Вход на сайт

МЕДИАМЕТРИКА

Облако тегов

Кеплерова задача - критерий качества точных наук

Аватар пользователя Радионеслушатель


К 385-летию со дня смерти И. Кеплера. (15.11.1630)

 

 

Представители официальной науки полагают, что достижения последних десятилетий в ряде научных областей столь велики и убедительны, что оглядываться на, казалось бы, давно решённые и прочно вошедшие в учебную литературу задачи, а, тем более, подвергать сомнению надёжность методологии и математического аппарата, с помощью которых они решались, нет оснований. На конкретном примере покажем, что это не так.

Вместо предисловия. Приведенная ниже статья А.М. Петрова рассказывает о существующих способах аналитического описания кеплеровского движения, указывает на их недостатки,  и предлагает свой – основанный на алгебре комплексных чисел. Я постарался максимально убрать математические выкладки и сохранить популярный уровень изложения. Хочу отметить, что И. Кеплер узнал о гелиоцентрической системе Коперника у профессора математики и астрономии М. Местлина в ходе своего обучения в Тюбингентской академии частным образом. Официально Местлин учил студентов геоцентрической системе Птолемея, повсеместно принятой в то время, и считавшейся единственно верной. Таким образом, И. Кеплер (как и его преподаватель) был в известном смысле - как сейчас говорят - альтернативщиком и фриком. В те времена таких предпочитали не лечить веществами в психиатрических клиниках, как то практиковал В. Гинзбург с присными, а сразу пускать в расход, отчего Кеплер вынужден был бежать в Прагу. Там в его распоряжении окажутся точнейшие многолетние наблюдения Тихо Браге, которые и дадут ему массив данных для нахождения его эмпирических зависимостей, превративших астрономию в точную науку. Именно поэтому он написал в предисловии к своей книге «Новая астрономия. Небесная физика» в 1609 году:

«Жребий брошен. Я написал книгу либо для современников, либо для потомков; для кого именно - мне безразлично. Пусть книга ждёт сотни лет своего читателя: ждал же сам Бог 6000 лет, пока появился свидетель».


 

А.М. Петров

КЕПЛЕРОВА ЗАДАЧА - КРИТЕРИЙ КАЧЕСТВА ТОЧНЫХ НАУК

(статья дана с сокращениями)

К истории Кеплеровой задачи

“Усилия Кеплера невероятны. Каждое его вычисление занимает 10 страниц в листе; каждое вычисление он повторял по 70 раз; 70 повторений дают 700 страниц. Вычисляющие знают, сколько можно сделать ошибок и сколько раз надо было проделывать вычисления, занимающие 700 страниц: сколько же надо было употребить времени? Кеплер был человеком удивительным; он не испугался такого труда…”.

— Жан Сильвен Байи “История астрономии”, 1775.

Таков исторический факт: зако́ны Ке́плера были открыты эмпирическим путём, в виде интуитивно подобранных Иоганном Кеплером (1571–1630) соотношений, на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге (1546–1601). Как это произошло?

“Чрезвычайно трудные и многолетние вычисления не удовлетворяли его: разности между вычислениями и наблюдениями простирались до 5 и 6 минут градуса; от этих-то разностей он хотел освободиться и, наконец, открыл истинную систему мира. Кеплер решительно отказался от движения планет по кругам около эксцентра, т.е. около точки воображаемой, невещественной. Вместе с такими кругами уничтожились и эпициклы. Он предположил, что Солнце есть центр движения планет, совершающихся по эллипсу, в одном из фокусов которого находится этот центр. Чтобы возвести такое предположение на степень теории, Кеплер произвёл вычисления, удивительные по своей трудности и по своей продолжительности. Он показал беспримерно неутомимое постоянство в труде и непреодолимое упорство в достижении предложенной цели. Такая работа была награждена тем, что вычисления, относительно Марса, основанные на его предположении, привели к выводам, совершенно согласным с наблюдениями Тихо”

 http://biographera.net/biography.php?id=79 

Первые два закона были представлены Кеплером в его труде: “Astronomia nova sive physica caelestis, tradita commetaris de motibus stellae Martis ex observationibus Tycho Brahe”. – Прага, 1609.

“Теория Кеплера состоит из двух положений: 1) планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится центр Солнца, и 2) планета двигается с такой скоростью, что радиусы-векторы описывают площади вырезок, пропорциональные временам движения. Из многочисленных наблюдений в Уранибурге Кеплер должен был выбрать наиспособнейшие для решения вопросов, соединённых с главной задачей и изобрести новые способы вычисления. Посредством такого благоразумного выбора, без всякого предположения, он доказал, что линии, в которых плоскости орбит всех планет пересекают эклиптику, проходят через центр Солнца и что эти плоскости наклонены к эклиптике почти под постоянными углами”

 http://biographera.net/biography.php?id=79 

Десять лет потребовала работа над ещё одним законом небесной механики, который Кеплер представил в своём труде “Harmonicces mundi libri quinque …”. – Линц, 1619.

Здесь Кеплер отдаёт отчёт об открытии третьего своего закона, именно: квадраты времён вращений планет пропорциональны кубам их расстояний от Солнца. 18 марта 1618 года вздумал он сравнить квадраты времён вращений с кубами расстояний. Но, по ошибке вычисления, он нашёл, что закон неверен; 15 мая он вновь переделал вычисления, и закон оправдался. Но и тут Кеплер сомневался в нём, потому что во втором вычислении также могла быть ошибка. "Однако же, – говорит Кеплер, – после всех проверок я убедился, что закон совершенно согласен с наблюдениями Тихо. Итак, открытие не подлежит сомнению".

Вот названия других сочинений Кеплера, показывающих, какую трудолюбивую жизнь вёл великий астроном:

- Nova dissertatiuncula de fundamentis astrologiae certioribus, и пр. – Прага, 1602.

- Epistola ad rerum coelestium amatores universos, и пр. – Прага, 1605.

- Sylva chronologica. – Франкфурт, 1606.

- Подробная история новой кометы 1607года, и пр. На немецком; в Галле, 1608.

- Phoenomenon singulare, seu Mercurius in Sole, и пр. – Лейпциг, 1609.

- Dissertatio cum Nuncio sidereo nuper ad mortales misso a Galileo. – Прага, 1610; в том же году была перепечатана во Флоренции, а в 1611 во Франкфурте.

- Narration de observatis a se quatuor Jovis satellitibus erronibus quos Galilaeus medica sidera nuncupavit. – Прага, 1610.

- Jo. Kepleri strena, seu de nive sex–angula. – Франкфурт, 1611.

- Kepleri eclogae chronicae ex epistolis doctissimorum aliquot virorum et suis mutuis. – Франкфурт, 1615.

- Ephtmerides novae, и пр. – Кеплеровы эфемериды издавались до 1628 года и всегда на год вперёд; но печатались по истечении года. После Кеплера их продолжил Барчий, зять Кеплера.

- Известия о несчастьях для правительства и церквей, особенно о кометах и землетрясениях в 1618 и 1619 гг. На немецком, 1619.

- Затмения 1620 и 1621 гг. На немецком, в Ульме, 1621.

- Kepleri apologia pro suo opere Harmonices mundi, и пр. – Франкфурт, 1622.

- Discursus conjuctionis Saturni et Joves in Leone. –Линц, 1623.

- Jo. Kepleri chilias logarithmorum. – Марбург, 1624.

- Jo. Kepleri hyperaspistes Tychonis contra anti-Tychonem Scipionis Claramonti, и пр. – Фракфурт, 1625.

- Jo. Kepleri supplementum chiliadis logaritmorum. – Acnypr, 1625.

- Admonitio ad astronomos rerumque coelestium studiosos de miris rarisque anni 1631 phoenomenis, Veneris puta et Mercurii in Solem incursu. – Лейпциг, 1629.

- Responsio ad epistolum jac. Bartschii praefixam ephemeridi anni 1629, и пр. – Саган, 1629.

- Sportula genethliacis missa de Tab. Rudolphi usu in computationibus astrologicis, cum modo dirigendi novo et naturali. – Саган, 1629.

Ганш в 1718 году издал один том, содержащий в себе часть рукописей, оставшихся после Кеплера; обещанный им второй том не вышел, по недостатку средств. Ещё восемнадцать тетрадей неизданных рукописей были куплены Императорской Санкт-Петербургской академией наук в 1775 году.

 http://biographera.net/biography.php?id=79

Естественно, эмпирический вид законов Кеплера не мог удовлетворить учёных, и поиски для этих законов адекватной математической формы продолжались. Но ключевое слово, определившее направление поисков, Кеплером было уже произнесено: эллипс!

Как таковые, конические сечения, частным случаем которых является эллипс, были известны ещё математикам Древней Греции. Древнегреческий учёный Менехм (IV в. до н.э.) пользовался параболой и гиперболой для знаменитой задачи удвоения куба. Исследовали свойства конических сечений Евклид (IV в. до н.э.) и Архимед (III в. до н.э.). Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости.

….

Введение термина “полярные координаты” приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа “Дифференциальное и интегральное исчисление”, выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком. Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему.

Интерес к коническим сечениям заметно возрос после того, как сначала Г.Галилей (1564–1642) установил, что тело, брошенное под углом к горизонту, двигается по параболе, а затем И.Кеплер доказал, что планеты при своём движении описывают эллипсы. Позднее было установлено, что кометы и другие небесные тела движутся по эллипсам, параболам или гиперболам в зависимости от их начальной скорости. А честь открытия единого полярного уравнения конического сечения принадлежит французскому астроному Жозефу Жерому Франсуа Лаланду (Josef-Jerome Francois de Lalande, 1732–1807).

Последний факт долгое время оставался малоизвестным даже в научных кругах, поскольку здесь в науку оказалась “замешана политика”. Об этом следует рассказать подробнее. Вот что пишет М.Шпигельман (М.Spiegelman) в своей книге “Эллипсы, параболы и гиперболы в совмещённых полярно-декартовых координатах” (М.: 2006, с.с. 441-448), основываясь, в частности, на материалах работы Г.Е.Павловой “Жозеф Жером Франсуа Лаланд”.

http://vmate.ru/load/uchebniki/uchebnye_materialy/mikhail_shpigelman_ehllipsy_paraboly_i_giperboly_v..

Итак, открытие полярного уравнения конического сечения поставило законы Кеплера на прочную математическую основу. Оставалось сделать последний шаг: представить найденную математическую зависимость в виде функции времени, что и стало основным содержанием задачи, получившей название Кеплеровой задачи.

Для полноты картины укажем здесь также задачи, “родственные” Кеплеровой, решение которых, однако, не даёт решения последней.

Ещё Ньютон показал, что его закон всемирного притяжения и его механика приводят к эмпирическим законам Кеплера, но оставил открытым вопрос о том, существуют ли другие взаимодействия, ведущие к законам Кеплера, обозначив его в своих Математических Началах. Ситуация изменилась лишь в 1870-х годах, когда Бертран (1↑) и его коллеги обратились к следующим задачам.

Первая задача Бертрана: найти закон сил, зависящих только от положения движущейся точки, и заставляющих её описывать конические сечения, каковы бы ни были начальные условия. Эта задача была решена Дарбу и Альфеном при дополнительном предположении, что сила центральная. А затем удалось отбросить и это условие. Оказалось, что таких взаимодействий два — закон всемирного тяготения и закон Гука. Тем самым вопрос, остававшийся со времён Ньютона, был исчерпывающе решён: для вывода закона всемирного тяготения достаточно было узнать из опыта, что траектории планет — конические сечения и что этот закон — не закон Гука.

Вторая задача Бертрана: зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать замкнутую кривую, каковы бы ни были начальные условия, если только скорость меньше некоторого предела, найти закон этой силы. Ответ короток: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения. Задача решена самим Бертраном, а наиболее полное решение приведено в заметке Дарбу к механике Депейру (2↑).

И, наконец, задача Кенигса (3↑) (Koenigs G.): зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать алгебраическую кривую, каковы бы ни были начальные условия, найти закон этой силы. Как это ни удивительно, но ответ тот же: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения. Исчерпывающее решение задачи дано самим Кенигсом (http://ru.wikipedia.org/w/index.php)...

Неадекватность методологии замкнутых систем и векторно-тензорного формализма

Физики-теоретики при постановке и решении задач берут пример с математиков, хотя такое прямое подражание не всегда бывает к месту, особенно при ненадлежащем учёте специфики физических явлений и процессов.

Математик имеет право записать в начальные условия задачи, в разделе “дано”, любые, даже самые невероятные вещи, и задача, тем не менее, приобретает шанс на существование, оставаясь (возможно, до поры до времени) кажущейся никому не нужной и лишенной смысла.

У физика положение иное: в “дано” он имеет право вносить только результаты ранее решённых задач, прошедших проверку практикой. Соблюдается ли это в приведённых выше примерах “решения” Кеплеровой задачи?

Нет, вместо обоснованного выбора методологии и рабочего инструмента (математического аппарата) для решения данной задачи, теоретики ограничиваются сообщением: “напишем функцию Лагранжа в виде …”. Естественно, этим они заведомо признают исследуемую динамическую систему замкнутой, а своим рабочим инструментом безальтернативно определяют векторно-тензорное исчисление.

Возможен вопрос: почему именно “замкнутой”? Давайте попробуем представить себе функцию Лагранжа открытой системы, скажем (как в нашем случае), систему с внешним воздействием силы тяготения, равным F(t)=α/r², где α – известная константа (в цитированной выше работе математиков она обозначалась буквой γ), а r=r(t) – переменное во времени расстояние до центра тяготения.

Внешняя сила на входе системы инструментально измеряема и соответствует закону всемирного тяготения. Значит, задача состоит в том, чтобы, исходя из анализа её физической сути, определить полный состав внешних и внутренних сил, действующих в системе, и, используя общий баланс этих сил как уравнение движения, найти динамические характеристики системы (координаты, скорости, ускорения, энергетические показатели).

Однако физики-теоретики предлагают пойти обратным путём. Давайте, говорят они, сначала составим для этой системы функцию Лагранжа, а затем с её помощью (используя аппарат частного дифференцирования, что при двух и более измерениях как раз и означает применение тензорного исчисления) составим уравнение движения, которое, возможно, и решать не придётся ввиду ставших очевидными ответов на любые интересующие нас вопросы.

Допустим, что такой подход также правомерен. Однако, каким образом открытая система будет сведена к замкнутой, т.е. как в функции Лагранжа будет учтено внешнее воздействие F(t)=α/r²? Нам отвечают: поскольку система движется в центральном поле, то достаточно будет включить в функцию Лагранжа дополнительное слагаемое в качестве потенциальной энергии U=–α/r, где r=r(t) – уже упоминавшееся выше (переменное во времени и пока нам не известное) расстояние до центра тяготения, которое и необходимо найти путём решения задачи.

Но, позвольте, какое отношение указанная величина потенциальной энергии U=–α/r имеет к взятой нами из закона всемирного тяготения величине силы тяготения F(t)=α/r²? Величину потенциала U=–α/r получают интегрированием функции F(t) по пути (мысленного) перемещения тела из бесконечно удалённой точки в заданную точку, заметим, в режиме свободного падения по некой параболической траектории, т.е. решая совсем иную задачу. В той задаче есть возможность не только интегрировать силу тяготения по перемещению, получая в результате данный потенциал, но и выполнять обратную операцию дифференцирования гравитационного потенциала по перемещению тела, снова возвращаясь к формуле закона всемирного тяготения.

А векторно-тензорное исчисление, на котором базируется вариационный принцип наименьшего действия с его аппаратом лагранжианов-гамильтонианов, к сожалению, такой возможности предоставить уже не может. Прежде всего, потому что дифференцирование здесь не ньютоново “классическое”, а ковариантное, “символическое”, т.е. “универсальное” в том смысле, что не зависит от выбранной системы координат, а значит, не имеет и обратной процедуры, которую можно было бы назвать “символическим интегрированием”.

Более того, в результате априорного выбора функции Лагранжа без предварительного анализа физической сути задачи и без учёта её специфики, частное дифференцирование происходит по направлениям ортов системы координат, не совпадающим с направлениями в пространстве, вдоль которых реально действуют внутренние силы в системе. Направления силовых воздействий, если и совпадают с направлениями ортов системы координат в каких-то точках орбиты, то чисто случайно, не в соответствии, а вопреки данной методологии и, естественно, с неизбежными искажениями и потерями в качестве решения задачи. Рассмотрим это подробнее на примере нашей задачи.

Хотя при выбранной системе координат сила притяжения неизменно действует вдоль полярного радиуса в сторону центра притяжения (начала координат), однако, реально эта сила разделяется на две перпендикулярные составляющие, воздействующие на движущееся тело в двух направлениях: по касательной к траектории (ускоряя или замедляя движение) и по нормали к траектории в сторону центра кривизны орбиты (этим изменяя направление движения).

При этом мгновенный центр кривизны орбиты оказывается на полярной оси лишь дважды за полный оборот, а, именно, при прохождении телом вершин эллипса на большой оси орбиты. Поэтому-то направление силы тяготения практически нигде не совпадает ни с одним из ортов выбранной аналитиками системы координат (за исключением двух указанных выше двух точек орбиты). В то же время методология лагранжианов-гамильтонианов (или методология замкнутых систем, что то же самое!) предусматривает частное дифференцирование функции Лагранжа (включая и добавленный в неё потенциал U=–α/r) исключительно по ортам выбранной системы координат, т.е. в данном случае – по направлениям к центру притяжения и перпендикулярно ему, но никак не по касательной и нормали к траектории (эти направления в виде функций времени нам заранее не известны). Значит, данная методология преднамеренно игнорирует тот факт, что в расчётные величины действующих сил (а, значит, и в другие динамические характеристики системы) вносятся неконтролируемые искажения. Что представляют собой эти искажения?

В разных публикациях мы уже неоднократно рассматривали похожий случай (из 1-го тома учебного пособия Ландау-Лифшица, 2001, с.83), когда для режима вынужденных колебаний (заметим, речь идёт об открытой системе!), при заданном внешнем воздействии в виде функции времени F(t), в функцию Лагранжа вносится дополнительная потенциальная энергия, равная xF(t), где x – одномерная координата колебательного процесса.

Критикуя такой подход, мы показываем, что частным дифференцированием произведения переменных во времени величин x(t)•F(t) по переменной величине x(t), которая является решением уравнения движения системы и поэтому зависит от входного воздействия F(t), “восстановить” её (в том виде, в каком аналитики включили её в “придуманное” ими новое слагаемое функции Лагранжа в целях приведения открытой системы к замкнутой) невозможно. Действительно:

∂(xF)/∂x = F(t) + x(t) ∂F/∂x = F(t) + ∂F/∂(lnx) ≠ F(t).

После публикации статьи “Дефекты математической культуры теоретической физики” один из оппонентов высказал несогласие с нашей критикой следующим образом:

“Ошибка (вероятно, несущественная для решения общей задачи статьи) заключена в словах: “Координата x(t), являясь решением уравнения движения, зависит от внешнего воздействия F(t). В итоге, эти две функции времени оказываются взаимозависимыми, и поэтому частная производная по координате x(t) от произведения функций x(t)∙F(t) отнюдь не равняется F(t)”, где речь идёт о преобразовании вклада в Лагранжеву функцию от вынуждающей силы, x(t)∙F(t). Видно, что соотношение для x(t), которое на физической траектории заведомо выполнено, на виртуальной траектории не соблюдается, т.е. указанное преобразование функции Лагранжа незаконно (а соответствующее место в книге (“Механика” Ландау-Лифшица) , невзирая на критику … – правильное)”.

Ну что же, попытаемся к этому же вопросу подойти с другой стороны. При этом будем исходить из первичности физического смысла величин, используемых в математических выкладках. Итак, задано входное силовое воздействие на систему F(t). Энергия, которую приобретает система в результате такого входного воздействия, на элементарном участке перемещения dx, равняется величине элементарной работы F(t)dx. На конечном участке от 0 до x приобретённая системой энергия составит величину (интеграл целесообразно брать с переменным верхним пределом):

E = ∫ F(t)dx.

Мы утверждаем, что взять этот интеграл, не зная вида функции x(t), т.е. не решив предварительно уравнение движения системы, невозможно. А Ландау и Лифшиц “берут” и получают величину xF(t). В этом и состоит допускаемая ими математическая некорректность, на которую они сознательно идут, не желая признавать несостоятельность методологии лагранжианов-гамильтонианов (или принципа наименьшего действия) для открытых систем.

Всё вышесказанное относится и к рассматриваемой нами задаче эллиптического движения. Здесь мы также имеем дело с открытой системой (небесным телом, испытывающим внешнее гравитационное воздействие), и вновь теоретики (и вновь неудачно) пытаются “перехитрить” природу, выдавая открытую систему за замкнутую.

Величина U(r), которую теоретики произвольно предлагают считать внутренней (потенциальной) энергией системы, на самом деле является энергией обмена движущегося небесного тела с гравитационной средой: приближаясь к массивному телу, малое тело набирает скорость и энергию, а, удаляясь от него, теряет. При этом бессмысленно устанавливать для указанного энергетического обмена “закон сохранения” в виде некоторой фиксированной суммы кинетической и потенциальной энергии: у большого тела этой энергии, по отношению к малому телу, “бесконечно много”, так что изъятие или возвращение ранее изъятой (конечной по меркам малого тела) энергии для большого тела совершенно неощутимо. А вот для малого тела подсчитать, сколько энергии оно в состоянии позаимствовать из внешней среды, при различных режимах движения, надо уметь. А умеет ли это делать теоретическая механика в её нынешнем состоянии?

Мы утверждаем, что величина U(r)=–α/r совершенно необоснованно и ошибочно вводится в состав исходных данных для решения Кеплеровой задачи. Частное дифференцирование этой функции по полярной координате r(t), даже если бы мы знали заранее правильное решение задачи, не может правильно определить направления и абсолютные величины действующих в системе внутренних сил (напомним, направленных по касательной и нормали к траектории в любой точке орбиты), поскольку нигде, кроме двух точек орбиты, орты неподвижной полярной системы координат с направлениями внутренних сил не совпадают,

В связи с этим ещё раз подчеркнём: для открытых систем “обратный” порядок расчёта динамических характеристик, начинающийся с принятия некой величины энергии, которая должна сохраняться неизменной в процессе движения, принципиально неприемлем. Только решив уравнение динамического силового баланса системы, можно приступать к интегрированию известных сил по известному пути движения системы. И только так можно определить истинные значения её энергетических характеристик, но никак не наоборот.

Мнимая “универсальность” лагранжева формализма оборачивается фактическим игнорированием физической сущности решаемой задачи и подменой её упрощённым суррогатом, недоброкачественность которого прикрывается искусственно воздвигаемыми (и якобы неизбежными) головоломными формульными выкладками и необозримыми объёмами вычислений. А, главное, если мы всё-таки наберёмся терпения и сил, чтобы выполнить этот предлагаемый нам теоретиками вычислительный “сизифов труд”, то в конце пути мы окажемся с тем же объёмом знаний об исследуемом предмете, с которым этот путь начинали.

Мы обнаружим лишь “подгонку” плоскостного движения под известный вариант одномерного, для которого соблюдается закон изменения потенциальной энергии U(r)=–α/r, взятый аналитиками для Кеплеровой задачи “с потолка”. Попросту говоря, при старательно созданной теоретиками видимости научного подхода к решению задачи, нам вместо настоящего решения предлагается всего лишь “соска-пустышка”, которой успокаивают, а, по сути, обманывают детей, в роли которых в данном случае выступает научная (и не только научная) общественность.

В своё время векторно-тензорное исчисление предлагалось в качестве рабочего инструмента для перехода от анализа одномерного движения к анализу движений в многомерных пространствах, при необходимости – вплоть до бесконечномерных. И вот оказывается, что даже при двух измерениях, при анализе движения на плоскости, решение задачи с помощью этого аппарата, мягко говоря, проблематично. “Тактика” сокрытия неустранимых недостатков методологии, основанной на тензорном исчислении, проста до примитивности: если для исследования предъявляется открытая система, то следует её искусственным приёмом свести к замкнутой,. Соответственно, если предстоит исследовать многомерное движение, то следует его искусственным приёмом “подогнать” под одномерный аналог.

То, что движение на плоскости имеет специфические особенности, требующие для их анализа более совершенного математического аппарата, можно продемонстрировать на простом примере.

Возьмём частный случай эллиптического движения – кругового, заданного параметрически: x = r cos ωt, y = r sin ωt, где ω – угловая скорость. Полагаем, что некое массивное тело поддерживает данный режим движения малого небесного тела силой гравитации, описываемой уравнениями:

d²x/dt² = –rω² cos ωt, d²y/dt² = –rω² sin ωt.

Ясно, что для вращающегося тела внешнее воздействие тоже становится вращающимся. Так, во вращающейся синхронно с телом системе координат само тело неподвижно, а внешняя сила гравитации совершает обратное вращение. Посмотрим, можно ли для небесного тела, находящегося на круговой орбите под действием гравитационного силы F(t)=α/r², ввести некую потенциальную функцию U(r). Чтобы такую функцию можно было ввести, силовая функция

(–rω² cos ωt) dx + (–rω² sin ωt) dy

должна быть полным дифференциалом, для чего необходимо и достаточно соблюдения следующего тождества:

d(–rω² cos ωt)/dy ≡(?) d(–rω² sin ωt)/dx или ω² tg ωt ≠(!) ω² ctg ωt.

Как видим, указанное тождество не соблюдается, т.е. своим вращением (обращением вокруг массивного тела) малое небесное тело превращает (естественно, только для себя) внешнее гравитационное поле в непотенциальное (вихревое). Это служит ещё одним подтверждением того, что введение потенциальной энергии U=–α/r, взятой из другой задачи, в исходные условия для Кеплеровой задачи, неправомерно.

Здесь же отметим, что факт непотенциальности внешнего гравитационного поля для тела на круговой орбите выше был установлен с применением аппарата частных производных, т.е. средствами, входящими в состав векторно-тензорного инструментария. Однако для какого-либо дальнейшего оперирования с вихревыми полями, кроме констатации их вихревого характера, векторно-тензорный аппарат изначально не приспособлен, хотя он и применяется, например, в электродинамике (на наш взгляд, нанося этому разделу теоретической физики больше вреда, чем пользы). По большому счёту, для адекватного описания движений, связанных с вращениями, необходим более совершенный аппарат алгебр с векторным делением, о чём речь ещё пойдёт ниже.

А сейчас хотелось бы обратить внимание на неприглядную роль математики (естественно, в лице конкретных математиков), выступившей в роли такой же “служанки” нынешней, застрявшей в своём развитии на уровне науки ХIХ века, теоретической физики, какою на протяжении ХХ века являлись (и, к сожалению, до сих пор являются) общественные науки по отношению к деятельности “власть предержащих” лиц и групп. Вот как выглядит “математическое обоснование” правомерности редукции плоскостной Кеплеровой задачи в одномерную.

“Движение материальной точки (массы 1) в центральном поле на плоскости определяется уравнением

d²ř/dt² = Ф(r)ē ۭ

где ř – радиус-вектор с началом в центре поля О, r – его длина, ēr – его орт. Будем считать нашу плоскость вложенной в трёхмерное ориентированное евклидово пространство.

Определение. Моментом количества движения (или кинетическим моментом) материальной точки единичной массы относительно точки О называется векторное произведение

M=[ř, dř/dt].

…Введём на нашей плоскости полярные координаты r, φ с полюсом в центре поля О… Разложим вектор скоростиdř/dt по базису ēr , ēФ

…Закон сохранения кинетического момента позволяет свести задачу о движении в центральном поле к задаче с одной степенью свободы. Благодаря этому движение в центральном поле можно исследовать полностью…

Теорема. При движении материальной точки в центральном поле её расстояние от центра поля меняется так, как r в одномерной задаче с потенциальной энергией

V(r) = U(r) + M²/2r².

Доказательство. Дифференцируя доказанное в §7 соотношение

dř/dt =(dr/dt)ēۭr + r(dφ/dt)ēФ,

находим

d²ř/dt² = [d²r/dt² – r(dφ/dt)²]ēr + [2(dr/dt)(dφ/dt) + r(d²φ/dt²)]ēφ.

Ввиду центральности поля

∂U/∂ř = ∂U/∂r ēr .

Поэтому уравнение движения в полярных координатах принимает вид

d²r/dt² – r(dφ/dt)² = –∂U/∂r ,

2(dr/dt)(dφ/dt) + r(d²φ/dt²) = 0.

Но по закону сохранения кинетического момента

dφ/dt = М/r²,

где М – не зависящая от t постоянная, определяемая начальными условиями.

Поэтому

d²r/dt² = –∂U/∂r + r М²/r² или d²r/dt² = –∂V/∂r, где V = U + М²/2r².

Величина V(r) называется эффективной потенциальной энергией.

Замечание. Полная энергия в полученной одномерной задаче

E = (dr/dt)²/2 + V(r)

совпадает с полной энергией в исходной задаче

E = (dr/dt)²/2 + U(r).

…Полная энергия в полученной одномерной задаче сохраняется. Следовательно, зависимость r от t определяется квадратурой …

φ = ∫ (М/r²)dr/{√ 2[E – V(r)]}”.

— Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 3-е изд. — М.: Наука, 1989, сс. 32-35

Обратите внимание на критерий правомерности сведения двумерной задачи к одномерной: “расстояние от центра поля меняется так, как r в одномерной задаче”. Хочется спросить: ну, и что из этого следует? Разве во втором измерении не происходит ничего существенного и ничего представляющего теоретический и практический интерес? А, главное, как же реализуется созданный самой природой хитроумный механизм взаимосвязи двух измерений? Иначе говоря, какова физическая сущность задачи? И почему эту сущность позволительно столь примитивным образом игнорировать, да ещё и оправдывать допускаемый теоретический произвол, прикрывая его авторитетом математики?!

Решение Кеплеровой задачи на основе алгебры с делением

Кратко сформулируем основные исходные положения дальнейшего исследования. Анализируемое движение – двумерное, поэтому адекватный математический аппарат – алгебра с делением в виде комплексных чисел.

За “равновесное состояние” принимаем частный случай эллиптического движения – круговое движение: x=(r)exp(iωt)=(p)exp(iVpt/r²), где r – радиус вращения (при круговом движении он равен радиусу кривизны p); ω – угловая скорость, t – время, V – линейная скорость). Произведение Vp=М, представляющее собой момент импульса, который в данной записи играет роль “обобщённой угловой скорости” (или, по второму закону Кеплера, удвоенной величины “секториальной скорости”), а выражение t/r²=τ – соответственно “обобщённого времени”.

Ориентируясь на полярное уравнение конического сечения, с помощью конформного преобразования, введём в качестве координаты величину, обратную расстоянию до центра притяжения (но, для более привычного восприятия, сохраним положительное направление вращения).

В итоге получим триаду обобщённых характеристик движения (координату x, скорость v и ускорение w; последние две величины вычисляются обычным, однократным и двукратным, дифференцированием координаты x по времени τ):

1. x = (1/p)exp(iМτ).

2. v =iVexp(iМτ). 

3. w = (–V²p)exp(iМτ).

Теперь перейдё к системе координат, вращающейся синхронно с исходным вращением. Тогда триада векторов (обобщённые координата, скорость, ускорение) лишатся своих фазовых множителей вращения exp(iМτ), т.е. будут сохранять неизменным своё положение в пространстве, с соответствующим сдвигом на 90° (второго относительно первого, а третьего относительно второго). При этом третьему (обобщённому силовому) вектору, имеющему физический смысл центробежного ускорения, умноженного на квадрат расстояния от центра притяжения до точки его приложения, будет противостоять (уравновешивать его) вектор обобщённого ускорения тяготения – силы, приведённой к единичной массе движущегося тела и помноженной на квадрат расстояния от точки на орбите до центра притяжения. В сумме оба вектора составят обобщённый силовой баланс:

(–V²p) + α = 0.

Физически этот силовой баланс представляет собой внутренне напряжённую динамическую структуру, устойчиво удерживающую взаимное расположение центра кривизны орбиты и центра притяжения тела (которые при круговой орбите совмещены друг с другом).

Введём вектор, начало которого будет находиться в центре притяжения, а конец – в центре кривизны. В исходном положении, при движении тела по окружности, этот вектор равен нулю. А теперь представим себе, что в силу каких-либо причин (о которых разговор пойдёт ниже), этот вектор оказался не равным нулю. Его направление на плоскости может быть произвольным, но, чтобы с чего-то начать анализ этого явления, допустим, что он направлен вдоль полярной оси в ту же сторону, что и находящийся в данный момент времени на этой же оси неподвижный (без фазового множителя вращения) вектор x = (1/p).

Условно (вроде бы “случайно”, но за эту “случайность” надо поблагодарить Лаланда, открывшего уравнение конического сечения) примем вектор отклонения центра кривизны от центра притяжения равным е/p, где е – произвольное действительное число, находящееся в пределах 0≤е<1.

Теперь зададимся вопросом, как физически можно добиться отклонения центра кривизны орбиты от центра притяжения вдоль полярной оси (в данном случае влево по оси абсцисс)? Понятно, что это можно сделать путём увеличения вектора линейной скорости тела в направлении мнимой оси, на которой исходно находится вектор скорости v=iV, на величину iеV. Понятно также, что увеличение обратной величины расстояния до центра притяжения (равносильное приближению этого центра) вызовет увеличение (по абсолютной величине) обобщённой силы притяжения (–V²p) на величину (–V²еp).

Как видим, между членами образовавшейся новой триады существует такая же дифференциально-интегральная связь, как и между членами первоначальной триады. Иначе говоря, вторая триада представляет собой динамические характеристики ещё одного вращения, возникающего на основе исходного кругового движения и налагающегося на него, в результате чего круговая орбита преобразуется в эллиптическую.

Примем исходное взаимное расположение двух триад из шести векторов за нулевую фазу общего движения тела по орбите. Понятно, что нулевая фаза будет соответствовать положению тела в вершине большой оси эллипса.

Каждое из двух накладывающихся друг на друга круговых движений поддаётся анализу по отдельности: абстрагируясь от одного, получаем триаду основных динамических характеристик второго вращения и наоборот. Заметим также, что в обычной, не вращающейся системе координат векторы динамических характеристик второго вращения сохраняют неизменное положение в пространстве (этот факт далее послужит основанием для важного вывода).

Итак, триады динамических характеристик двух вращений в нулевой фазе взаимного вращения находятся в попарно совмещённом состоянии. Посмотрим, как поведёт себя новая триада векторов (е/p, iеV, –V²еp) при последующем повороте в противоположных направлениях, в привязке к реальному времени.

При смещении тела с вершины большой оси эллипса центр кривизны орбиты также смещается с этой оси, а при фазе 90° вектор смещения становится “чисто мнимым”. В этом случае расстояние до центра притяжения становится равным параметру p. Соответственно, сила притяжения восстанавливается до исходной величины (–V²p), однако при этом она “расщепляется” на две составляющие, которые проявляют себя по-разному. Составляющая, которая действует вдоль касательной к траектории, в соответствии со вторым законом Ньютона приводит к уменьшению (на симметричной половине эллипса – к увеличению) линейной скорости и при этом полностью уравновешивается силой инерции тела, сопротивляющейся изменению скорости. Составляющая же, действующая по нормали к траектории, уравновешивается по иному закону – закону вращения, т.е. возникающей по этому закону центробежной силой. Обе противостоящие друг другу силы достигают минимального значения в вершине эллипса на его малой оси. При фазе же 180° (на другой вершине большой оси эллипса) члены обеих триад попарно противостоят друг другу.

Таким образом, получаем следующие уравнения для координаты α, скорости β и ускорения γ во вращающейся системе координат:

α = (1/p) + (е/p)exp(–iМτ),

β =(iV) + (iVе)exp(–iМτ),

γ = (–V²p) + (–V²еp)exp(–iМτ).

То же решение, но в обычной, не вращающейся системе координат и в приведённом к расстоянию до центра притяжения масштабе времени выглядит так:

x = (1/p)exp(iМτ) + (е/p),

v =(iV)exp(iМτ) + (iVе),

w = (–V²p)exp(iМτ) + (–V²еp).

Представить это движение в обычной, не вращающейся системе координат и в реальном времени t можно путём подстановки  τ=t/r². Однако нас интересует не только вид связи величин τ и t в каждой изолированной точке орбиты, но и их совместное изменение в “накопительном режиме”, начиная с момента времени t=τ=0 и, по крайней мере, до завершения полного оборота вокруг центра притяжения, а затем и далее.

Здесь мы не будем открывать ничего нового, но всё же категорически отвергнем искусственное привязывание к данному процессу “закона сохранения энергии” вместо исследования реально происходящего энергообмена между движущимся по орбите телом и внешним источником. Именно применение в математических выкладках и расчётах величины так называемой “полной энергии системы” Е, включающей, кроме кинетической энергии движущейся массы, также “отрицательную” (!?) энергию внешнего источника, превращает саму величину Е в физически абсурдную отрицательную константу. Покажем, как можно обойтись без этого искусственного методологического приёма (к сожалению, рекомендуемого к применению существующими учебниками и учебными пособиями для студентов физических специальностей вузов).

Поскольку нам известна секториальная скорость “заметания” радиусом-вектором площади эллипса (равная половине момента импульса тела М), то достаточно в каждый момент времени знать, какая величина площади эллипса уже “заметена”, чтобы делением этой величины на секториальную скорость найти затраченное на это время. Собственно, так и вычисляются периоды обращения для эллиптических орбит по третьему закону Кеплера.

Для наглядного численного примера примем следующие исходные данные. Масса центрального тела m=6·10^24 (кг), масса обращающегося по эллиптической орбите тела считается единичной. Гравитационная постоянная G=6,673·10^-11 (м³/кг·с²). Эксцентриситет эллиптической орбиты е=0,5. Большая полуось эллиптической орбиты а=3,84·10^8 (м).

Найдём величину параметра конического сечения р=а(1–е²)=3,84·10^8(1–0,25)=2,88·10^8 (м). Величины М и V определятся из условия равенства центробежного и центростремительного ускорений в любой из вершин эллипса на его большой оси, в которых радиус кривизны орбиты равен параметру р: ν²/р=Gm/r². Откуда: М=νr=√(Gmр) и далее V=√(Gm/р). В данном числовом примере значения этих величин таковы:

М=√(6,673·10^-11·6·10^24·2,88·10^8)=3,4·10^11 (м²/с);

V=√(6,673·10^-11·6·10^24/2,88·10^8)=1,18·10^3 (м/с).

Общая площадь орбитального эллипса равна:

S=πа²√(1–е²)=3,14·3,84²·10^16·√0,75=4·10^17 (м²).

Таким образом, полный период обращения равен:

Т=2S/М=πа²√(1–е²)/√(Gmр)=2π√(а³/Gm)=2,36·10^6 секунд=27,31 суток.

Движение между противоположными вершинами на большой оси эллипса занимает по времени полупериод Т/2=1,16·10^6 секунд=13,655 суток.

Теперь найдём площадь эллипса, “заметаемую” радиусом-вектором при изменении фазового угла от нулевого значения до произвольного угла φ (0<φ<π). Для этого воспользуемся табличными интегралами из справочника “Г.Б.Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука, 1966, с.94”:

446.03. ∫dx/(а+bсоsx)²=bsinx/(b²–а²)(а+bсоsx) – [a/(b²–а²)] ∫dx/(а+bсоsx).

446.00. ∫dx/(а+bсоsx)=2/(а²–b²)arctg[(ab)tg(x/2)/√(а²–b²)].

Интегрируя по фазе от нуля до φ (с переменным верхним пределом), находим величину “заметаемой” площади эллипса:

s=(1/2)∫р²dφ/(1+есоsφ)²=(р²еsinφ)/2(е²–1)(1+есоsφ)–р²/(е²–1)(√1–е²)аrсtg[(1–е)tg(φ/2)/(√1е²)].

В частности, для φ=π/2, е=0,5 и р=2,88·10^8 м получаем s=5,55·10^16 м². На это движение затрачивается по времени t=2s/М=3,26·10^5 секунд=3,78 суток, что составляет 27,7% от полупериода обращения по эллиптической орбите (на круговой орбите аналогичная величина составляла бы 50%). Таков результат неравномерности движения по эллиптической орбите.

Так устанавливается зависимость фазы обращения (угла φ) от реального времени. Что касается изменения того же угла φ как функции обобщённого времени τ, то эта зависимость предельно проста, а, именно: φ=Мτ или τ=φ/М, что весьма удобно для изучения “более тонких” свойств данного движения. Заметим, что неравномерность течения обобщённого времени τ относительно реального времени t вполне компенсируется неизменностью обобщённой фазовой скорости, в роли которой выступает момент импульса М, равный удвоенной величине секториальной скорости: d(Мτ)/dτ=М=соnst. Это равносильно представлению неравномерного эллиптического движения в виде равномерного кругового.

Ещё раз напомним, как выглядит исходное полярное уравнение конического сечения, которым мы руководствовались в процессе решения задачи (не “подгоняя” ответ под это уравнение, а, напротив, раскрывая заключённый в нём более глубокий физический смысл): r = p/(1+е cosφ).

Отметим, что постановка и решение Кеплеровой задачи для небесных тел как открытых систем позволяет внести некоторую ясность в вопрос о том, каким образом круговые орбиты могут превращаться в эллиптические. Если круговое движение малого тела вокруг большого небесного тела можно трактовать как состояние равновесия колебательной системы при отсутствии в ней свободных колебаний, то движение по эллиптической орбите означает наличие в системе именно таких свободных колебаний с амплитудой е/p.

В космологических масштабах времени, однако, остаётся открытым вопрос о том, находится ли амплитуда этих колебаний (е/p) постоянной или медленно изменяется? На то, что имеет место последнее, указывает следующее обстоятельство.

Мы показали выше, что свободные колебания небесного тела как динамической системы представляются следующей триадой векторов, связанных дифференциально-интегральной зависимостью (обнаруживаемой во вращающейся системе координат), а, именно:

1) вектором обратной величины смещения центра кривизны орбиты от центра тяготения;

2) вектором линейной скорости на базовой круговой орбите;

3) вектором обобщённого (помноженного на параметр конического сечения или радиус кругового движения) центробежного ускорения на базовой круговой орбите.

Эта триада векторов для внешнего наблюдателя сохраняет неизменным своё положение в пространстве (для планет солнечной системы – в плоскости эклиптики). Но внешнее (по отношению к солнечной системе) постоянное по направлению гравитационное воздействие для планеты на орбите имеет вид переменного, т.е. изменяющегося по закону обратного вращения, относительно направления реального обращения планеты вокруг Солнца, или на частоте свободных колебаний системы. В результате система самим своим вращением настраивается на режим резонансного накопления поступающей извне энергии, при котором амплитуда колебаний (е/p) возрастает со скоростью, пропорциональной величине внешнего воздействия, с одновременным “вытягиванием” большой оси эллипса в направлении, перпендикулярном направлению внешнего воздействия.

Действительно, данные астрономических наблюдений показывают, что направления больших осей эллиптических орбит планет солнечной системы располагаются перпендикулярно направлению на созвездие Стрельца (или центр Галактики). Это свидетельствует в пользу того, что эксцентриситеты планетных орбит под гравитационным галактическим воздействием, хотя и крайне медленно, но возрастают. С другой стороны, малые величины этих эксцентриситетов должны означать, что Солнечная система, по космологическим масштабам времени, ещё сравнительно молода.

Заключение

“Лагранжев метод имеет основополагающий характер и является фундаментом современной теоретической физики”, – пишет наш оппонент, и это мы можем только подтвердить. Не будем оспаривать и следующий его тезис:

“…По историческим причинам, трудно сомневаться в научной объективности и добросовестности работ Лагранжа. Лагранж никак не мог быть членом комиссии Круглякова, членом религиозной секты Ландау-Гинзбурга, иностранным членом Его Императорского Величества Российской академии наук и никогда не публиковался в научных журналах РАН”

 http://bolshoyforum.org/wiki/index.php/Ab_Ovo_или_%22...а_Лагранж_-_против%22

И всё-таки, всё-таки …

Сменяются эпохи – меняются критерии оценок. Вопрос теперь только в том, сколько времени нам ещё оставаться в ХIХ веке. И вопрос этот сугубо практический.

В 1997 году мною была подана в государственное патентное ведомство (Роспатент) заявка № 97111689/06 на предполагаемое изобретение “Способ получения и использования гравитационной энергии в форме движения рабочей машины, транспортного средства или летательного аппарата” с приоритетом от 15 июля 1997 года.

И огорчило не столько само получение “отказного” решения Роспатента по заявке, сколько удручающе убогий уровень обоснования этого решения, а, именно, со ссылкой на формулу для величины гравитационного потенциала E=mgh из школьного учебника физики издательства “Просвещение” и с заключительной фразой о том, что заявка “противоречит общепринятым положениям науки”.

В поданной мною апелляции было высказано недоумение: а как же быть с приведёнными автором заявки математическими выкладками и расчётами? Это не к нам, ответили в Роспатенте, это – в Академию наук.

Ни на одно из писем по тематике заявки, адресованных Президенту РАН, автор ответа не получил: все они в академической канцелярии “затерялись”. Только на письмо, посланное через канцелярию Администрации Президента страны, из одного из Институтов РАН пришла формальная отписка, показавшая только то, что выше нынешней “научной бюрократии” в стране сейчас никого и ничего нет.

С 2005 года по настоящее время на имя ректора МГУ (с 2008 года он же – вице-президент РАН) В.А.Садовничего мною было послано более десятка писем с приложенными к ним научными публикациями. Ни на одно из этих писем ректор МГУ не ответил.»

Конец цитаты. Оригинал в полном объеме здесь:

http://ivanik3.narod.ru/linksObschPhizInerciodPetrovAM.html


Тут я должен написать несколько слов для тех, кто перемотает в конец, чтобы сразу почитать выводы. Выводы следующие. Существующий подход предлагает считать, что Земля, двигаясь вокруг Солнца является замкнутой системой и не получает от светила никакой энергии. Появляющийся перекос компенсируется некоей потенциальной энергией, неизвестно как относящейся к силам из закона всемирного тяготения.

Предлагаемый автором метод показывает, что между ними не только существует энергообмен, но и раскрывает природу эллиптического движения, показывая, что в такой вращающейся системе происходят колебательные процессы, связанные с этим энергообменом, имеющие, возможно, склонность к резонансному  накоплению (что постепенно меняет форму орбиты).

Решение задачи по аналитическому описанию кеплеровского движения - это не праздное развлечение для мечтателей и теоретиков.  Корректное математическое описание вращающихся систем с колебательным характером энергообмена (простейший пример – приливы и отливы на Земле) имеет архиважное значение в выборе матаппарата для решения сугубо практических задач, особенно остро стояших для перевооружающейся страны. Надеюсь, что все кому нужно по достоинству оценят предлагаемый материал.

 

 

 

Фонд поддержки авторов AfterShock

Комментарии

Аватар пользователя Производственник

Благодарю за дописку, таки перемотал:). Хотя будет интересно и почитать тоже.

Аватар пользователя SergeyVBNM
SergeyVBNM(5 лет 5 месяцев)(09:37:43 / 14-11-2014)

>имеет архиважное значение в выборе матаппарата для решения сугубо практических задач, особенно остро стояших для перевооружающейся страны.

Что это за практические задачи для перевооружающейся страны?

Комментарий администрации:  
*** В бюджете нет денег, приватизация даст немного денег за хорошие активы ***
Аватар пользователя Радионеслушатель

ну, к примеру, применение принципа наименьшего взаимодействия в замкнтутой системе требует (как это решено Ландау), чтобы прецессионное вращение волчка происходило за счет его основного вращения, чего не наблюдается (обсуждалось уже). Что  приводит к тому, что гироскопы для приборов пространственной ориентации создаются преимущественно эмпирическим путем.

Ув. коллега Vneroznikov на эту тему может много интересного рассказать вероятно. А еще больше - не положено, не может :) по понятным причинам.

Аватар пользователя nv_skobar
nv_skobar(5 лет 10 месяцев)(09:54:29 / 14-11-2014)

Кратко сформулируем основные исходные положения дальнейшего исследования. Анализируемое движение – двумерное, поэтому адекватный математический аппарат – алгебра с делением в виде комплексных чисел.


Вселенная вроде как трёхмерна и Земля движется в ней по винтообразной траектории...

Аватар пользователя Радионеслушатель

первый шаг -рассматривается замкнутая система из двух тел, центрального и вращающегося, т.е. описываются именно кеплеровские соотношения. Винтообразное движение, к слову, автор описыват тоже, но в другой статье. Естественно вводятся дополнительные радиус-вектора и растет сложность расчетов. Тут надо отметить, что аппарат комплексных чисел идеально подходит для описания винтовых, вихревых движений (что часто в технике и использует, в электротехнике - так прям постоянно), по сути eix готовый винт :)

Аватар пользователя nv_skobar
nv_skobar(5 лет 10 месяцев)(10:16:55 / 14-11-2014)

Будет время, пройдусь по ссылке - любопытно.

Аватар пользователя Нетслов
Нетслов(4 года 12 месяцев)(09:59:19 / 14-11-2014)

http://rassvetslavyan.info/kosmicheskie-klyuchi-k-novym-znaniyam/

Аватар пользователя Bledso
Bledso(4 года 8 месяцев)(09:58:29 / 14-11-2014)

Спасибо, было интересно почитать.

Аватар пользователя kwaier
kwaier(3 года 8 месяцев)(10:07:53 / 14-11-2014)

Для того что бы математики и теоретические физики не заблудились в виртуальных пространствах господь бог дал нам эксперимент. Может ли автор провести или хотя бы предложить эксперимент, который даст результаты отличные от современной науки? Если нет, то представленная теория является непроверяемой (по Попперу), а значит ненаучной.

Аватар пользователя Радионеслушатель

скажите честно, вы хоть саму работу-то читали? Иногда лучше ничего не говорить, чесслово :) Эксперимент ставит сама природа, и уже давненько, остался пустяк - корректно его описать.

Аватар пользователя kwaier
kwaier(3 года 8 месяцев)(10:31:39 / 14-11-2014)

чесс слово, середину пропустил, статьи ТАК не пишутся. Хоть выписку из патента бы в начале привели, ту часть где описывается преимущества.

Аватар пользователя Радионеслушатель

вы хочете ненаучных экспериментов? Их есть у меня :) Лагранжиан в зубы и считаем по направлениям, в любой желанным момент добавляем "отрицательную энергию".. ну например "физического вакуума".

Аватар пользователя nieshi
nieshi(5 лет 5 месяцев)(10:24:24 / 14-11-2014)

Для тех кто сразу прочитал конец : полюса таки будут сдвигаться, и маттапарат для проверки имеется ))

Аватар пользователя wolkwww
wolkwww(4 года 6 месяцев)(11:42:19 / 14-11-2014)

Забавная критика устоев физики. Подзабыл я уже и тензорный анал и комплексные операции.

Однако, отмечу с "потолка" взятые автором законы сохранения (например кинематический ипульс). Да, да все мы знаем о наличии некоторых законов(все законы придуманы людьми) сохранения и даже знаем, что эти самые законы достаточно точно описывают реальные природные закономерности (закономерности это то чего реально происходит в окр. Мире). И всё же не особо угрыбляясь в теоретизирование, хочу отметить, что "несоврешенный" мат. аппарат Ландау и присных в совокупности с предположением (принцип Гамильтона его ещё назвают) о минимальном действии (там ещё несколько упрощений-предположений об устройстве Мира) с лёгкостью приводят именно к доказательству законов сохранения энергии, импульса и пр. "векторных сохранений".

Естественно, как уже указывал, лично я не могу подвергнуть к-л критике сами мат. выкладки автора из-за "старческого склероза".

Для тех кто подзабыл или никогда не знал, действие это интеграл по времени от функции, которая точно описывает состояние физической системы(имеющей сколь угодно большую сложность). Вот эта самая фунция, интеграл от которой... в просторечьи и называется функцией Лагранжа. Так вот ключевое положение, с которого начинается теор. механика Ландау и есть, что этот самый интеграл от фукции Лагранжа(вид самой функция вообще не уточняется и не фиксируется) и называется действием всегда должен быть минимальным для любой физической системы. Естественно, что речь в данном случае идёт о замкнутой системе иначе Лагранжан и не сможет описать все подробности устройства, того чего не учтено и является внешним по отношению к описываемой системе.

Аватар пользователя Радионеслушатель

это интеграл по времени от функции, которая точно описывает состояние физической системы(имеющей сколь угодно большую сложность).

вот за это ненавязчивое предположение (что лагранжианом можно описать любую систему, особенно если ее свести к замкнутой каким-то, часто спекулятивным образом, например изобретя "отрицательную энергию") молодого тогда Ландау громит в 1940 году академик А.Фок, указывая, в частности, что так можно считать только голономные системы. Но разве кого-то напугало?

Аватар пользователя wolkwww
wolkwww(4 года 6 месяцев)(11:47:17 / 14-11-2014)

Вот именно для того, чтобы описать поведение отдельно взятой системы отнюдь неизолированной от окр. Мира, но при условии относительно слабого взаимодействия с окружающим, и были придумано множество мат.-физ абстракций отнюдь неидеально описывающих происходящее, но в неких приближениях, первого и второго порядка. Третий пока представляется чудовищно сложным. А "громить"? Ну чё громить, и я могу вскричать: "До коле!!!". А толку?

Аватар пользователя Радионеслушатель

ну т.е. если вместо паровоза предлагается электровоз, предлагаем его в канаву и не громить устои. Я дико извиняюсь, но отдача энергии от СОлнца, скажем Меркурию, далеко не та вещь, которой можно пренебречь ради удобства методологии. Т.е. для Солнца это копейки, а вот для его планеты - совсем нет. И если предлагается нечто новое, которое во-первых изящнее и без "чудовищно сложных" нагромождений дает аналитическое уравнение движения для Меркурия (в статье пример с Луной, если дадите себе труд посмотреть) с учетом энергообмена, то это не "громить", это двигаться дальше. ЧТо конечно, некомфортно и лень для кого-то может быть.

Опять же, там достаточно популярнео расписано, почему нехорошо брать формальный математический оператор - закорючку на доске - и раскладывать ее по косточкам, надеясь там найти алмазы - порочно и допустимо только для математиков. А правильнее все ж таки описывать физический процесс и его природу. ЧТо немедленно дает всякие плюшки, но для многих - крайне непривычно.

Аватар пользователя wolkwww
wolkwww(4 года 6 месяцев)(12:04:06 / 14-11-2014)

Кстати, а Вы сами давали труд себе и своим серым клеточкам по ознакомлению хотя бы с 1-м томом, т.е. с теор. механикой или просто привыкли паровозы под откос?

Аватар пользователя Радионеслушатель

в церковно-приходской воскресной школе, что я посещал,  были только рецензии, кроссворды и записи с беседами с  больными шизофренией, по-моему это видно любому ценителю устоев науки.

Аватар пользователя wolkwww
wolkwww(4 года 6 месяцев)(11:53:39 / 14-11-2014)

Кстати, Ландау никак не фиксировал вид той самой функции Лагранжа и её сложности (единственная фиксация была на минимальности действия) для системы, а последовательно выводил её функциональный вид для некоторых относительно простых задач и в предположении о, например, однородности времени, однородности и изотропности пространства.

Он просто предположил, что есть такая функция для любой замкнутой системы, что её интеграл по времени будет всегда в минимуме.

Аватар пользователя Радионеслушатель

я категорически рекомендую всем интересующимся ознакомиться с мнением т.Фока

http://reslib.org/#!/book/Rezenziya_na_knigu_Landau_i_Pyatigorskiy_Mechanika_1940/941215/read/1

Аватар пользователя wolkwww
wolkwww(4 года 6 месяцев)(12:20:56 / 14-11-2014)

Прочитал на вскидку (резануло глаз) 378 стр. "Аторы исходят здесь из ошибочного ... "Движение вполне определяется координатами начала и конца..." особенно видно на примере мат. точки..."

Ведь это же полный пиз-ц волюнтаризм! Выдрано несколько страниц из Ландау и вставлена эта хня. Сам Ландау не любил приводить целые страницы своих мат. выкладок, заменяя "из этого следует", "очевидно", но тут вааще кранты!

Где-то на ...надцатых старницах пресловутого 1-го тома говорится об обобщённых координатах, в которые включаются и пространственные координаты и импульс причем доказывается, что в тех приближениях-предположениях об устройстве Мира, которые приняты на предыдущих страницах, этих координат достаточно для полного описания состояния системы.

Вот жеж ж б-ть - манипуляторы!

Аватар пользователя Радионеслушатель

принципиальные возражения к тому, что гр. Ландау распространил матаппарат для замкнутых систем на неголономные есть? Это ни хрена не мелочь, между нами, это конкретный наезд. Из этого получается много казусов. Например прецессия во вращательном движении берется за счет основного вращения, что неправда, например колебательное движение с очевидно присутствующей в уравнении диссипативной силой тоже сводится к замкнутой системе. "из этого следует " и "очевидно.." не очень добросовестные иследователи ставят там, где им удобно. Ну да ладно, мы чего-то отвлеклись.

Вас чем конкретно медология, предлагаемая в статье не устраивает? У вас аллергия на комплексные числа?

Аватар пользователя wolkwww
wolkwww(4 года 6 месяцев)(12:40:22 / 14-11-2014)

Меня не устраивает откровенное враньё в приведённой мной выдержке из этого, с позволения сказать, научного высера труда. В отмеченном "труде" чёрным по белому сказано, что Ландау вводит в рассмотрение только пространственные координаты точки (например на глобусе) и не учитывает скорость и направление движения этой точки. Это ВРАНЬЁ! Ещё раз, обощённые взаимосопряженные координаты в механике включают в себя и координаты и импульс всех мат. точек системы. Координата и импульс каждой мат. точки в трёхмерном пространстве - векторы. Значит для описания состояния системы из N точек используется 2*N векторов. Как-то так, батенька-альтернативист...

Аватар пользователя wolkwww
wolkwww(4 года 6 месяцев)(12:58:48 / 14-11-2014)

"Принципиальное" говорите? Ну дык если не устраивает то, что система неголономна, включите в эту самую функцию все предметы находящиеся за её пределами и получите ту самую голономную, т.е ф-ю Лагранжа для всего Мира созданного Богом. Тока нахождение ея, той самой функции могёт стать нереализуемой задачей по причине, хотя бы ограниченности знаний человеческого существа по сравнению с Создателем.

Аватар пользователя Радионеслушатель

О да, Вселенная бесконечна, устанете ограничивать :) И в этом она несовершенна для принятой методологии.

Не бывает неверных диагнозов, еть пациенты, неверно реагирующие на нащначенный курс лечения ;)

Аватар пользователя wolkwww
wolkwww(4 года 6 месяцев)(01:48:11 / 15-11-2014)

О да! По поводу диагнозов, Вы, я вижу - спец.

Однако, чем в принципе отличается постановка задачи нахождения лагранжана для на деле не существующей изолированной от внешнего мира мат точки движущейся во внешнем потенциалном поле от того над чем рассуждает процитированный Вами автор? Или я слеп? Или в приведённом Вами примере с привлечением "альтернативного" математического аппарта таки рассматривается всё та же не существующая в реальном мире мат. точка во внешнем поле? А гхге в таком случае другие источники потенциального поля в виде соседних звёзд галактики, да что там, хгде другие галактики? Их чё нет? Значит и в случае с Вашим альтернативщиком мы также видим упрощение и замыкание системы на саму себя.

Значит в одном случае Вы упрегаете в том, что не бывает абсолютно замкнутых систем, а в другом не видите очевидного?

Как это по-модному называется?

Ах, да! Двойные стандарты - в действии!

Ну уж савсем хвоздь в крышку... Объяснять эллиптичность существующих планетарных орбит новоизмышленными следствиями из сомнительного матем. аппарата - верх наглости. Уж это явление, хорошо изучено и наблюдаемо и объясняется известными и зарекомендовавшими себя методами. Взять хотябы неустойчивость любой окололунной орбиты, благодаря которой ни один спутник не может существовать вблизи Луны сколь-нибудь длительное время без принудительной коррекции орбиты. И происходит это потому, что эллиптичность орбиты лунного спутника быстро увеличивается и очень скоро перицентр орбиты оказывается ближе к центру Луны чем ея поверхность. И причины известны и поддются вычислениям на основании традиционного мат. аппарата.

Аватар пользователя iskatel istini
iskatel istini(4 года 6 месяцев)(11:29:31 / 14-11-2014)

В качестве "ворчанья": "формулы" надо "картинками" приводить.

Аватар пользователя alterlex
alterlex(3 года 6 месяцев)(12:29:59 / 14-11-2014)

Сквозь статью не прорвался. Прочитал фрагментарно. Автор строит свои выкладки, насколько я понял, в основном на критике того факта, что Ландау использует соотношение F=-dU(r)/dr, т.е. представляет силу как производную от потенциальной энергии. Ну, можно использовать чисто Ньютоновский подход и написать уравнения движения в полярных координатах - что (с математической точки зрения) это в данном случае изменит? И еще непонятно - Кеплерова задача - задача о движении двух тел в поле тяготения, т.е. типично замкнутая система, так к чему тут за уши притягивать еще что-то, если Лагранжев формализм в данном случае отлично работает?

Аватар пользователя Korkin
Korkin(5 лет 3 недели)(12:41:12 / 14-11-2014)

  Проблема в том, чтобы отыскать звенья, которые свяжут воедино механику Ньютона с работами Бора и Эйнштейна. И принять то, что в итоге  останется от общепризнанной физики.
  А статья интересная, спасибо.

Аватар пользователя elfwired
elfwired(5 лет 2 месяца)(12:44:19 / 14-11-2014)

Прежде всего, потому что дифференцирование здесь не ньютоново “классическое”, а ковариантное, “символическое”, т.е. “универсальное” в том смысле, что не зависит от выбранной системы координат, а значит, не имеет и обратной процедуры, которую можно было бы назвать “символическим интегрированием”.


Тем не менее для функции -1/r^2 решение известно, вовсе не обязательно интегрировать если мы можем продифференцировать 1/r и убедиться, что этот потенциал всегда даёт правильные значения силы а вовсе не "иногда, случайным образом"


Согласен, существуют силы, для которых невозможно корректно построить потенциал, особенно если система открытая, но в приведённом примере "невозможность проинтегрировать" - совершенно надуманная.

Обратите внимание на критерий правомерности сведения двумерной задачи к одномерной: “расстояние от центра поля меняется так, как r в одномерной задаче”. Хочется спросить: ну, и что из этого следует? Разве во втором измерении не происходит ничего существенного и ничего представляющего теоретический и практический интерес? А, главное, как же реализуется созданный самой природой хитроумный механизм взаимосвязи двух измерений? Иначе говоря, какова физическая сущность задачи?


То есть вы не осилили учебник для 2 курса? Вы понимаете, что задаваемые вопросы - вполне годятся для экзамена по термеху, причём студент претендующий на хорошую отметку должен дать ответ?


А, главное, как же реализуется созданный самой природой хитроумный механизм взаимосвязи двух измерений?

Что это за механизм, настолько всем известный, что вы его вот так, без уточнений упоминаете?


Аватар пользователя Радионеслушатель

я извиняюсь, вы к кому в своем посте обращаетесь? Если к автору, тогда будьте добры сходить по ссылке на полную версию статьи. Там исчерпывающе изложено, почему существущая традиция пользоваться векторно-тензорным аппаратом вызывает вопросы.

Аватар пользователя elfwired
elfwired(5 лет 2 месяца)(22:30:57 / 14-11-2014)

Не, после такого количества с потолка взятых утверждений и откровенных ляпов в тексте меньше всего хочется идти по ссылкам и читать ещё простыню из того же источника.

Так что вопрос к вам: вы понимаете, что автор не осилил учебник 1 курса ВУЗа?

И вопросы, которые у него возникают, уместнее задать репетитору?

Аватар пользователя Радионеслушатель

я автора знаю очень хорошо. Очень многим до него (в плане практических достижений) гм.. очень далеко :)  Его "репетитором", а точнее преподавателем, был лично С.М. Тарг, возможно вы о нем что-то слышали. Дело правда давненько было.

Аватар пользователя elfwired
elfwired(5 лет 2 месяца)(10:34:08 / 17-11-2014)

>Очень многим до него (в плане практических достижений) гм.. очень далеко

Да я не спорю, в войну многие и без школьного образования на весьма высоких должностях работали.

Но вот то, что у человека проблемы с дифференцированием (см разбор ниже) - как-то уж слишком бросается в глаза. Да и физическая суть полярных координат.. хм. В общем-то и способный школьник мог бы ответить.

>Его "репетитором", а точнее преподавателем, был лично

Обычно если человек получает техническое высшее образование, у него больше одного преподавателя.

Аватар пользователя alterlex
alterlex(3 года 6 месяцев)(12:54:46 / 14-11-2014)

Более того, в результате априорного выбора функции Лагранжа без предварительного анализа физической сути задачи и без учёта её специфики, частное дифференцирование происходит по направлениям ортов системы координат, не совпадающим с направлениями в пространстве, вдоль которых реально действуют внутренние силы в системе. Направления силовых воздействий, если и совпадают с направлениями ортов системы координат в каких-то точках орбиты, то чисто случайно, не в соответствии, а вопреки данной методологии и, естественно, с неизбежными искажениями и потерями в качестве решения задачи.


Какого?.. Кеплерова задача у Ландау решается в полярных координатах, их, естественно, две; сила всегда действует вдоль радиус-вектора... Самый логичный и простой выбор системы координат, по-моему. И суть задачи как раз наиболее четко отражает... Разлагаем движение на две составляющих (радиальную и угловую), дифференцируем их отдельно, выясняем заакономерности изменения, делаем выводы... В чем проблема? Где противоречия, несовпадения и "отсутствие анализа физической сути"?

Аватар пользователя wolkwww
wolkwww(4 года 6 месяцев)(13:16:29 / 14-11-2014)

Как я уже указывал, первоначально Ландау вообще не озабочивается поиском функции Лагранжа, постулируется только минимум интеграла от этой функции для любых процессов происходящих с замкнутой системой описываемой этой функцией. И лишь вводя некие граничные условия упрощения предположения об устройстве механики Природы он находит функциональный вид функции Лагранжа для простых механических систем. Но даже эти простые функции для системы более чем из 2-х мат. точек приводят к диф. ур-ам не подлежащих решению в функциональном виде, в лучшем случае к транстендентным ф-ям.

Аватар пользователя alterlex
alterlex(3 года 6 месяцев)(14:21:50 / 14-11-2014)

Да я прекрасно помню первый том Теор. физики. :). Сначала вводится понятие обобщенных координант и скоростей, затем - принцип наименьшего действия, принцип относительности Галилея, а потом из общих соображений получается функция Лагранжа свободной частицы, равная ее кинетической энергии. А что касается задачи трех и более тел, так она, насколько мне известно, аналитически не решена еще никем. И это никак не зависит от Ландау и Лагранжева формализма...

Аватар пользователя Ёлёт
Ёлёт(4 года 4 месяца)(13:08:51 / 14-11-2014)

 Насколько вообще корректно строить абстрактные математические теории методом от обратного. Без понимания реального физического смысла сил действующих на небесные тела, строить далеко идущие выводы, при этом (неполным образом) наблюдая только результаты действия этих сил. 

 Почему-то не ставится задача изучения и понимания природы и механизмов гравитации. Ставится лишь математическая задача описания последствий её работы. 

  Через 400 лет после работ Кеплера, мы так и не приблизились ни на шаг к пониманию гравитации. Что-то мне подсказывает, что с такими методами и в последующие 400 лет ничего не изменится :)

Аватар пользователя kwaier
kwaier(3 года 8 месяцев)(13:19:23 / 14-11-2014)
Во всем представленном труде единственным полезным выхлопом упомянуто объяснение этого
Действительно, данные астрономических наблюдений показывают, что направления больших осей эллиптических орбит планет солнечной системы располагаются перпендикулярно направлению на созвездие Стрельца (или центр Галактики).
Вопрос - откуда вы это взяли ?
Аватар пользователя Радионеслушатель

там автор дважды помянут. Поскольку мы с ним некоторым образом знакомы, могу попробовать с ним связаться, чтобы не работать сломанным телефоном. Можете сделать это сами по ссылке.

Аватар пользователя Likn
Likn(4 года 5 месяцев)(14:23:00 / 14-11-2014)

Если все настолько плохо, то как теоритические выкладки позволили правильно и грамотно рассчитать траекторию "Розетты" и посадить таки "Филу"?

Аватар пользователя Ёлёт
Ёлёт(4 года 4 месяца)(16:37:21 / 14-11-2014)

 - как теоритические выкладки позволили правильно и грамотно рассчитать траекторию "Розетты"

Никак не позволили - "Розетта" 13 раз(!) включала собственные двигатели для корректировки траектории. Расчеты были плюс-минус лапоть :)

Аватар пользователя Likn
Likn(4 года 5 месяцев)(16:37:47 / 14-11-2014)

Так это ж мелочи. Перейти с орбиты на орбиту без корректировки не получится.

Аватар пользователя Ёлёт
Ёлёт(4 года 4 месяца)(16:53:42 / 14-11-2014)

Ну как мелочи. Тут либо "точный расчет", либо 13 прожигов на сближении - третьего не дано.

Орбитальные прожиги в эти 13 не входят.

 

Аватар пользователя Likn
Likn(4 года 5 месяцев)(16:56:29 / 14-11-2014)

Фишка в том, что догнать комету "своими силами" у Розетты не получилось бы, поэтому для разгона использовались планеты солнечной системы. Прикол в том, что так прыгать на одной нормальной орбите не получится, вот и происходила коррекция, исходя из того, что я щас прочитал - планово. Так что все верно рассчитали.

Аватар пользователя alterlex
alterlex(3 года 6 месяцев)(16:18:39 / 14-11-2014)

Вообще, как я понял, автор статьи критикует само понятие консервативных сил и систем... Смело. Но не убедительно, ИМХО. Пусть предложит адекватную и физически более осмысленную концепцию.

Аватар пользователя alterlex
alterlex(3 года 6 месяцев)(11:52:41 / 16-11-2014)

Возьмём частный случай эллиптического движения – кругового, заданного параметрически: x = r cos ωt, y = r sin ωt, где ω – угловая скорость. Полагаем, что некое массивное тело поддерживает данный режим движения малого небесного тела силой гравитации, описываемой уравнениями:

d²x/dt² = –rω² cos ωt, d²y/dt² = –rω² sin ωt.

Ясно, что для вращающегося тела внешнее воздействие тоже становится вращающимся. Так, во вращающейся синхронно с телом системе координат само тело неподвижно, а внешняя сила гравитации совершает обратное вращение. Посмотрим, можно ли для небесного тела, находящегося на круговой орбите под действием гравитационного силы F(t)=α/r², ввести некую потенциальную функцию U(r). Чтобы такую функцию можно было ввести, силовая функция

(–rω² cos ωt) dx + (–rω² sin ωt) dy

должна быть полным дифференциалом, для чего необходимо и достаточно соблюдения следующего тождества:

d(–rω² cos ωt)/dy ≡(?) d(–rω² sin ωt)/dx или ω² tg ωt ≠(!) ω² ctg ωt.

Как видим, указанное тождество не соблюдается, т.е. своим вращением (обращением вокруг массивного тела) малое небесное тело превращает (естественно, только для себя) внешнее гравитационное поле в непотенциальное (вихревое). Это служит ещё одним подтверждением того, что введение потенциальной энергии U=–α/r, взятой из другой задачи, в исходные условия для Кеплеровой задачи, неправомерно.

Вот этот пассаж фееричен. :) Проанализируйте его внимательно, и найдете ошибку.

Дополнение.

Здесь не любят голословности, поэтому попробую обосновать то, что написал. Начнем вот с этого:

Возьмём частный случай эллиптического движения – кругового, заданного параметрически: x = r cos ωt, y = r sin ωt, где ω – угловая скорость. Полагаем, что некое массивное тело поддерживает данный режим движения малого небесного тела силой гравитации, описываемой уравнениями:

d²x/dt² = –rω² cos ωt, d²y/dt² = –rω² sin ωt.

Во-первых, данные уравнения описывают не силу, а компоненты ускорения, во вторых и в главных, уравнения эти описывают не силу гравитации и следуют не из закона взаимодействия движущихся тел, а только из характера движения. Автор полагает, что режим движения тела поддерживает некое массивное тело. Ну а мы положим, что данный режим поддерживает, например, сверлильный станок. В патрон перпендикулярно оси вращения зажат стержень длины r, на конце которого закреплен шарик (материальная точка, частица) массы m; шпиндель вращается с угловой скоростью ω. Если совместить начало координат декартовой системы с осью вращения, то как раз получим следующую зависимость координат шарика от времени, а также компоненты скорости и ускорения:

x = r cos ωt, y = r sin ωt;

vx=dx/dt= -rωsin ωt, vy=dy/dt= rωcos ωt;

ax=d2x/dt2= -rω2cos ωt, ay=d2y/dt2= -rω2sin ωt.

Соотношения, как видим, получились те же. Оно и понятно, т.к. мы вместе с автором абстрагировались от сути взаимодействия и рассматриваем только характеристики (пока - кинематические) самого движения. Почему автор называет данные соотношения уравнениями силы - непонятно. Оставим этот ляп на его совести.

Далее попробуем определить характеристики динамические. Компоненты силы, согласно второго закона Ньютона, будут выглядеть так:

Fx=max= -mrω2cos ωt, Fy=may= -mrω2sin ωt,

а модуль слиы получим из соотношения:

F2=F2F2y= ((-cos ωt)2+(-sin ωt)2)(mrω2)2= (cos2ωt+sin2ωt)(mrω2)2=1* (mrω2)2, соответственно, извлечем корень и получим:

F=mrω2

или, вводя линейную скорость v=rω,

F=mv2/r.

Что же это за сила? Судя по формуле - центробежная. Собственно, это даже не сила, нет в природе центробежных сил (так говорил мой учитель физики), есть только законы сохранения - импульса и момента импульса (еще энергии, конечно, но тут он нам не понадобится). То, что мы получили - это не действующая на тело сила, это математическая (динамическая) характеристика движения, имеющая размерность силы, выражение того факта, что тело, образно говоря, в каждый момент времени и в каждой точке траектории стремится уйти с этой траектории, сохранить свой импульс, сделать свое движение равномерным и прямолинейным... Но уйти ему не дает та самая сила гравитации (ну или наш стержень :)) - единственная действующая на тело сила. Подчеркиваю, это очень важно: мы вместе с автором сознательно ушли от вопроса взаимодействия, поэтому мы (и автор) получили пока только характеристики движения, но не взаимодействия. Далее автору надо бы написать:

Fц=Fнmv2/r = GmM/r2

т.е. приравнять силу гравитации (то самое взаимодействие) и центробежную, и единственно полезное, что можно получить из этого соотношения, это

v=(GM/r)1/2 ,

известная формула первой космической (круговой) скорости для тех тел, которые рассматривает автор. Однако далее в тексте начинается то самое, что я обозначил словом "феерия". Автор пишет:

Ясно, что для вращающегося тела внешнее воздействие тоже становится вращающимся. Так, во вращающейся синхронно с телом системе координат само тело неподвижно, а внешняя сила гравитации совершает обратное вращение. Посмотрим, можно ли для небесного тела, находящегося на круговой орбите под действием гравитационного силы F(t)=α/r², ввести некую потенциальную функцию U(r). Чтобы такую функцию можно было ввести, силовая функция

(–rω² cos ωt) dx + (–rω² sin ωt) dy

должна быть полным дифференциалом, для чего необходимо и достаточно соблюдения следующего тождества:

d(–rω² cos ωt)/dy ≡(?) d(–rω² sin ωt)/dx или ω² tg ωt ≠(!) ω² ctg ωt.

Как видим, указанное тождество не соблюдается, т.е. своим вращением (обращением вокруг массивного тела) малое небесное тело превращает (естественно, только для себя) внешнее гравитационное поле в непотенциальное (вихревое).

Отвлечемся от обратного вращения силы гравитации и вихревого гравитационного поля (это я без иронии). Посмотрим вот на это соотношение:

(–rω² cos ωt) dx + (–rω² sin ωt) dy.

Честно говоря, некоторое время я не мог понять, что же это такое автор написал. А оказывается, вот что: автор пытается доказать, что для тела, движущегося под действием Ньютоновой силы F=α/r² нельзя найти такую функцию U(r) (потенциальную функцию, физический смысл которой - потенциальная энегрия тела в поле тяготения в данном случае), чтобы выполнялось соотношение

F=-dU(r)/dr. Почему-то автор не пишет левой части уравнения. Попробую восстановить его рассуждения. По идее, должно быть так:

dU(x,y)=U'xdx+U'ydy = Fxdx+Fydy,

т.е. в уравнении фигурируют компоненты силы. Но какой силы? Очевидно, той, потенциальность или непотенциальность которой мы хотим доказать. Что же делает автор? Он пытается доказать непотенциальность Ньютоновой силы тяготения, а в уравнение подставляет компоненты силы центробежной, заведомо непотенциальной! А как я показал выше, эта центробежная сила является следствием движения, его характеристикой, но никак не определяет взаимодействие. Т.е. здесь автор делает ровно то самое, в чем обвиняет приверженцев Лагранжева формализма и, в частности, Л.Д. Ландау: с помощью математического трюка пытается вывести удобный для себя физический смысл. Фактически, подгонка результата, подмена понятий... С точки зрения математики всё чисто, а вот с физической - чистая феерия!

Ну и напоследок. Коль автор представляет координаты тела (x, y) в параметрической форме как функцию времени, то и дифференциал следовало бы написать таким образом:

dU= (–rω² cos ωt) dx + (–rω² sin ωt) dy = (–rω² cos ωt) x'tdt + (–rω² sin ωt) y'tdt. 

Подставим сюда выражения для скоростей (x't и y't - ни что иное, как компоненты скорости) и получим:

-rωsinωt*(–rω² cos ωt)dt + rωcosωt*(–rω² sin ωt)dt = r2ω3(sin(ωt)cos(ωt) - sin(ωt)cos(ωt))dt=0, т.е. dU=0,

откуда только и следует, что U=const. И это совершенно справедливо для рассматриваемого случая.

П.С. Не знаю, намеренно автор допускает такие ляпы в своих рассуждениях или добросовестно заблуждается, но статья, написанная на основе подобной логики вызывает некоторое недоумение. И кстати: У Ландау, которого автор пытается критиковать, всё четко и ясно. Чего не скажешь о самом авторе.

П.П.С. Если кто-то найдет в моих рассуждениях ошибки или неточности, прошу указать на них, и я с радостью изменю свою точку зрения. :) И приношу извинения за "школьный" вид формул во второй части комментария - не смог найти в таблице символов знаков частных производных, а скопировать из MS Equation сюда не удалось.

Аватар пользователя wolkwww
wolkwww(4 года 6 месяцев)(01:58:42 / 15-11-2014)

Да уж! Спасибо за указание на галиматью. Как Вам было не лень разбираться в этом...?!

Автор - шикарный математик, ТАКОЙ гламурненький математик...

Аватар пользователя alterlex
alterlex(3 года 6 месяцев)(04:54:01 / 15-11-2014)

Да просто просматривал статью, и что-то резануло глаз... Зацепился за несообразность, некоторое время ломал голову, потом дошло. :) Я, конечно, понимаю, Ландау может и есть за что критиковать, но когда это делается так топорно, с подменой физического смысла и попытками манипуляций, меня это просто возмущает... В конце концов, какими бы ни были подходы к построению теорий у Льва Давидовича, его "Теоретическая физика" - огромный труд и, как ни крути, классический уже учебник. А про автора этого мне, по большому счету, ничего не известно...

Аватар пользователя Радионеслушатель

Он пытается доказать непотенциальность Ньютоновой силы тяготения, а в уравнение подставляет компоненты силы центробежной, заведомо непотенциальной! А как я показал выше, эта центробежная сила является следствием движения, его характеристикой, но никак не определяет взаимодействие.

очень интересный вопрос, кстати. Мне даже есть что на него ответить, но к счастью автор обещал сам заглянуть, так что подожду.

Аватар пользователя alterlex
alterlex(3 года 6 месяцев)(10:07:52 / 17-11-2014)

Подождем.

Аватар пользователя Радионеслушатель

да, в свое время на одном околонаучном форуме было сломано немало копий вокруг центробежной силы, у которой все как у кошки, и усы и лапы и хвост, но это по мнению многих - не она, и про ее работу, которая по кругу равна нулю. Очень любопытно еще раз пройтись будет.

Аватар пользователя alterlex
alterlex(3 года 6 месяцев)(14:13:23 / 17-11-2014)

Ну, мне так никто никогда подробно и доходчиво и не объяснил, что такое эта центробежная сила... Вот потому я так и написал - в силу своего понимания. Но выводов-то моих это не отменяет.

Аватар пользователя Bruno
Bruno(2 года 3 месяца)(19:29:16 / 09-11-2015)

Ну а какова должна быть "полезная" работа тела вне механического контакта и в вакууме одновременно?

Если мерять в периоде обращения вокруг Солнца, то - да, где-то около нуля. Тем не менее, вакуум не абсолютный, а свет имеет вес, и какая-то мизерная работа таки совершается, что как бэ должно навевать на тревожные мысли о том, что запас хода у планет может иметь очень большое число периодов обращения, но - не бесконечное. Вдобавок, наша система или галатика может войти в чуть более плотные слои галактики или вселенной, и отмерянный количество периодов гачнёт уменьшаться... впрочем, в астрофизике я не силён.

Аватар пользователя elfwired
elfwired(5 лет 2 месяца)(12:03:25 / 17-11-2014)

Я считаю, что можно короче

(–rω² cos ωt) dx + (–rω² sin ωt) dy

должна быть полным дифференциалом

Вот тут уже ошибка.

Автор с самого начала, "по условиям задачи" жёстко задаёт x и y как функцию времени x = r cos ωt, y = r sin ωt 

(Это уже сомнительно, задача физики -  как раз найти x и y.)

Но раз уж траектория задана, из исходных данных можно лишь получить 

dU/dt - изменение потенциала вдоль траектории.

dx = –rω sin ωt dt , dy = rω cos ωt dt

отсюда

dU = (–rω² cos ωt) dx + (–rω² sin ωt) dy = (–rω² cos ωt) (–rω sin ωt dt) + (–rω² sin ωt) rω cos ωt dt = 0 

То есть сила, уравновешивающая центробежную, работы не совершает.

Что неудивительно для потенциала 1/r , ведь траектория круговая, r не меняется, не меняется и U.

А вот с полным дифференциалом тут действительно проблема, но исключительно по воле автора, ограничившегося одномерным случаем. (жестко заданы ω и r)

поэтому и получился бред в следующих 2 строчках

(–rω² cos ωt) dx + (–rω² sin ωt) dy

должна быть полным дифференциалом, для чего необходимо и достаточно соблюдения следующего тождества:

d(–rω² cos ωt)/dy ≡(?) d(–rω² sin ωt)/dx или ω² tg ωt ≠(!) ω² ctg ωt.

Как видим, указанное тождество не соблюдается, т.е. своим вращением 

В одномерном случае как-то бессмысленно приравнивать  d/dx(Fy) и d/dy(Fx) ведь x и y не являются независимыми переменными

Но чисто формально если в формулу d(–rω² cos ωt)/dy ≡(?) d(–rω² sin ωt)/dx  подставить dx = –rω sin ωt dt , dy = rω cos ωt dt , то тождество получится.

Если же честно задать силу как функцию от координат (Fx (x,y), Fy(x,y)) то найти потенциал проблем не составит, любой, кого фамилия "Демидович" не оставила равнодушным ;-) справится.

Аватар пользователя alterlex
alterlex(3 года 6 месяцев)(12:24:08 / 17-11-2014)

Если же честно задать силу как функцию от координат (Fx (x,y), Fy(x,y)) то найти потенциал проблем не составит, любой, кого фамилия "Демидович" не оставила равнодушным ;-) справится.


Вот именно, меня-то и смутило то, что автор пытается доказывать непотенциальность силы тяготения через какой-то дальный и кружный путь. Вместо того, чтобы "честно" признать ее (силу) как функцию координат. Видно, автор очень хорошо знает, что получится у него при таком подходе ровно то же, что у Ландау, которого он так усиленно пытется критиковать :)

Аватар пользователя Радионеслушатель

подождите минутку. у бог с ней, с центробежной силой, бог с ней, с критикой Ландау. Пусть сам Петров про это вам расскажет, если сочтет нужным. Но вы ни слова не сказали про его вариант решения задачи с аппаратом комплексных чисел. А к Ландау у автора простая претензия (я извиняюсь, может сумбурно отвечаю, просто прочитал подряд все Ваши реплики). Нет  объяснения у Льва Давидовича почему же тела движутся не по кругу а по эллипсу. А в решении автора такая мысль есть.

Условно (вроде бы “случайно”, но за эту “случайность” надо поблагодарить Лаланда, открывшего уравнение конического сечения) примем вектор отклонения центра кривизны от центра притяжения равным е/p, где е – произвольное действительное число, находящееся в пределах 0≤е<1.

Теперь зададимся вопросом, как физически можно добиться отклонения центра кривизны орбиты от центра притяжения вдоль полярной оси (в данном случае влево по оси абсцисс)? Понятно, что это можно сделать путём увеличения вектора линейной скорости тела в направлении мнимой оси, на которой исходно находится вектор скорости v=iV, на величину iеV. Понятно также, что увеличение обратной величины расстояния до центра притяжения (равносильное приближению этого центра) вызовет увеличение (по абсолютной величине) обобщённой силы притяжения (–V²p) на величину (–V²еp).

Как видим, между членами образовавшейся новой триады существует такая же дифференциально-интегральная связь, как и между членами первоначальной триады. Иначе говоря, вторая триада представляет собой динамические характеристики ещё одного вращения, возникающего на основе исходного кругового движения и налагающегося на него, в результате чего круговая орбита преобразуется в эллиптическую...

При смещении тела с вершины большой оси эллипса центр кривизны орбиты также смещается с этой оси, а при фазе 90° вектор смещения становится “чисто мнимым”. В этом случае расстояние до центра притяжения становится равным параметру p. Соответственно, сила притяжения восстанавливается до исходной величины (–V²p), однако при этом она “расщепляется” на две составляющие, которые проявляют себя по-разному. Составляющая, которая действует вдоль касательной к траектории, в соответствии со вторым законом Ньютона приводит к уменьшению (на симметричной половине эллипса – к увеличению) линейной скорости и при этом полностью уравновешивается силой инерции тела, сопротивляющейся изменению скорости. Составляющая же, действующая по нормали к траектории, уравновешивается по иному закону – закону вращения, т.е. возникающей по этому закону центробежной силой. Обе противостоящие друг другу силы достигают минимального значения в вершине эллипса на его малой оси. При фазе же 180° (на другой вершине большой оси эллипса) члены обеих триад попарно противостоят друг другу.

α = (1/p) + (е/p)exp(–iМτ),

β =(iV) + (iVе)exp(–iМτ),

γ = (–V²p) + (–V²еp)exp(–iМτ).


Вот самая вкусняшка. Ничего этого вы без оперирования с мнимыми числами не получите.  А критику Ландау - вот чуяло мое сердце - надо было вообще исключить из статьи. Иначе к ней только и будут цепляться.

Аватар пользователя elfwired
elfwired(5 лет 2 месяца)(15:02:08 / 17-11-2014)

>Нет  объяснения у Льва Давидовича почему же тела движутся не по кругу а по эллипсу. 

Вот это утверждение не постесняюсь назвать враньём и клеветой на Ландау.

Сам лично будучи студентом эту задачу решал, эллипс получался.

Воспроизводить выкладки здесь не буду, всё написано в учебнике, надо только не полениться его изучить перед сочинением "опровергающих официальную науку" статей.

>А критику Ландау - вот чуяло мое сердце - надо было вообще исключить из статьи. Иначе к ней только и будут цепляться. 

Вы об этом в следующий раз подумайте прежде чем простыни постить =) Если возможно выразить мысль кратко, так и следует делать.


Кстати если к Ландау (и к Лагранджу) вопросов нет, и придуман просто ещё один (по-моему весьма кривой) способ рассчитать то же самое, то возникает вопрос "но зачем?"

У расчётов с помощью функции Лагранджа есть практические преимущества:

 - есть алгоритм позволяющий единообразно решать весьма сложные задачи.

 - можно использовать более удобную и естественную для задачи систему координат. В случае когда наблюдается симметрия или законы сохранения, это часто позволяет сводить сложные задачи к более простым.


Задача 2 тел - как раз типичный пример преимуществ такого подхода. Изначально шестимерная задача (каждое из тел описывается 3 координатами) разбивается на несколько подзадач, часть из которых решается тривиально.

Какие преимущества у приведённого вами метода кроме способности нагнать туман? И зачем это на ресурсе?


Аватар пользователя Радионеслушатель

Сам лично будучи студентом эту задачу решал, эллипс получался.

я не совсем точно выразился, эллипс получается. почему он появляется с физической точки зрения - на этот вопрос л. формализм ответить не может.

слушайте, на остальное ответы все в тексте есть!Претензии в том, что пользование формальными методами не дает принципиального ответа на то, какую физическую природу имеют происходящие в динамической системе процесы. Ландау я не хотел включать не потому, что к нему вопросов нет, а потому что, извините, будет много вони, потому что это непогрешимая библия отечественных физиков-теоретиков. И поскольку (как показывает опыт) это миллионстраничные холивары ни к какому позитивному исходу не приводят, смысла забивать комментариями на эту тему свои статьи здесь я никакого не вижу. А на ресуре это (кроме популяризации науки) уже хотя бы потому, что тут очень народ интересуется, что же будет в следующем технологическом укладе греть народ и возить его тела   :) А с источниками энергии как-то не очень пока дела обстоят у официальной науки. Причем пока в некоторых отраслях длится по 60 лет кряду уже, и конца не видно.

"Но, позвольте, какое отношение указанная величина потенциальной энергии U=–α/r имеет к взятой нами из закона всемирного тяготения величине силы тяготения F(t)=α/r²? Величину потенциала U=–α/r получают интегрированием функции F(t) по пути (мысленного) перемещения тела из бесконечно удалённой точки в заданную точку, заметим, в режиме свободного падения по некой параболической траектории, т.е. решая совсем иную задачу. В той задаче есть возможность не только интегрировать силу тяготения по перемещению, получая в результате данный потенциал, но и выполнять обратную операцию дифференцирования гравитационного потенциала по перемещению тела, снова возвращаясь к формуле закона всемирного тяготения.

А векторно-тензорное исчисление, на котором базируется вариационный принцип наименьшего действия с его аппаратом лагранжианов-гамильтонианов, к сожалению, такой возможности предоставить уже не может. Прежде всего, потому что дифференцирование здесь не ньютоново “классическое”, а ковариантное, “символическое”, т.е. “универсальное” в том смысле, что не зависит от выбранной системы координат, а значит, не имеет и обратной процедуры, которую можно было бы назвать “символическим интегрированием”.

Более того, в результате априорного выбора функции Лагранжа без предварительного анализа физической сути задачи и без учёта её специфики, частное дифференцирование происходит по направлениям ортов системы координат, не совпадающим с направлениями в пространстве, вдоль которых реально действуют внутренние силы в системе. Направления силовых воздействий, если и совпадают с направлениями ортов системы координат в каких-то точках орбиты, то чисто случайно, не в соответствии, а вопреки данной методологии и, естественно, с неизбежными искажениями и потерями в качестве решения задачи. Рассмотрим это подробнее на примере нашей задачи.

Хотя при выбранной системе координат сила притяжения неизменно действует вдоль полярного радиуса в сторону центра притяжения (начала координат), однако, реально эта сила разделяется на две перпендикулярные составляющие, воздействующие на движущееся тело в двух направлениях: по касательной к траектории (ускоряя или замедляя движение) и по нормали к траектории в сторону центра кривизны орбиты (этим изменяя направление движения).

При этом мгновенный центр кривизны орбиты оказывается на полярной оси лишь дважды за полный оборот, а, именно, при прохождении телом вершин эллипса на большой оси орбиты. Поэтому-то направление силы тяготения практически нигде не совпадает ни с одним из ортов выбранной аналитиками системы координат (за исключением двух указанных выше двух точек орбиты). В то же время методология лагранжианов-гамильтонианов (или методология замкнутых систем, что то же самое!) предусматривает частное дифференцирование функции Лагранжа (включая и добавленный в неё потенциал U=–α/r) исключительно по ортам выбранной системы координат, т.е. в данном случае – по направлениям к центру притяжения и перпендикулярно ему, но никак не по касательной и нормали к траектории (эти направления в виде функций времени нам заранее не известны). Значит, данная методология преднамеренно игнорирует тот факт, что в расчётные величины действующих сил (а, значит, и в другие динамические характеристики системы) вносятся неконтролируемые искажения. Что представляют собой эти искажения?

В разных публикациях мы уже неоднократно рассматривали похожий случай (из 1-го тома учебного пособия Ландау-Лифшица, 2001, с.83), когда для режима вынужденных колебаний (заметим, речь идёт об открытой системе!), при заданном внешнем воздействии в виде функции времени F(t), в функцию Лагранжа вносится дополнительная потенциальная энергия, равная xF(t), где x – одномерная координата колебательного процесса.

Критикуя такой подход, мы показываем, что частным дифференцированием произведения переменных во времени величин x(t)•F(t) по переменной величине x(t), которая является решением уравнения движения системы и поэтому зависит от входного воздействия F(t), “восстановить” её (в том виде, в каком аналитики включили её в “придуманное” ими новое слагаемое функции Лагранжа в целях приведения открытой системы к замкнутой) невозможно. Действительно:

∂(xF)/∂x = F(t) + x(t) ∂F/∂x = F(t) + ∂F/∂(lnx) ≠ F(t)..."

Аватар пользователя alterlex
alterlex(3 года 6 месяцев)(17:06:43 / 17-11-2014)

Претензии в том, что пользование формальными методами не дает принципиального ответа на то, какую физическую природу имеют происходящие в динамической системе процессы.

Так с точки зрения чистой механики мы на эти вопросы никогда не ответим, сколько б ни пытались. Тут хоть Лагранжев формализм применяй, хоть любой другой - вопрос о природе взаимодействия (любого) выходит за рамки механики. Механика лишь дает представления о свойствах движения при заданном законе взаимодействия, не интересуясь природой взаимодействия. Определить закон взаимодействия - совсем иного рода задача. Согласны?

Аватар пользователя elfwired
elfwired(5 лет 2 месяца)(18:22:07 / 17-11-2014)

> (кроме популяризации науки) 

Возможно, это имеет смысл.

Но обязательно ли популяризовать науку на таких сомнительных примерах?

>что же будет в следующем технологическом укладе греть народ и возить его тела

Отвергая науку лежащую в основе текущего уклада вы попадёте в предыдущий уклад а не в новый, а этого как раз хотелось бы избежать.

Заметьте, квантовая механика и теория относительности (без которых нынешний уклад немыслим) не отвергают ньютоновскую механику и уравнения Максвелла а включают их в себя как частный случай.

Аватар пользователя elfwired
elfwired(5 лет 2 месяца)(18:47:42 / 17-11-2014)

> я не совсем точно выразился, эллипс получается. почему он появляется с физической точки зрения 

Это уже немного философский вопрос.

Принцип наименьшего действия выглядит вполне естественным если опуститься на уровень квантовой (волновой) механики, тут просматривается прямая аналогия с кратчайшим путём в оптике.

Так что для меня например эллипс как фигура обеспечивающая наименьшее действие - вполне физическое объяснение.


Но могу объяснить и на уровне физматшколы.

Если смотреть из системы координат, вращающейся вместе с планетой, то кроме гравитационного потенциала возникает ещё и центробежный барьер, физический смысл которого в том, что при сохраняющемся моменте импульса чем ближе планета к звезде, тем больше компонента скорости связанная с вращением и тем больше связанная с этим кинетическая энергия.

Складываясь эти два потенциала дают потенциальную яму, то есть задача сводится к колебаниям тела в одномерной потенциальной яме.


Вот и всё, никакие комплексные числа не нужны.


Аватар пользователя alterlex
alterlex(3 года 6 месяцев)(15:04:41 / 17-11-2014)

Честно сказать, до этой части статьи я так и не добрался. Глаз сразу же зацепился за те вещи, о которых я уже написал. И, кстати, у Ландау (вот сейчас передо мной лежит первый том) таки есть объяснения, почему тела движутся по эллипсу (а также по параболе, по гиперболе и по кругу - как частный случай эллипса). Другие у автора претензии к тем, кто использует Лагранжев формализм. Петров вообще, похоже, считает, что его (формализм этот) применять не нужно никогда.

Аватар пользователя alterlex
alterlex(3 года 6 месяцев)(15:05:25 / 17-11-2014)

Честно сказать, до этой части статьи я так и не добрался. Глаз сразу же зацепился за те вещи, о которых я уже написал. И, кстати, у Ландау (вот сейчас передо мной лежит первый том) таки есть объяснения, почему тела движутся по эллипсу (а также по параболе, по гиперболе и по кругу - как частный случай эллипса). Другие у автора претензии к тем, кто использует Лагранжев формализм. Петров вообще, похоже, считает, что его (формализм этот) применять не нужно никогда.

Аватар пользователя Радионеслушатель

Normal 0 false false false MicrosoftInternetExplorer4


Получил ответ А.М. Петрова

"Уважаемые коллеги, спасибо за вопросы. Постараюсь ответить на них.

wolkwww:
«…Обобщённые взаимосопряжённые координаты в механике включают в себя и координаты, и импульсы всех мат. точек системы. Координата и импульс каждой мат. точки в трёхмерном пространстве – векторы. Значит, для описания состояния системы из N точек используется 2*N векторов. Как-то так, батенька-альтернативист... Объяснять эллиптичность существующих планетарных орбит новоизмышлёнными следствиями из сомнительного матем. аппарата – верх наглости. Уж это явление, хорошо изучено и наблюдаемо и объясняется известными и зарекомендовавшими себя методами…».

Ответ.

Ньютонова механика учитывает действующие силы, зависящие от координат, скоростей (первых производных по времени от координат) и ускорений (вторых производных по времени от координат), но не производных высших порядков (это означает, что любое математическое разложение силовой функции в ряд Тейлора обрывается на третьем члене).

В то же время, существует ограниченный класс динамических систем, поведение которых можно описать (предсказать), используя только значения их координат и скоростей, т.е. обрывая ряд Тейлора на втором члене. Л.Ландау предположил (обосновав это буквально тремя словами: «как показывает опыт»), что это может быть справедливо и для любой динамической системы, при условии использования методологии лагранжианов-гамильтонианов (в последнем случае имеется в виду, что импульс – это та же скорость, только с коэффициентом пропорциональности в виде массы).

Несмотря на «разгромную» рецензию академика Фока 1941 года (к первому изданию «Механики» Ландау-Пятигорского 1940 года), показавшему ошибочность этого предположения, оно сохранилось в неизменном виде в пяти последующих переизданиях «Механики» Ландау-Лифшица (являющейся первым томом десятитомника учебного пособия по теоретической физике, рекомендованного Министерством образования для студентов физических специальностей университетов). Можно добавить: со всеми вытекающими отсюда негативными последствиями.

Так, методология лагранжианов-гамильтонианов обобщает одномерную механику Ньютона на случай N измерений (вплоть до бесконечно большого числа измерений) с помощью векторной алгебры на тензорной основе. При этом дополнительные измерения вводятся в виде новых действительных осей координат, ортогональных к уже существующим. На каждой из таких осей координат действует своя механика, как бы независимая от действующих в других измерениях. Такое положение «автоматически» выводит многомерную механику за пределы классического математического анализа  с его строгими правилами дифференцирования-интегрирования. Ведь между классическими линейными операциями дифференцирования-интегрирования «вклиниваются» нелинейные операции разложения вектора по осям координат и последующего сложения проекций вектора по правилу параллелограмма. При этом дифференцирование становится частным, а его результатами оказываются не производные в классическом виде, а так называемые дифференциальные формы. К тому же, обратная операция «частного интегрирования» оказывается не всегда возможной. При этом результаты математических выкладок и вычислений становятся субъективно зависящими от выбора исследователем системы координат.

Всех этих недостатков можно избежать, применяя алгебры с векторным делением. Для двумерного случая таковой является алгебра комплексных чисел, которую автор попытался применить к давно известной, но до сих пор до конца не решённой, (двумерной) кеплеровой задаче. Что здесь появляется нового и неожиданного?

Лагранжев формализм сводит кеплерову задачу к одномерной, с периодической перекачкой энергии из потенциальной в кинетическую и обратно в рамках замкнутой системы, подобной маятнику, однако, с тем отличием, что угловая частота колебаний при эллиптическом движении не остаётся постоянной.

Аппарат комплексных чисел позволяет «гармонизировать» этот колебательный процесс и, тем самым, упростить расчёты. Но более важно то, что, заменяя искусственно созданный процесс (внутрисистемного обмена энергией) на реально происходящий обмен энергией между данным телом (планетой или спутником) и источником гравитации, мы обнаруживаем возможность извлечения дополнительной гравитационной энергии за счёт усложнения структуры динамической системы.

Действительно, если тело представляет собой сплошное твёрдое тело, то говорить о какой-то дополнительной гравитационной энергии, которую можно было бы извлечь из его движения, не приходится.

Но вот, к примеру, Земля, с её океанской акваторией и естественно возникающим в ней «упругим механизмом», представляет собой более сложную динамическую систему. Находясь на её поверхности, мы видим, что Солнце и Луна перемещаются по небосводу в темпе вращения Земли вокруг своей оси, но только в обратном направлении. Силы притяжения Солнца и Луны в зените и надире отличаются по величине и изменяются между этими предельными значениями по закону, близкому к гармоническому, с угловой скоростью, равной удвоенной угловой скорости собственного вращения Земли…

Ну, а дальше вступает в действие закон резонанса: в океанской толще воды естественным образом выявляется водная масса, частота колебаний которой совпадает с удвоенной частотой вращения Земли… с запаздыванием (согласно закону резонанса) на четверть периода колебаний приливных волн, т.е. на три часа

 

Гравитационная энергия приливных волн практически используется в приливных гидроэлектростанциях. В связи с этим возникает вопрос: откуда эта энергия берётся (у какого источника отнимается)?

Поскольку для Луны и Солнца потери энергии вследствие работы наших приливных электростанций ничтожны, а получение этой энергии не приводит ни к каким нежелательным эффектам на Земле, то можно сказать, что гравитационная энергия для нас является даровой и экологически безупречной. Если же принять во внимание, что по схеме, «придуманной самой Природой», человек может создавать подобные же «гравитационные двигатели», питаемые Землёй как источником гравитации, в любой точке нашей планеты, то этот источник энергии оказывается вездесущим и неисчерпаемым.

Вот вам и объяснение ущербности лагранжева формализма: искусственно объединив в одну динамическую систему движущееся тело и воздействующий на него источник бесконечно большой энергии, при этом обозначив константой сумму конечной (у нашего тела) и бесконечно большой (у источника) энергии, мы теряем практический смысл решения данной задачи! Получается «наука ради науки», чем и грешил Ландау.

 

alterlex:

«… Автор строит свои выкладки, насколько я понял, в основном на критике того факта, что Ландау использует соотношение F=-dU(r)/dr, т.е. представляет силу как производную от потенциальной энергии. Ну, можно использовать чисто Ньютоновский подход  и написать уравнения движения в полярных координатах – что (с математической точки зрения) это в данном случае изменит? И ещё непонятно – Кеплерова задача – задача о движении двух тел в поле тяготения, т.е. типично замкнутая система, так к чему тут за уши притягивать ещё что-то, если Лагранжев формализм в данном случае отлично работает...

Кеплерова задача у Ландау решается в полярных координатах, их, естественно, две; сила всегда действует вдоль радиус-вектора... Самый логичный и простой выбор системы координат, по-моему. И суть задачи как раз наиболее чётко отражает... Разлагаем движение на две составляющих (радиальную и угловую), дифференцируем их отдельно, выясняем закономерности изменения, делаем выводы... В чём проблема? Где противоречия, несовпадения и "отсутствие анализа физической сути"?...

Данные уравнения описывают не силу, а компоненты ускорения, во-вторых и в главных, уравнения эти описывают не силу гравитации и следуют не из закона взаимодействия движущихся тел, а только из характера движения…

Мы вместе с автором абстрагировались от сути взаимодействия и рассматриваем только характеристики (пока – кинематические) самого движения. Почему автор называет данные соотношения уравнениями силы – непонятно…

Получим:

F=mrω2

или, вводя линейную скорость v=rω,

F=mv2/r.

Что же это за сила? Судя по формуле – центробежная. Собственно, это даже не сила, нет в природе центробежных сил (так говорил мой учитель физики), есть только законы сохранения – импульса и момента импульса (ещё энергии, конечно, но тут он нам не понадобится). То, что мы получили – это не действующая на тело сила, это математическая (динамическая) характеристика движения, имеющая размерность силы, выражение того факта, что тело, образно говоря, в каждый момент времени и в каждой точке траектории стремится уйти с этой траектории, сохранить свой импульс, сделать свое движение равномерным и прямолинейным... Но уйти ему не даёт та самая сила гравитации (ну или наш стержень) – единственная действующая на тело сила. Подчёркиваю, это очень важно: мы вместе с автором сознательно ушли от вопроса взаимодействия, поэтому мы (и автор) получили пока только характеристики движения, но не взаимодействия… 

Автор пытается доказать, что для тела, движущегося под действием Ньютоновой силы F=α/r² нельзя найти такую функцию U(r) (потенциальную функцию, физический смысл которой – потенциальная энергия тела в поле тяготения в данном случае), чтобы выполнялось соотношение

F=-dU(r)/dr.

Почему-то автор не пишет левой части уравнения. Попробую восстановить его рассуждения. По идее, должно быть так:

dU(x,y)=U'xdx+U'ydy = Fxdx+Fydy,

т.е. в уравнении фигурируют компоненты силы. Но какой силы? Очевидно, той, потенциальность или непотенциальность которой мы хотим доказать. Что же делает автор? Он пытается доказать непотенциальность Ньютоновой силы тяготения, а в уравнение подставляет компоненты силы центробежной, заведомо непотенциальной! А как я показал выше, эта центробежная сила является следствием движения, его характеристикой, но никак не определяет взаимодействие. Т.е. здесь автор делает ровно то самое, в чем обвиняет приверженцев Лагранжева формализма и, в частности, Л.Д.Ландау: с помощью математического трюка пытается вывести удобный для себя физический смысл. Фактически, подгонка результата, подмена понятий... С точки зрения математики всё чисто, а вот с физической – чистая феерия!

Ну и напоследок. Коль автор представляет координаты тела (x, y) в параметрической форме как функцию времени, то и дифференциал следовало бы написать таким образом:

dU= (–rω² cos ωt) dx + (–rω² sin ωt) dy = (–rω² cos ωt) x'tdt + (–rω² sin ωt) y'tdt. 

Подставим сюда выражения для скоростей (x't и y't - ни что иное, как компоненты скорости) и получим:

rωsinωt*(rω²cosωt)dt+rωcosωt*(–rω²sinωt)dt= 

=r2ω3(sin(ωt)cos(ωt)–sin(ωt)cos(ωt))dt=0, т.е. dU=0,

откуда только и следует, что U=const. И это совершенно справедливо для рассматриваемого случая.

П.С. Не знаю, намеренно автор допускает такие ляпы в своих рассуждениях или добросовестно заблуждается, но статья, написанная на основе подобной логики, вызывает некоторое недоумение. И кстати: у Ландау, которого автор пытается критиковать, всё четко и ясно. Чего не скажешь о самом авторе…

В конце концов, какими бы ни были подходы к построению теорий у Льва Давидовича, его "Теоретическая физика" - огромный труд и, как ни крути, классический уже учебник».

Ответ.

Да, я против того, чтобы силу определять путём дифференцирования энергии по некоему абстрактному движению тела (из данной точки пространства в бесконечно удалённую точку). Отсюда и возникают всякие недоразумения.

Откройте «Механику» Ландау-Лифшица на сс.82-85, где авторы разбирают классическую задачу об осцилляторе в режиме резонанса. Вернее, пытаются втиснуть известное решение этой задачи в «прокрустово ложе» лагранжева формализма.

Итак, при заданной внешней силе F=fcosωt и массе осциллятора m, получаем следующее решение задачи (авторы описывают это решение словесно, не приводя итоговых формул, видимо, с целью скрыть свой «мухлёж», о котором – ниже):

х=(ft/2mω)sin(ωt) – координата с линейно возрастающей во времени амплитудой,
v=dx/dt=(ft/2m)cos(ωt) – скорость резонансного процесса, также с линейно возрастающей во времени амплитудой,

mv²/2=(f²t²/8m)cos²(ωt) – кинетическая энергия осциллятора с квадратично возрастающей во времени амплитудой,

mω²х²/2=(f²t²/8m)sin²(ωt) – потенциальная энергия осциллятора, с квадратично возрастающей во времени амплитудой,

mv²/2+mω²х²/2=f²t²/8m – полная энергия осциллятора, возрастающая квадратично во времени.

А теперь посмотрим, что представляет собой придуманная авторами учебного пособия «потенциальная энергия –хF(t)», т.е. «потенциальная энергия U(x, t), связанная с действием внешнего поля», так что «F(t)=–∂U/∂х есть внешняя сила»:

–хF(t)=–(f²t/4mω)sin(2ωt).
Это же чистейшая абракадабра и полнейший конфуз (в так называемом вами «классическом учебнике»)!

Авантюрность замысла Ландау (изложить всю механику с позиций лагранжева формализма) становится особенно заметной в задачах с диссипативными потерями, для которых функция Лангранжа не существует. Как поступают авторы «Механики» в этом случае? С. 100: 

«…Уже нельзя утверждать в общем случае, что ускорение движущегося тела является функцией лишь от его координат и скорости в данный момент времени, т.е. не существует уравнений движения в том смысле, какой они имеют в механике. Таким образом, задача о движении тела в среде уже не является задачей механики».

Это прямое признание авторов, что написанный ими курс механики является лишь разделом лагранжевой механики, которая такие задачи, как на затухающие колебания и вынужденные колебания при наличии трения (не говоря уже о задачах с гироскопическими эффектами и вихревыми процессами) решать не способна. 

Ну, и, наконец, упомянем о полном конфузе «ландавшицкой механики» в попытке решить задачу на прецессию вращающегося волчка (сс. 141-142):
«Закон сохранения момента достаточен и для определения более сложного свободного вращения симметрического волчка… Для определения же скорости прецессии надо разложить вектор Ω (суммарной угловой скорости) по правилу параллелограмма…».

Авторы принимают прецессирующий волчок за замкнутую систему, поэтому ненулевая угловая скорость прецессии для них остаётся загадкой и они её «заимствуют» из угловой скорости быстрого вращения волчка вокруг своей оси. Из чего следует, что при угле наклона оси волчка к вертикали 90° угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси должна быть равной … НУЛЮ!!! 
Однако, вернёмся к кеплеровой задаче.

Несколько замечаний. По определению, исходя из условий второго закона Ньютона F=ma, ускорение a=F/m – это внешняя сила, отнесённая к единичной массе тела. Поэтому, для упрощения формульных записей, мы можем (подчеркну: в условиях действия второго закона механики!) оперировать ускорениями вместо скоростей.

В классическом (выдержавшем уже более двадцати переизданий) учебнике С.М.Тарга центробежные силы чётко определяются как силы инерции. Хотя я знакóм с профессором московского вуза, который отрицает самó существование таких сил. Но эта «детская болезнь» легко излечивается принятием предложения посидеть за заднем сидении в кабине современного истребителя во время выполнения им фигур высшего пилотажа. «Как рукой снимает»!

О разложении сил на радиальную и угловую составляющие. Особенность эллиптического движения состоит в том, радиальные (центростремительная и равная ей по модулю центробежная) силы не направлены в сторону источника притяжения (за исключением двух точек траектории). Соответственно, и тангенциальная составляющая не перпендикулярна направлению на центр притяжения (за исключением тех же двух точек). А при произвольном выборе (декартовой или полярной, не важно) системы координат результаты дифференцирования-интегрирования будут изменяться субъективно (по «воле», точнее незнанию) исследователя.

Наконец, почему нельзя интегрировать по расстоянию от центра притяжения. Потому что движение происходит по более сложному пути.

Как проверяется потенциальность действующей на тело силы?

«По идее, должно быть так:

dU(x,y)=U'xdx+U'ydy = Fxdx+Fydy».

Нет, математики требуют (т.е. это придумано не мною) проверять наличие необходимой связи между проекциями силовой функции «перекрёстным» делением их на приращения проекций координат:

Ux/dy≡Uy/dx (?).

Вот здесь и вскрывается основной порок векторной алгебры на тензорной основе, в которой каждое измерение изначально рассматривается как (линейно) независимое.

А то, что работа сил гравитации на замкнутой траектории (если движущаяся масса пассивна) равняется нулю, оспаривать не буду.

Ну, и добавлю ещё несколько слов о ньютоновой механике.

Самым общим законом ньютоновой механики является её третий закон, который формулируется либо как равенство по модулю, при противоположной направленности, сил действия и противодействия (причём, при любом силовом взаимодействии, статическом или динамическом, непременно присутствует обе силы), либо как равенство нулю суммы всех действующих на тело сил (включая силы инерции), т.е. всегда мы имеем дело с нулевым балансом сил, как в статике, так и в движении. Кстати, это тоже не всеми педагогами вузов признаётся (мол, как это так: сумма сил равна нулю, а движение, в том числе с ускорением, происходит?). На это ответ такой: взгляните на дифференциальное уравнение движения (с силами инерции, диссипативной и возвращающей в положение равновесия)

m(d²x/dt²)+k(dx/dt)+mω²x=F(t).

Это уравнение переписывается в виде нулевого баланса сил по третьему закону Ньютона:

F(t)–m(d²x/dt²)–k(dx/dt)–mω²x=0,

где F(t) – внешняя сила,

m(d²x/dt² - сила инерции,

k(dx/dt) – диссипативная сила,

²x – возвращающая сила.

Первый член уравнения представляет собой «силу действия», сумма остальных членов представляет собой «силу противодействия». По третьему закону Ньютона общий баланс этих сил нулевой, а характер движения выясняется путём решения данного дифференциального уравнения.

 

elfwired:

«…Для функции -1/r^2 решение известно, вовсе не обязательно интегрировать, если мы можем продифференцировать 1/r и убедиться, что этот потенциал всегда даёт правильные значения силы, а вовсе не "иногда, случайным образом". Согласен, существуют силы, для которых невозможно корректно построить потенциал, особенно если система открытая, но в приведённом примере "невозможность проинтегрировать" – совершенно надуманная…

Что это за механизм («взаимосвязи двух измерений»), настолько всем известный, что вы его вот так, без уточнений упоминаете?...

Автор с самого начала, "по условиям задачи" жёстко задаёт x и y как функцию времени x = r cos ωt, y = r sin ωt 

(Это уже сомнительно, задача физики – как раз найти x и y.)

Но раз уж траектория задана, из исходных данных можно лишь получить 

dU/dt - изменение потенциала вдоль траектории.

dx = –rω sin ωt dt , dy = rω cos ωt dt

отсюда

dU = (–rω² cos ωt) dx + (–rω² sin ωt) dy = (–rω² cos ωt) (–rω sin ωt dt) + (–rω² sin ωt) rω cos ωt dt = 0 

То есть сила, уравновешивающая центробежную, работы не совершает.

Что неудивительно для потенциала 1/r , ведь траектория круговая, r не меняется, не меняется и U.

А вот с полным дифференциалом тут действительно проблема, но исключительно по воле автора, ограничившегося одномерным случаем. (жестко заданы ω и r)

поэтому и получился бред в следующих 2 строчках

(–rω² cos ωt) dx + (–rω² sin ωt) dy

должна быть полным дифференциалом, для чего необходимо и достаточно соблюдения следующего тождества:

d(–rω² cos ωt)/dy ≡(?) d(–rω² sin ωt)/dx или ω² tg ωt ≠(!) ω² ctg ωt.

Как видим, указанное тождество не соблюдается, т.е. своим вращением 

В одномерном случае как-то бессмысленно приравнивать  d/dx(dF/dy) и d/dy(dF/dx) ведь x и y не являются независимыми переменными

Но чисто формально если в формулу d(–rω² cos ωt)/dy ≡(?) d(–rω² sin ωt)/dx  подставить dx = –rω sin ωt dt , dy = rω cos ωt dt , то тождество получится.

Если же честно задать силу как функцию от координат (Fx (x,y), Fy(x,y)) то найти потенциал проблем не составит, любой, кого фамилия "Демидович" не оставила равнодушным) справится».

Ответ (в дополнение к вышесказанному).

Я уже объяснял, почему не следует интегрировать силу по пути, по которому динамическая система никогда не будет следовать (из данной точки траектории в бесконечно удалённую от неё, в противоположную от источника гравитации сторону).

Имеется в виду взаимосвязь между измерениями, которая  устанавливается либо условиями задачи, либо изначально, при выборе математического аппарата, правилами векторного умножения и деления в алгебрах с делением (в комплексных числах, кватернионах и октонионах).

Вопрос о полном дифференциале я, пожалуй, пока переадресую к математикам (но, конечно, и сам над ним ещё поразмышляю).

 

kwaier:

«… Данные астрономических наблюдений показывают, что направления больших осей эллиптических орбит планет солнечной системы располагаются перпендикулярно направлению на созвездие Стрельца (или центр Галактики)»..

Вопрос – откуда вы это взяли?

Ответ.

Переворошил данные астрономических исследований и «выловил» такую зависимость. Отдаю себе отчёт, что в чистом виде (с отсечением влияния других факторов на увеличение эксцентриситета планетных орбит) результаты могут быть несколько иными. Кстати, для Луны, как спутника Земли, данная закономерность не наблюдается (взаимодействующие объекты слишком близки, можно сказать, соизмеримы по массе).

Готов продолжить дискуссию, если участники этого захотят.

Всего доброго. Петров А.М. 17.11.2014."

 

 

 

 

 

Аватар пользователя alterlex
alterlex(3 года 6 месяцев)(21:03:36 / 21-11-2014)

В первую очередь, спасибо автору за ответ, и, если уважаемый Радионеслушатель не против, продолжим полемику. :)

О разложении сил на радиальную и угловую составляющие. Особенность эллиптического движения состоит в том, радиальные (центростремительная и равная ей по модулю центробежная) силы не направлены в сторону источника притяжения (за исключением двух точек траектории). Соответственно, и тангенциальная составляющая не перпендикулярна направлению на центр притяжения (за исключением тех же двух точек).


Или я чего-то не понимаю, или автор где-то просчитался... Центростремительная сила (ее роль в данном случае исполняет сила тяготения) всегда направлена строго в центр, т.е. к источнику притяжения. Вот только что построил эллипс, расставил силы и убедился. :) А вот то, что направление этой силы не всегда перпендикулярно направленю линейной скорости - это правда. Это значит, что существует проекция силы тяготения на направление линейной скорости, которая (проекция) либо тормозит тело, либо разгоняет -  в зависимости от положения его на траектории, т.е., говоря физически, тангенциальное ускорение отлично от нуля. В ноль эта проекция обращается только в перигелии и афелии орбиты (если я правильно помню термины), и там-то как раз происходит смена знака тангенциального ускорения - замедленное движение становится ускоренным и наоборот в диаметрально (или траекториально) противоположной точке. В этих точках линейная скорость строго перпендикулярна направлению на центр притяжения. Ну и, как я понимаю, данные точки также являются точками минимума и максимума кинетической энергии тела.


upd


Тема мне по-прежнему интересна, решил, чтоб не засорять обсуждение лишними постами, буду дописывать свои замечания здесь. Ближайшие - в субботу-воскресенье. Уж больно тема интересная. Классическая механика (как "опыт показывает") - тема поистине неисчерпаемая :)

Аватар пользователя Радионеслушатель

не против

ой, я всеми ногами за!

во-первых, немножко неудобно быть сломанным телефоном, во-вторых просто уже стало очень интересно.

Аватар пользователя Bruno
Bruno(2 года 3 месяца)(21:23:46 / 07-11-2015)

Ближайшие - в субботу-воскресенье. Уж больно тема интересная.

Уже год подходит, а у вас всё суббота не наступает)))

Я тоже как-то переводил закон всемирного тяготения в первый закон Кеплера и приходил к выводу, что просто имеет задача вращения двух тел, и есть две главные взаимодействия силы - притяжения и центробежная. Из этого следует, кстати, что скорость движения планет (км/с) несколько больше первой космической скорости - тем больше, чем более эллиптичность орбиты, так же как и ИСЗ, стремящийся покинуть околоземное пространство, раскручивается по всё более вытянутой орбите. Из этого следует, кстати, ещё и то, что "гравитационный" радиус орбиты (после которого вероятность на начало сближения с центром становится один к двум - либо да, либо ещё нет) равен меньшему радиусу эллипса, т.е. массы планет и Солнца следует скорректировать в сторону уменьшения.

Аватар пользователя Радионеслушатель

Получается «наука ради науки», чем и грешил Ландау.

не могу от себя не добавить, что Лев Давидович (если не него слегка надавить), этого и не отрицал.

"Прикрываясь борьбой за «чистую науку», наша антисоветская группа всячески добивалась отрыва теории от практики, что не только тормозило развитие советской науки, но и влекло за собой, учитывая огромное прикладное значение физики, задержку развития производительных сил СССР.

Пропагандируя под флагом «чистой науки» буржуазные антисоветские взгляды среди студенческой молодежи, мы считали, что наша пропаганда вызовет непосредственное стремление учащейся молодежи к активной антисоветской деятельности."

Л. Ландау

Аватар пользователя Информатик

Совершенно зря Ландау тогда выпустили из тюрьмы sad Он после этого (как честно и описывал следователю) - снова занялся «торможением науки», и уже в мировых масштабах.
И вот нафига уважаемый П.Л.Капица вступался и поручался за этого паразита и «пустоцвета» ? Сколько от Ландау вреда потом получилось - ещё разгребать и разгребать angry

Лидеры обсуждений

за 4 часаза суткиза неделю

Лидеры просмотров

за неделюза месяцза год

СМИ

Загрузка...