гравитация - это ошибка. в пятницу

все это, и многое другое объясняет - ХАОС — математический фильм, состоящий из девяти глав, по тринадцать минут каждая. Это фильм для широкой публики, посвященный динамическим системам, эффекту бабочки и теории хаоса.

В своём «Философском эссэ о вероятности», астроном и математик Пьер-Симон Лаплас (1749—1827) утверждает универсальность детерминизма во всей его общности:

«Мы можем рассматривать настоящее состояние Вселенной как следствие её прошлого и причину её будущего. Разум, которому в любой определённый момент времени были бы известны все силы, приводящие природу в движение, и положение всех тел, из которых она состоит, будь он также достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу, смог бы объять единым законом движение величайших тел Вселенной и мельчайшего атома; для такого разума ничего не было бы неясного, и будущее, как и прошлое, было бы у него перед глазами».

Сформулированный таким образом детерминизм имеет свои пределы, что на простом примере показано в фильме. В 1879-м году физик Джеймс Клерк Максвелл (1831—1879) настаивал на чувствительности физических явлений к начальным условиям.

« Есть максима... что одинаковые причины всегда производят одинаковым результатам [...] Есть и другая максима, которую не следует путать с первой, утверждающая, что “схожие причины приводят к схожим результатам''. Это верно, лишь когда малые изменения начальных условий приводят к малым изменениям конечного состояния системы. В большом количестве физических процессов это условие выполнено; но есть и другие случаи, когда малое изменение начальных условий может повлечь большое изменение в конечном состоянии системы. »

Изучение солнечной системы, с её восемью главными планетами и тысячами второстепенных объектов, безусловно, непросто. Что же можно сказать об атмосфере с её бесчисленным множеством молекул? Изучение траекторий векторного поля, зависящего от огромного числа переменных — вот настоящий вызов, брошенный нам великим Ньютоном.

В этой главе, мы попытаемся объяснить основную идею теоремы Пуанкаре-Бендиксона. Эта идея состоит в том, что на плоскости не может быть рекуррентности: траектория из точки P может вернуться в очень маленькую окрестность P, но потом она обречена никогда больше не возвращаться близко к P (исключая тот единственный случай, если P находится на периодической траектории).Эта теорема, положившая начало качественной теории динамических систем, выполняется только для векторных полей на плоскости. Для них, она подтверждает идею, что любое движение стремится к положению равновесия или к периодическим колебаниям. Но Пуанкаре вскоре открыл, что для векторных полей в пространстве ситуация становится гораздо, гораздо богаче и красивее. Больше никаких предельных циклов: добро пожаловать в мир хаоса!

Две геодезические, отправляющиеся в почти одинаковых направлениях, могут пройти совершенно разными путями. Дюэм пишет об этом так:

« Если точка была запущена на поверхности с геометрически заданной позиции, с геометрически заданной скоростью, то математический расчёт определит траекторию движения точки и определит, удаляется она на бесконечность или нет. Но для физика такой расчёт непригоден. »

Обратите внимание на тонкость: геодезическая может быть посчитана математически, но в этом нет никакой пользы для физика.

Между теорией и практикой лежит целый мир!

В начале 1960х, молодой американский математик Стивен Смейл (1930-...) работал на пляже в Копакабане, когда он совершил открытие... Он открыл подкову! Не настоящую, разумеется, а математический объект: преобразование, совмещающее в себе растяжение, сжатие и сгибание. Оно преобразует квадрат в подкову.Динамика подковы очень богата, как в будущем, так и в прошлом, со структурой, бесконечно повторяющей себя.

Одновременное присутствие хаоса, и потому неустойчивости отдельных траекторий, и структурной устойчивости, глобального свойства динамики, — совершенно замечательны!

в 2001 математик Уорвик Такер показал, что бумажная модель хорошо описывает движение Лоренца: для каждой траектории в аттракторе Лоренца существует траектория, проходящая по полоскам бумаги, которая ведёт себя таким же образом. Конечно, эта модель устроена значительно проще, чем настоящие природные явления, но это показывает, что математики любят простые вещи!

Зависимость будущего системы от начальных условий может выглядеть обескураживающе. Тем не менее, здесь существует положительный и конструктивный подход. Вот сообщение Лоренца, к сожалению, не столь хорошо известное широкой публике:

«Но в целом, я утверждаю, что в течение лет незначительные потрясения ни увеличивают, ни уменьшают частоту возникновения различных погодных явлений, таких как ураганы. Всё, что они могут сделать — это изменить порядок, в котором происходят эти явления.»

Сегодня мы думаем о детерминизме не как о судьбе отдельной траектории, но как об эволюции системы как единого целого. Чувствительность траекторий к начальным условиям компенсируется статистической стабильностью всего множества.

Целая группа математиков усердно работает над этими гипотезами, и они разрешаются методично, шаг за шагом. Постепенно вырисовывается целостная картина. Оптимистична ли она? Время покажет.