Субботнее: Пять нетривиальных задач по прикладной математике

1. Английский диван в узком коридоре

Приходилось ли вам когда-нибудь двигать мебель? Или хотя бы наблюдать за этим процессом? Ну вот представьте, требуется перенести объект из одной комнаты в другую. Пока ничего сложного: берешь и несешь. Добавим к задаче граничное условие: комнаты соединяет коридор, который состоит из двух частей, пересекающихся под прямым углом. А вишенкой на этом торте будет указание: масштаб выбран так, что коридор имеет единичную ширину, а переместить нужно, например, диван. Описанный сюжет известен в математике как задача о перемещении дивана.

Впервые строго сформулирована она была в 1966 году канадским математиком Лео Мозером, хотя в узких кругах была широко известна и ранее. В 1967 году Халлард Крофт из Кембриджского университета предложил двигать рояль, но термин как-то не прижился, поэтому все продолжили транспортировку дивана. Вопрос, который до сих пор волнует общественность, заключается в том, насколько масштабным может быть этот самый предмет мебели, чтобы укладываться в условие задачи. 

Итак, требуется определить наибольшую площадь жесткого тела, которое можно переместить в Γ-образном коридоре ширины 1. Эту площадь принято называть константой дивана. 

Нетрудно заметить, что в таком коридоре отлично справится с поворотом на 90 градусов минималистичный диван, в проекции дающий половину диска единичного радиуса, поэтому с учетом формулы площади круга получим нижнюю оценку для константы дивана, равную π/2 ≈ 1,57079. Сверху же предел площади установлен на значении 2√2 ≈ 2,8284.

 

Британский математик Джон Хэммерсли в 1968 году улучшил нижнюю оценку, предложив фигуру площадью π/2 + 2/π ≈ 2,2074. Тот самый английский диван в работе ученого из Кембриджа сильнее всего напоминает телефонную трубку — чистый авангард! А в 1992 году Джозеф Гервер из Ратгерского университета (Нью-Джерси, США) поднял нижнюю оценку до значения ≈ 2,2195.

Вычисление точного значения максимально возможной площади фигуры в задаче о перемещении дивана является сегодня открытой проблемой математики, и сюжет ждет новых исследователей.

 

2. Как и чем сверлить квадратные отверстия

Чтобы просверлить круглое отверстие, больших умений не требуется, только прямые руки и хорошее сверло. А вот с квадратным отверстием так просто не получится... Тем не менее, с помощью математических знаний инженерам удалось сконструировать сверло, которое, вращаясь, вырезает почти идеальный квадрат — площадь получаемого отверстия не дотягивает до идеала около 1,2 процента.

Все работает, потому что треугольник Рёло, положенный в основу инструмента, обладает постоянством ширины. Это значит, что если заключить его между парой параллельных касательных, то расстояние между прямыми любой такой пары (ширина фигуры) будет одинаковым вне зависимости от их направления.

 

Аналогично можно сконструировать фигуру постоянной ширины на правильном n-угольнике для любого нечетного числа вершин. Внутри класса объектов фиксированной ширины можно проследить такую иерархию: у всех одинаковый периметр, а площади возрастают от треугольника Рёло до круга. Около любой фигуры постоянной ширины можно описать квадрат со стороной, равной ширине фигуры. Этот факт и позволяет активно использовать такую математику в технике.

Еще более интересная наука начинается, если от фигур постоянной ширины перейти к рассмотрению их пространственных аналогов, с которыми связана нетривиальная задача поиска тела постоянной ширины и минимального объема. Давайте представим себе объект, полученный пересечением четырех одинаковых шаров с центрами в вершинах правильного тетраэдра и радиусом, равным длине его ребра. Такое тело называется тетраэдром Рёло, но в отличие от одноименного треугольника не обладает нужным свойством. Тем не менее, если этот тетраэдр немного «подшлифовать», получится то, что нас интересует — тело постоянной ширины. Нужное преобразование провел швейцарский математик Эрнст Мейсснер. Его результат был представлен широкой общественности в 1911 году в «Каталоге математических моделей» Мартина Шиллинга [Schilling, 1911] под именем «тело Мейсснера». Существуют и другие тела постоянной ширины, самое известное из которых — шар.

На пространственный случай математикам захотелось обобщить и упомянутую выше иерархию площадей, чтобы получить аналогичную градацию объемов в классе тел фиксированной ширины. Максимум закономерно достался шару, а по поводу минимума исследователи пока не договорились. Основная гипотеза принадлежит датчанам: Томми Боннесен и Вернер Фенхель в 1934 году предположили [Bonnesen, Fenchel, 1934], что минимизируют объем среди всех тел заданной постоянной ширины именно тела Мейсснера.

 

3. Проблема универсального покрытия Лебега

Как вы уже поняли, в своих попытках сосредоточиться на серьезных задачах математики иногда не могут удержаться от обсуждения случайных забавных вещей. И вот вам еще один такой сюжет.

Диаметром плоской области, то есть области на плоскости, будем называть наибольшее расстояние между любыми двумя точками этой области. Возьмем для определенности область выпуклую, то есть такую, что вместе с любой парой точек она содержит и весь отрезок, соединяющий их. Зафиксируем произвольную точку на границе нашей области и будем измерять расстояния до других точек — максимум этих расстояний и будет диаметром области. 

Все представляют себе, как выглядит круг диаметра 1. А теперь скажите, чему равен диаметр равностороннего треугольника со стороной длины 1? Он равен единице, максимум достигается для пары точек — вершин треугольника. Кому-то могло показаться, что диаметром будет высота треугольника, но проведя нехитрые вычисления, вы обнаружите, что длина его высоты равна √3/2 ≈ 0,866. Итак, имеем две фигуры диаметра 1, но если подумать, треугольник никак не получится поместить внутрь круга.

В 1914 году французский математик Анри Лебег в письме своему венгеро-датскому коллеге Дьюла Палу сформулировал задачу, которая до сих пор остается открытой: что представляет из себя наименьшая возможная область, которая содержит любое плоское множество диаметра 1?

Конечно, как математик, Лебег выразился более формально. Чтобы охарактеризовать величину заданной области, он использовал значение ее площади. Также ученый зафиксировал, что область содержит множество, если это множество можно поворачивать и параллельно переносить до тех пор, пока оно не окажется в заданной области. 

Итак, добавив математической строгости, мы получим формулировку проблемы универсального покрытия Лебега: какова нижняя граница мер замкнутых множеств S ⊆ R², таких, что любое множество T ⊆ R²диаметра 1 можно поворотами и сдвигами поместить внутрь S? Область, которая справляется с поставленной задачей, называется универсальным покрытием.

 

Вышеупомянутый Пал в 1920 году опубликовал работу [Pál, 1920], в которой представил несколько симпатичных универсальных покрытий, например, правильный шестиугольник, описанный около окружности диаметра 1. Понятно, что в него поместится и правильный треугольник диаметра 1.

Площадь этого шестиугольника равна √3/2 ≈ 0,866. Но оказывается, что можно вполне безнаказанно отрезать два угла этого шестиугольника
и получить универсальное покрытие меньшей площади: 2 − 2/√3 ≈ 0,8453.

Пал полагал, что получил оптимальное решение, но в 1936 году немец Роланд Шпраг из Свободного университета Берлина аккуратно срезал пару кусков с его конструкции и получил универсальное покрытие площади ≈ 0,8441377. И конечно, сразу решил, что этот результат невозможно улучшить. Тем не менее, в 1975 году датчанин Ганзен [Hansen, 1992] отделил от предыдущей фигуры два маленьких угла, уменьшив площадь универсального покрытия на 2 * 6 * 10⁻¹⁸ . В 1992 году он усовершенствовал решение: один из ликвидированных углов уменьшил площадь на 4·10⁻¹¹. В 2015 году Джон Баэз, Карине Багдасарян и Филипп Гиббс показали [Baez et al, 2015], что можно получить фигуру площади не больше 0,8441153. Это наилучшая известная на сегодня верхняя оценка.

Что касается нижней оценки, то на переднем краю обороны в этом вопросе находятся Питер Брасс и Мехрбод Шарифи [Brass, Sharifi, 2005]: с помощью компьютерного анализа они установили нижнюю оценку площади универсального покрытия Лебега на значении 0,832.

 

4. Задача Какейа, или Паркуемся правильно

Об этом сюжете я думаю каждый раз, когда оказываюсь за рулем автомобиля, зажатого парочкой «умников» на парковке. И вот снова и снова в попытках выбраться я решаю так называемую задачу об иголке.

Впервые о ней заговорил японский математик Соичи Какейа в 1917 году. Возможно, он тоже страдал от автолюбителей где-нибудь в Токио, поэтому в один прекрасный момент задумался: а сколько же места реально нужно автомобилю, чтобы развернуться? Но Какейа, как и его коллега Лебег из предыдущего сюжета, был математиком, поэтому облачил эту житейскую мысль в строгую математическую форму.

Так как в большинстве случаев, разворачиваясь, автомобиль двигается вперед или назад, а не боком, его шириной можно пренебречь и рассматривать только длину. Таким образом, можем рассматривать отрезок, который для простоты будет единичной длины. Кроме того,
будем считать, что наше фигурное вождение происходит на плоской парковке, где работают законы евклидовой геометрии. Теперь сформулируем задачу Какейа: какова плоская фигура наименьшей площади, внутри которой можно развернуть на 180 градусов прямолинейный отрезок?

Проще всего разобраться, если искомая фигура выпуклая. Например, единичный отрезок можно развернуть внутри круга радиуса 1/2, закрепив середину. Для этого потребуется площадь S = πR² = π/4 ≈ 0,78537. В реальности произвести такой разворот без привлечения дополнительных устройств едва ли удастся, но любители сложностей могут использовать, например, башенный кран, чтобы приподнять и повернуть автомобиль.

 

Гораздо более реально в практическом плане развернуться внутри равностороннего треугольника. Для единичного отрезка это треугольник с высотой h = 1. Его площадь составляет S = h²/√3 = 1/√3 ≈ 0,57735. Выглядит вроде бы неплохо. А если разворачивается небольшой седан длиной около 4,5 метра, получается уже ≈ 12 квадратных метров. А если корабль... «Титанику» понадобилось бы ≈ 41778 квадратных метров, это около шести футбольных полей. Задачу оптимизации площади такой треугольник, очевидно, не решает.

Так возникает необходимость рассмотреть разворот внутри невыпуклой фигуры. Некоторое время считалось, что наилучшим образом минимизирует площадь фигура, ограниченная дельтоидой.

Но уже в 1928 году русский математик Абрам Безикович опроверг это решение, сообщив [Besicovitch, 1928], что развернуть единичный отрезок можно внутри фигуры сколь угодно малой площади! То есть, представьте себе, при должном мастерстве и огромном желании можно вырулить откуда угодно.

 

5. От Москвы до самых до окраин

В преддверии летних каникул предлагаю вам отправиться на прогулку по городу в поисках элегантной геометрии в архитектуре, тонкой оптимизации в маршрутах или чего-нибудь еще. Вооружитесь картой и камерой и попробуйте обнаружить интересную и неожиданную математику вокруг. А вот вам сюжет для вдохновения. 

В 50-х годах XX века в Москве было закончено строительство знаменитых сталинских высоток — семи многоэтажных зданий, выполненных в стиле «советского ар-деко». По первоначальной задумке авторов проект включал Дворец Советов и восемь зданий, окружающих его. И хотя в итоге строений только семь, своим видом они восхищают жителей и гостей столицы и стабильно фигурируют на фотографиях в социальных сетях. «Семь сестер» — так иногда называют Главное здание МГУ на Воробьевых Горах, дома на Котельнической набережной и Кудринской площади, здания МИД и на Красных Воротах, а также гостиницы «Украина» и «Ленинградская».

Глядя на их расположение на карте, интересно подумать над несложной геометрической задачей: а можно ли было так расположить эти высотки, чтобы расстояния между любыми двумя из них выражались целым числом? Немного подумав, вы легко ответите на этот вопрос: да без проблем! 

Давайте перенесем их все, скажем, на Ленинский проспект и разместим одну за другой на расстоянии километра. Тогда между любыми соседними расстояние будет равно 1 километру, а между любой парой — целому числу километров. Отлично, а теперь наложим на конфигурацию два условия: никакие 3 здания не должны лежать на одной прямой и никакие 4 — на одной окружности. Если такое условие выполняется, говорят, что объекты находятся в общем положении. Как теперь расположить «семь сестер»? Задача перестает быть тривиальной.

 

Добавив вопросу математической строгости, получим следующую формулировку: существует ли на плоскости множество из n точек в общем положении с целочисленными попарными расстояниями? Сюжет этот оказался очень популярным в математическом мире. В 1945 году венгерский математик Пал Эрдёш совместно с канадским коллегой Норманом Эннингом доказал, что множество точек с целыми взаимными расстояниями либо конечно, либо является подмножеством прямой. А вот нелинейное множество с рациональными расстояниями может быть бесконечным. Пример — множество точек единичной окружности вида (cos θ, sin θ), для которых tg(θ/4) ∈ Q .

Исследователей очень интересует, а сколько же все-таки точек в общем положении можно разместить на плоскости так, чтобы расстояния между любой парой выражались целыми числами. Я начала рассуждать, взяв две точки. Совершенно точно, что их можно расположить на целочисленном расстоянии друг от друга, например на расстоянии 1. Для трех точек строится треугольник. Насколько произвольным он может быть? В качестве решения можно выбрать, например, равносторонний треугольник с длиной стороны, равной целому числу. А если захочется чего-нибудь поинтереснее, можно построить прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Осведомленный читатель заметит, что эти числа образуют Пифагорову тройку, то есть удовлетворяют уравнению x² + y² = z². 

Эта тройка не единственная, а значит, можно строить треугольники со сторонами {5, 12, 13}, {8, 15, 17}, {7, 24, 25} и другие. На четырех точках можно построить, например, ромб со стороной 5 и диагоналями 6 и 8. Около него нельзя описать окружность, и взаимные расстояния между любыми двумя вершинами целые. Для пяти точек использую ту же конфигурацию, добавив точку пересечения диагоналей. Полученная
конструкция называется графом Эрдёша-Диофанта.

Расположение шести точек на плоскости было опубликовано в 1988 году профессором Брауншвейгского технического университета Арнфридом Кемницем [Kemnitz, 1988], а лучший результат на сегодня принадлежит немцам Тобиасу Крейзелю и Саше Курцу [15]. В контексте нашей истории их решение позволяет расположить три высотки на Третьем Транспортном кольце в вершинах почти равностороннего треугольника, еще три — примерно на Садовом в вершинах аналогичного треугольника и последнюю — почти в центре всей композиции неподалеку от Храма Христа Спасителя. Кстати, предполагалось, что именно на его месте будет построен Дворец Советов.

Итак, с семью точками разобрались. Теперь интересно понять, а можно ли расположить по тем же правилам восемь точек? А девять? Нужно ли изменить всю имеющуюся конфигурацию или можно переместить только некоторые ее элементы? Этот вопрос открыт с 2008 года. Я не знаю ответа, но уверена, что получится что-то забавное. Подумайте над этой историй, не сидите долго в интернете, а выходите на улицу и ищите новые интересные математические сюжеты вокруг.