Вход на сайт

МЕДИАМЕТРИКА

Облако тегов

Еще раз о трех законах Ньютона.

Аватар пользователя Радионеслушатель

Привожу наиболее интересные главы из новой книги А.М. Петрова "Овладевать знаниями, учась на ошибках гениев прошлого". Тут все понятно из названия - автор рассматривает границы и особенности применимости   трех основных  законов механики.

 

 

2.2. Блуждаем в трёх соснах – трёх законах Ньютона! 
Процитируем классика – основоположника точных наук.
Ньютон Исаак. Математические начала натуральной философии (перевод с латинского и комментарии А.Н.Крылова). – М.: Наука. 1989. Сс. 39-41:
«Аксиомы или законы движения. 
Закон I.
Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние.
…Волчок, коего части, вследствие взаимного сцепления, отвлекают друг друга от прямолинейного движения, не перестаёт вращаться (равномерно), поскольку это вращение не замедляется сопротивлением воздуха…
Закон II.
Изменение количества движения пропорционально приложенной движущейся силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
…Количество движения, которое всегда происходит по тому же направлению, как и производящая его сила, если тело уже находилось в движении, при совпадении направлений прилагается к количеству движения тела, бывшему ранее, при противоположности – вычитается, при наклонности – прилагается наклонно и соединяется с бывшим ранее сообразно величине и направлению каждого из них…
Закон III.
Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе – взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.
Этот закон имеет место и для притяжений…
Следствие I.
При силах совокупных тело описывает диагональ параллелограмма в то же самое время, как его стороны – при раздельных» (конец цитаты).
Итак, первоисточник заблуждений современных физиков-теоретиков и, соответственно, авторов учебников по теоретической механике установлен: виноват в них Исаак Ньютон!
В своём Законе II он утверждает именно то, что записано в учебнике Р.В.Поля:
«изменение (приращение) количества движения (импульса) пропорционально приложенной движущейся силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует».
Ньютон «забывает» уточнить, что зафиксированные им в Законе II пропорциональная зависимость и направление изменения импульса имеют место только в отсутствие сил, зависящих от координаты (в частности, сил, возвращающих объекты в положение равновесия) и скорости (в частности, диссипативных сил). Если же в балансе сил действия и противодействия по Закону III появляются такие силы, то Закон II перестаёт действовать.
Приведём конкретный пример – уравнение вынужденных колебаний осциллятора: 
md²x/dt²+ρdx/dt+kx=F(t),
где  m – колеблющаяся масса,
х – одномерная координата,
t – время,
ρ – коэффициент сопротивления (трения),
k – жёсткость упругого механизма,
F(t) – внешнее силовое воздействие в виде функции времени.
Перепишем это дифференциальное уравнение в форме третьего закона Ньютона, т.е. баланса сил действия F(t) и совокупных сил противодействия, состоящих из силы инерции (–md²x/dt²), силы диссипативного сопротивления (–ρdx/dt) и силы, возвращающей осциллятор в положение равновесия (–kx). 
Получим такое выражение:
F(t)+(–md²x/dt²)+(–ρdx/dt)+(–kx)=0.
При движении с такими балансами сил ньютоновы параллелограммы сил вырождаются в отрезки прямой линии. Ещё важнее то, что результат действия совокупности сил вовсе не эквивалентен сумме результатов самостоятельного действия тех же сил по одиночке, как это утверждает Следствие I Закона III. Добавление в баланс сил (в уравнение движения) любого нового слагаемого качественно изменяет характер всего динамического процесса. 
К примеру, если исключить внешнее воздействие и влияние диссипативных сил, то получим свободные колебания осциллятора. Если подадим на вход осциллятора гармоническое колебание на его собственной частоте, то получим явление резонанса с «неограниченным» (до уровня, при котором начнут проявлять себя диссипативные силы) ростом амплитуды колебаний. Наконец, если уберём возвращающую силу, оставляя внешнее воздействие наедине с силой инерции, то получим баланс сил вида
F(t)+(–md²x/dt²)=0,
который, в традиционной записи (в левой части уравнения движения – внешняя сила, в правой – результат внешнего воздействия, т.е. ускорение с коэффициентом пропорциональности m) представляет собой ньютонов Закон II:
F(t)=md²x/dt².
Выходит, Закон II является лишь частным случаем Закона III. Он действует только в отсутствие сил, зависящих от скорости и координаты. Не сделав такой оговорки, Ньютон, вольно или невольно, придал Закону II более широкий смысл, чем он того заслуживает. Вследствие этого, в научной и учебной литературе (включая учебник Р.В.Поля) получила распространение трактовка Закона II как «основного закона механики», хотя таковым, несомненно, является ньютонов же, но только Закон III.
Отмеченная выше «недомолвка» Ньютона – не единственная в его формулировках законов механики. Обратите внимание на попавший по явному недоразумению в компетенцию Закона I пример волчка. Каждый элемент вращающейся массы волчка «понуждается» (и не без последствий!) центростремительными силами к изменению состояния покоя или равномерного прямолинейного движения, поэтому движение каждого его элемента, как и волчка в целом, не имеет отношения к Закону I, который справедлив только в отсутствие любых сил.
Ньютон «виноват» и в «недосказанности» фразы:
«при силах совокупных тело описывает диагональ параллелограмма».
Так, в нулевом балансе центростремительных и центробежных сил никакого параллелограмма сил нет, как нет его и в приведённом выше нулевом балансе сил в уравнении движения осциллятора. Но формально мыслящие аналитики, вслед за Ньютоном, «переподчиняют» движения, в которых присутствуют силы (вращение волчка, колебания осциллятора и т.д.), вместо Закона III, Закону I. В чём заключается ошибочность такой трактовки?
Ньютонов Закон I в классической теоретической механике называют «законом инерции». Почему? Потому что объект, на который не действуют никакие силы, потенциально готов оказать сопротивление насильственному изменению своего состояния покоя или равномерного прямолинейного движения только силой, пропорциональной второй производной от координаты по времени и направленной противоположно внешней силе. 
Такая сила называется силой инерции и математически выражается формулой: Fи= –md²x/dt²,
где m – масса объекта.
Когда же на объект действуют силы, зависящие от скорости и/или координаты, то динамические характеристики объекта качественно меняются, и тогда в ответ на «понуждение» внешних сил он реагирует иначе (или вообще не реагирует).
Как было показано выше, Р.В.Поль ошибается, полагая, что круговое движение подчиняется «основному закону механики», т.е. ньютонову Закону II. 
При круговом движении направление (угол с) приращения импульса не совпадает с направлением центростремительной силы, как того требует Закон II. 
Не подчиняется Закону II и вращающийся волчок, демонстрирующий особую реакцию на внешнее воздействие, называемую гироскопическим эффектом. Есть и прямолинейные равномерные движения, не подчиняющиеся ни Закону I, ни Закону II.
Например, парашютист в безветренную погоду спускается вертикально вниз  с постоянной скоростью 5,5 метра в секунду. Включив портативный реактивный двигатель и направив силу тяги вертикально вверх, он, после краткого переходного процесса, уменьшает скорость своего снижения, скажем, до 5 метров в секунду. Хотя внешняя сила тяги реактивного двигателя продолжает действовать, состояние равномерного прямолинейного движения парашютиста больше не меняется. А поскольку нет ускорения, то нет и пропорциональности этого ускорения силе тяги реактивного двигателя, т.е. соответствия движения Закону II. Внешняя сила продолжает «понуждать к изменению состояния объекта», но не может его изменить (сила инерции под действием внешней силы не возникает), значит, этот случай не подходит и к условиям Закона I.
Аналогичный случай: движение автомобиля с постоянной скоростью на прямолинейном участке пути. Сила тяги двигателя уравновешивает силы сопротивления воздуха и трения в механических частях автомобиля. Если водитель изменит силу тяги двигателя на определённую величину, то баланс сил в уравнении движения перераспределится, и движение автомобиля продолжится с изменившейся, но по-прежнему постоянной, скоростью, т.е. без ускорения, не подчиняясь Закону II. Но, вместе с тем, из-за наличия внешней силы, не способной вызвать ответной реакции в виде силы инерции, это движение не будет подчиняться и закону инерции – Закону I. 
Укажем на ещё одно противоречие в формулировках Ньютона, замеченное переводчиком и редактором перевода книги Ньютона на русский язык – академиком А.Н.Крыловым. Вот каким комментарием сопровождает он Следствие I Закона III:
«Формулировка этого следствия представляется при теперешнем изложении необычной, и доказательство – как бы ей несоответствующим, ибо в нём предполагается, что когда тело описывает стороны и диагональ параллелограмма, то оно движется равномерно, т.е. силы на него не действуют, а теорема высказана так, что можно подумать, что стороны и диагональ параллелограмма описываются при продолжающемся действии сил и притом сил каких угодно, постоянных или переменных, и в продолжение какого угодно, лишь бы во всех случаях того же самого, промежутка времени».
Поясним смысл замеченного академиком Крыловым противоречия.
Известно, что Ньютон не прибегал к алгебраическим выкладкам, а сопровождал свои рассуждения только геометрическими построениями. Но всегда ли этого достаточно для точного представления физической картины движения?
Ньютон конструировал параллелограммы не только из сил, но и из движений (под последними он понимал перемещения и скорости перемещений). Даже имея в виду многомерный случай, он предельно упрощал задачу, разлагая силы и движения на одномерные составляющие, направленные перпендикулярно друг другу. Как это упрощение сказывалось на конечном результате решения динамических задач?
Рассмотрим движение на плоскости, в котором внешним силам противостоят лишь силы инерции (случай второго закона механики), что позволяет находить решение задачи непосредственно интегрированием сил по времени.
Пусть на тело (материальную точку) действуют переменные во времени силы: 
x(t) – вдоль оси абсцисс декартовой системы координат и 
y(t) – вдоль оси ординат. 
Тогда в любой момент времени параллелограмм сил будет представлять собой прямоугольник с диагональю z(t), длина которой будет определяться законом Пифагора:
z²(t)=x²(t)+y²(t).
Мгновенные значения скоростей движения вдоль осей координат получим в виде интегралов (с фиксированными нижними и переменными верхними пределами интегрирования) 
∫x(t)dt  и  ∫у(t)dt,
а мгновенные значения координат (абсцисс и ординат) будут иметь вид двойных интегралов (также с фиксированными нижними и переменными верхними пределами интегрирования)
∫[∫x(t)dt]dt  и  ∫[∫у(t)dt]dt.
Поскольку катеты (х, у) прямоугольного треугольника связаны с его гипотенузой (z) нелинейными операциями возведения в квадрат и извлечения квадратного корня, то, в общем случае, результаты интегрирования сил и скоростей вдоль осей координат не будут соответствовать результатам интегрирования диагонали параллелограмма сил (или результатам интегрирования геометрической суммы сторон параллелограмма; в нашей задаче – прямоугольника). Итак, получающиеся в ходе решения такой задачи четырёхугольники скоростей и перемещений, вопреки утверждению Ньютона, складываться в параллелограммы (в нашей задаче  прямоугольники) не будут!
В своё время на это обстоятельство обратили внимание Даламбер и Эйлер, которые, независимо друг от друга, предложили условие (носящее теперь их имя), частично (но только частично!) это противоречие устраняющее. 
Вопрос о том, почему эти учёные не дали полного решения возникшей проблемы, хотя и были готовы к тому, чтобы это сделать (по крайней мере, у Эйлера в его черновых записях это решение позднее было обнаружено), историки науки оставляют открытым. В данном случае оба учёных выступили не с позиций физиков-практиков, которым требовался более совершенный математический аппарат, чтобы снять реально возникшее противоречие, а с позиции математиков-теоретиков, для которых важно лишь зафиксировать, в каких случаях данное противоречие не возникает, чтобы объявить все другие ситуации выходящими за пределы их научного интереса. 
В каком виде Даламбер-Эйлер сформулировали своё условие? Они не стали выдвигать какие-либо дополнительные требования к процессу интегрирования сил, а «начали с конца», допустив, что двойное интегрирование сил по времени успешно осуществлено, и надо лишь наложить некоторые дополнительные ограничения на вид функций, описывающих перемещения тел.
Занимавшиеся в разное время разработкой основ векторной алгебры Эйлер, Даламбер, Гаусс, Коши, Риман, Гамильтон не придавали большого значения установлению чётких границ между её разновидностями. А исключительный характер четырёх алгебр с (векторным) делением – действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы – выявился только к концу ХIХ века (знаменитые теоремы Фробениуса и Гурвица). Однако к этому моменту в состав алгебр с делением (в теорию функций комплексного переменного и в исчисление кватернионов), в значительной мере усилиями самих создателей этих новых разделов математики, уже были привнесены чуждые им элементы. 
Так, в теорию функций комплексного переменного были включены условия Даламбера-Эйлера или условия Коши-Римана – соотношения, согласно которым действительная и «мнимая» части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного w=f(z)=u+iv, z=x+iy, должны удовлетворять уравнениям
∂u/∂x=∂v/∂y,
∂u/∂y=–∂v/∂x,
или в компактной записи
∂f/∂x+i∂f/∂y=0.
При некоторых добавочных ограничениях, например, требовании существования полных дифференциалов функций u(х, у) и v(х, у),  условия Даламбера-Эйлера становятся не только необходимыми, но и достаточными для дифференцируемости функции f(z)=u+iv. Однако при этом требование существования производной функции комплексного аргумента становится несравненно ограничительнее, чем требование существования производной функции действительного аргумента. 
Если требование существования производной функции у=φ(х) действительного аргумента означает существование предела отношения Δх/Δу при приближении точки х+Δх к точке х по двум направлениям, слева и справа, и совпадение этих пределов, то требование существования производной функции f(z) комплексного аргумента означает существование предела отношения Δf/Δz при приближении точки z+Δz к точке z по любому пути из бесконечного множества направлений, и совпадение всех этих пределов.
Функция, дифференцируемая во всех точках некоторой области с соблюдением указанных выше условий, называется аналитической (голоморфной, моногенной, регулярной) в этой области. А связанные условиями Даламбера-Эйлера действительная и «мнимая» части аналитической в некоторой области D функции f(z)=u+iv, входят в ограниченный класс функций, удовлетворяющих решениям уравнения Лапласа на действительной плоскости R²
∂²Т/∂x²+∂²Т/∂y=0,
составляя при этом сопряжённые пары так называемых гармонических функций (не путать с функциями, описывающими гармонические колебания!).
Характерным примером гармонической функции является  электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд. Понятно, что никаких вихревых процессов подобными функциями описать невозможно. 
Добавим к этому, что сама теория функций комплексного переменного представляет для теоретиков интерес вовсе не как теория аналитических функций, а как теория, исследующая поведение функций в окрестностях особых точек, где условия Даламбера-Эйлера (и свойства аналитичности функций) нарушаются или не имеют смысла из-за обращения частных производных в бесконечность. В теории комплексного потенциала такие особые точки называются вихревыми либо источниками/стоками (в зависимости от направления потока вектора поля через замкнутый контур, ограничивающий область, в которой находится особая точка). В итоге, теория функций комплексного переменного, как теория аналитических функций, удовлетворяющих условиям Даламбера-Эйлера, лишается своих наиболее важных свойств (и, соответственно, преимуществ перед тензорной алгеброй).
Правомерен вопрос: неужели выдающиеся математики прошлого могли в таких вопросах ошибаться? В ответ приведём исторический пример заблуждения знаменитых математиков по элементарному для нынешних студентов вопросу разложения произвольной функции в действительный или комплексный ряд Фурье (А.Б.Паплаускас «Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега», «Наука», М., 1966, Институт Истории Естествознания и Техники АН СССР):
«Работа Фурье (Жан Батист Фурье, 1768-1830) не была опубликована в мемуарах Академии наук. Хотя она и была отмечена премией, что, конечно, явилось лишь внешней стороной отношения к ней современников, однако в глубине души мало кто признавал работу Фурье. Более того, многие из его современников не понимали существа дела. Следуя интуиции, основанной на старом понятии функции, они взяли под сомнение его доводы и результаты. Так, например, по свидетельству Римана, когда Фурье в 1807 году высказал впервые теорему, что совершенно произвольно (графически) заданная функция может быть представлена в виде тригонометрического ряда, это утверждение было так неожиданно для престарелого Лагранжа (Жозе́ф Луи́ Лагра́нж, 1736-1813), что он решительным образом восстал против него (и в этом академика Лагранжа поддержали ведущие математики того времени  – академики Лаплас и Монж. – Примеч. А.П.).  Возможно, это было одной из причин того, что работа Фурье 1811 года была опубликована лишь в 1824-1826 годах… Интересно отметить, что работа 1811 года была без изменений напечатана в мемуарах Академии наук в 1824 году, т.е. в то время, когда Фурье стал секретарем Академии (членом Парижской Академии он был избран в 1817 г.)». Историческим казусом является и включение Гамильтоном (Уи́льям Ро́уэн Га́мильтон,1805-1865), в состав открытого им исчисления кватернионов, операторов с частными производными, кардинально противоречащих этому исчислению. Максвелл (Джеймс Клерк Максвелл, 1831-1879) пытался применить аппарат кватернионов в теории электромагнетизма для описания «молекулярных вихревых процессов», но, воспользовавшись вслед за Гамильтоном аппаратом частных производных, создал самому себе непреодолимую преграду на пути решения этой задачи.
Наконец, приведём ещё один пример неудавшейся попытки ввести кватернионы в состав рабочего инструментария физиков-теоретиков (Александрова Н.В. «Кватернионы и векторный анализ в XIX веке»
(http://cheloveknauka.com/kvaterniony-i-vektornyy-analiz-v-xix-veke#ixzz3SRts3MW4):
«В статье, написанной к столетнему юбилею теории кватернионов (1943 год), Дирак (Поль Адриен Морис Дирак,1902-1984) делает попытку применить её в теории относительности. Дирак устанавливает связь между кватернионом и вектором в пространстве-времени таким образом, чтобы перенести в теорию относительности аппарат теории кватернионов. Оказалось, что уравнения Максвелла, записанные в кватернионной форме, являются аналогом условий Коши-Римана, то есть условиями кватернионной аналитичности».
На этой довольно пессимистичной ноте Дирак своё исследование кватернионов завершил. Понятно, что, как и в случае с комплексными числами, теория функций кватернионного переменного будет представлять интерес для физиков-теоретиков не как теория аналитических функций, а как теория функций с особыми областями определения, в которых их аналитичность нарушается, зато при этом открывается возможность для адекватного описания таких физических объектов, как трёхмерные вихревые структуры.
А требование соблюдения условий Коши-Римана (Даламбера-Эйлера), т.е. условий комплексной, кватернионной или октонионной аналитичности, со временем будет представляться таким же «излишеством», как придуманная теоретиками «инвариантность физических законов» в любых системах отсчёта, заставляющая их в «добровольно-принудительном порядке» оперировать не имеющими аналогов в природе инерциальными системами отсчёта, адекватными лишь далёкому от физической реальности первому закону Ньютона с его условием полного отсутствия любых сил. Как и применение «лагранжево-гамильтонова формализма», распространяющего принцип наименьшего, наибольшего или стационарного действия далеко за пределы его компетенции. В свете вышесказанного не случайным представляется и то, что задача о вращающемся волчке, поставленная Эйлером более 250 лет  назад, так и не получила адекватного решения в рамках векторно-тензорной парадигмы.

http://www.forum.za-nauku.ru/index.php/topic,3711.0.html

Фонд поддержки авторов AfterShock

Комментарии

Аватар пользователя tiriet
tiriet(4 года 8 месяцев)(18:29:08 / 11-02-2016)

Классная статья. с интересом узнал, что парашютист с ракетным ранцем нарушает сразу и первый и второй законы Ньютона. Причем, пока ракетный ранец не включен- не нарушает, а как только включит- так сразу и поломает всю классическую физику. ДБЛБЛД.

Аватар пользователя Радионеслушатель

не, неправда ваша. Он не законы нарушает а находится вне компетенции 1 закона и не описывается исключительно 2 законом. Что совсем не одно и то же с тем, что вы описали.

Аватар пользователя Carcass
Carcass(4 года 10 месяцев)(19:52:51 / 11-02-2016)

Помечу для внимаельного прочтения

Аватар пользователя Omni
Omni(5 лет 2 месяца)(11:38:57 / 12-02-2016)

Теория пространственно-временного континуума ошибка, об этом знали древние и имели поговорку: "Мера времени деяния, ни года, ни расстояния".

Лидеры обсуждений

за 4 часаза суткиза неделю

Лидеры просмотров

за неделюза месяцза год

СМИ

Загрузка...