Вход на сайт

МЕДИАМЕТРИКА

Облако тегов

Связь экономики и физики: Аналогии между экономикой и статистической физикой

Аватар пользователя Igor Tsarev

Данная заметка является продолжением публикаций: Аналогии экономики с термодинамикой и механикой

                                                                                           Метод научного познания 

                                                                                           Аналогии между механикой и микроэкономикой

                                                                                 Аналогии между поведением цен на рынке и теорией колебаний

                                                                                                 Аналогии между механикой, термодинамикой и макроэкономикой

Эти публикации являются популярным изложением книги: И.Г.Царев Математика и физика для экономистов.

В данной заметке описывается тот редчайший случай, когда автор этих строк смог не только построить математическую модель, которая отражает распределение дохода в экономической системе, но и получил аналитическое решение (!) задачи. Также автор отыскал реальные статистические данные, которые удовлетворительно описываются данной моделью, и тем самым подтверждают её – т.е. провел «эксперимент» и подтвердил свою гипотезу.

В классической термодинамике и статистической физике задача прямого (что называется, в лоб) интегрирования Гамильтоновых уравнений движения при наличии огромного числа частиц представлялась физикам непосильной. Но именно наличие огромного числа однородных частиц позволило им подойти к решению задачи с другой стороны. Вместо одной динамической системы с огромным числом координат, которая движется по очень сложной и запутанной траектории фазового пространства, физики решили рассмотреть не последовательность, а совокупность точек фазовой траектории. Вместо задачи рассмотреть последовательность состояний одной системы при изменении её конфигураций и скоростей была поставлена задача рассмотреть одновременно все возможные состояния системы при  различных конфигурациях и скоростях. Таким образом, вместо последовательности точек на одной запутанной фазовой кривой было рассмотрено «облако» точек в фазовом пространстве. При этом требовалось определить, как это огромное число систем одинаковой природы «распределено» между различными возможными конфигурациями и скоростями.

Такую воображаемую совокупность однородных систем Гиббс и Эйнштейн назвали «представляющим ансамблем системы», а такую «трансформацию» динамической системы – статистической системой. Распределение по числу систем, заключенных внутри определенных малых границ конфигураций и скоростей, является вероятностью различных состояний статистической системы.

Свойства этой функции распределения ρ согласно теории вероятностей, должны отвечать условию нормировки:

а малые границы конфигураций и скоростей называются бесконечно малым элементом фазового объема:

Распределение по энергиям называется «распределением Гиббса»:

где A – нормирующий множитель, E – энергия системы, k – постоянная Больцмана, T – температура.

В этом случае dV = dE.

Перейдем теперь к экономической системе и, как это принято при построении моделей, выделим некие «важные» свойства системы, а остальные «несущественные» опустим.

Предположим, что существует равновесное распределение дохода между экономическими субъектами. Сформулируем эту задачу таким образом, чтобы определить, как устанавливается это равновесие за счёт конкуренции между экономическими субъектами, и отбросим дополнительные факторы: изменение размера экономической системы от времени и роль государства в принудительном перераспределении дохода:

1. Будем считать, что величина совокупного дохода меняется значительно медленнее, чем происходит распределение этого дохода между экономическими субъектами. Другими словами, распределение дохода между субъектами (т.е. установление равновесия) происходит значительно быстрее, чем общий рост или спад производства, которые зависят от количества экономических субъектов и величины совокупного дохода. В этом случае величина совокупного дохода может считаться постоянной.

2. Будем искать распределение дохода между субъектами в отсутствии налоговой политики, которая предусматривает принудительное изъятие части дохода, и социальной политики, которая предусматривает адресное распределение части изъятого дохода. Грубо говоря мы рассматриваем систему «дикой конкуренции», но «без государства, очень крупных транснациональных корпораций, масонов, рептилоидов и т.д.». Если мы получим функцию равновесного распределения без учета указанных воздействий, то в дальнейшем мы попробуем сделать определенные выводы, как это воздействие должно влиять на смещение равновесия.

3. Если доход экономического субъекта становиться равен нулю, то субъект умирает (разоряется). При этом предполагается, что даже маргинальные элементы получают доход, который полностью уходит на покрытие их издержек.

При этих допущениях мы можем представить экономическую систему как совокупность экономических субъектов, состояние которых определяется уровнем их дохода. Согласно таблице аналогий между термодинамикой и экономикой доход системы интерпретирован как внутренняя энергия. Тогда выручка (доход) TR одного экономического субъекта можно интерпретировать как энергию его состояния E. Следовательно, функция распределения экономических субъектов по величине их дохода будет аналогична функции распределения Гиббса.

В этом случае вероятность P того, что значение дохода при измерении попадет в интервал от нуля до определенной величины TR, определяется уравнением

Откуда

Доля дохода, входящая в этот интервал, соответственно равна

Доказательство

Вероятность P эквивалентна доле граждан, располагающих соответствующей долей дохода D. Полученная зависимость для доли D при построении дает так называемую «кривую Лоренца», которая демонстрирует неравенство в распределении доходов.

Когда рассматривается интервал ΔP = P­­P­, доля дохода определяется как разница ΔD = D­­D­.

На рисунке изображена теоретическая кривая Лоренца, а также кривая Лоренца для России (2002), Японии (1994) и Бразилии (1994):

Очевидно, если бы распределение доходов было абсолютно равномерным, то точки кривой Лоренца лежали бы на биссектрисе. Смещение этой кривой вправо-вниз свидетельствует об усилении неравномерности распределения. В результате площадь фигуры, ограниченной с одной стороны биссектрисой, а с другой стороны – кривой Лоренца, увеличивается. Отношение площадей этой фигуры и треугольника, образованного биссектрисой и осями (D и P), называется «коэффициент Джини» J.

При абсолютно равномерном распределении доходов кривая Лоренца сливается с биссектриссой и коэффициент Джини будет равен нулю. Максимальная площадь фигуры между биссектриссой и кривой Лоренца может достигать площади треугольника, в этом случае коэффициент Джини будет равен единице, что будет означать абсолютное неравенство в распределении доходов – все доходы достаются самому богатому человеку.

Исходя из полученного уравнения мы можем вычислить равновесный коэффициент Джини, который оказывается равным 0,5.

Доказательство

Если государство не проводит активной социальной политики, то распределение совокупного дохода будет близко к равновесному, а если элита общества при помощи государства использует власть для перераспределения доходов в свою пользу либо, наоборот, в пользу малоимущих слоев населения, то распределение может смещаться в ту или иную сторону.

Однако, любое отклонение от этого равновесия может быть только искусственно вызванным и неоптимальным с точки зрения принципа наименьшего действия. Промежуток времени, в течение которого должен обязательно произойти переход к статистическому равновесию, называют временем релаксации.

Из рисунка видно, что в России (2002) распределение доходов было близко к равновесному, в Японии (1994) --- смещено в пользу бедных (в сторону более равномерного распределения), а в Бразилии (1994) --- в пользу богатых (более неравномерно).

Близкое к равновесному распределение доходов наблюдалось, кроме России, например, в Малайзии, Перу и Киргизской республике, смещённое в пользу бедных J = 0,2-0,3 – в некоторых европейских странах, и смещённое в пользу богатых J = 0,6-0,7 – в Уганде, Боливии и Гондурасе.

Для демонстрации того, что уравнение J = 0,5 является равновесным, отклонение экономической системы от указанного распределения дохода является искусственно вызванным, и система всегда пытается вернуться к равновесию, проследим распределение совокупного дохода населения России в течение 34 лет. Значения коэффициента Джини за указанный период представлены графически:

Снижение J в течение 1970-1990 годов отражает, по-видимому, тот факт, что борьба за сближение города и деревни, рабочих и интеллигенции приводила в СССР к элементарной уравниловке в заработной плате.

После 19 августа 1991 г. произошла смена способа производства и наступил период «дикого капитализма». Система распределения доходов населения вышла из под жесткого контроля государства, и коэффициент Джини двинулся к своему равновесному значению.

Процесс установления равновесия, приведенный на рисунке, хорошо описывается кинетическим уравнением

За время релаксации порядка 3 τ, т.е. где-то за 3 года, система пришла в равновесие. Примерно в это же время можно было подводить первые итоги приватизации. Значения J­ и τ рассчитаны методом наименьших квадратов для нелинейной регрессии:

Тот факт, что коэффициент Джини достиг значения 0,4, а не теоретического значения 0,5, может иметь два объяснения. Во-первых, какая-то социальная политика, направленная на снижение социального неравенства, государством все-таки ведется. Во-вторых, официальные данные отражают картину распределения только «наблюдаемых» доходов, в то время как «ненаблюдаемые» с очевидностью распределяются существенно более неравномерно.

Распределение доходов населения в России на основании экспертных оценок давало коэффициент Джини около 0,48, т.е. значительно ближе к теоретическому равновесному значению.

Сформулируем несколько выводов из проведённого исследования:

1. В экономической системе существует весьма устойчивое равновесное распределение совокупного дохода с коэффициентом Джини 0,5 и временем релаксации около трёх лет. Таким образом, распределение доходов в обществе демонстрирует высокую устойчивость, и ни дефолты, ни «удвоения ВВП» не приводили к его изменению.

2. Любое отклонение от равновесного распределения совокупного дохода может быть только искусственно вызванным и приводит к некоторому замедлению экономического развития, так как перераспределение доходов сопровождается чистыми потерями общества. Однако прямая зависимость между неравенством и экономическим развитием при этом отсутствует.

Сделанный вывод не соответствует теории С.Кузнеца (1956), что экономическое развитие вначале ведет к увеличению неравенства, а затем к его уменьшению. Эта зависимость получила название кривой Кузнеца, или обратной U-кривой. За последние 40 лет предпринимались многочисленные попытки подтвердить эту зависимость. Тем не менее, она остается неясной, так как разные исследования демонстрируют прямо противоположные результаты.

3. Равновесное распределение дохода в принципе коррелирует с известным эмпирическим законом Парето, полученным на основании обширного статистического материала и имеющим степенную зависимость. Парето пришел к выводу, что параметры этого распределения примерно одинаковы и не различаются принципиально в разных странах и в разное время. «Кривая распределения доходов отличается замечательной устойчивостью, она меняется незначительно, хотя сильно преображаются обстоятельства времени и места, при которых ее наблюдают», – писал Парето в «Социалистических системах». Парето считал, что форма этой кривой зависит от биологически заданного распределения психологических особенностей людей.

Приведенные здесь рассуждения показывают, что полученная закономерность никакого отношения к психологии не имеет, а зависит от общих статистических закономерностей, которые имеют место, например в газах и жидкостях. Независимо от психологии человеческих взаимоотношений индивид всего лишь песчинка в игре законов больших чисел.

4. Равновесное распределение дохода возникает за счёт конкуренции между экономическими субъектами без государственного вмешательства. Следовательно, значения J > 0,5 не возникают даже при наличии олигархической структуры и одновременном отсутствии серьезной государственной социальной политики. Столь глубокое неравенство возможно только при целенаправленных административных или силовых методах (неэкономических действиях) государства.

5. Уменьшение неравенства также возможно только при целенаправленных законодательных, административных и силовых методах, например, при соответствующей налоговой и социальной политике государства. Но при этом должно произойти существенное подавление предпринимательской активности населения.

6. В развитой экономической системе самый эффективный путь для снижения уровня бедности состоит в увеличении среднего дохода на душу населения. Это означает, что за счет уничтожения богатых искоренить бедность не удастся.

 

 

Фонд поддержки авторов AfterShock

Комментарии

Аватар пользователя bom100
bom100(5 лет 10 месяцев)(06:30:25 / 24-05-2016)

В далекие 90-е, помню как профессор Переверткин из МВТУ пытался продвинуть экономическую теорию, полностью основанную на методах стат. физики. Были даже в Верховном Совете рассмотрения и слушания. Но после известных событий 1993 года в России, как-то стало все это не очень интересно. Все сразу поняли, что прав конечно Гайдар (а кому захочется быть расстрелянным из танка ?? Танк это конечно аргумент в политической и экономической дискуссии :-) А так да, конечно методы стат. физики напрашиваются. Аналогия между молекулами (или чем-то подобным) и агентами рынка прозрачная.

Аватар пользователя alexsword
alexsword(6 лет 1 месяц)(07:44:26 / 24-05-2016)

Интересное наблюдение.  На статистике США смотрели?  Они и как модель интересны, а также массивы статистики имеют за приличный период.

Аватар пользователя Igor Tsarev
Igor Tsarev(3 года 4 месяца)(09:05:10 / 24-05-2016)

В США интересно было бы посмотреть период в районе великой депрессии. Ощущение, что после организации ФРС в первую очередь стали тренироваться "на кошках", т.е. на собственном населении. Т.е. в течение последующих (после 1913 года) 15 лет равновесие было резко смещено в сторону богатых, и систему "завалили". Исключительно из-за жадности.

Аватар пользователя Igor Tsarev
Igor Tsarev(3 года 4 месяца)(07:50:02 / 24-05-2016)

В США не смотрел. Там знающие люди выкапывают очень интересную статистику на их официальных сайтах. А я не специалист по таким выкапываниям. И еще интересно было бы найти какие-то данные по сталинскому периоду.

Аватар пользователя alexsword
alexsword(6 лет 1 месяц)(08:07:56 / 24-05-2016)
Аватар пользователя Igor Tsarev
Igor Tsarev(3 года 4 месяца)(08:21:03 / 24-05-2016)

У меня ссылка не открылась.

Аватар пользователя alexsword
alexsword(6 лет 1 месяц)(08:21:58 / 24-05-2016)

Там не веб-страница, там уже сам файл с таблицей.

Аватар пользователя Igor Tsarev
Igor Tsarev(3 года 4 месяца)(08:30:59 / 24-05-2016)

Это я понял, у меня скачивание блокируется.

Аватар пользователя alexsword
alexsword(6 лет 1 месяц)(10:33:08 / 24-05-2016)

У меня иногда тоже census не открывается, от другого провайдера.  Похоже они массово российские сегменты сети периодически банят.

попробуйте с веб-прокси эту же ссылку открыть

Аватар пользователя Volchonok
Volchonok(2 года 7 месяцев)(20:07:00 / 26-05-2016)

У census проблемы с отдельными dns, мне для доступа пришлось поставить по умолчанию  dns гугла и все заработало.
 

Аватар пользователя И-23
И-23(2 года 2 месяца)(09:31:52 / 24-05-2016)

Практика распространения *документов* (!) в *редактируемых* (!!!) форматах… ☹

Аватар пользователя Igor Tsarev
Igor Tsarev(3 года 4 месяца)(09:45:28 / 02-06-2016)

Наконец-то смог скачать файл. Навскидку можно сказать наиболее очевидное. Черных с начала 2000 конкретно гнобят (никакой социальной поддержки не наблюдается). Сейчас у них практически равновесное распределение дохода. Белые, азиаты и испанцы пока как-то держатся, но их тоже зажимают. Общий коэффициент 0.48 это как у нас в девяностые годы. От равновесного (в отсутствие соц поддержки) совсем близко. Т.е. в России с начала 2000 социальная поддержка относительно намного лучше, чем в Америге. Им остается только радоваться, что их не грабят, как в Бразилии.

Аватар пользователя Nonglamour
Nonglamour(2 года 8 месяцев)(08:07:33 / 24-05-2016)

Равновесное распределение дохода возникает за счёт конкуренции между экономическими субъектами без государственного вмешательства. 

 

Вот только в реальности никак не возникнет... очередная попытка затолкать в головы теорию равновесия Рикардо...

Аватар пользователя Igor Tsarev
Igor Tsarev(3 года 4 месяца)(08:24:29 / 24-05-2016)

Рикардо тут не в тему. А равновесные состояния (например, в физике) - база для дальнейших исследований и теорий. В первую очередь находят равновесные состояния, а потом исследуют поведение системы в окрестности точки равновесия.

Аватар пользователя И-23
И-23(2 года 2 месяца)(09:33:17 / 24-05-2016)

Обобщение логичное и закономерное.
Но в легенде (и теоретическом обосновании применимости подхода) должно было хотя бы упомянуть товарища Богданова.

Аватар пользователя Igor Tsarev
Igor Tsarev(3 года 4 месяца)(09:38:41 / 24-05-2016)

А в связи с чем нужно упомянуть уважаемого Сан Саныча?

Аватар пользователя И-23
И-23(2 года 2 месяца)(09:46:41 / 24-05-2016)

В базовом постулате: что согласно концепции Всеобщей Организационной Науки и физика, и экономика должны подчиняться общим законам.

Аватар пользователя Igor Tsarev
Igor Tsarev(3 года 4 месяца)(09:50:26 / 24-05-2016)

Насколько я знаю, экономисты этот постулат напроч отвергают. Я согласен с постулатом, но ИМХО придумал это не Богданов. С самого начала были попытки использовать физические законы в экономике. Проблема всегда была в том, что не получалось убедительно эту связь показать.

Аватар пользователя Владимир Лафет

Это проблема решается просто, если вернуть через кантовский подход к познанию в экономику, социологию и др. общественные науки настоящую науку, не трогая сакральное и святое, т.е. примирить реальную науку и религии.

 Т.е. разделить области где решения есть для настоящей науки и ТО, чем занимаются религии (грубо - отделить мух от котлет) - граничные условия здесь кантовские антиномии-сингулярности -  "Шарлатанство общественных "как бы наук" и почему там нет реальной науки." https://aftershock.news/?q=node/384883 .

Аватар пользователя И-23
И-23(2 года 2 месяца)(10:23:13 / 24-05-2016)

Ну…
Тенденция свойственная не только экономистам.
Например некоторые «историки» напрочь отвергают научное наследие М.В. Ломоносова. Предусмотрительно не произнося вслух «ошибочных» тезисов, и не называя трудов, в которых они «разгромлены».
Проблема же преодоления инерции мышления существующего научного сообщества вполне описана академиком Кропоткиным (на примере истории теории эволюции в «Этике»).
Но что делать с «авторитетами», отрицающими в том числе доступные (наглядные и прямо-таки приглашающие к независимой перепроверке) факты — вопрос.
Или, вкратце: если некто стремится к отсутствию понимания, то даже Его Величество Факт бессилен.
И как показал тот же товарищ Богданов: чем сложнее описываемая закономерность, тем сложнее её доказать. Особенно упоровшемуся на непонимании скуептику.

Аватар пользователя Igor Tsarev
Igor Tsarev(3 года 4 месяца)(10:27:11 / 24-05-2016)

Да я же согласен, просто тезис не Богданов придумал. А доказать убедительно до сих пор не смогли.

Аватар пользователя И-23
И-23(2 года 2 месяца)(10:49:25 / 24-05-2016)

Так я не столько про авторство тезиса, сколько про его проработку и иллюстрацию.
И если Вы знаете современные Тектологии хотя бы претендующие на сопоставимую полнату модели — поделитесь знанием.

Касаемо бытия мысли в ноосфере полагаю достаточным пример Кропоткина (обзор истории теории эволюции: что написано и как интерпретировано).

ЗЫ: Как показал тот же товарищ Богданов, *доказательство* (да ещё «неопровержимое») сложной тенденции мотивированному на отсутствие понимания *невозможно*.

Аватар пользователя Igor Tsarev
Igor Tsarev(3 года 4 месяца)(10:53:30 / 24-05-2016)

А, так Вы в этом смысле. Я то волновался, что не дал ссылку на первоисточник, как положено в науке. А если это "касаемо бытия мысли в ноосфере", то тогда ладно. Я в этих вещах не очень разбираюсь.

Аватар пользователя Nonglamour
Nonglamour(2 года 8 месяцев)(10:45:38 / 24-05-2016)

В Ваших формулах и рассуждениях отсутствует поведенческая составляющая человека. И, так же как у Рикардо, у Вас еще исторических подход хромает. Человек - это не элемент списка, а сложная динамическая психосоциальная система. А т.к. до сих пор никому не удавалось моделирование человеческой психики, то и все Ваши предположения, допущения и аналогии - не более чем гипотезы, которые упрощают реальность.

Любое упрощение не в полной мере отражает суть...не так ли...?

Аватар пользователя Владимир Лафет

Про Оптимум по Парето как неработающем критерии кратко повторюсь:

" Амартия Сен ( нобелевский лауреат по экономике 1998г. "за вклад в экономическую теорию благосостояния"): "..состояние общества может быть оптимальным по Парето, но при этом одни могут находиться в крайней нищете, а другие купаться в роскоши, поскольку нищета одних не может быть смягчена без снижения уровня роскоши богатых..", , т.е. чтобы не нарушать оптимальность по Парето требуется "добрая воля" богатых на благотворительность или оказание помощи бедным для поддержания социального мира и спокойствия, т.е. "сотрудничество".

 Т.е. А.Сена прав, что оптимум по Парето - это неработающий критерий. 
 Но А.Сена не понимает следующее: 
 С одной стороны, оборотная сторона принуждения одних к доброй воле порождает иждивенчество и социальный паразитизм других, т.е. "как бы" нет стимулов к активной деятельности (активной жизненной стратегии).

 А другой стороны и это главное, ПРИ ПРАВИЛЬНОМ ПОНИМАНИИ МАТЕРИИ (содержания и формы о чем я постоянно пишу) социальный паратизм и есть активная стратегия в рамках действия законов живой материи (живой природы).

 И ничто и никто сейчас не остановит волны мигрантов в Европу ради "халявы" - законы живой материи (живой природы) в действии. 
 И остановит только фашизм и мы видим рост влияния правых в Европе.

 P.S.: критерий эффективности экономики и не только - равновесие Нэша для некооперативной игры с учетом долговременных отношений.."
 

Аватар пользователя avex
avex(2 года 8 месяцев)(09:20:27 / 24-05-2016)

 ...волны мигрантов... И остановит только фашизм

Поток мигрантов легко остановят закрытые границы, прием только нужных стране профессионалов, связывание получения равных прав многочисленными условиями и т.п. Это нормальная практика не извращенных либерализмом стран, из числа которых государства ЕС себя вычеркнули. Гражданам и государству вовсе необязательно быть фашистами, если система работает на их интересы. Наоборот, фашизм сегодня - ответ на ущемление прав местных наций в угоду переселяемым. Поэтому все вопросы - к властям стран, к выбранному ими (или навязанному извне) курсу.

Аватар пользователя ИЮЛь Майский

6. В развитой экономической системе самый эффективный путь для снижения уровня бедности состоит в увеличении среднего дохода на душу населения. Это означает, что за счет уничтожения богатых искоренить бедность не удастся.

И для этого вывода надо было разводить такую теорию? Вообще для этого достаточно арифметики. 

Аватар пользователя Igor Tsarev
Igor Tsarev(3 года 4 месяца)(11:08:41 / 24-05-2016)

Я это к тому написал, что если "Взять всё, да и поделить ...", то через три года все станет по прежнему. Только списки "богатых" и "бедных" могут несколько поменяться. А многие этого не понимают. Ратуют за "социальную справедливость".

Можно взять, например, да и пересмотреть итоги приватизации. Справедливо? Справедливо! Кто спорит. Только ничего не изменится, кроме некоторых изменений в "списке форбс". А "список бедных" не поменяется. И ничем им эта процедура не поможет. 

Выходит так, что "пересмотр итогов приватизации" - это разборки между богатыми.

Можно еще "национализировать приватизированное". Тогда это просто создание государственного сектора экономики. А его проще развивать без революционных "Взять всё, да и поделить ...".

Аватар пользователя Владимир Лафет

Про "справедливость"...

Извините, повторюсь:

"Нет никакой эфемерной "справедливости" - есть порядок организации, удовлетворяющий равновесию Нэша (см. прим.) для оптимальной стратегии "игры" (оптимальной стратегии развития).

В живой природе ( а точнее живой материи как содержании, а не форме) это равновесие по Нэшу выполняется за счет "определенной организации" ( "Шарлатанство общественных "как бы наук" и почему там нет реальной науки." https://aftershock.news/?q=node/384883 ), где вопрос "организации" - это антиномия-сингулярность.

Но... 
кроме живой материи есть социальная материя (Община на формуле: "дуализм + амбивалентность ( с эмпатией")) как содержание, в которой и вместе с которой Человек и "появился", 
и 
главное: в социальной материи(Общине) "порядок организации" другой и отличается от "порядка организации" живой материи и за счет этого другого "порядка организации" и выполняется также равновесие по Нэшу и в этом как бы "справедливость" при научном понимании.

Т.е. правильное понимание материи как содержания в триединстве без вульгарности развития формы материи, дает нам правильные ответы

или попроще: Дарвин был неправ.

Примечание: "Вульгарно о равновесии Джона Нэша ( нобелевская премия по экономике 1994 года «За анализ равновесия в теории некооперативных игр» ): "Про взаимопомощь и ошибки Адама Смита. Джон Нэш." http://http://www.youtube.com/watch?v=ERikN13y4iw и справочно: " известному экономической науке равновесию по Нэшу (Дж. Нэш – американский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике 1994 г.), являющемуся инструментом анализа почти по всем разделам экономической науки, когда необходим комплексный анализ взаимодействия экономических субъектов." http://www.be5.biz/ekonomika/e006u/66.htm "
 

Лидеры обсуждений

за 4 часаза суткиза неделю

Лидеры просмотров

за неделюза месяцза год

СМИ

Загрузка...