Как устроен кубит

Важно понимать, что состояние кубита может быть абсолютно детерминированным (а может и не быть таковым), но при этом результат измерения (0 или 1) его состояния будет случайным. Причем эту случайность вносит сам процесс измерения. И эта случайность фундаментальна и неустранима. Мы пока рассматриваем только детерминированное (так называемое «чистое», в отличие от «смешанного») состояние кубита.

Ниже я приведу очень хороший фрагмент конспекта лекций преподавателя МИРЭА С.В.Петрова по квантовой информатике, составленного Егором Шалаевым.

Кубит
(А вот и кубит… или его тут всё-таки нет…)

Для себя стоит принять на веру то, что до измерения состояние частицы не определено, и возможность узнать это состояние без измерения нету. А после измерения частица перейдёт в одно из возможных состояний с уничтожением состояния суперпозиции.

Как вам всем известно, единицей хранения информации в классических системах является бит. Это минимально возможная единица информации. Причем в качестве 1 или 0 можно условно обозначать многие состояния различных систем, например наличие или отсутствие напряжения на элементе, уровень этого напряжения, состояния выключателя лампочки и многое другое.

Аналогичным образом для квантовых систем можно ввести понятие квантового бита — кубита.

Кубит, кьюбит (от англ. — quantum bit, q-bit — квантовый бит) — наименьшая единица информации в квантовом компьютере, использующаяся для квантовых вычислений

Чем же может быть физически представлен этот кубит? Это может быть уже упоминавшийся ранее электрон со своим спином (например, спин вверх — 1, вниз — 0), фотон света с определенным направлением поляризации или даже определённое направление распространения частицы. В общем всё, что способно находится в состоянии суперпозиции (в дальнейшем для удобства под кубитом я буду понимать именно эту абстрактную физическую реализацию). То есть состояние кубита не известно до его измерения, и при измерении он переходит в одно из двух возможных состояний. Причем состояние суперпозиции будет уничтожено (тут мы и получим классический бит информации, в зависимости от состояния — 0 или 1).

[ВладимирХ] Т.е. нет возможности узнать состояние единичного кубита. Но специфика квантовых вычислений состоит в том, что формируется схема, которая может генерить кубиты многократно в одном и том же состоянии. И тогда информацию об этом состоянии можно узнать наблюдая частоту измерения 0 или 1.

Важно понимать, что кубит, так же как и бит — это абстрактная модель и нам в принципе, не важно как он там реализован на самом деле. Важно лишь знать основные свойства и особенности такого кубита. Лишь для более глубокого понимания я позволил себе немного залезть в дебри квантовой физики.

Дираковские обозначения
(Познакомьтесь, ваши новые друзья — Бра и Кет)

Прежде, чем перейти непосредственно к обозначениям, введу одну полезную для нас операцию — эрмитово сопряжение (название страшное — операция простая).

Эрмитово сопряжение — это операция транспонирования матрицы (вектора) с последующей заменой всех элементов матрицы (вектора) на комплексно сопряженные

Напомню, что транспонирование матрицы — это замена строк столбцами и наоборот. А комплексно сопряженное число — это комплексное число, взятое с противоположным знаком у мнимой части. Следующая картинка иллюстрирует эту операцию:

В рамках классической механики мы часто использовали векторы для обозначения состояния системы или какой-то величины. В квантовой физике системы также описываются векторами, но уже не обычными, а векторами состояний, которые являются более абстрактными понятиями, чем обычные векторы. Эти векторы аналогичны векторам, с которыми вы уже имели дело, только они не имеют геометрической интерпретации в виде направленных отрезков. Тем не менее проведём аналогию с обычными векторами.

Вектор и его проекции

Записанные в столбец проекции такого вектора (компоненты вектора) и будут являться вектором состояния, который обозначается так:

Этот вектор столбец называется кет-вектором и обозначается правой скобкой. Это всего лишь формальное обозначение, введенное Поль Дираком. Сам этот вектор характеризуется своими компонентами, количество которых равно размерности пространства. Причем эти компоненты, в общем случае комплексные. Именно поэтому такой вектор нельзя представить направленным отрезком, т.к. наши координаты не могут быть комплексными числами.

Такие векторы можно точно также складывать друг с другом и умножать на число.

Существует и эрмитово-сопряженный к нему вектор, бра-вектор:

Мы просто транспонировали вектор |a> и заменили его элементы на комплексно-сопряженные.

[ВладимирХ] Обращаю внимание, что в среднем члене равенства выше должен быть кет-вектор |a> (а не бра-), к которому применено эрмитово сопряжение.

Названия этих векторов происходят от английского слова bracket — скобка (bra, ket).

Базисные векторы и амплитуды вероятностей
(Прости, но у нас с тобой разные базисы…)

Для нас также очень важно будет понятие единичных или базисных векторов из линейной алгебры.

Базисные векторы - векторы единичной длины, такие, что с их помощью можно выразить любой другой вектор этого же пространства

Например, вы можете взять две зубочистки, положить их у себя на столе перпендикулярно друг другу и сказать, что это ваш личный базис и теперь всё у себя на столе вы будите мерить в зубочистках. Понятно, что тогда любой вектор, разложив его на проекции, можно будет представить, как сумму этих двух зубочисток, помноженных на определенные коэффициенты.

Вот так же и любой вектор состояния можно представить как сумму базисных векторов, умноженных на конкретные числа.

Например, если у нас есть кубит в базисе 0, 1 (спин вниз или спин вверх) [ВладимирХ Обращаю внимание, что далее по тексту состояние 0 соответствует вектору, направленному вверх], то его состояние можно в общем случае записать выражением следующего вида:

Также эту вещь называют волновой функцией — она описывает состояние кубита

То есть формула для волновой функции описывает, в какой пропорции бесконечное множество всех вариантов значений квантового состояния φ содержит варианты базисных состояний 0 и 1 (с математической точки зрения возможных состояний тут может быть бесконечно много, т.к. α и β могут принимать бесконечное количество различных значений).

Все базисные векторы ортогональны друг другу, именно поэтому, если мы при измерении получим значение |0>, то вероятность получить значение |1> равна нулю.

Амплитуды вероятностей обеспечивают связь между волновой функцией и результатом наблюдения за этой системой. Они связаны с вероятностью получения значения следующим выражением:

Напомню, что получить α и β можно только путем статистики, проводя множество экспериментов

То есть, если мы имеем, например, электрон, спин которого описывается вектором:

То, с вероятностью 50% при измерении мы можем получить как состояние 1, так и 0.

Почему вероятность равна квадрату модулю амплитуда вероятности? Обычно это просто постулируется, но в конце я приведу ссылку на видео, где об этом рассказывают подробнее. Здесь, чтобы излишне вас не утомлять, я просто скажу, что так надо)
(Модуль (комплексного числа), как минимум нужен, чтобы получить действительное число, т.к. в общем случае амплитуды вероятностей — комплексные числа).

Отмечу ещё, что амплитуды вероятностей также являются скалярным произведением базисных векторов с вектором состояния, обозначается скалярное произведение таких векторов так:

Скалярное произведение здесь определено несколько иначе, чем с классическими векторами (a*b*cos(a, b)), т.к. угол между такими векторами найти не получится

Тогда вероятность измерения события можно записать так:

Замечу, что выбор базисных векторов отнюдь не единственен. Числовые значения (α, β) будут зависеть от выбранного базиса, но сам вектор, как математический объект при смене базиса останется неизменным.

Условие нормирования
(Да разве тут кто-то может быть нормальным?)

Как вы могли догадаться, значения вероятностей не могут быть любыми, а так как наши события всегда образуют полную группу (сумма их вероятностей равна 1, и может произойти событие только из этой группы, и причём только одно), то сумма их вероятностей должна быть равна 1:

Условие нормирования или условие нормировки

Это дополнительное ограничение, которое накладывается на амплитуды вероятностей, и оно лишь говорит о том, что у нас возможны только два состояния 0 и 1 (В этом случае два. Если состояний больше, то вероятностей будет больше, но всё равно их сумма должна равняться 1).

Сфера Блоха
(Кубит, я тебя нарисовал!)

Давайте ещё раз посмотрим на волновую функцию, описывающую суперпозицию кубита:

Как мы уже знаем с0 и с1 — комплексные числа. Следовательно, их можно расписать в показательной (экспоненциальной) форме и подставить в исходное выражение:

Экспериментально было выявлено, что волновые функции, которые отличаются только на один общий множитель вида e^iφ (его называют общий фазовый множитель) неотличимы друг от друга на практике. Поэтому удобства ради можно вынести за скобку e^-iφ₀ и забыть про него:

Таким образом мы уменьшим количество параметров, от которых зависит наше выражение до трёх: r₀, r₁ и φ=φ₁-φ₀.

Из условия нормировки следует, что r₀² + r₁² = 1 и тогда эти коэффициенты можно записать по-другому (по основному тригонометрическому тождеству):

Угол специально подобран от 0 до пи, чтобы значения косинуса и синуса могли быть только положительными (ведь r₀ и r₁ — модули комплексных чисел, а они могут быть только положительными).

Тогда исходное состояние квантовой системы, состоящей из одного кубита, может быть эквивалентным образом описано с помощью всего лишь двух вещественных параметров — углов φ и θ:

И да, это чудо можно нарисовать. Собственно, сфера Блоха служит для того, чтобы рисовать состояния одного кубита в виде точек на сфере.

Сфера Блоха

Угол θ здесь — это угол [0, π] между осью z и нашей точкой на сфере, а φ — угол [0, 2π] между осью x и нашей точкой [ВладимирХ На самом деле угол между положительным направлением оси x и проекцией точки на плоскость xy]. |+> и |-> — это просто стандартные обозначения для каких-нибудь состояний (в частности для равновероятных). [ВладимирХ Здесь невнятно. На самом деле |+>=(|0>+|1>)/√2, а |->=(|0>-|1>)/√2].

Логично, что если угол θ принимает значения равные 0 или π, то мы получаем чисто состояние |0> или |1> (со 100% вероятностью).

Если же угол φ равен 0 или 1, а θ равен π/2, то мы получаем состояние
(|0>+|1>)/√(2), т.е. события |0> и |1> равновероятны. Также получаются и прочие случаи.

[ВладимирХ] Вышеприведенный абзац неудачный/неточный. Я бы сформулировал так: 

Если θ равен π/2, то мы получаем состояния, где события |0> и |1> равновероятны. Для произвольного θ вероятности событий |0> и |1> равны (1 + cos θ)/2 и (1 - cos θ)/2 .

Можно ли нарисовать состояние сразу нескольких кубитов? Пока, к счастью, нет. Не придумали ещё такого способа.