Математическое моделирование транспортных потоков

Борьба с пробками началась в начале 50-х годов прошлого века, и в последние 20 лет эта проблема стала довольно актуальной в России. Мне бы хотелось рассказать сюжеты о том, как специалисты стараются бороться с пробками.

Начну я с того, что расскажу о локальном управлении светофорами, о том, как борются с пробками с помощью управления светофорной сигнализацией на дорогах. Это локальное управление, стоит цель в текущий момент времени управлять потоками так, чтобы стало эффективней двигаться. Вторая сюжетная линия связана с долгосрочным планированием, с управлением потоками: где какую дорогу построить, где сделать выделенные полосы, какую плату взимать за проезд. Это тоже способ борьбы с пробками, но долгосрочный. Относительно второй темы будет два сюжета: первый связан с платными дорогами, а второй — с расщеплением транспортных потоков на личный и общественный транспорт с помощью улучшения системы общественного транспорта.

Начнем с управления светофорами. Я здесь должен вернуться к началу 1950-х годов, когда изучались вопросы, связанные с тем, что происходит, когда взрывается бомба и идет ударная волна. Это описывается линейными законами сохранения, их изучало много людей в Советском Союзе, в Соединенных Штатах Америки. В 1955 году было понято, что на самом деле пробка — граница затора — очень похожим образом эволюционирует во времени, как фронт ударной волны, возникающей при взрыве бомбы. Очень похожи уравнения. Только газ — это одна субстанция, транспортный поток — другая (как говорят физики, у транспортных потоков свое уравнение состояния).

Все, кто сдавал экзамены в автошколах, знают это уравнение состояния. Это есть в билетах, а именно: что такое безопасное расстояние? Это расстояние, которое должны держать водители двух соседних автомобилей, чтобы в случае возникновения непредвиденной ситуации избежать столкновения. Довольно очевидно, что если скорость большая, то это расстояние должно быть большое. Из чего оно составляется?

Есть три слагаемых. Первое — это длина автомобиля, она должна входить в это безопасное расстояние. У нас есть время реакции — мы не мгновенно реагируем на происходящее. На Западе принято считать, что время реакции — одна секунда, то есть что-то происходит, мы через секунду увидим, что произошло, и примем решение. В России время реакции 0,5 секунды, об этом говорят и экспериментальные данные. Это время реакции нужно умножить на скорость, и только проехав такой путь, мы начнем нажимать на тормоз. Когда мы нажимаем на тормоз, то еще продолжаем двигаться и проезжаем путь, который определяется исходя из трения с дорожным покрытием. Этот путь пропорционален скорости в квадрате, потому что наша кинетическая энергия (mv2/2) компенсируется работой силы трения. И длина тормозного пути, который мы пройдем, пропорциональна квадрату скорости.

Таким образом, у нас есть формула для безопасного расстояния, но это величина, обратная к плотности. Если у нас есть связь скорости и плотности, то это можно называть уравнением состояния. Часто в практике уравнением состояния называют зависимость потока от плотности, а поток — это произведение скорости и плотности. Если известно, что скорость зависит от плотности, а поток — это есть плотность умножить на скорость, значит, величина потока ― это и есть какая-то функция от скорости. Зависимость потока от плотности — это функция, похожая на вогнутую параболу. Одному и тому же значению потока соответствуют два значения плотности и два значения скорости, потому что поток — это есть плотность на скорость.

Мы получаем, что люди, которые хотят в определенном количестве удовлетворять свои потребности (поток — это автомобили в час), ― столько-то автомобилистов хотят добраться до своей цели, то они могут это делать в двух режимах: в режиме с одной плотностью и скоростью и в режиме с другой скоростью и другой плотностью.

Возникает резонный вопрос: а что лучше? Мы разумные люди, для нас очевидно, что лучше режим с большей скоростью. Но в этом «сидит» очень важная идея, которая заключается в том, что если одна и та же величина потока реализуется с одной скоростью и с другой, то надо каким-то образом людей склонять к тому, чтобы система существовала в режиме с большей скоростью. Для этого, например, происходит разрыхление потока за счет светофоров.

Это делается не так уж и сложно, потому что режим с большей скоростью часто бывает устойчив. У него есть свой бассейн притяжения, если мы там оказываемся, то в итоге скатываемся в ситуацию, где реализуем свои потребности в смысле потока просто с этой большей скоростью. Но это интеллектуальная задача, мы должны писать систему уравнений законов сохранения на графе транспортной сети, использовать уравнение состояния, о котором я говорил, и управлять транспортными потоками. Это и есть первая сюжетная линия: как с помощью светофоров пытаться бороться с пробками, то есть сгонять транспортный поток в режим с большей скоростью, потому что одно и то же значение потока реализуется с помощью двух состояний?

Вторая сюжетная линия связана с первой тем, что величины, которые определяют уравнение состояния, определяют время прохождения ребра. То есть это же безопасное расстояние определяет, за какое время мы проходим то или иное ребро графа, то есть просто участок дороги.

Рекомендуем по этой теме:
Теория экономических механизмов
Представим себе такую ситуацию, что теперь известно, сколько, куда хочет людей двигаться, на работу, учебу. И как они будут двигаться? Мы должны решать эту задачу. Как они будут распределяться по сети? То есть цель у них есть. Есть информация, откуда они едут и куда, сколько их. А как они поедут? Возникает популяционная игра загрузки. То есть люди сосуществуют друг с другом и взаимодействуют, каждый старается выбрать для себя кратчайший маршрут. Но проблема в том, что он зависит от того, как остальные поедут, потому что если все поедут по кратчайшему маршруту на свободной дороге, то он уже не будет кратчайшим.

Это игра, потому что много участников движения. И равновесием в этой игре будет равновесие Нэша — Вардропа — такое состояние, когда каждому участнику дорожного движения невыгодно отклоняться. То есть для меня это равновесие, если я буду что-то менять, мне только хуже станет, и так для каждого.

Оказывается, к сожалению, что эти равновесия бывают совершенно неэффективные, неэффективные по Парето. В ряде ситуаций можно предложить, как действовать всем людям: ты так поедешь, ты по-другому, и всем станет лучше. Но так никто не станет делать, потому что люди захотят большего: когда ситуация неравновесная, каждый будет стремиться иметь для себя максимум выгоды, и они уйдут из этого состояния.

Эта известная проблема стояла до 1970-х годов. Решение заключается в том, что надо вводить механизмы управления игрой — платные дороги, за счет правильного взимания платы за проезд, а именно: штрафовать человека на сумму, соразмерную дискомфорту, который он создает остальным.

Когда я являюсь участником движения, из-за меня кто-то чуть медленнее начинает двигаться, и это можно количественно оценить. И механизм Викри ― Кларка ― Гроуса, за который впоследствии дали Нобелевскую премию, заключается в том, что надо всех участников дорожного движения штрафовать ровно настолько, насколько они создают дискомфорт остальным участникам движения. Это можно сделать в современных условиях совершенно простым образом. Человек пользуется мобильными устройствами, у него есть GPS, ГЛОНАСС, известно, где и сколько он проезжал, и можно в конце месяца присылать счет за пользование услугами той или иной дороги. Не обязательно это реализовывать так, как сейчас: монетку класть в момент въезда на дорогу. Можно это делать более хитро.

Утверждение такое, что, оказывается, с помощью механизма платных дорог можно сделать равновесие Нэша (оно может быть совсем неэффективным) таким, что оно будет социальным оптимумом. В этих новых условиях мы, государство, изменяем правила игры. Есть реальные затраты, которые люди несут, просто теряя время. Время — деньги, в среднем три рубля у человека стоит одна минута. Значит, он теряет деньги, потому что тратит свое время. А мы дополнительно к временным затратам штрафуем его деньгами. Грамотно управляя платными дорогами, можно «свалить» систему в социальный оптимум. А социальный оптимум — это когда суммарные временные затраты всех пользователей сети минимальны. Это то, что можно ставить целью центра (государства), который управляет системой. И с точки зрения математики понятно, как это делается, то есть это уже разработанная вещь. Это второй способ борьбы с пробками, но долгосрочный, потому что сюда же могут входить и решения о выделении полос, строительстве дорог.

Первый и второй сюжеты связаны тем, что, когда мы считаем затраты пользователя на пути ― а это то, что используется в расчетах, ― мы используем уравнения состояния.

Рекомендуем по этой теме:
Что такое теория игр?
Третий сюжет заключается в том, что, помимо взимания платы за проезд (это выглядит не очень хорошо, с точки зрения нормальных людей: и так пробки, а еще и деньги за них берут), есть более приятный механизм — улучшать систему общественного транспорта. За счет этого транспортная система города может существенно улучшать свои свойства. Вот мне бы хотелось это пояснить (это и будет последний сюжет).

Оказывается, что большинство городов находится в пробочном режиме, то есть пробки в городах из-за того, что имеет место зависимость среднего времени в пути от загруженности города, точнее, от количества автомобилистов. Зависимость такая, что до определенного момента это практически константа, то есть она ни от чего не зависит: сколько бы людей ни пользовались личным транспортом, дороги спокойно это «переваривают», и все нормально.

Но в какой-то момент начинается очень резкий рост. Это означает, что если человек имеет уровень терпимости к тому, сколько времени он тратит в дороге на личном автомобиле, и этот уровень обычно выше, чем тот, когда город свободен, то он будет покупать автомобиль и пользоваться им в городе. Неизбежно все эти люди будут «доходить» в систему, и они доведут ее до пробок. Если мы построим новые дороги, это просто отложит на какое-то время проблему с пробками. Да, на первых порах все будет хорошо ― дорог много настроили, и новые люди придут в систему и снова приведут ее в заторное состояние.

Порог, который характеризует человека, насколько он готов мириться с пробками на личном автомобиле, завязан на то, насколько комфортно ему ездить на электричке (общественном транспорте), сколько времени это занимает, сколько это стоит, как часто они ходят. Поэтому разумней, чем строить дороги, вложиться в общественный транспорт и улучшить его, сделать его более часто ходящим, комфортнее. Хотя какое-то необходимое количество дорог должно быть.

Большинство крупных городов по всему миру решают проблему пробок за счет платных дорог, за счет хорошей альтернативы в виде общественного транспорта и за счет грамотного управления светофорной сигнализацией. Эти сюжеты, которые я отметил, и есть основные способы борьбы с пробками.