Акулий плавник - 2

Вторая часть главы про функцию акульего плавника и потребление.

Модели, где энергия тратится не одновременно с её получением, а кривые роста и спада не симметричны, математики рассматривали давно. Для разминки – классическая задача про зайцев и лис, предложенная в середине 1920-х годов американским математиком и физ-химиком А.Дж.Лоткой и независимо от него – итальянским физиком В.Вольтеррой. Десятилетием позже этой же системой уравнений занимался в Советском Союзе А.Н.Колмогоров. Пусть P_h – количество зайцев в лесу, а P_f – количество лис. Естественно описать коэффициент рождаемости лис пропорционально наличию в лесу зайцев, а коэффициент смертности зайцев – пропорционально наличию лис.

Здесь:

α_h – нормированный коэффициент смертности зайцев, то есть вероятность неудачной (для зайца) встречи с лисой;

β_f – нормированный коэффициент рождаемости лис, то есть вероятность удачной (для лисы) встречи с зайцем.

Заметим, что оба уравнения есть не что иное, как слегка модифицированное уравнение Мальтуса-Ферхюльста {3.1}.

У системы есть тривиальное решение при P_h=P_f=0; если в лесу нет ни зайцев, ни лис. Есть одно нестабильное решение при P_f=0, P_h>0. Если в лесу совсем нет лис, популяция зайцев уходит в бесконечность по экспоненте. Есть и стабильное решение P_h1>0, P_f1>0, когда популяция животных не изменяется. Если численность не меняется, производные равны нулю. Отсюда:

Тогда уравнения запишутся так:

При малых отклонениях численности от (P_h1,P_f1), популяция будет бесконечно колебаться по синусоиде, и для таких отклонений существует аналитическое решение, аналогичное уравнению Галилея для «длинного» маятника. Нам это решение не очень интересно, поэтому приводить его здесь не будем. Желающие могут заглянуть в любую книгу по уравнениям математической физики.

Займёмся, по следам Колмогорова, большими отклонениями, когда колебания уже не синусоида; код нам ещё понадобится. Пусть средняя продолжительность жизни лисы – 10 лет (все числа условные), тогда a_f = 0.1; пусть популяция зайцев при отсутствии хищников, удваивается примерно каждые два года, то есть b_h = 0.5. Чтобы числа были реальны, примем, что в лесу могли бы равновесно сосуществовать 1000 лис и 10000 зайцев, а в начальный момент времени имеется 5000 зайцев и 2000 лис¹.

Считать будем программой Chapter 16\Model_09_Rabbits_and_Foxes.py

В такой постановке система будет колебаться вечно – вся энергия возобновляемая, травы в лесу столько, сколько зайцы съесть не могут. На кривой численности зайцев – относительно медленный подъём и относительно быстрый спад. На кривой лис – наоборот: относительно быстрый рост и медленный спад. Количество зайцев в лесу то сваливается почти в ноль, то взлетает до сорока с хвостиком тысяч. График численности лис отстаёт от заячьего примерно на треть периода.

Теперь от зайцев перейдём к нефти и остальным энергетическим ископаемым. Упомянутые в главе 15 Чарльз Халл и Кент Клитгаард² пробуют объяснить проблему пика энергетических ресурсов качественной моделью:

Чёрная стрелка обозначает поток энергии³. Экономика преобразует энергию в валовый продукт (зелёное GDP). Продукт этот расходуется на потребление (оранжевое) и на реинвестирование в экономику (малиновое). Потребление бывает двух типов: жизненно-необходимое (жёлтое – staples) и роскошь (красное – discretionary). Инвестиции делятся на три части: затраты на добычу энергии (тёмно-синяя стрелка), затраты на амортизацию (светло-синяя стрелка) и затраты на расширение производства (красная стрелка).

Нарисовано состояние дел в условном 1970 и условном 2030 годах. В 1970 показатель ERoEI_ext большой, затраты на добычу энергии – маленькие; соответственно больше энергии остаётся на расширение производства, а также на необязательную для жизни роскошь. В условном 2030 на добычу энергии и на амортизацию расходуется больше, соответственно на расширение производства и роскошество остаётся меньше.

Художник немного схитрил, уменьшив жёлтую стрелочку жизненно-необходимых затрат для рисунка 2030 года. Население планеты в 1970 году было 3.7 млрд, а в 2030 демографы ООН обещают нам от 8.1 до 9.0 млрд, то есть жёлтая стрелочка должна быть как минимум в 2.5 раза толще, чем в 1970 году. Если мы говорим о жизненном минимуме, то экономить не на чем! Нетрудно заметить, что делая жёлтую стрелочку толще, мы полностью убиваем красные стрелочки: и роскошество, и расширение производства. Подозреваю, что дело даже хуже: немножко от красной стрелочки затрат на роскошь останется (надо же кому-то плавать яхты и ездить «Бентли»?), а светло-синяя стрелочка затрат на амортизацию уйдёт в ноль. Вследствие естественной амортизации через какое-то время экономика схлопнется.

Клитгаард выразился так⁴:

Всякий, кто говорит, будто экономика может [бесконечно] расти по экспоненте на планете конечных размеров, – либо безумец, либо экономист.

 

Разобрав модель Халла и Клитгаарда качественно, попробуем воспроизвести её количественно. Сами авторы код, к сожалению, не публикуют⁵.

В качестве калибровки возьмём следующие данные:

• Оценку суммарных извлекаемых запасов угля, нефти (жидкостей) и природного газа из главы 14 – от 1'000 до 3'300 млрд toe (наиболее вероятное значение 1'400 млрд toe).

• График добычи тех же энергетических полезных ископаемых из главы 13; накопленная добыча с 1830 по 2017 годы – 501±50 млрд toe.

• Данные ООН по населению Земли и демографические прогнозы из того же источника (глава 3).

• Оценку потребления энергетических полезных ископаемых из главы 15 и оценку ERoEI_ext по формуле {15.10}

Первая модель будет простая, не сложнее чем модель с зайцами и лисами.

Для простоты предположим, что деньги в системе жёстко привязаны к стоимости ресурсов: например, вместо доллара – килограмм нефти. Подобное выражение позволяет абстрагироваться от инфляции, действий государственных эмитентов и т. п. Под «капиталом» здесь и далее подразумеваются не деньги, а овеществлённая энергия – инструменты, заводы, транспорт, нефтяные скважины, АЭС, ветряки и так далее. Пусть затраты и получение прибыли от времени распределены по времени как показано ниже:

Например, в минус первом году вы потратили 1 toe угля, чтобы найти залежь. Затем из этой залежи вы добываете 20 полных лет (с нулевого по 19 год включительно). В 20-м году месторождение заканчивается, но вы заранее идёте искать новое: ERoEI_ext=20:1. Шахтёры в нашей простейшей модели во время добычи ничего не потребляют (кроме еды), а все добытые ресурсы тратятся на развитие других средств производства (за пределами энергетики). Если вас не пугает такая аналогия, думайте о первой модели как о рабовладельческом строе в тропиках, где даже самый главный инженер ходит в травяной набедренной повязке. Кнуты надсмотрщиков и цепи рабов считаются «капиталом». Вычислим программой Chapter 16\Model_10_Basic_Energy.py

Тут самое время вспомнить, что некоторые траты в модели Халла-Клитгаарда имеют эпитет «discretionary», сиречь «по собственной воле»: общество в целом (или какая-то значимая часть общества), на основании каких-то своих социальных законов решает, сколько тратить на потребление, а сколько – инвестировать в производство. Законы меняются от времени. Ясно, что фактическая кривая добычи угля, нефти (точнее «жидкостей») и природного газа с 1890 по 2017 годы есть следствие инвестиционной политики. Постигать ход мысли нефтеброкеров и председателей советов директоров тут ни к чему, надо просто принять мир как он есть по факту и инвестировать в нашу модельную энергетику ровно столько, сколько нужно, чтобы идеально описать добычу в реальном мире. Точно так же в модели П.Пукайта выбиралась функция s(t).

После 2017 года мы условно полагаем, что экономика стремится сохранить абсолютную добычу на душу населения: около 1.5 тонн нефтяного эквивалента в год. Допущение вполне нормальное, a точная подгонка нам не нужна – модель ещё «сырая». Не стоит придавать особого значения и годам – они пока условные. Максимум добычи ископаемых энергоресурсов – 2069 год (15.8 млрд toe/год), максимум добычи на душу населения – 2016 (1'579 кг/год). Повторим: не надо придавать… однако задумаемся. С 2016 по 2069 год в модели происходит странная ситуация. Валовой продукт вроде бы растёт: вокруг всё больше «сланцевых» нефтескважин в Северной Дакоте, газопроводов «Северный поток» на Балтике и карьерных экскаваторов в Альберте. При этом среднее, на душу населения, вещественное потребление (не услуги проститутки дипломированного гомеопата, а джинсы, мобильные телефоны и «Форд-Фокусы») – не меняется. В реальном обществе нефтепроводы и экскаваторы принадлежат не владельцам «Фокусов», а элите. Значит, «бедные остаются бедными, средний класс остаётся средним классом, а богатые богатеют».

Так идёт до 2069 года, а дальше… обвал! Инвестиции почти полностью прекращаются, и за 10-15 лет добыча ископаемого топлива уходит в полный ноль.

Однако показанные на картинке выше затраты и доходы могут существовать только в воображаемом мире. От применения резко падающих функций кривая потребления получается нестабильной, так как инвестиции год от года резко меняются. В реальности надо применять плавно убывающие вероятностные функции {16.3} как в модели Пукайта. Пусть, для начала, функции будут простыми экспонентами:

Здесь мы полагаем, что часть капитала ежегодно амортизируется:

Если константу d положить равной нулю (амортизации нет, капитал работает вечно), то ERoEI получится бесконечным. Мы полагаем, что капитал изнашивается за характерное время 20 лет, то есть d=0.05. Скажем, в 1800 году вы инвестировали в экономику тонну нефти. Этот капитал будет работать много десятилетий (как на месторождении Весёлое). Через сто лет от тонны ваших инвестиций останется, в среднем, 0.95¹⁰⁰=0.006 – шесть килограммов нефтяного эквивалента⁶. За сто лет тонна капитала произвела бы:

Выбирая ρ₀ = 1.031, получаем ERoEI = 20:1. Считаем программой Chapter 16\Model_11_Basic_Energy2.py

Заметим, что теперь функция потребления стала гладкой. Если вас смущает острый пик на вершине «акульего плавника», можно заменить простые экспоненты на цепочки Маркова как показано программой Chapter 16\Model_12_Basic_Energy3.py

Как обсуждалось в главе 15, ERoEI_ext по мере истощения месторождений будет уменьшаться. Для следующей модели используются фильтры затрат и доходов как выше, а ERoEI_ext рассчитывается по формуле {15.10}. Используем программу Chapter 16\Model_13_Basic_Energy4.py

В уточнённой модели максимум добычи по тройке «уголь-нефть-газ» наступает в 2059 году на уровне 16 млрд toe. Пик потребления – в 2014 году, 1'480 кг.

Нас не интересует абсолютная величина килограммов на душу в год. Споры о том, сколько нефти тратится на производство «Айфона» модели 2016 года и насколько «Айфон» полезнее в хозяйстве, чем чёрно-белый телевизор «Изумруд» образца 1979 – по меньшей мере наивны. Что интересно: с какой скоростью будет снижаться потребление во второй четвертушке XXI века? При сокращении доступной энергии на душу населения технический прогресс может и вспять пойти. Например, в вашем городе есть и энергосберегающие лампочки, и «Айфоны», и даже «Теслы», но 20 часов в день в сети нет электричества. Не всё ли вам равно, какая у кого версия «Айфона»? В построенной нами модели «Новый, 1930 год» с уровнем потребления 540 кг эквивалента на душу наступает в 2053 году. С 2014 по 2053 происходит довольно чувствительный спад материального уровня жизни по 2.5% в год. Всё это время продолжается увеличение добычи ископаемого топлива (в основном газа и угля; нефть уже прошла пик) и наращивание энергетической инфраструктуры: «бедные беднеют, а богатые богатеют».

Всплеск потребления между 2059 и 2079 годом связан с прекращением инвестирования в новые проекты «классической» угольно-газовой отрасли; при этом освобождается довольно много средств. Правдоподобной такая модель не выглядит – вряд ли все компании планеты разом договорятся прекратить инвестирование. Наша модель пока не включает минимальный уровень потребления («staples» на диаграмме). Где конкретно этот уровень лежит, сказать сложно – авторы приводят лишь грубые оценки. Вероятно, он изменяется в зависимости от страны, привычек населения и климата. В странах, где исторически был высокий уровень потребления, социальный взрыв может наступить раньше, чем там, где уровень потребления был низок. Один из возможных сценариев, когда мировая экономика проходит через серию кризисов и энергопотребляющие регионы отваливаются по мере накопления социальных проблем – в программе Chapter 16\Model_14_Basic_Energy5.py

Этот вариант развития событий «любят» примерно с 2005 года в IEA, называя его «сценарием колеблющегося плато» («Undulating Plateau»)⁷. Если закрыть листочком всю нижнюю часть графика и не думать, что на душу населения снижается как абсолютная, так и скорректированная за ERoEI_ext добыча, то всё выглядит вполне красиво и мирно: добыча по тройке «уголь-нефть-газ» с 2025 по 2075 годы колеблется на «полочке» около 13.5 млрд toe в год. Но если вспомнить про душевое вещественное потребление, можно было бы сказать, что «бедные беднеют, а богатые не богатеют». Представляется, что всё будет несколько сложнее, и ситуацию придётся описывать так: «бедные беднеют, некоторые богатые становятся бедными, остальные богатые – богатеют». Скорее всего, «социальные лифты» продолжат работу, поднимая наверх сотни счастливчиков. «Социальные мусоропроводы», правда, будут трудиться куда активнее, сбрасывая как обитателей элитных пентхаузов (тысячами), так и жильцов из трёшек «среднего класса» (десятками миллионов) в помойный контейнер нищеты.

Имея в руках модель, самое время с нею немного поиграть! Что может пойти «так» и что может пойти «не так»? Сначала – позитив. Демографы ООН заверяют нас, что с вероятностью примерно 15% рост населения планеты остановится в 2050 году. «Новый, 1930 год» будет при этом отсрочен на 10 лет. Программа Chapter 16\Model_16_Basic_Energy_Low_Population.py

В общем, разница по населению планеты в 2060 году – как видит её ООН – не так уж велика: между 8.6 и 12.1 млрд, наиболее вероятное 10.2, разброс ±14%. Существенной роли это не сыграет. Теперь новости похуже. С вероятностью около 10% у нас может случиться URR=1'000 млрд toe. Что получится, показывает программа Chapter 16\Model_17_Basic_Energy_Low_URR.py

В 2055 году наступает не «Вторая великая депрессия»™, а просто обвал в XIX век и далее. Тут к месту вспомнить патолоанатома социолога Ричарда Данкина⁸, запустившего в оборот «Олдувайскую теорию»:

По вертикали тут отложены баррели условной нефти на душу населения: 11.15 барреля – это примерно 1'510 кг. Можно с уверенностью утверждать, что основное положение гипотезы Данкина⁹ вряд ли сбудется:

The Olduvai theory is a data-based schema that states that the life expectancy of Industrial Civilization is less than or equal to 100 years.

Олдувайская теория основана на данных и говорит, что время жизни Индустриальной Цивилизации меньше либо равно 100 годам.

Время жизни индустриальной цивилизации как минимум (в самых пессимистичных предположениях) на тридцать лет дольше. Не покупайте пока тушняк - к 2060 году он точно протухнет. Однако, если заменить «сто лет» на «двести», то полной уверенности в опровержении Олдувайской гипотезы у нас нет.

Для полноты картины следует добавить в модель ВИЭ и ядерную энергию, как мы делали в прошлой главе; этим мы займёмся в следующей статье. (Оказалось, что главу надо резать на три части).

Подведём итоги главы:

• При моделировании добычи следует учитывать не только значение ERoEI, но и характерное время задержки инвестиций. Любое месторождение с момента открытия проходит ряд стадий: принятие решения, подготовка освоения и т.д.

• Рассмотрена модель «Нефтяной шок» из книги Пола Пукайта «Таинственная бочка нефти» (2011-2014). Пукайт использовал для моделирования спада нефтедобычи фильтры («цепочки») Маркова. Нами воспроизведён работающий код на Python, проведены численные эксперименты с использованием «оценки Лагеррера» 2014 года и реальными данными добычи по 2017 год.

• Вслед за П.Пукайтом продемонстрировано, что пик добычи мало зависит от маловероятных открытий в будущем крупных месторождений («чёрных лебедей» в терминологии Н.Талеба), а также перевода в категорию подтверждённых запасов десятков тысяч малых, сверхмалых и карликовых залежей нефти, вне зависимости от года их открытия и формальной «привязки» карликовых к крупным месторождениям.

• Продемонстрирована классическая модель Лотки-Вольтерры с накоплением энергии в постановке Колмогорова. В этой модели использованы две функции (условные «зайцы» и условные «лисы»), и происходит перекачка энергии: сначала из окружающей среды в «зайцев», а затем из «зайцев» в «лис». Колебательное решение асимметрично для обеих функций.

• Обсуждается качественная модель Чарльза Халла и Кента Клитгаарда о перекачке энергии из ресурсов планеты (и Солнца) сначала в капитал, а затем в потребление. Предпринята попытка численно воспроизвести эту модель. Численная модель учитывает задержку времени между инвестированием энергии и получением энергии в виде энергетического сырья.

• Численная модель показывает, что в любых обоснованных предположениях материальное потребление по тройке «уголь-нефть-газ» на душу населения возвращается к уровню 1930 года примерно к 2060. Абсолютный пик добычи энергетического сырья может при этом варьировать в широких пределах, особенно по времени наступления. Пик добычи энергетических полезных ископаемых не обязательно наступает про добыче примерно половины ресурса. Скорее, пик наступит после добычи ⅔ или ⅗ совокупных извлекаемых запасов угля, нефти и газа, то есть на уровне накопленной добычи порядка 1'000±200 млрд toe (но извлекаемые запасы нефти - от 280 до 400 млрд тонн - к тому времени будут выработаны на 85-95% и Пик Нефти давно пройден).

• Наступление абсолютного пика добычи нефти или абсолютного пика всех энергоресурсов никак не связано с пиком потребления на душу населения. Последний пик по тройке «уголь-нефть-газ» в большой долей вероятности уже прошёл между 2009 и 2017 годами (наиболее вероятно в 2014 году) на уровне около 1'480 кг эквивалента в год. Следует ожидать снижения уровня жизни в среднем по 2.5% за год; конечно, в некоторых развитых и экономически сильных странах такое снижение будет идти медленнее, за счёт «экспорта проблем» в страны недоразвитые и/или слабые.