Вход на сайт

МЕДИАМЕТРИКА

Облако тегов

На плечах гигантов

Аватар пользователя bom100

Абелевская премия этого года была присуждена профессору Оксфордского университета сэру Эндрю Уайлсу (Sir Andrew John Wiles) за “его поразительное доказательство последней теоремы Ферма посредством гипотезы о модулярности для полустабильных эллиптических кривых, открывающее новую эпоху в теории чисел" (for his stunning proof of Fermat’s Last Theorem by way of the modularity conjecture for semistable elliptic curves, opening a new era in number theory).

 

О том, как математики продвигались к доказательству теоремы Ферма и самом лауреате премии рассказывает Михаил Анатольевич Цфасман.

Как бы Вы прокомментировали Абелевскую премию 2016 года – был ли лауреат для Вас сюрпризом? И как бы Вы оценили его научный вклад?

Эндрю Уайлс (Andrew J. Wiles) – очень известный математик. Даже, если забыть о том, что он доказал теорему Ферма, он все равно является одним из лучших математиков мира. Хотя если бы он теорему Ферма не доказал, то, наверное, премию не получил бы. Но и без нее он сделал много всего интересного.

Давайте расскажу о его главном результате – теореме Ферма. Ее история такова. Древние египтяне уже отлично знали, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный. 32 + 42 = 52. Бывают и другие прямоугольные треугольники с целыми сторонами. Их использовали и в Вавилоне, и в Египте, и в Греции, много где.

Диофант Александрийский (видимо, III в. н.э.) сумел перечислить все такие треугольники – все решения уравнения х2 + y2 = z2 в целых положительных числах. Неизвестно, было ли это его результатом, потому что в то время ссылаться на работы коллег было не принято. Но, судя по тому, сколько сил в своем трактате он посвятил подобным методам, думаю, что его.

И этот трактат три с половиной века назад читал французский нотариус и замечательный математик Пьер де Ферма (Pierre de Fermat, 1601 – 1665). Он был математиком профессионального уровня, хотя математикой занимался для своего удовольствия. Впрочем, как и все мы. И на полях трактата «Арифметика» Диофанта в 1637 году он написал:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

(Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.)

После этого очень многие математики мира пытались эту задачу решить. Задача такого рода в математике далеко не одна. Часто бывает, что просто формулируемый результат вдруг «почему-то» не доказывается, и это превращается в проблему, решение которой есть великий спортивный результат, над которым бьются многие математики, особенно те, которые любят именно такие отмеченные «спортивные» результаты.

Судьба теоремы Ферма резко отличается от судьбы других задач такого рода. Бывает очень много таких задач, красиво и просто формулируемых, и при этом очень трудных.

Над ними математики много думают и очень довольны, когда решат. Но про многие из них, после того, как они решаются, человечество может сразу забыть. Просто потому, что их решили – решение может быть очень трудным, – но умнее от этого мы не стали.

Судьба теоремы Ферма – другая. В XIX веке немецкий математик Эрнст Куммер (Ernst Eduard Kummer) доказал ее еще раз. При этом он придумал, как говорит Ферма, «замечательное доказательство», у которого был один недостаток: доказательство оказалось неверным, что он сам вскоре и заметил. При этом он получил множество интересных результатов, которые были отмечены Большим призом Парижской академии наук в 1837 году. Вся современная алгебраическая теория чисел возникла из этой работы Куммера. Это было первое достижение, которым мы обязаны ошибке Ферма.

Я знаю еще несколько таких же прекрасных задач, решенных и нерешенных – такова и проблема Пуанкаре, и гипотеза Римана.

Доказал ли Ферма эту теорему?

Никто не знает, было ли у Ферма доказательство, но, если бы меня спросили, что я думаю, то я думаю, что Ферма имел в виду то же самое доказательство, что и Куммер, но не заметил неоднозначности разложения, так же, как и Куммер не заметил этого в первой своей работе.

Имеется в виду следующее: если вы возьмете целые числа, то есть такая замечательная теорема, что целое число разлагается на произведение простых чисел однозначным образом с точностью до перестановки. Про целые числа более сложной природы, так называемые алгебраические целые числа, это оказалось неверным. Если бы это было верным, то теорема Ферма доказывалась бы так, как ее доказывал Куммер.

После этого ее доказывало бесконечное количество «ферматистов», математиков-любителей, тем более, что за нее была обещана большая премия. Но ни в одном из их доказательств не было ничего, что бы продвинуло науку дальше. И доказывали профессионалы, которые достигли довольно многого, и на пути к этому многому наука довольно сильно развивалась. И им удалось доказать, что таких решений нет для кубов, биквадратов, и очень многих других показателей степени, но все-таки не для всех.

А дальше наступила последняя четверть XX века, эту историю я наблюдал уже собственными глазами, когда к теореме Ферма появился совсем новый подход. Дело вот в чем. Возьмем то уравнение, с которого мы начинали: х2 + y2 = z2. И поделим на z2. Мы получим, что сумма квадратов уже рациональных чисел равна единице.

Теперь, будучи вооружены достижениями Декарта и Ньютона, мы можем сказать, что это – окружность на плоскости. И давайте теперь посмотрим, как точки с рациональными координатами лежат на этой окружности. То же самое про более высокие степени – это, конечно, не окружность, но это – некоторая кривая на плоскости.

Нам нужно доказать, что у этой кривой нет точек. И здесь есть закавыка. Она такова: про целый ряд кривых мы умеем доказывать, что на них нет рациональных точек. И даже для некоторых бесконечных серий кривых – что ни на одной из них нет рациональных точек. Но я вас обманул: нам надо доказать гораздо более трудную вещь.

Дело в том, что всегда есть решения, при которых х = 0, у = 0 или z = 0. Этих решений конечное число. И нам надо доказать, что это число фиксированное. В зависимости от того, как мы ставим задачу, можно сказать, что их две, три, или четыре. Но в любой постановке задачи это – строго определенное число. Мне приятно сказать, что их три, включая одну на бесконечности. И нам про целую серию кривых растущей степени нужно доказать, что на каждой из них имеется ровно три точки с рациональными координатами.

Эта задача бесконечно трудная. Я просто не знаю аналогов, когда бы мы умели что-то похожее доказывать. И тут есть замечательное наблюдение, которое принадлежит французскому ученому Иву Эллегуаркху (Yves Hellegouarc’h – это не опечатка, а бретонская фамилия). И он сделал следующее: предположил, что решение у этого уравнения есть, и по каждому решению построил некоторый специальный геометрический объект, так называемую эллиптическую кривую.

Грубо говоря, это – кривая с уравнением y2 равно кубическому многочлену от x, коэффициенты которого зависят от выбранного решения уравнения Ферма. И оказалось, что, если это такая специальная кривая, построенная по решению уравнения Ферма, то у нее совершенно неправдоподобные свойства. Неправдоподобные они для алгебраических геометров, для специалистов по теории чисел, которые занимались конкретно эллиптическими кривыми. Неправдоподобие просто бросается в глаза. И для того, чтобы доказать великую теорему Ферма, достаточно доказать, что таких кривых не существует.

Так мы ушли от проблемы, что «чего-то ровно три» к гораздо более простой проблеме, что «чего-то просто не бывает». Таких примеров в математике мы знаем очень много. И после этого можно идти дальше.

Чтобы доказать, что таких кривых не бывает, пришлось привлечь теорию представлений. Теория представлений – это наука, очень сильно развившаяся в середине XX века, в Москве ее выдающимся представителем был Израиль Моисеевич Гельфанд. Занимается она примерно следующим: у вас есть целые числа, их можно складывать. А теперь представьте себе клетчатую бумагу и, если я дам вам целое число m, то эту клетчатую бумагу можно сдвинуть на m клеток вправо.

У математиков это называется так: группа целых чисел действует на клетчатой бумаге сдвигами. Группа – это объект, где можно складывать или умножать числа, в зависимости от того, как вам удобнее эту операцию называть. Теория представлений групп, в первую очередь – теория представлений элементов группы движениями в многомерных пространствах – это такая замечательная наука, которая используется и для математического анализа, и для алгебры, и для геометрии – в массе математических задач, и очень хорошо развита.

И вот, чтобы доказать, что этих странных эллиптических кривых не существует, оказалось достаточным доказать, что не существует представлений с целым рядом свойств, которые нам тоже кажутся настолько странными, что такого не должно быть. Дальше в игру включились модулярные кривые. Это кривые, которые в какой-то степени параметризуют множества других кривых, то есть, когда вы двигаетесь по модулярной кривой, то каждая ее точка соответствует этим самым эллиптическим кривым, о которых мы говорили раньше. А по модулярным кривым уже строятся представления. И нам надо доказывать, что этих представлений не бывает.

Это связано с именами других замечательных математиков: немца Герхарда Фрая (Gerhard Frey) и, может быть, лучшего математика XX века, который жив до сих пор, в этом году ему 90 лет – это француз Жан-Пьер Серр (Jean-Pierre Serre). В их работах наука пошла сильно дальше и свелась к некоей алгебраической задаче, точнее говоря, к доказательству пары гипотез.

Одну из них доказал американский математик Кен Рибет (Ken Ribet). После этого осталось доказать так называемую гипотезу о модулярности, она же гипотеза Шимуры-Таниямы-Вейля (Шимура и Танияма – японцы, а Андре Вейль (André Weil) – великий французский математик). Гипотеза эта гласит, грубо говоря, что любая эллиптическая кривая накрывается модулярной, т.е. что точки этой кривой соответствуют наборам других эллиптических кривых.

Как раз эту задачу, очень трудную, Эндрю Уайлс решил к лету 1993 года в частном случае, достаточном для теоремы Ферма. Внимательный рецензент задал много уточняющих вопросов, и, отвечая на них сам Уайлс довольно быстро нашел в этом первом доказательстве ошибку. После этого он год бился и когда уже решил, что ничего не получается, 19 сентября 1994 года к нему пришло прозрение. И, после этого, как говорят математики, на эту ошибку «была наложена заплата», написанная Уайлсом в соавторстве с его бывшим студентом Ричардом Тейлором (Richard Taylor). Статья была опубликована в мае 1995 года и на этом история теоремы Ферма была завершена, мы получили ее законченное доказательство.

Еще раз повторю, что на пути этого доказательства математики придумали массу всего интересного, что имеет цену вне великой теоремы Ферма. И, тем самым, этой теореме мы можем поставить памятник как мощному двигателю прогресса в математике. Эндрю Уайлс поставил точку в этой работе, которая заняла лет 150 или 350 с лишним, смотря как посчитать, но все равно немало, и поэтому все математики знают его имя.

Дальше – самую крупную на тот момент математическую награду – медаль Филдса (Филдсовскую премию) – Уайлсу не дали, так как ее дают до 40 лет, а когда он доказал теорему ему был уже 41 год (математик родился 11 апреля 1953 года). Вместо нее Международный математический союз в 1998 году ему вручил специальную премию математического конгресса. И, когда в 2001 году была учреждена Абелевская премия, он стал одним из естественных кандидатов. Но, поскольку математики не очень смотрят на спортивные достижения, до него ее получили многие люди, вклад которых в математику, по мнению жюри, был более значительным, хотя и не так видим со стороны. Кстати, первым лауреатом этой премии был Серр, который много вложил в доказательство теоремы Ферма.

Теперь расскажу про Уайлса другую вещь. Сегодня – как в России, так и на Западе – всё больше любят измерять уровень ученого по количеству его публикаций и по количеству цитирований. Здесь Уайлс замечателен тем, что доказательство теоремы Ферма было его двенадцатой опубликованной работой, если мне не изменяет память. При этом специалистам он уже был известен как совершенно замечательный математик, но этих специалистов было немного, соответственно и цитирований тоже было очень мало.

Вообще, 40 лет – это возраст, когда математика обычно или уже знают, или его уже и потом не знают. И есть люди, которые к 40 годам являются авторами сотни работ. Уайлс их написал десяток, но зато прекрасных. И увенчал таким замечательным результатом, как великая теорема Ферма. Все его работы, о которых я знаю, были примерно в одной и той же области.

Стоит отметить, что у него не было специальной цели – доказать теорему Ферма – до появления работ предшественников: Эллегуаркха, Серра,  Фрая и других. После этого Уайлс делал еще работы, они тоже были весьма хороши, но запомнился он всем доказательством великой теоремы Ферма.

Скажите, как ведется экспертиза доказательств? Насколько есть уверенность, что именно это доказательство сделано без ошибок?

Уверенность есть полная. Экспертиза ведется таким образом: сперва математик пишет текст. Как сказал один мой друг: «текст мы пишем не для того, чтобы другие читали, потому что, скорее всего, никто его читать не будет, а для того, чтобы убедиться в том, что то, о чем мы думаем, действительно соответствует действительности». Текст этот должен быть не только правильным, но и понятным и хорошо написанным. Иначе в нем закопаешься и понять ничего не сможешь.

Математические тексты читаются с большим трудом, прочесть чужую работу внимательно – это, конечно, не так трудно, как написать свою, но требует порой ненамного меньше усилий. Если результат неинтересный, то обычно статью никто не читает, и есть ли там ошибка или нет – этого никто не знает. Чем интереснее результат, тем большее количество специалистов читает статью. Просто читать скучно, поэтому они не просто читают, а выводят оттуда какие-то дополнительные следствия или гипотезы, либо упрощают доказательство.

В данном случае доказательство сложное и очень длинное, и довольно много людей работало над тем, чтобы сделать его более понятным и более доступным и, по возможности, короче. Первое время люди не знают – вдруг где-то кроется ошибка, хотя все вроде бы и верно. Такая история была с первым вариантом текста Уайлса.

Чаще бывает не явная ошибка, а какое-то место, которое не до конца понятно. И тут просят либо автора, либо других специалистов – как они его понимают? Можно ли его доказать другим образом, описать более подробно? И через какое-то время появляется текст, который специалистов удовлетворяет.

После этого, если этот текст читают в третий-пятый-десятый раз, мелкую ошибку там найти просто, потому что нет таких математических текстов, которые бы ни содержали ошибок. Но это ошибка, которая не влияет на верность доказательства, профессионал исправит её немедленно, в крайнем случае за несколько часов. Так устроены сегодня доказательства в математике.

Поэтому, если вы меня спросите, возможно ли, что в доказательстве Уайлса есть ошибка, которая делает это доказательство неверным, и которую еще не нашли, то я вам отвечу: возможно.

Точно так же, как с любым из читателей этого текста может произойти туннельный переход, и он окажется этажом выше, если все молекулы в его теле вдруг неожиданно «рванут» в одну сторону, вероятность чего не нулевая, но в жизни мы таких вещей не наблюдаем.

В других науках, например, в теоретической физике, критерием истинности является, с одной стороны, соответствие теории эксперименту, а с другой стороны, как ни странно, красота этой теории. Если выполнено и то, и другое, то мы довольны. Так же и тут – если доказательство логично и красиво, а теория, которая за ним стоит, способна развиваться и далее, то какие-то элементы этого доказательства все равно надо проверять, внимательно, но они синтонны другим математическим результатам, поэтому их справедливость видна.

И хотя линия рассуждения Уайлса технически сложна, но она, с одной стороны, очень красива, а с другой стороны – идейно очень ясна. На пути надо преодолевать технические трудности, и в них, и в «сырых» работах, еще не до конца прописанных, бывают ошибки.

Но доказательство Уайлса очень многие люди читали и проверяли, и ошибок там нет.

А вы сами не пробовали эту теорему доказать? Или кто-то из коллег в России?

Я думаю, что многие мои коллеги в России на эту тему думали. Честно говоря, сам я думал не сильно. В студенческие годы я на эту тему немного думал, когда изучал теорию чисел, но мысли, что я сейчас возьму и ее докажу, не было. Думаю, что все, кто более или менее занимался алгебраической геометрией или теорией чисел, в какой-то степени думали на близкие темы. А дальше все уже зависит от амбициозности человека.

С большей вероятностью математик будет пытаться доказать какую-то великую проблему древности, если он очень амбициозен, но тогда и с большей вероятностью, если у него ничего не получилось, он никому об этом не расскажет. Но, если вопрос будет задан шире, если мы будем говорить не только про проблему Ферма, но и про всю эту область – безусловно, наши ученые внесли в эту область большой вклад.

Тут можно отметить совершенно блестящие работы многих представителей московской школы моего учителя Юрия Ивановича Манина и его учителя Игоря Ростиславовича Шафаревича.  Но если посмотреть сами работы Вайлса по теореме Ферма, то единственные представители нашей математической школы, на которых он ссылается, это Владимир Гершонович Дринфельд и Виктор Александрович Колывагин, оба ученики Манина.

Я читала, что Уайлс скрывал от коллег, что он занимается теоремой Ферма, потому что не хотел осуждения? Не знаю, правда или нет.

Это скорее, правда. Но он скрывал не потому, что хотел доказать сам и боялся, что ее докажут другие, а скрывал потому, что это – такая слабость математика, сразу возникает чувство, что «вместо того, чтобы делом заниматься, он славы ищет». Но думаю, что он серьезно стал этим заниматься, когда оказалось, что эта задача целиком легла в его область и в какой-то степени стала доступнее, что стало возможно что-то сделать в направлении этой задачи.

И тут замечательно вот что: когда он ее доказал, он выступил с серией лекций в Кембридже, куда позвали лучших специалистов в этой области. В названии этой серии лекций «Эллиптические кривые и представления Галуа» про теорему Ферма ничего не говорится.

Поскольку я на этой конференции не был, я не знаю, были ли там те, кто с самого начала догадывался, что все, что рассказывается, в итоге приведет к доказательству великой теоремы. Может быть, кто-то и подозревал. Но я бы по названию и по резюме не догадался, что речь идет о теореме Ферма.

Когда текст Уайлса «доехал» до Москвы и его начали разбирать, я как-то сразу поверил, что он на верном пути, и это и есть то доказательство, которое многое лет искали. Я думаю, что это верно и про самого Уайлса и про тех, кто его слушал на той конференции. При этом надо предупредить слушателей/читателей, что, если вы интересуетесь, что и в каком порядке было в продвижении к доказательству теоремы Ферма, не полагайтесь на мою память. Надо читать исходные статьи и работы историков науки.

Можно ли сказать, что в этой истории нет никакой этической проблемы, как в истории с Перельманом, когда он был искренно оскорблен, что китайцы пытались оспорить его приоритет? В данном случае никто не оспаривал то, что Уайлс – именно тот человек, который доказал теорему?

Да я и про китайцев от вас слышу в первый раз. В данном случае единственная моральная проблема, которая есть, выглядит так: Уайлс известен как человек, который доказал теорему Ферма. На самом деле, ее доказал не только он. Её доказала большая группа математиков, которые в течение многих лет работали и все сильнее приближали нас к доказательству. Уайлс водрузил шпиль на ту башню, которая была построена усилиями многих строителей. Но при этом именно ему мы отдаем авторство, потому что установка шпиля оказалась очень трудной задачей. Это не то, что человек пришел, дождался момента, когда всё будет готово и положил последний кирпич. Он, действительно, многое сделал сам.

«Мы стоим на плечах гигантов». Получается, что гигант стоял на плечах гигантов?

Как сказал один мой друг: «мы за свою жизнь как максимум можем надеяться на то, что в великую башню науки вложим один кирпич». Вот, каждый вложил по кирпичу – и потихоньку всё выстроилось.

Ожидаете ли вы каких-то интересных продвижений в этой области?

Безусловно. Более того, эти продвижения уже происходят. Можно рассказать про один аспект, который формулируется довольно просто. Математики задаются вопросом: было уравнение xn + yn = zn. Все три показателя степени – одно и то же целое число n. А если эти числа разные, что мы можем сказать по поводу такого уравнения? Бывают у него решения или нет? Можно ли доказать отсутствие решений теми же методами, которыми привели математиков к доказательству теоремы Ферма? Это одно направление исследований.

Другое направление исследований взялось из того, что не существует эллиптических кривых с такими удивительными свойствами. Так оказалось, что для того, чтобы это доказать, достаточно заметить, что некоторые, совершенно другие задачи, не имеют решений в целых числах. Я все время сильно огрубляю, но в целом всё это так.

И возникли разнообразные гипотезы. Одна из них называется «АBС-гипотеза». Если бы её удалось доказать, то из неё следовала бы и теорема Ферма, в том числе. Многие работали над «АВС-гипотезой», в том числе японский математик Мочизуки (Shinichi Mochizuki), который анонсировал доказательство. Это доказательство является плодом некоторой большой теории, которую он же и развил, и которую, кроме него, мало, кто понимает. Про это доказательство я бы сказал, что на сегодняшний день оно до конца не проверено. Я знаю людей очень хорошего математического уровня, которые уверяют, что там все в порядке, но у меня самого есть большие сомнения, потому что сами по себе работы написаны так, что понять их крайне затруднительно. И математическому сообществу еще предстоит над этим работать. Но, кроме того, сама область стала гораздо шире этих задач, она отлично развивается и дальше.

Правильно ли я понимаю, что не стоит ожидать, что появится доказательство «на пальцах» этой теоремы Ферма? Что простого доказательства получить не удастся?

Я думаю, что доказательство «на пальцах», которое было бы понятно нематематику или студенту 1-2 курса, не появится. Тем не менее, я думаю, что с годами-десятилетиями доказательство Уайлса будет упрощено настолько, что можно будет прочесть курс для пятикурсников, специализирующихся на теории чисел, в котором можно будет за один семестровый курс с начала и до конца эту теорему доказать. Сегодня такие курсы по всему миру читаются, но читаются они с большими «лакунами», там в середине приходится во многое верить. Думаю, что потихоньку доказательство будет упрощаться.

Но главное упрощение, я думаю, будет идейным. В какой-то момент эти основные идеи станут для математиков настолько естественными, что они с юных лет будут их выучивать, после чего доказательство будет всем понятно. Но теорема Ферма останется прекрасным примером такой задачи, которая формулируется очень просто, но ее доказательство требует весьма тонкой и сложной математики.

А можно определить, сколько людей сейчас понимают доказательство теоремы Ферма? 10? 20? 100 человек?

Я бы сказал так: человек 50-100 знают его со всеми деталями. И порядка 1000 человек, к которым отношу себя и я, понимают основную линию рассуждений и основные идеи, которые лежат в основе этого доказательства. Но, может быть, я ошибаюсь раз в 10. Может быть, гораздо больше людей уже успели выучить все детали. Может быть, десять тысяч математиков ее примерно понимают. Такие оценки давать всегда довольно трудно.

Стоит ли ожидать визита Эндрю Уайлса в Россию с семинаром, или лекцией?

Трудно ответить. Дело в том, что я с ним лично не знаком, я не очень понимаю, насколько он много ездит, насколько он любит выступать перед публикой. Но, зная психологию математиков вообще, могу предположить, что, если он когда-нибудь приедет в Россию, он будет читать лекцию не по доказательству теоремы Ферма, а по тому, над чем он в данный момент работает, и что ему в этот момент более интересно.

 

http://polit.ru/article/2016/05/14/tsfasman_about_wiles/

Фонд поддержки авторов AfterShock

Комментарии

Аватар пользователя Fanatic
Fanatic(3 года 8 месяцев)(09:23:37 / 18-05-2016)

Ща прилетит наш волшебник и станет горевать как мы вдвоём перерабатываем на ресурсе :)

Аватар пользователя sapphir1970
sapphir1970(5 лет 9 месяцев)(10:29:45 / 18-05-2016)

А так-ли сложна математика, как нам пытаются преподносить? Х`арийская арифметика утверждает, что все гораздо проще!

Аватар пользователя NOT
NOT(5 лет 11 месяцев)(10:36:28 / 18-05-2016)

Большое спасибо. Прочёл с огромнейшим интересом и удовольствием.

Аватар пользователя bom100
bom100(5 лет 10 месяцев)(10:38:57 / 18-05-2016)

Вам спасибо :-) ..

Аватар пользователя NOT
NOT(5 лет 11 месяцев)(10:51:37 / 18-05-2016)

:-)

Аватар пользователя codeGray
codeGray(2 года 1 месяц)(21:04:08 / 18-05-2016)

Большое спасибо и от меня - мне даже кажется я понял канву доказательства ))

Комментарий администрации:  
*** Уличен в манипуляциях ***

Лидеры обсуждений

за 4 часаза суткиза неделю

Лидеры просмотров

за неделюза месяцза год

СМИ

Загрузка...