Кеплерова задача - критерий качества точных наук

К 385-летию со дня смерти И. Кеплера. (15.11.1630)

Представители официальной науки полагают, что достижения последних десятилетий в ряде научных областей столь велики и убедительны, что оглядываться на, казалось бы, давно решённые и прочно вошедшие в учебную литературу задачи, а, тем более, подвергать сомнению надёжность методологии и математического аппарата, с помощью которых они решались, нет оснований. На конкретном примере покажем, что это не так.

Вместо предисловия. Приведенная ниже статья А.М. Петрова рассказывает о существующих способах аналитического описания кеплеровского движения, указывает на их недостатки,  и предлагает свой – основанный на алгебре комплексных чисел. Я постарался максимально убрать математические выкладки и сохранить популярный уровень изложения. Хочу отметить, что И. Кеплер узнал о гелиоцентрической системе Коперника у профессора математики и астрономии М. Местлина в ходе своего обучения в Тюбингентской академии частным образом. Официально Местлин учил студентов геоцентрической системе Птолемея, повсеместно принятой в то время, и считавшейся единственно верной. Таким образом, И. Кеплер (как и его преподаватель) был в известном смысле - как сейчас говорят - альтернативщиком и фриком. В те времена таких предпочитали не лечить веществами в психиатрических клиниках, как то практиковал В. Гинзбург с присными, а сразу пускать в расход, отчего Кеплер вынужден был бежать в Прагу. Там в его распоряжении окажутся точнейшие многолетние наблюдения Тихо Браге, которые и дадут ему массив данных для нахождения его эмпирических зависимостей, превративших астрономию в точную науку. Именно поэтому он написал в предисловии к своей книге «Новая астрономия. Небесная физика» в 1609 году:

«Жребий брошен. Я написал книгу либо для современников, либо для потомков; для кого именно - мне безразлично. Пусть книга ждёт сотни лет своего читателя: ждал же сам Бог 6000 лет, пока появился свидетель».

А.М. Петров

КЕПЛЕРОВА ЗАДАЧА - КРИТЕРИЙ КАЧЕСТВА ТОЧНЫХ НАУК

(статья дана с сокращениями)

К истории Кеплеровой задачи

“Усилия Кеплера невероятны. Каждое его вычисление занимает 10 страниц в листе; каждое вычисление он повторял по 70 раз; 70 повторений дают 700 страниц. Вычисляющие знают, сколько можно сделать ошибок и сколько раз надо было проделывать вычисления, занимающие 700 страниц: сколько же надо было употребить времени? Кеплер был человеком удивительным; он не испугался такого труда…”.

— Жан Сильвен Байи “История астрономии”, 1775.

Таков исторический факт: зако́ны Ке́плера были открыты эмпирическим путём, в виде интуитивно подобранных Иоганном Кеплером (1571–1630) соотношений, на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге (1546–1601). Как это произошло?

“Чрезвычайно трудные и многолетние вычисления не удовлетворяли его: разности между вычислениями и наблюдениями простирались до 5 и 6 минут градуса; от этих-то разностей он хотел освободиться и, наконец, открыл истинную систему мира. Кеплер решительно отказался от движения планет по кругам около эксцентра, т.е. около точки воображаемой, невещественной. Вместе с такими кругами уничтожились и эпициклы. Он предположил, что Солнце есть центр движения планет, совершающихся по эллипсу, в одном из фокусов которого находится этот центр. Чтобы возвести такое предположение на степень теории, Кеплер произвёл вычисления, удивительные по своей трудности и по своей продолжительности. Он показал беспримерно неутомимое постоянство в труде и непреодолимое упорство в достижении предложенной цели. Такая работа была награждена тем, что вычисления, относительно Марса, основанные на его предположении, привели к выводам, совершенно согласным с наблюдениями Тихо”

—　http://biographera.net/biography.php?id=79 

Первые два закона были представлены Кеплером в его труде: “Astronomia nova sive physica caelestis, tradita commetaris de motibus stellae Martis ex observationibus Tycho Brahe”. – Прага, 1609.

“Теория Кеплера состоит из двух положений: 1) планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится центр Солнца, и 2) планета двигается с такой скоростью, что радиусы-векторы описывают площади вырезок, пропорциональные временам движения. Из многочисленных наблюдений в Уранибурге Кеплер должен был выбрать наиспособнейшие для решения вопросов, соединённых с главной задачей и изобрести новые способы вычисления. Посредством такого благоразумного выбора, без всякого предположения, он доказал, что линии, в которых плоскости орбит всех планет пересекают эклиптику, проходят через центр Солнца и что эти плоскости наклонены к эклиптике почти под постоянными углами”

—　http://biographera.net/biography.php?id=79 

Десять лет потребовала работа над ещё одним законом небесной механики, который Кеплер представил в своём труде “Harmonicces mundi libri quinque …”. – Линц, 1619.

Здесь Кеплер отдаёт отчёт об открытии третьего своего закона, именно: квадраты времён вращений планет пропорциональны кубам их расстояний от Солнца. 18 марта 1618 года вздумал он сравнить квадраты времён вращений с кубами расстояний. Но, по ошибке вычисления, он нашёл, что закон неверен; 15 мая он вновь переделал вычисления, и закон оправдался. Но и тут Кеплер сомневался в нём, потому что во втором вычислении также могла быть ошибка. "Однако же, – говорит Кеплер, – после всех проверок я убедился, что закон совершенно согласен с наблюдениями Тихо. Итак, открытие не подлежит сомнению".

Вот названия других сочинений Кеплера, показывающих, какую трудолюбивую жизнь вёл великий астроном:

- Nova dissertatiuncula de fundamentis astrologiae certioribus, и пр. – Прага, 1602.

- Epistola ad rerum coelestium amatores universos, и пр. – Прага, 1605.

- Sylva chronologica. – Франкфурт, 1606.

- Подробная история новой кометы 1607года, и пр. На немецком; в Галле, 1608.

- Phoenomenon singulare, seu Mercurius in Sole, и пр. – Лейпциг, 1609.

- Dissertatio cum Nuncio sidereo nuper ad mortales misso a Galileo. – Прага, 1610; в том же году была перепечатана во Флоренции, а в 1611 во Франкфурте.

- Narration de observatis a se quatuor Jovis satellitibus erronibus quos Galilaeus medica sidera nuncupavit. – Прага, 1610.

- Jo. Kepleri strena, seu de nive sex–angula. – Франкфурт, 1611.

- Kepleri eclogae chronicae ex epistolis doctissimorum aliquot virorum et suis mutuis. – Франкфурт, 1615.

- Ephtmerides novae, и пр. – Кеплеровы эфемериды издавались до 1628 года и всегда на год вперёд; но печатались по истечении года. После Кеплера их продолжил Барчий, зять Кеплера.

- Известия о несчастьях для правительства и церквей, особенно о кометах и землетрясениях в 1618 и 1619 гг. На немецком, 1619.

- Затмения 1620 и 1621 гг. На немецком, в Ульме, 1621.

- Kepleri apologia pro suo opere Harmonices mundi, и пр. – Франкфурт, 1622.

- Discursus conjuctionis Saturni et Joves in Leone. –Линц, 1623.

- Jo. Kepleri chilias logarithmorum. – Марбург, 1624.

- Jo. Kepleri hyperaspistes Tychonis contra anti-Tychonem Scipionis Claramonti, и пр. – Фракфурт, 1625.

- Jo. Kepleri supplementum chiliadis logaritmorum. – Acnypr, 1625.

- Admonitio ad astronomos rerumque coelestium studiosos de miris rarisque anni 1631 phoenomenis, Veneris puta et Mercurii in Solem incursu. – Лейпциг, 1629.

- Responsio ad epistolum jac. Bartschii praefixam ephemeridi anni 1629, и пр. – Саган, 1629.

- Sportula genethliacis missa de Tab. Rudolphi usu in computationibus astrologicis, cum modo dirigendi novo et naturali. – Саган, 1629.

Ганш в 1718 году издал один том, содержащий в себе часть рукописей, оставшихся после Кеплера; обещанный им второй том не вышел, по недостатку средств. Ещё восемнадцать тетрадей неизданных рукописей были куплены Императорской Санкт-Петербургской академией наук в 1775 году.

—　http://biographera.net/biography.php?id=79

Естественно, эмпирический вид законов Кеплера не мог удовлетворить учёных, и поиски для этих законов адекватной математической формы продолжались. Но ключевое слово, определившее направление поисков, Кеплером было уже произнесено: эллипс!

Как таковые, конические сечения, частным случаем которых является эллипс, были известны ещё математикам Древней Греции. Древнегреческий учёный Менехм (IV в. до н.э.) пользовался параболой и гиперболой для знаменитой задачи удвоения куба. Исследовали свойства конических сечений Евклид (IV в. до н.э.) и Архимед (III в. до н.э.). Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости.

….

Введение термина “полярные координаты” приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа “Дифференциальное и интегральное исчисление”, выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком. Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему.

Интерес к коническим сечениям заметно возрос после того, как сначала Г.Галилей (1564–1642) установил, что тело, брошенное под углом к горизонту, двигается по параболе, а затем И.Кеплер доказал, что планеты при своём движении описывают эллипсы. Позднее было установлено, что кометы и другие небесные тела движутся по эллипсам, параболам или гиперболам в зависимости от их начальной скорости. А честь открытия единого полярного уравнения конического сечения принадлежит французскому астроному Жозефу Жерому Франсуа Лаланду (Josef-Jerome Francois de Lalande, 1732–1807).

Последний факт долгое время оставался малоизвестным даже в научных кругах, поскольку здесь в науку оказалась “замешана политика”. Об этом следует рассказать подробнее. Вот что пишет М.Шпигельман (М.Spiegelman) в своей книге “Эллипсы, параболы и гиперболы в совмещённых полярно-декартовых координатах” (М.: 2006, с.с. 441-448), основываясь, в частности, на материалах работы Г.Е.Павловой “Жозеф Жером Франсуа Лаланд”.

http://vmate.ru/load/uchebniki/uchebnye_materialy/mikhail_shpigelman_ehllipsy_paraboly_i_giperboly_v..

…

Итак, открытие полярного уравнения конического сечения поставило законы Кеплера на прочную математическую основу. Оставалось сделать последний шаг: представить найденную математическую зависимость в виде функции времени, что и стало основным содержанием задачи, получившей название Кеплеровой задачи.

Для полноты картины укажем здесь также задачи, “родственные” Кеплеровой, решение которых, однако, не даёт решения последней.

Ещё Ньютон показал, что его закон всемирного притяжения и его механика приводят к эмпирическим законам Кеплера, но оставил открытым вопрос о том, существуют ли другие взаимодействия, ведущие к законам Кеплера, обозначив его в своих Математических Началах. Ситуация изменилась лишь в 1870-х годах, когда Бертран (1↑) и его коллеги обратились к следующим задачам.

Первая задача Бертрана: найти закон сил, зависящих только от положения движущейся точки, и заставляющих её описывать конические сечения, каковы бы ни были начальные условия. Эта задача была решена Дарбу и Альфеном при дополнительном предположении, что сила центральная. А затем удалось отбросить и это условие. Оказалось, что таких взаимодействий два — закон всемирного тяготения и закон Гука. Тем самым вопрос, остававшийся со времён Ньютона, был исчерпывающе решён: для вывода закона всемирного тяготения достаточно было узнать из опыта, что траектории планет — конические сечения и что этот закон — не закон Гука.

Вторая задача Бертрана: зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать замкнутую кривую, каковы бы ни были начальные условия, если только скорость меньше некоторого предела, найти закон этой силы. Ответ короток: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения. Задача решена самим Бертраном, а наиболее полное решение приведено в заметке Дарбу к механике Депейру (2↑).

И, наконец, задача Кенигса (3↑) (Koenigs G.): зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать алгебраическую кривую, каковы бы ни были начальные условия, найти закон этой силы. Как это ни удивительно, но ответ тот же: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения. Исчерпывающее решение задачи дано самим Кенигсом (http://ru.wikipedia.org/w/index.php)...

Неадекватность методологии замкнутых систем и векторно-тензорного формализма

Физики-теоретики при постановке и решении задач берут пример с математиков, хотя такое прямое подражание не всегда бывает к месту, особенно при ненадлежащем учёте специфики физических явлений и процессов.

Математик имеет право записать в начальные условия задачи, в разделе “дано”, любые, даже самые невероятные вещи, и задача, тем не менее, приобретает шанс на существование, оставаясь (возможно, до поры до времени) кажущейся никому не нужной и лишенной смысла.

У физика положение иное: в “дано” он имеет право вносить только результаты ранее решённых задач, прошедших проверку практикой. Соблюдается ли это в приведённых выше примерах “решения” Кеплеровой задачи?

Нет, вместо обоснованного выбора методологии и рабочего инструмента (математического аппарата) для решения данной задачи, теоретики ограничиваются сообщением: “напишем функцию Лагранжа в виде …”. Естественно, этим они заведомо признают исследуемую динамическую систему замкнутой, а своим рабочим инструментом безальтернативно определяют векторно-тензорное исчисление.

Возможен вопрос: почему именно “замкнутой”? Давайте попробуем представить себе функцию Лагранжа открытой системы, скажем (как в нашем случае), систему с внешним воздействием силы тяготения, равным　F(t)=α/r², где　α　– известная константа (в цитированной выше работе математиков она обозначалась буквой　γ), а　r=r(t)　– переменное во времени расстояние до центра тяготения.

Внешняя сила на входе системы инструментально измеряема и соответствует закону всемирного тяготения. Значит, задача состоит в том, чтобы, исходя из анализа её физической сути, определить полный состав внешних и внутренних сил, действующих в системе, и, используя общий баланс этих сил как уравнение движения, найти динамические характеристики системы (координаты, скорости, ускорения, энергетические показатели).

Однако физики-теоретики предлагают пойти обратным путём. Давайте, говорят они, сначала составим для этой системы функцию Лагранжа, а затем с её помощью (используя аппарат частного дифференцирования, что при двух и более измерениях как раз и означает применение тензорного исчисления) составим уравнение движения, которое, возможно, и решать не придётся ввиду ставших очевидными ответов на любые интересующие нас вопросы.

Допустим, что такой подход также правомерен. Однако, каким образом открытая система будет сведена к замкнутой, т.е. как в функции Лагранжа будет учтено внешнее воздействие　F(t)=α/r²?　Нам отвечают: поскольку система движется в центральном поле, то достаточно будет включить в функцию Лагранжа дополнительное слагаемое в качестве потенциальной энергии　U=–α/r, где r=r(t)　– уже упоминавшееся выше (переменное во времени и пока нам не известное) расстояние до центра тяготения, которое и необходимо найти путём решения задачи.

Но, позвольте, какое отношение указанная величина потенциальной энергии　U=–α/r　имеет к взятой нами из закона всемирного тяготения величине силы тяготения　F(t)=α/r²?　Величину потенциала　U=–α/r　получают интегрированием функции　F(t)　по пути (мысленного) перемещения тела из бесконечно удалённой точки в заданную точку, заметим, в режиме свободного падения по некой параболической траектории, т.е. решая совсем иную задачу. В той задаче есть возможность не только интегрировать силу тяготения по перемещению, получая в результате данный потенциал, но и выполнять обратную операцию дифференцирования гравитационного потенциала по перемещению тела, снова возвращаясь к формуле закона всемирного тяготения.

А векторно-тензорное исчисление, на котором базируется вариационный принцип наименьшего действия с его аппаратом лагранжианов-гамильтонианов, к сожалению, такой возможности предоставить уже не может. Прежде всего, потому что дифференцирование здесь не ньютоново “классическое”, а ковариантное, “символическое”, т.е. “универсальное” в том смысле, что не зависит от выбранной системы координат, а значит, не имеет и обратной процедуры, которую можно было бы назвать “символическим интегрированием”.

Более того, в результате априорного выбора функции Лагранжа без предварительного анализа физической сути задачи и без учёта её специфики, частное дифференцирование происходит по направлениям ортов системы координат, не совпадающим с направлениями в пространстве, вдоль которых реально действуют внутренние силы в системе. Направления силовых воздействий, если и совпадают с направлениями ортов системы координат в каких-то точках орбиты, то чисто случайно, не в соответствии, а вопреки данной методологии и, естественно, с неизбежными искажениями и потерями в качестве решения задачи. Рассмотрим это подробнее на примере нашей задачи.

Хотя при выбранной системе координат сила притяжения неизменно действует вдоль полярного радиуса в сторону центра притяжения (начала координат), однако, реально эта сила разделяется на две перпендикулярные составляющие, воздействующие на движущееся тело в двух направлениях: по касательной к траектории (ускоряя или замедляя движение) и по нормали к траектории в сторону центра кривизны орбиты (этим изменяя направление движения).

При этом мгновенный центр кривизны орбиты оказывается на полярной оси лишь дважды за полный оборот, а, именно, при прохождении телом вершин эллипса на большой оси орбиты. Поэтому-то направление силы тяготения практически нигде не совпадает ни с одним из ортов выбранной аналитиками системы координат (за исключением двух указанных выше двух точек орбиты). В то же время методология лагранжианов-гамильтонианов (или методология замкнутых систем, что то же самое!) предусматривает частное дифференцирование функции Лагранжа (включая и добавленный в неё потенциал　U=–α/r) исключительно по ортам выбранной системы координат, т.е. в данном случае – по направлениям к центру притяжения и перпендикулярно ему, но никак не по касательной и нормали к траектории (эти направления в виде функций времени нам заранее не известны). Значит, данная методология преднамеренно игнорирует тот факт, что в расчётные величины действующих сил (а, значит, и в другие динамические характеристики системы) вносятся неконтролируемые искажения. Что представляют собой эти искажения?

В разных публикациях мы уже неоднократно рассматривали похожий случай (из 1-го тома учебного пособия Ландау-Лифшица, 2001, с.83), когда для режима вынужденных колебаний (заметим, речь идёт об открытой системе!), при заданном внешнем воздействии в виде функции времени　F(t), в функцию Лагранжа вносится дополнительная потенциальная энергия, равная　xF(t), где　x　– одномерная координата колебательного процесса.

Критикуя такой подход, мы показываем, что частным дифференцированием произведения переменных во времени величин　x(t)•F(t)　по переменной величине　x(t), которая является решением уравнения движения системы и поэтому зависит от входного воздействия　F(t), “восстановить” её (в том виде, в каком аналитики включили её в “придуманное” ими новое слагаемое функции Лагранжа в целях приведения открытой системы к замкнутой) невозможно. Действительно:

∂(xF)/∂x = F(t) + x(t) ∂F/∂x = F(t) + ∂F/∂(lnx) ≠ F(t).

После публикации статьи “Дефекты математической культуры теоретической физики” один из оппонентов высказал несогласие с нашей критикой следующим образом:

“Ошибка (вероятно, несущественная для решения общей задачи статьи) заключена в словах: “Координата x(t), являясь решением уравнения движения, зависит от внешнего воздействия　F(t). В итоге, эти две функции времени оказываются взаимозависимыми, и поэтому частная производная по координате x(t) от произведения функций　x(t)∙F(t)　отнюдь не равняется　F(t)”, где речь идёт о преобразовании вклада в Лагранжеву функцию от вынуждающей силы,　x(t)∙F(t). Видно, что соотношение для　x(t), которое на физической траектории заведомо выполнено, на виртуальной траектории не соблюдается, т.е. указанное преобразование функции Лагранжа незаконно (а соответствующее место в книге (“Механика” Ландау-Лифшица) , невзирая на критику … – правильное)”.

Ну что же, попытаемся к этому же вопросу подойти с другой стороны. При этом будем исходить из первичности физического смысла величин, используемых в математических выкладках. Итак, задано входное силовое воздействие на систему　F(t). Энергия, которую приобретает система в результате такого входного воздействия, на элементарном участке перемещения　dx, равняется величине элементарной работы　F(t)dx. На конечном участке от　0　до　x　приобретённая системой энергия составит величину (интеграл целесообразно брать с переменным верхним пределом):

E = ∫ F(t)dx.

Мы утверждаем, что взять этот интеграл, не зная вида функции　x(t), т.е. не решив предварительно уравнение движения системы, невозможно. А Ландау и Лифшиц “берут” и получают величину　xF(t). В этом и состоит допускаемая ими математическая некорректность, на которую они сознательно идут, не желая признавать несостоятельность методологии лагранжианов-гамильтонианов (или принципа наименьшего действия) для открытых систем.

Всё вышесказанное относится и к рассматриваемой нами задаче эллиптического движения. Здесь мы также имеем дело с открытой системой (небесным телом, испытывающим внешнее гравитационное воздействие), и вновь теоретики (и вновь неудачно) пытаются “перехитрить” природу, выдавая открытую систему за замкнутую.

Величина　U(r), которую теоретики произвольно предлагают считать внутренней (потенциальной) энергией системы, на самом деле является энергией обмена движущегося небесного тела с гравитационной средой: приближаясь к массивному телу, малое тело набирает скорость и энергию, а, удаляясь от него, теряет. При этом бессмысленно устанавливать для указанного энергетического обмена “закон сохранения” в виде некоторой фиксированной суммы кинетической и потенциальной энергии: у большого тела этой энергии, по отношению к малому телу, “бесконечно много”, так что изъятие или возвращение ранее изъятой (конечной по меркам малого тела) энергии для большого тела совершенно неощутимо. А вот для малого тела подсчитать, сколько энергии оно в состоянии позаимствовать из внешней среды, при различных режимах движения, надо уметь. А умеет ли это делать теоретическая механика в её нынешнем состоянии?

Мы утверждаем, что величина　U(r)=–α/r　совершенно необоснованно и ошибочно вводится в состав исходных данных для решения Кеплеровой задачи. Частное дифференцирование этой функции по полярной координате　r(t), даже если бы мы знали заранее правильное решение задачи, не может правильно определить направления и абсолютные величины действующих в системе внутренних сил (напомним, направленных по касательной и нормали к траектории в любой точке орбиты), поскольку нигде, кроме двух точек орбиты, орты неподвижной полярной системы координат с направлениями внутренних сил не совпадают,

В связи с этим ещё раз подчеркнём: для открытых систем “обратный” порядок расчёта динамических характеристик, начинающийся с принятия некой величины энергии, которая должна сохраняться неизменной в процессе движения, принципиально неприемлем. Только решив уравнение динамического силового баланса системы, можно приступать к интегрированию известных сил по известному пути движения системы. И только так можно определить истинные значения её энергетических характеристик, но никак не наоборот.

Мнимая “универсальность” лагранжева формализма оборачивается фактическим игнорированием физической сущности решаемой задачи и подменой её упрощённым суррогатом, недоброкачественность которого прикрывается искусственно воздвигаемыми (и якобы неизбежными) головоломными формульными выкладками и необозримыми объёмами вычислений. А, главное, если мы всё-таки наберёмся терпения и сил, чтобы выполнить этот предлагаемый нам теоретиками вычислительный “сизифов труд”, то в конце пути мы окажемся с тем же объёмом знаний об исследуемом предмете, с которым этот путь начинали.

Мы обнаружим лишь “подгонку” плоскостного движения под известный вариант одномерного, для которого соблюдается закон изменения потенциальной энергии　U(r)=–α/r, взятый аналитиками для Кеплеровой задачи “с потолка”. Попросту говоря, при старательно созданной теоретиками видимости научного подхода к решению задачи, нам вместо настоящего решения предлагается всего лишь “соска-пустышка”, которой успокаивают, а, по сути, обманывают детей, в роли которых в данном случае выступает научная (и не только научная) общественность.

В своё время векторно-тензорное исчисление предлагалось в качестве рабочего инструмента для перехода от анализа одномерного движения к анализу движений в многомерных пространствах, при необходимости – вплоть до бесконечномерных. И вот оказывается, что даже при двух измерениях, при анализе движения на плоскости, решение задачи с помощью этого аппарата, мягко говоря, проблематично. “Тактика” сокрытия неустранимых недостатков методологии, основанной на тензорном исчислении, проста до примитивности: если для исследования предъявляется открытая система, то следует её искусственным приёмом свести к замкнутой,. Соответственно, если предстоит исследовать многомерное движение, то следует его искусственным приёмом “подогнать” под одномерный аналог.

То, что движение на плоскости имеет специфические особенности, требующие для их анализа более совершенного математического аппарата, можно продемонстрировать на простом примере.

Возьмём частный случай эллиптического движения – кругового, заданного параметрически:　x = r cos ωt,　y = r sin ωt, где　ω　– угловая скорость. Полагаем, что некое массивное тело поддерживает данный режим движения малого небесного тела силой гравитации, описываемой уравнениями:

d²x/dt² = –rω² cos ωt,　d²y/dt² = –rω² sin ωt.

Ясно, что для вращающегося тела внешнее воздействие тоже становится вращающимся. Так, во вращающейся синхронно с телом системе координат само тело неподвижно, а внешняя сила гравитации совершает обратное вращение. Посмотрим, можно ли для небесного тела, находящегося на круговой орбите под действием гравитационного силы　F(t)=α/r², ввести некую потенциальную функцию　U(r). Чтобы такую функцию можно было ввести, силовая функция

(–rω² cos ωt) dx + (–rω² sin ωt) dy

должна быть полным дифференциалом, для чего необходимо и достаточно соблюдения следующего тождества:

d(–rω² cos ωt)/dy ≡(?) d(–rω² sin ωt)/dx　или　ω² tg ωt ≠(!) ω² ctg ωt.

Как видим, указанное тождество не соблюдается, т.е. своим вращением (обращением вокруг массивного тела) малое небесное тело превращает (естественно, только для себя) внешнее гравитационное поле в непотенциальное (вихревое). Это служит ещё одним подтверждением того, что введение потенциальной энергии　U=–α/r, взятой из другой задачи, в исходные условия для Кеплеровой задачи, неправомерно.

Здесь же отметим, что факт непотенциальности внешнего гравитационного поля для тела на круговой орбите выше был установлен с применением аппарата частных производных, т.е. средствами, входящими в состав векторно-тензорного инструментария. Однако для какого-либо дальнейшего оперирования с вихревыми полями, кроме констатации их вихревого характера, векторно-тензорный аппарат изначально не приспособлен, хотя он и применяется, например, в электродинамике (на наш взгляд, нанося этому разделу теоретической физики больше вреда, чем пользы). По большому счёту, для адекватного описания движений, связанных с вращениями, необходим более совершенный аппарат алгебр с векторным делением, о чём речь ещё пойдёт ниже.

А сейчас хотелось бы обратить внимание на неприглядную роль математики (естественно, в лице конкретных математиков), выступившей в роли такой же “служанки” нынешней, застрявшей в своём развитии на уровне науки ХIХ века, теоретической физики, какою на протяжении ХХ века являлись (и, к сожалению, до сих пор являются) общественные науки по отношению к деятельности “власть предержащих” лиц и групп. Вот как выглядит “математическое обоснование” правомерности редукции плоскостной Кеплеровой задачи в одномерную.

“Движение материальной точки (массы 1) в центральном поле на плоскости определяется уравнением

d²ř/dt² = Ф(r)ē ۭ

где　ř　– радиус-вектор с началом в центре поля О,　r　– его длина,　ē_r　– его орт. Будем считать нашу плоскость вложенной в трёхмерное ориентированное евклидово пространство.

Определение. Моментом количества движения (или кинетическим моментом) материальной точки единичной массы относительно точки О называется векторное произведение

M=[ř, dř/dt].

…Введём на нашей плоскости полярные координаты　r,　φ　с полюсом в центре поля О… Разложим вектор скоростиdř/dt　по базису　ē_r　, ē_Ф…

…Закон сохранения кинетического момента позволяет свести задачу о движении в центральном поле к задаче с одной степенью свободы. Благодаря этому движение в центральном поле можно исследовать полностью…

Теорема. При движении материальной точки в центральном поле её расстояние от центра поля меняется так, как r в одномерной задаче с потенциальной энергией

V(r) = U(r) + M²/2r².

Доказательство. Дифференцируя доказанное в §7 соотношение

dř/dt =(dr/dt)ēۭ_r　+ r(dφ/dt)ē_Ф,

находим

d²ř/dt² = [d²r/dt² – r(dφ/dt)²]ē_r　+ [2(dr/dt)(dφ/dt) + r(d²φ/dt²)]ē_φ.

Ввиду центральности поля

∂U/∂ř = ∂U/∂r ē_r　.

Поэтому уравнение движения в полярных координатах принимает вид

d²r/dt² – r(dφ/dt)² = –∂U/∂r ,

2(dr/dt)(dφ/dt) + r(d²φ/dt²) = 0.

Но по закону сохранения кинетического момента

dφ/dt = М/r²,

где　М　– не зависящая от　t　постоянная, определяемая начальными условиями.

Поэтому

d²r/dt² = –∂U/∂r + r М²/r²　или　d²r/dt² = –∂V/∂r, где　V = U + М²/2r².

Величина　V(r)　называется эффективной потенциальной энергией.

Замечание. Полная энергия в полученной одномерной задаче

E = (dr/dt)²/2 + V(r)

совпадает с полной энергией в исходной задаче

E = (dr/dt)²/2 + U(r).

…Полная энергия в полученной одномерной задаче сохраняется. Следовательно, зависимость　r　от　t　определяется квадратурой …

φ = ∫ (М/r²)dr/{√ 2[E – V(r)]}”.

— Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 3-е изд. — М.: Наука, 1989, сс. 32-35

Обратите внимание на критерий правомерности сведения двумерной задачи к одномерной: “расстояние от центра поля меняется так, как　r　в одномерной задаче”. Хочется спросить: ну, и что из этого следует? Разве во втором измерении не происходит ничего существенного и ничего представляющего теоретический и практический интерес? А, главное, как же реализуется созданный самой природой хитроумный механизм взаимосвязи двух измерений? Иначе говоря, какова физическая сущность задачи? И почему эту сущность позволительно столь примитивным образом игнорировать, да ещё и оправдывать допускаемый теоретический произвол, прикрывая его авторитетом математики?!

Решение Кеплеровой задачи на основе алгебры с делением

Кратко сформулируем основные исходные положения дальнейшего исследования. Анализируемое движение – двумерное, поэтому адекватный математический аппарат – алгебра с делением в виде комплексных чисел.

За “равновесное состояние” принимаем частный случай эллиптического движения – круговое движение:　x=(r)exp(iωt)=(p)exp(iVpt/r²), где　r　– радиус вращения (при круговом движении он равен радиусу кривизны　p);　ω　– угловая скорость,　t　– время, V　– линейная скорость). Произведение Vp=М, представляющее собой момент импульса, который в данной записи играет роль “обобщённой угловой скорости” (или, по второму закону Кеплера, удвоенной величины “секториальной скорости”), а выражение t/r²=τ – соответственно “обобщённого времени”.

Ориентируясь на полярное уравнение конического сечения, с помощью конформного преобразования, введём в качестве координаты величину, обратную расстоянию до центра притяжения (но, для более привычного восприятия, сохраним положительное направление вращения).

В итоге получим триаду обобщённых характеристик движения (координату　x, скорость v и ускорение　w; последние две величины вычисляются обычным, однократным и двукратным, дифференцированием координаты　x　по времени　τ):

1.　x = (1/p)exp(iМτ).

2.　v =iVexp(iМτ).　

3.　w = (–V²p)exp(iМτ).

Теперь перейдё к системе координат, вращающейся синхронно с исходным вращением. Тогда триада векторов (обобщённые координата, скорость, ускорение) лишатся своих фазовых множителей вращения exp(iМτ), т.е. будут сохранять неизменным своё положение в пространстве, с соответствующим сдвигом на 90° (второго относительно первого, а третьего относительно второго). При этом третьему (обобщённому силовому) вектору, имеющему физический смысл центробежного ускорения, умноженного на квадрат расстояния от центра притяжения до точки его приложения, будет противостоять (уравновешивать его) вектор обобщённого ускорения тяготения – силы, приведённой к единичной массе движущегося тела и помноженной на квадрат расстояния от точки на орбите до центра притяжения. В сумме оба вектора составят обобщённый силовой баланс:

(–V²p) + α = 0.

Физически этот силовой баланс представляет собой внутренне напряжённую динамическую структуру, устойчиво удерживающую взаимное расположение центра кривизны орбиты и центра притяжения тела (которые при круговой орбите совмещены друг с другом).

Введём вектор, начало которого будет находиться в центре притяжения, а конец – в центре кривизны. В исходном положении, при движении тела по окружности, этот вектор равен нулю. А теперь представим себе, что в силу каких-либо причин (о которых разговор пойдёт ниже), этот вектор оказался не равным нулю. Его направление на плоскости может быть произвольным, но, чтобы с чего-то начать анализ этого явления, допустим, что он направлен вдоль полярной оси в ту же сторону, что и находящийся в данный момент времени на этой же оси неподвижный (без фазового множителя вращения) вектор　x = (1/p).

Условно (вроде бы “случайно”, но за эту “случайность” надо поблагодарить Лаланда, открывшего уравнение конического сечения) примем вектор отклонения центра кривизны от центра притяжения равным　е/p, где е – произвольное действительное число, находящееся в пределах 0≤е<1.

Теперь зададимся вопросом, как физически можно добиться отклонения центра кривизны орбиты от центра притяжения вдоль полярной оси (в данном случае влево по оси абсцисс)? Понятно, что это можно сделать путём увеличения вектора линейной скорости тела в направлении мнимой оси, на которой исходно находится вектор скорости　v=iV, на величину　iеV. Понятно также, что увеличение обратной величины расстояния до центра притяжения (равносильное приближению этого центра) вызовет увеличение (по абсолютной величине) обобщённой силы притяжения　(–V²p)　на величину　(–V²еp).

Как видим, между членами образовавшейся новой триады существует такая же дифференциально-интегральная связь, как и между членами первоначальной триады. Иначе говоря, вторая триада представляет собой динамические характеристики ещё одного вращения, возникающего на основе исходного кругового движения и налагающегося на него, в результате чего круговая орбита преобразуется в эллиптическую.

Примем исходное взаимное расположение двух триад из шести векторов за нулевую фазу общего движения тела по орбите. Понятно, что нулевая фаза будет соответствовать положению тела в вершине большой оси эллипса.

Каждое из двух накладывающихся друг на друга круговых движений поддаётся анализу по отдельности: абстрагируясь от одного, получаем триаду основных динамических характеристик второго вращения и наоборот. Заметим также, что в обычной, не вращающейся системе координат векторы динамических характеристик второго вращения сохраняют неизменное положение в пространстве (этот факт далее послужит основанием для важного вывода).

Итак, триады динамических характеристик двух вращений в нулевой фазе взаимного вращения находятся в попарно совмещённом состоянии. Посмотрим, как поведёт себя новая триада векторов　(е/p, iеV, –V²еp)　при последующем повороте в противоположных направлениях, в привязке к реальному времени.

При смещении тела с вершины большой оси эллипса центр кривизны орбиты также смещается с этой оси, а при фазе　90°　вектор смещения становится “чисто мнимым”. В этом случае расстояние до центра притяжения становится равным параметру　p. Соответственно, сила притяжения восстанавливается до исходной величины　(–V²p), однако при этом она “расщепляется” на две составляющие, которые проявляют себя по-разному. Составляющая, которая действует вдоль касательной к траектории, в соответствии со вторым законом Ньютона приводит к уменьшению (на симметричной половине эллипса – к увеличению) линейной скорости и при этом полностью уравновешивается силой инерции тела, сопротивляющейся изменению скорости. Составляющая же, действующая по нормали к траектории, уравновешивается по иному закону – закону вращения, т.е. возникающей по этому закону центробежной силой. Обе противостоящие друг другу силы достигают минимального значения в вершине эллипса на его малой оси. При фазе же　180°　(на другой вершине большой оси эллипса) члены обеих триад попарно противостоят друг другу.

Таким образом, получаем следующие уравнения для координаты α, скорости β и ускорения γ во вращающейся системе координат:

α = (1/p) + (е/p)exp(–iМτ),

β =(iV) + (iVе)exp(–iМτ),

γ = (–V²p) + (–V²еp)exp(–iМτ).

То же решение, но в обычной, не вращающейся системе координат и в приведённом к расстоянию до центра притяжения масштабе времени выглядит так:

x = (1/p)exp(iМτ) + (е/p),

v =(iV)exp(iМτ) + (iVе),

w = (–V²p)exp(iМτ) + (–V²еp).

Представить это движение в обычной, не вращающейся системе координат и в реальном времени t можно путём подстановки　 τ=t/r². Однако нас интересует не только вид связи величин τ и t в каждой изолированной точке орбиты, но и их совместное изменение в “накопительном режиме”, начиная с момента времени t=τ=0 и, по крайней мере, до завершения полного оборота вокруг центра притяжения, а затем и далее.

Здесь мы не будем открывать ничего нового, но всё же категорически отвергнем искусственное привязывание к данному процессу “закона сохранения энергии” вместо исследования реально происходящего энергообмена между движущимся по орбите телом и внешним источником. Именно применение в математических выкладках и расчётах величины так называемой “полной энергии системы” Е, включающей, кроме кинетической энергии движущейся массы, также “отрицательную” (!?) энергию внешнего источника, превращает саму величину Е в физически абсурдную отрицательную константу. Покажем, как можно обойтись без этого искусственного методологического приёма (к сожалению, рекомендуемого к применению существующими учебниками и учебными пособиями для студентов физических специальностей вузов).

Поскольку нам известна секториальная скорость “заметания” радиусом-вектором площади эллипса (равная половине момента импульса тела М), то достаточно в каждый момент времени знать, какая величина площади эллипса уже “заметена”, чтобы делением этой величины на секториальную скорость найти затраченное на это время. Собственно, так и вычисляются периоды обращения для эллиптических орбит по третьему закону Кеплера.

Для наглядного численного примера примем следующие исходные данные. Масса центрального тела m=6·10^24 (кг), масса обращающегося по эллиптической орбите тела считается единичной. Гравитационная постоянная G=6,673·10^-11 (м³/кг·с²). Эксцентриситет эллиптической орбиты е=0,5. Большая полуось эллиптической орбиты а=3,84·10^8 (м).

Найдём величину параметра конического сечения р=а(1–е²)=3,84·10^8(1–0,25)=2,88·10^8 (м). Величины М и V определятся из условия равенства центробежного и центростремительного ускорений в любой из вершин эллипса на его большой оси, в которых радиус кривизны орбиты равен параметру р: ν²/р=Gm/r². Откуда: М=νr=√(Gmр) и далее V=√(Gm/р). В данном числовом примере значения этих величин таковы:

М=√(6,673·10^-11·6·10^24·2,88·10^8)=3,4·10^11 (м²/с);

V=√(6,673·10^-11·6·10^24/2,88·10^8)=1,18·10^3 (м/с).

Общая площадь орбитального эллипса равна:

S=πа²√(1–е²)=3,14·3,84²·10^16·√0,75=4·10^17 (м²).

Таким образом, полный период обращения равен:

Т=2S/М=πа²√(1–е²)/√(Gmр)=2π√(а³/Gm)=2,36·10^6 секунд=27,31 суток.

Движение между противоположными вершинами на большой оси эллипса занимает по времени полупериод Т/2=1,16·10^6 секунд=13,655 суток.

Теперь найдём площадь эллипса, “заметаемую” радиусом-вектором при изменении фазового угла от нулевого значения до произвольного угла φ (0<φ<π). Для этого воспользуемся табличными интегралами из справочника “Г.Б.Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука, 1966, с.94”:

446.03. ∫dx/(а+bсоsx)²=bsinx/(b²–а²)(а+bсоsx) – [a/(b²–а²)] ∫dx/(а+bсоsx).

446.00. ∫dx/(а+bсоsx)=2/(а²–b²)arctg[(a–b)tg(x/2)/√(а²–b²)].

Интегрируя по фазе от нуля до φ (с переменным верхним пределом), находим величину “заметаемой” площади эллипса:

s=(1/2)∫р²dφ/(1+есоsφ)²=(р²еsinφ)/2(е²–1)(1+есоsφ)–р²/(е²–1)(√1–е²)аrсtg[(1–е)tg(φ/2)/(√1е²)].

В частности, для φ=π/2, е=0,5 и р=2,88·10^8 м получаем s=5,55·10^16 м². На это движение затрачивается по времени t=2s/М=3,26·10^5 секунд=3,78 суток, что составляет 27,7% от полупериода обращения по эллиптической орбите (на круговой орбите аналогичная величина составляла бы 50%). Таков результат неравномерности движения по эллиптической орбите.

Так устанавливается зависимость фазы обращения (угла φ) от реального времени. Что касается изменения того же угла φ как функции обобщённого времени τ, то эта зависимость предельно проста, а, именно: φ=Мτ или τ=φ/М, что весьма удобно для изучения “более тонких” свойств данного движения. Заметим, что неравномерность течения обобщённого времени τ относительно реального времени t вполне компенсируется неизменностью обобщённой фазовой скорости, в роли которой выступает момент импульса М, равный удвоенной величине секториальной скорости: d(Мτ)/dτ=М=соnst. Это равносильно представлению неравномерного эллиптического движения в виде равномерного кругового.

Ещё раз напомним, как выглядит исходное полярное уравнение конического сечения, которым мы руководствовались в процессе решения задачи (не “подгоняя” ответ под это уравнение, а, напротив, раскрывая заключённый в нём более глубокий физический смысл):　r = p/(1+е cosφ).

Отметим, что постановка и решение Кеплеровой задачи для небесных тел как открытых систем позволяет внести некоторую ясность в вопрос о том, каким образом круговые орбиты могут превращаться в эллиптические. Если круговое движение малого тела вокруг большого небесного тела можно трактовать как состояние равновесия колебательной системы при отсутствии в ней свободных колебаний, то движение по эллиптической орбите означает наличие в системе именно таких свободных колебаний с амплитудой　е/p.

В космологических масштабах времени, однако, остаётся открытым вопрос о том, находится ли амплитуда этих колебаний　(е/p) постоянной или медленно изменяется? На то, что имеет место последнее, указывает следующее обстоятельство.

Мы показали выше, что свободные колебания небесного тела как динамической системы представляются следующей триадой векторов, связанных дифференциально-интегральной зависимостью (обнаруживаемой во вращающейся системе координат), а, именно:

1) вектором обратной величины смещения центра кривизны орбиты от центра тяготения;

2) вектором линейной скорости на базовой круговой орбите;

3) вектором обобщённого (помноженного на параметр конического сечения или радиус кругового движения) центробежного ускорения на базовой круговой орбите.

Эта триада векторов для внешнего наблюдателя сохраняет неизменным своё положение в пространстве (для планет солнечной системы – в плоскости эклиптики). Но внешнее (по отношению к солнечной системе) постоянное по направлению гравитационное воздействие для планеты на орбите имеет вид переменного, т.е. изменяющегося по закону обратного вращения, относительно направления реального обращения планеты вокруг Солнца, или на частоте свободных колебаний системы. В результате система самим своим вращением настраивается на режим резонансного накопления поступающей извне энергии, при котором амплитуда колебаний (е/p) возрастает со скоростью, пропорциональной величине внешнего воздействия, с одновременным “вытягиванием” большой оси эллипса в направлении, перпендикулярном направлению внешнего воздействия.

Действительно, данные астрономических наблюдений показывают, что направления больших осей эллиптических орбит планет солнечной системы располагаются перпендикулярно направлению на созвездие Стрельца (или центр Галактики). Это свидетельствует в пользу того, что эксцентриситеты планетных орбит под гравитационным галактическим воздействием, хотя и крайне медленно, но возрастают. С другой стороны, малые величины этих эксцентриситетов должны означать, что Солнечная система, по космологическим масштабам времени, ещё сравнительно молода.

Заключение

“Лагранжев метод имеет основополагающий характер и является фундаментом современной теоретической физики”, – пишет наш оппонент, и это мы можем только подтвердить. Не будем оспаривать и следующий его тезис:

“…По историческим причинам, трудно сомневаться в научной объективности и добросовестности работ Лагранжа. Лагранж никак не мог быть членом комиссии Круглякова, членом религиозной секты Ландау-Гинзбурга, иностранным членом Его Императорского Величества Российской академии наук и никогда не публиковался в научных журналах РАН”

—　http://bolshoyforum.org/wiki/index.php/Ab_Ovo_или_%22...а_Лагранж_-_против%22

И всё-таки, всё-таки …

Сменяются эпохи – меняются критерии оценок. Вопрос теперь только в том, сколько времени нам ещё оставаться в ХIХ веке. И вопрос этот сугубо практический.

В 1997 году мною была подана в государственное патентное ведомство (Роспатент) заявка № 97111689/06 на предполагаемое изобретение　“Способ получения и использования гравитационной энергии в форме движения рабочей машины, транспортного средства или летательного аппарата”　с приоритетом от 15 июля 1997 года.

И огорчило не столько само получение “отказного” решения Роспатента по заявке, сколько удручающе убогий уровень обоснования этого решения, а, именно, со ссылкой на формулу для величины гравитационного потенциала　E=mgh　из школьного учебника физики издательства “Просвещение” и с заключительной фразой о том, что заявка “противоречит общепринятым положениям науки”.

В поданной мною апелляции было высказано недоумение: а как же быть с приведёнными автором заявки математическими выкладками и расчётами? Это не к нам, ответили в Роспатенте, это – в Академию наук.

Ни на одно из писем по тематике заявки, адресованных Президенту РАН, автор ответа не получил: все они в академической канцелярии “затерялись”. Только на письмо, посланное через канцелярию Администрации Президента страны, из одного из Институтов РАН пришла формальная отписка, показавшая только то, что выше нынешней “научной бюрократии” в стране сейчас никого и ничего нет.

С 2005 года по настоящее время на имя ректора МГУ (с 2008 года он же – вице-президент РАН) В.А.Садовничего мною было послано более десятка писем с приложенными к ним научными публикациями. Ни на одно из этих писем ректор МГУ не ответил.»

Конец цитаты. Оригинал в полном объеме здесь:

http://ivanik3.narod.ru/linksObschPhizInerciodPetrovAM.html

Тут я должен написать несколько слов для тех, кто перемотает в конец, чтобы сразу почитать выводы. Выводы следующие. Существующий подход предлагает считать, что Земля, двигаясь вокруг Солнца является замкнутой системой и не получает от светила никакой энергии. Появляющийся перекос компенсируется некоей потенциальной энергией, неизвестно как относящейся к силам из закона всемирного тяготения.

Предлагаемый автором метод показывает, что между ними не только существует энергообмен, но и раскрывает природу эллиптического движения, показывая, что в такой вращающейся системе происходят колебательные процессы, связанные с этим энергообменом, имеющие, возможно, склонность к резонансному  накоплению (что постепенно меняет форму орбиты).

Решение задачи по аналитическому описанию кеплеровского движения - это не праздное развлечение для мечтателей и теоретиков.  Корректное математическое описание вращающихся систем с колебательным характером энергообмена (простейший пример – приливы и отливы на Земле) имеет архиважное значение в выборе матаппарата для решения сугубо практических задач, особенно остро стояших для перевооружающейся страны. Надеюсь, что все кому нужно по достоинству оценят предлагаемый материал.