Исходная задача Задача-парадокс.
Задача сильно недоопределена.
Как сразу правильно заметил Алекс, "нет внятной выборки". То есть, для принятия решений надо определить допустимое множество значений пар.
Например, в каком диапазоне и с какой дискретностью представлены значения пар. Как пример, допустим, что меньшие элементы пары могут принимать значения {1,2,3,4}, а бОльшие, соответственно - {2,4,6,8}. Тогда значения {1,3} соответствуют гарантированно меньшим элементам пары, значения {6,8} - бОльшим элементам пары, а для {2,4} возможны оба варианта.
Можно рассмотреть два варианта исходного выбора пар:
1. Выбор делает субъект. Тогда это должно анализироваться методами теории игр, и я этот вариант рассматривать здесь не буду.
2. Существует некий случайный генератор, который генерирует пары по определенному вероятностному распределению. Именно этот вариант я и рассмотрю.
Для примера пусть распределение вероятностей выбора пары таковы
| Пара | 1-2 | 2-4 | 3-6 | 4-8 | Итого |
| Вероятность | 0,04 | 0,42 | 0,28 | 0,26 | 1 |
Тогда вероятности выбора числа (Pl - меньшего; Ph - большего).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | Итого | |
| Pl | 0,02 | 0,21 | 0,14 | 0,13 | 0,5 | ||
| Ph | 0,02 | 0,21 | 0,14 | 0,13 | 0,5 | ||
| Pl+Ph | 0,02 | 0,23 | 0,14 | 0,34 | 0,14 | 0,13 | 1 |
| Pl:Ph | 1:0 | 21:2 | 1:0 | 13:21 | 0:1 | 0:1 |
К примеру,число 2 выпадет с вероятностью 0,23, причем , вероятность меньшего - 0,21, а большего - 0,02. Очевидно, деньги надо брать из закрытой шкатулки. Граница выбора - отношение вероятностей (Pl/Ph) 1:2. Т.е. для чисел {1,2,3,4} берем из закрытой шкатулки, для {6,8} - из открытой шкатулки. По аналогичной схеме рассчитываются варианты со сколь угодно большим (но дискретным) числом пар.
Если распределение задано на континууме (0...+Inf), то выбор делается за счет сравнения плотностей вероятности распределения меньшего и бОльшего элементов пары (Pl и Ph, соответственно). Критерий выбора закрытой шкатулки Pl>Ph/2 <==> Pl/Ph>1/2.
Пример распределений
Для данного распределения пар критерий выбора таков:
- X < 2,153 - берем закрытую шкатулку
- X > 2,153 - берем открытую шкатулку
- X = 2,153 - варианты равноценны
Таким образом, открывая шкатулку и имея информацию о величине числа и распределении пар мы можем делать выбор, улучшающий ожидаемый выигрыш.
Комментарии
Вероятность выигрыша, то есть получения большей суммы из одной из двух предлагаемых на выбор шкатулок, при каждом ходе составляет одну вторую. Все остальные рассуждения бессмысленны.
А для колхозников... ?
Предположим, Вы с равной вероятностью выбираете 4 пары {1-2; 2-4; 3-6; 4-8}.
у вас корявое распределение.
если выпало 1 - надо брать 2
если выпало 2 - в соседней лежит либо 1, либо 4
если выпало 3 - в соседней 6, надо брать там
если выпало 4 - в соседней 8, надо брать там
и тд
Только в в случае "1" есть неопределённость, в остальных вариантах известно, что надо делать для максимизации выигрыша.
В реальной ситуации, если выбор неопределён - результат будет матожиданием и не зависеть от выбора.
Я тупо провёл эксперимент с генератором случайных чисел.
Получилось, что при выборе 2-й шкатулки на большой выборке +25%
Каково множество пар, из которых Вы проводили выбор?
По какому вероятностному закону Вы выбирали пары?
Стратегии при случайном выборе случайной суммы между одной из двух шкатулок (при знании, что в одной из них содержится в два раза больше другой) или с последующим обязательным открытии второй шкатулки, при отказе от суммы первой открытой, очевидно равноценен. И составляет 1/2. Ибо в первом случае мы тыкаем случайно в шкатулку из которой заберём деньги, а во втором (так уж получается) тыкаем пальцем в ту шкатулку из которой НЕ ЗАБЕРЁМ деньги (просто увидим, и, это ни на что не влияет, но заберём-то из второй). Т.е. второй случай одно-однозначно указывает на шкатулку из которой мы забираем (одна из двух, а именно та на которую мы не показали первой). Вне зависимости от того, что в ней находится. т.е. откроешь ты первую или нет, это на вероятность вообще не влияет никак ибо забираешь всё равно из второй. Не знаю чо тут всерьёз думать?
Стратегии равнозначны по определению ибо не стратегии вовсе, а просто выбор одной из двух шкатулок.
Почитайте внимательнее исходную задачу.
Если с равной вероятностью открывается, как больший, так и меньший элемент пары (например, Х), тогда при смене шкатулки среднее будет 0,5*Х/2 + 0,5*2*Х = 1,25*Х
Прочитайте внимательно ответ.
Стратегия 1: Выбирая открытую вы делаете выбор одна из двух
Стратегия 2: Выбирая после открытия первой - вторую - вы делаете выбор одна из двух. (а именно - не открытую, сумма в первой не имеет значения, видите её или нет, ибо всё равно отказываетесь от неё)
Стратегия 3: Как в голову взбредёт. - это не стратегия вовсе, а беспорядочные метания жадности.
Естественно, всё это в условиях, когда каждый раз предлагаемые суммы в шкатулках (при соблюдении разницы в два раза), случайны.
Если суммы не случайны, тогда и вопрос о стратегии тривиален и бессмысленнен.
Я Вам привел рассуждение. Вы не стали его рассматривать и повторили свое. Это, по Вашему, диалог?
Сложно про тривиальное.
У вас две шкатулки с суммами X и Y. Причём, Y=2X. Значит в обоих шкатулках X+Y = X+2X=3X.
1. При случайном выборе шкатулки с суммой, математическое ожидание выигрыша в серии экспериментов будет Сумм(( Xn+2Xn)/2)/n, где X- случайная величина. Ну совсем упростив - мат ожидание 1,5X.
2. Выбираете первую - зреете на неё, отказываетесь и берёте вторую. Выбрав первую- вы не знаете что вы выбрали Х или Y. Это означает, что во второй может быть как Y так и X. Мат ожидание посчитать данного случая?
Перспективный чат детектед! Сим повелеваю - внести запись в реестр самых обсуждаемых за последние 4 часа.