Интересное наблюдение по запуску Falcon Heavy

Я смотрю, в рамках холиваров вокруг FH, который взял и не взорвался на пусковом столе, а вполне даже что-то отправил на гелеоцентрическую орбиту (формально дальше, чем СССР за всю историю пусков, но об этом позже) одна из козырных карт у одной из сторон "а почему при заявленной массе полезной нагрузки в 60+ тонн FH пульнул всего одну Теслу весом в тонну?"

При попытке разобраться в ответе на этот вопрос выяснилась парочка интересных деталей.

Начнем с грузоподъемности FH в целом. На на сайте SpaceX она уканаза в 63.8 тонны на низкую орбиту(НОО), 26,700 на геопереходную и 16800 - на гомановскую отлетную к Марсу.



Однако на слайде презентации Маска прошлой осенью мы видим 30 тонн на НОО


Ага, ну правильно, это же "reuse", то бишь возврат ступеней на посадочные платформы. Правда не понятно, какой из многочисленных вариантов возвращения центральных блоков на наземные или морские площадки. Полезная нагрузка на НОО упала более чем вдвое, но на сколько уменьшилась полезная нагрузка на отлетной траектории? На форуме nasaspaceflight в свое время сделали оценку для более ранней версии FH

Здесь первая колонка - это наличие или отсутсвие перелива топлива между боковыми блоками и центральным, как мы знаем в итоге от этого вообще отказались. Вторая колонка "RTLS" - количество возвращающихся к старту ступеней, третья "ASDS" - садящихся на морских платформах. Т.е. наш случай - 4 строка. Выводимая к марсу ПН - 4 тонны. Поправочный коэффициент на выросшие с момента составления таблички характеристики FH можно взять из последней строки - там к марсу выводится 11 тонн, а на сайте 16,8, т.е. для текущей версии FH цифры таблицы надо умножить в 1,5 раза. Получается, что к Марсу должно было отправится 6 тонн, а отправилось порядка 1-1,5? Маловато.

На самом деле эта оценка слегка оптимистична. Разделение центрального блока и верхней ступени здесь предполагалось на скорости в ~3 км/с, см соответствующую симуляцию.

А в реальности оно произошло на скорости ~2,64 км/с.



Скорее всего в этой разнице между симуляцией и реальностью есть довольно интересный момент. Дело в том, что каждые недобранные последней ступенью при отделении сотни метров в секунду довольно больно аукаются на сокращении полезной нагрузки, она падает экспоненциально с ростом необходимой для добора скорости. Оптимально было бы отделять центральный блок заметно позже, при скорости, скажем, 4 км/с, вообще самая оптимальная ракета имеет примерно одинаковое распределение по набираемой каждой скоростью ступенью.

Однако сажать первые ступени на большой скорости очень сложно, если не невозможно. При запуске Falcon Heavy ставка явно делалась не на вывод максимальной ПН, а на охват тестом как можно больших сценариев, связанных с полетом ракеты - тут и возврат боковых блоков на землю, и посадка на морскую платформу (неудачная). Продолжая эту логику можно предположить, что скорее всего скорость отделения центрального блока не делали максимальной, для того, что бы посмотреть, как он поведет себя при возврате. Что, конечно же, сказалось на нагрузке.

Но что бы узнать точно, какую ПН мог бы вывести FH в этом полете, нужно знать конечную скорость, до которой была разогнана Тесла родстер. И ее можно узнать

Здесь показана итоговая траектория ПН, и там есть замечательная циферка С3 Earth (км^2/c^2) = 12.0 - это избыток скорости над второй космической скоростью (т.е. 11,2 км/c). Скорость, которую набирает ступень (Vpn) связана с второй космической (V2) и С3 довольно просто:

С3 = Vpn^2 - V2^2

В этом году должно было быть тесное сближение Земли и Марса, поэтому достичь (при старте в апреле-мае) можно с С3 7,7-7,9 км^2/c^2, и ПН Heavy на отлетную к Марсу считалась либо для этой цифры, либо для среднемноголетних С3=9.5. Немного об этом рассказано вот в этом видео:

Итого мы получаем следующие величины:

1. Скорость, набранная Тесла Родстером в запуске 6 февраля: Vpn = sqrt (11,19^2 + C3)=11,71 км/с  Скорость, набираемая Falcon Heavy для "стандартной" отправки ПН к Марсу должна быть 11,61 км/с, а для для этого года 11,53 км/с. К баллистической скорости надо добавить гравитационные потери - на глаз около 200 метров в секунду, полученная величина называется характеристической скоростью или delta V в западных терминах.

Теперь попробуем сравнить разницу в характеристической скорости, набираемой "стандартной отправки" груза к Марсу и запуска 6 февраля:

11,61 + 0,2 - 3 = 8,81 км/с <-> ступень должна выводить ~9 тонн
11,71 + 0,2 - 2,64 = 9,27 км/с <-> ступень вывела красную машинку с манекеном.

На самом деле здесь более менее строгие расчеты заканчиваются и начинаются зыбкие предположения. Например то, что скорость отделения верхней ступени FH при максимально жестких условиях спасения центрального блока может быть 3 км/с - эта цифра встречается в обсуждениях на форуме nasaspaceflight, но правду, конечно, знают только в SpaceX. Еще одной неопределенной величиной будут массы заправленной и пустой верхней ступени FH, которе тоже никогда не публиковались. Наконец масса запущенного родстера тоже неизвестна. Тем не менее, плюс-минус километр прикидку сделать можно, и оценить, какую же долю от полной ПН запускали 6 февраля.

Итак, для начала  формула Циолковского

V = I * ln (Mn/Mk), где V - это характеристическая скорость, I - удельный импульс (3355 м/с для Merlin 1D vac), Mn/Mk - отношение начальной массы к конечной.

Для V (8,81) Mn/Mk = 13,81
Для V (9.27) Mn/Mk = 15.85

На все том же  nasaspaceflight я нашел такие цифры для верхней ступени FH - масса заправленной 95,000 кг, масса отработавшей ступени - 3900 кг (цифры не совпадают с симуляцией выше). Для Mn/Mk=15.85 это дает максимальную массу ПН в запуске 6 февраля в 2093 кг, что лишь слегка больше родстера без аккумуляторов, но с переходником, передатчиком и маникеном. Вполне ожидаемый запас на неизвестные пока динамические нагрузки и т.п. А вот ПН при "стандартной" отправке к Марсу будет всего ~3000 кг вместо 6000 из оценок выше и это ожидаемо. Набирать 8-9 километров в секунду одной керосиновой ступенью, даже такой шедевральной с точки зрения соотношения пустого веса к весу заправленной, означает уничтожить почти весь вес ПН в пользу веса ступени.

Получается, что в такой конфигурации носителя, возможности FH по отправке чего-то на Марс довольно скромны - меньше, чем у Delta IV Heavy, Atlas V 541, Протон-М/Бриз-М и Arian V и определяется это крайне неоптимальным распределением характеристической скорости по ступеням. В запуске 06.02.2018 FH работал близко к пределу возможностей, если отталкиваться от реалистичности цифр сухого и полного веса верхней ступени, которые гуляют в интернетах.



Главный же вывод - Falcon Heavy еще не показал своих возможностей, и по следующим пускам можно будет собрать данные, которые хорошо позволят оценить реальные веса ступеней и более точно оценить возможности многоразового и одноразового варианта.