторым эн-ка-тэ, то её теплоёмкость постоянна. Это и коню понятно. Как-будто никто это не знал и раньше!

– Правильно! Точнее, плазма - это всё вместе. А протонно-электронная компонента плазмы имеет постоянную теплоёмкость. Усматриваешь ли ты в этом проблему?

– Проблему?

– Именно! Если плазму греть, то с какого-то момента энергия уходящая в излучение превысит потраченную на нагрев протонов. Пороговую температуру легко найти приравнивая фотонную и протонно-электронную слагаемые теплоёмкости, не так ли? Так же можно поступить и с энергиями - после превышения этого температурного порога энергия фотонов в плазме станет больше тепловой энергии частиц. То есть, греть такую плазму необычайно затратно и о положительном выходе энергии можно забыть. Макакин труд!

– А как же в звёздах? – ехидно спросил Майкл. – Или в бомбе?

– Зависит от концентрации частиц. Насколько я помню, энергетический порог для тэ в системе СИ где-то будет в десять в минус третьей на корень третьей степени из концентрации. Десять в минус третьей получается из отношения констант ка и сигма в степени одна треть. А для теплоёмкости пороговая температура будет меньше этой на корень третьей степени из четвёрки. Всё просто!

– А как же критерий Лоусона? Ведь есть же Лоусон!

– Кто такой Лоусон? Родственник твой?

– Лоусон - это баланс затрат. Из энергии термоядерного синтеза вычитается энергия излучения и затраты на проводимость.

– И что у Лоусона с излучением?

– Квадрат концентрации на корень из температуры.

– Корень из тэ! Ха-а! Теперь понятно откуда растут ноги у твоего тормозного излучения. Они растут из Лоусона. Семьдесят пять лет насмарку! И вот, в результате, из-за таких вот Лоусонов мы и сидим теперь тут в сыром осеннем лесу.

Майкл бросил косой взгляд на рюкзак. Виктор перехватил взляд.

– Выпьем ещё по глотку и баиньки. Да? Завтра тяжёлый день. А впрочем, нынче каждый день тяжёлый, – Виктор достал из рюкзака фляжку, махнул рукой и протянул её Майклу.

Выпили.

– А вы свою плазму максвелловской считаете? – спросил Виктор.

– Ну да. У нас был МГД-код с кучей поправок всяких разных. Код писался чёртовой тучей засранцев понаехавших бог знает откуда на протяжении многих лет, поэтому там сам дьявол ногу сломит.

– В сильных магнитных полях плазма может быть немаксвелловской?

– В сильных полях распределение распадается на произведение двух максвелловских, одномерное вдоль поля, и двумерное поперёк.

– Две температуры?

– Да. Вдоль и поперёк. Температура вдоль гораздо больше поперечной.

– А! Значит поперечной можно пренебречь и задачка становится одномерной. Люблю одномерные задачи - их порой можно в уме решить.

– В уме не в уме, а по уму надо начать с уравнения Власова для больцмановского распределения и посмотреть, что выйдет. МГД как раз из Власова и выводится считая моменты в пространстве скоростей, – продолжал Майкл.

– Не совсем. К уравнению для энергии надо кое-что добавить. А в частности энергию излучения, – поправил его Виктор.

– Тем не менее..., – оживился Майкл. – На минутку занулим столкновительный член в правой части у Власова. Занулим так же производную по времени - представим, что всё устаканилось. Тогда любая функция от кинетической энергии частиц является решением уравнения Власова.

– Теорема Джинса.

– Да.

– Ну и?

– Ну и… в бесстолкновительной плазме больцмановская функция не обязана быть максвелловской. Это факт. Но столкновения всё меняют. А ведь у нас в плазме всегда есть столкновения. Дальние, например, как рассеяние на Кулоновском потенциале. Столкновительный член важен. В нём можно предписать больцмановской функции эволюционировать к Максвеллу. Но здесь, конечно, есть лукавство. С другой стороны есть модель столкновительного члена в виде уравнения Фоккера-Планка. Её предложил Ландау. Эта модель даёт именно Максвелла.

– Фоккер-Планк описывает Марковский процесс. А разве столкновения заряженных частиц Марковский процесс? Ведь как рассеется частица зависит от расположения и скоростей всех остальных, а не только её самой!

– Да, Фоккер-Планк - это приближение "пробной частицы".

– Что ж, Максвелл так Максвелл, мой друг. Термояд не спасти. Он был мёртворождённым с самого начала. Хотя..., – Виктор подумал секунду, – всё же есть какая-то странность в том, что мы смешиваем квантовое описание для излучения с классическим для частиц.

– А Казанское Ханство будут херачить батонами? – вдруг спросил Майкл.

– Не знаю, Майки. Всё, спать. Бульон из котелка не пей. Это на завтрак.

– Мы будем завтракать одним бульоном? – Майкл сверкнул глазами.

– Есть другие предложения, мой друг? – Виктор повернулся набок и натянул шерстяную шапку на глаза.

Майкл дождался когда Виктор захрапит, полез в рюкзак и выудил оттуда пистолет. Отстегнул магазин и отщёлкал все патроны, засунув их в карман своей куртки. Положил пистолет обратно. Натянул капюшон, лег у догорающего костра. Да, – подумал Майкл, – хороший попутчик - это не только интересный собеседник, но и полсотни килограммов питательного мяса с потрохами.