Требования к проведению исследования и интерпретации результатов с цитатами - V

Напоминает Гауссовую машину. В мере своей неправильности, он будет уклоняться от середины плоскости и попадат в приемник более или менее неправильных шаров. Как понимаю, их выпускают один за другим, чтобы не сталкивались и не изменяли траекторию. А как решить вопрос неравномерного стирания поверхности? Если по середине будут кататься большинство шаров, она будет полироваться больше чем вокруг.

Утверждение 1: сумма площадей согласованно ориентированных граней (то есть когда у них у всех нормали смотрят либо внутрь, либо наружу симплекса) ориентированного 3-симплекса равна нолю.

Доказательство:

Сумма площадей ориентированных граней произвольного ориентированного 3-симплекса с вершинами ABCD может быть записана как: S = [ABD] + [BCD] + [CAD] + [ACB], где [ABC] - площадь грани с учётом порядка обхода вершин: [ABC] = (\vec{AB}\times\vec{BC})/2, где \vec{AB} - вектор из точки A в точку B, \times - векторное произведение. В дальнейшем, чтобы не писать всю эту чушь с обозначениями, идите курить LaTeX на тему непонятных штук: в математике оно более чем стандартно.

Обозначим:

a=\vec{AC}, b=\vec{AB}, c=\vec{AD}.

Тогда

2S = 2abs([ABD] + [BCD] + [CAD] + [ACB]) = \abs{b\times(c-b)+(a-b)\times(c-a)+(-a)\times c+a\times(b-a)} = \abs{b\times c-b\times b-a\times c-a\times a-b\times c+b\times a-a\times c+a\times b-a\times a}.

Поскольку a\times a=\vec0 и a\times b=-b\times a для любых a и bm получаем:

2S = \abs{b\times c+a\times c-b\times c+b\times a-a\times c+a\times b}= \abs\vec0 = 0.

Что и требовалось доказать.

Теорема: сумма площадей согласованно ориентированных граней ориентированного многогранника без самопересечений равна нолю.

Доказательство: рассмотрим симплициальное разбиение указанного многогранника. Очевидно, что что сам многогранник является суммой данного разбиения по построению. Также сумма площадей ориентированных граней этого многогранника равна сумме площадей ориентированных граней симплексов разбиения, поскольку все грани симплексов разбиения, не совпадающие с частью 2-мерной (в общем случае n-1-мерной) границы многогранника, входят во вторую сумму по два раза с противоположными знаками.

Поскольку сумма площадей ориентирвоанных граней симплициального разбиения есть ноль, сумма площадей ориентированных граней порождающего разбиение многогранника также есть ноль.

Теорема доказана.

Замечание: без развитой терминологии (симплекс, симплициальное разбиение) это же доступно первокурснику даже физфака (с учётом разницы программ и строгости доказательств) после первого семестра в терминах "пирамида", "покрытие пирамидами". Вцелом анекдот из статьи говорит всего лишь о математической культуре и самонадеянности некоторых студентов.

...я не знаю как вбить в произвольномерном пространстве гвоздей, надо полагать что они тоже должны быть многомерными

 Узнаю брата Колю математика! Но зато наверняка знаете, как в этом пространстве резать карту, многомерную, и взвешивать)

Могу позволить не соглашаться, с обоснованием.  Но вопрос не в этом, Кант пишет о суждениях.

Что касается анализа самого мышления. Деление на логическое и образное носит объективный характер. Вполне объективна классификация на теоретиков и практиков. А вот с физическим и математическим делением Вы поторопились, сначала надо было ознакомится с матчастью. Судя по тому, что Вы пишите Вы с ней не знакомы.

Кстати площадь произвольной фигуры достаточно просто посчитать, наложив сетку и банально посчитав квадратики.