Возвращаясь к заданию №2, размещенному в заметке https://aftershock.news/?q=comment/3875772#comment-3875772
Оно интересно не только с математической точки зрения, но и с житейской.
Решение первого уравнения
было найдено довольно быстро.
Но вот решение второго уравнения,
которое (уравнение) аналогично, вызывает некоторое недоумение – ведь получается, что решение Х = SQRT(2), которое является решением 1-го уравнения, также является решением и 2-го. А значит - 2 = 4. Но такого быть не может.
Правда, формально решением 2-го уравнения могут быть значения Х =-SQRT(2) или 2 комплексных числа, а именно, Х = i* SQRT(2) и Х = -i* SQRT(2).Но решение Х =-SQRT(2) не удовлетворяет определению правила возведения действительных чисел в отрицательную степень, возведение комплексного числа в комплексную степень уже на первой итерации дает комплексное число и в дальнейших итерациях ожидать получения действительного числа не приходится.
Так как же сформулировать правильный ответ решения заданию №2, как такового?
Я бы принял такой ответ(без строгого доказательства):
- решение 1-го уравнения - Х = SQRT(2)
- 2-ое уравнение, скорее всего, не имеет решения.
Желающие более подробно ознакомиться с парадоксами, возникающими при решении приведенных уравнений, могут прочитать следующие публикации
https://interactive-plus.ru/e-articles/348/Action348-117454.pdf
http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html
Почему я предложил такое задание и объясняю решение отдельной заметкой?
Потому что подход к решению этого задания напоминает решение некоторых проблем и в повседневной действительности. А именно, вспомнив, как когда-то решалась какая-то проблема, человек предлагает решать ее по аналогии. Правда, забывая проделать анализ всех возможных побочных эффектов и, вообще, забывая показать, что решение этой задачи существует и возможно в данных условиях.
Приведу несколько очевидных примеров.
1. Ведение экономических отношений на основе "золотого стандарта". Почему бы не вернуться к старым добрым временам. Но автор данного решения не задается вопросом - а почему, собственно, отказались от подобного подхода. Я уже не говорю, что автор вообще не приводит ни каких расчетов.
2. Возьмем более глобальные решения, такие как взаимоотношения между государствами. Даже на примерах новейшей истории просматривается бесперспективность силового решения. Подтверждение тому, и Вьетнам 60-х и Афганистан 90-ых с участием СССР и двухтысячных с участием США. Но тем не менее с завидной повторяемостью результатов многие государства вновь и вновь прибегают к подобным авантюрам, надеясь на пресловутый авось.
3.Самым, пожалуй, наглядным примером, предложения решения глобальных проблем человечества без достаточных (а можно сказать вообще без каких либо) обоснований возможности подобных решений, явилась теория Маркса, которая была сначала выдвинута, как чисто теоретическая. Подхватившие ее большевики, не обладая никакими экономическими расчетами будущего таких решений, попытались внедрить ее в жизнь чисто экспериментальным путем. Они даже по ходу эксперимента не выдвигали никакого теоретического анализа.
Лишь на ходу предпринимая авантюрные решения типа коллективизации и уничтожения кулачества как класса или обострения классовой борьбы по мере построения социализма. Или решения продовольственной программы, сначала за счет засева всех полей кукурузой, а при Горбачеве и вообще только за счет принятия Продовольственной программы без какой-либо конкретики.
Апофеозом же явилась "антиалкогольная компания" и "перестройка". И опять все без всякого обоснования. Результат вы, конечно, все хорошо знаете.
Подводя итоги, хочется сказать - каким бы простым не казалось решение проблемы, всегда важно определить:
- действительно ли это решение существует?
- просчитать все последствия предложенного решения, если его реально претворить в жизнь
Комментарии
удовлетворяет определению правила возведения действительных чисел в отрицательную степень, возведение комплексного числа в комплексную степень уже на первой итерации дает комплексное число и в дальнейших итерациях ожидать получения действительного числа не приходится.
что значит "не приходится"? ТБМ. берем ручки, бумажки, и начинаем возводить, аккуратно расписывая получающиеся синусы и косинусы с мнимыми единицами, и убеждаемся, что именно 4, обычная, вещественная, чисто реальная и получается. и таки да, в первой итерации будет комплексное число, и во второй тоже, а в четвертой- неожиданно- будет сюрприз.
Вы в очередной раз подтвердили именно то, о чем я писал. А именно, продемонстрировали намерения, и только
Вы ничего не написали, кроме "берем ручки, бумажки " и не показали, как у вас получается решение
да пожалуйста:
обратите внимание, что результаты получены символьно, это раз, и что вещественное число вылазит уже во второй итерации, хотя и отрицательно, это два. идею решения, практический путь его получения, необходимые для этого условия, конкретные примеры решения с указанием- на каком шаге получается искомая 4 и даже уточнения о неоднозначности способа вычисления этой степенной башни я Вам уже дважды изложил. Если Вы не удосужились даже в маткаде-мапле-вольфраме-октаве или еще какой системе символьных вычислений хотя бы проверить приведенные Вам варианты решения (не говоря уже о бумажке)- то дальнейшую дискуссию за сим считаю бесперспективной.
Ну и почему вы остановились на 4-ой итерации. Давайте дальше. Ведь башня бесконечная
с чего это вы решили, что она- бесконечная? по условию задачи (в той форме, в которой его привел автор исходного треда) это (бесконечность башни) ниоткуда не следует. даже наоборот- судя по всему башня конечная, но вот ее высота- не определена заранее, у него же точечки стоят- а это означает "сколько-то уровней", не бесконечно уровней, а именно "сколько-то". может кстати, и бесконечно быть- бесконечно это тоже "сколько-то". а может быть и два. и ноль. так вот я и говорю- что при x= +-(j)*sqrt(2) уровней башни четыре, и уравнение сходится. да, в исходном скриншоте постановки задачи уже нарисовано _пять_ уровней и несколько точечек, то есть, можно придраться, что уровней не должно быть меньше пяти, ну тогда я где-то тут уже приводил альтернативное решение, для восьмиуровневой башни- (2^0.25)*exp(n*pi/8), n- любое из диапазона n=0..7. всего восемь корней. такое решение полностью удовлетворяет исходной задаче даже с учетом таких нюансов.
и если ТС считает его не верным- да и славно, не всем дается элементарная алгебра.
что касается странностей, что один и тот же корень удовлетворяет сразу двум одинаковым уравнениям с разной правой частью- это софистика и демагогия, в надежде на то, что оппонет не заметит ошибки в рассуждениях. а она есть- этот корень удовлетворяет двум _разным_ уравнениям одного _вида_, две "башни" разной высоты имеют разные правые части при одинаковом параметре x. высота башни- это важный параметр, и именно им эти уравнения отличаются.
и последнее- решение для башни с двойкой в правой части- sqrt(2), удовлетворяет сразу двум башням: p(k+1)=p(k)^x и p(k+1)=x^p(k) p(0)=x. Если расписать эти две последовательности, то формально их вид будет одинаковый- две совершенно одинаковые башни. и это все потому, что x^x^x- неопределенная операция. это может быть x^(x^x), а может быть (x^x)^x. здесь важно, в каком порядке осуществляется возведение в степень. так вот, уравнение p(n)=2 имеет одинаковое решение для обоих случаев. только в одном- такая бесконечная последовательность сходится! к 2, а во втором- такая _конечная_ последовательность имеет двойку каким-то членом ряда. причем, таких "решений" целое семейство! как минимум, корнями будут числа вида 2^(1/2^m). при m=2 восьмым членом последовательности окажется 2, и это удовлетворит исходной постановке задачи. в целом это все- задача уровня городской школьной олимпиады по математике, имхо. немножко фантазии и способности считать чуть дальше своего носа. натягивать этот пример на мировую политику- это видеть немножко ближе своего носа. утверждать, что США сглупили, вторгнувшись во Вьетнам- это вот как "прозевать" альтернативный способ построения башни и профукать семейство корней, упершись в один, самый тривиальный. а побочных корней- _семейство_! бесконечно большое.
Если у вас после 4 шагов получился результат равный 4, то уравнение переписывается в виде : 4 в степени 4 = 4. Поскольку бесконечная башня их степеней х по-прежнему равна 4.
Вы это понимаете
я отлично понимаю, что башня- нифига не обязана быть бесконечной. внимательно посмотрите на постановку задачи, и честно скажите- с чего вы взяли бесконечность башни? потому что Вам так хочется/удобно/кажется/привычно. но в постановке этого требования НЕТ! и я этим фактом пользуюсь, прекрасно все понимая.
Я же вам в личку и еще раз в этой статье дал ссылку на постановку и обсуждение.
Если вы хотите решать задачу в вашей постановке - это ваше право
Но и в первоначальной постановке https://aftershock.news/?q=comment/3875772#comment-3875772 два задания связаны тем, что обсуждаются проблемы бесконечных последовательностей
Зачем вы тратите ваше время на пустые препирательства?
Ваша постановка: Найдите значения Х, которые являются решением следующих уравнений (и картинка). Ваша фантазия- что на картинке изображена бесконечная последовательность. В личке вы давали ссылки на _другие_ постановки, и если Вам кажется, что они одинаковые- то вы заблуждаетесь. Вполне допускаю, что заблуждаетесь добросовестно, но тем не менее. Затем, Вы мне возразили, что якобы найденное мной решение не удовлетворяет каким-то там Вашим "ожиданиям". спасибо, поржал, но "ожидания" это не аргумент, аргумент рассчеты, а они в данном случае элементарны, и я их Вам даже привел, из маткада, но возражений по поводу ущербности такого способа доказательств не было, хотя изначально я считал на бумажке, немножко писанины на ночь было забавно. А вот затем Вы позволили себе философские нравоучения про "невозможность просчитать последствия действий в реальном мире" на том основании, что как Вам показалось, приведенная Вам задача всем решается неправильно. я поржал еще раз и разложил Вам по пунктам- где и как Вы ошиблись в постановке, где ошиблись в решении и как выглядит нормальное решение этой задачи, с учетом всех неоднозначностей в ее постановке (а их там две, напомню). у меня выходной, мне прикольно тратить время на детскую гимнастику. забавляет.
ряд скачет как гавно в проруби - ничего нельзя сказать однозначно о его поведении...
ряд не скачет как в проруби, ряд расходится! для любого большого eps есть такое n, что а(n)>eps.
и еще хуже, берем j*sqrt(sqrt(2))- еще больше ручек, толстую пачку бумажки, возводим-возводим-возводим и бинго- опять на какой-то из итераций снова получим вещественную реальную четверку.
ее не приходится ожидать, она сама появляется ровно в назначенное время. и все это по той причине, что эта ваша "пауэр-тауэр" может быть вычислена двумя различными способами, а ваши точечки- они показывают, что высота этой таверы может быть любой- как бесконечной, так и конечной. и я вам даже указал, при каких высотах этой башни и при каких порядках вычисления уравнение с четверкой в правой части имеет решение. указал одно, специально "неудобное". мог бы указать и все семейство, но это неудобно набирать в текущем редакторе комментариев. а вы вдруг так все опошлили фразой "не приходится ожидать". да еще и привели ссылку на статьи, где какие-то студенты для проверки сходимости числовых рядов пользуют приближенные вычисления, даже не понимая того, что они используют приближенные вычисления. слов нет, одни эмоции.
А как долго считать?) До какой глубины просчитывать?)
Задача трёх тел уже решена? Так какого лешего мы пользуемся этими чертовеми формулами? ))
И откуда эти константы?)
Проблема в том, что просчитать что-бы то нибыло наперёд нельзя... по крайней мере, далеко вперёд, или для случая большого числа участников. Также не стоит забывать, что соц. науки ещё и работают с тем, что меняется, да и ещё меняется от того, какие они выводы сделают из наблюдений.
Решение из семейства, не зафиксировав... мля
дь
Хм..
А кто сказал ТСу, что реальные цели ввода войск (и боевые действия) и публично объявленные совпадают? Не нужно путать пиар и геополитику..
неужели бумаги больше чем золота?
да не, бред.