ТКМ*. Прикладная математика. Задача на выживание

*ТКМ - Теория критического мышления.

Навеяно очень интересной книгой: "Дискретная математика без формул".

Человека бросили в яму глубиной в три его роста. Основание ямы - квадрат со сторонами в один его рост. На дне ямы лежат два деревянных бруса, один из которых равен длине между противоположными углами основания ямы, а второй длиннее.

Сможет ли человек выбраться из такой ямы с помощью имеющихся средств, и если да, то насколько длиннее первого должен быть второй брус? 

Разницу в длине брусьев можно отображать как в виде соотношения дробей (простых или десятичных), так и в процентах, причем как большего к меньшему, так и наоборот.

P.S. Ответы завтра не ранее этого же времени, то есть как минимум через сутки.

ОТВЕТЫ.

Итак, как вы уже поняли, задача реалистичная. Представим себе ее как реальность. Зачем копали яму? Скорее всего, какой-то проект, возможно, под хранение, или инженерные коммуникации.

Откуда брусья? По видимому, недалеко от ямы лесозаготовка, и либо бревна/брусья упали/скатились у того, кто их пилил, иди у того, кто их перемещал на погрузчик. Почему разной длины? Предположительно - одно дерево было сильно повреждено и большую его часть просто оставили на месте, а  меньшую отпилили на нужды. Или там рядом лесопилка и бревна распиливали разной длины.

Что же это за бревна/брусья? Ну либо свежеспиленные и неокоренные, или уже окоренные и даже распиленные на брус. Однако уж точно они не профессиональный брус камерной сушки, то есть как минимум естественной влажности, то есть относительно тяжелые, но один конец все же как минимум можно приподнять.

Итак, выбраться можно, и вот возможные решения. Все числовые выражения в ростах человека.

Первое бревно имеет длину, равную диагонали квадрата в основании ямы (квадрат, потому что стороны ямы в основании одинаковые), то есть корень квадратный из двух, что примерно равно 1,41 и весит не менее 50 кг. Это общее для всех решений.

Вариант 1. Кладем первое бревно на пол по диагонали, как раз помещается и расклинивается в противоположных углах ямы. Второе бревно упираем одним концом в середину первого, а вторым - в углу между плоскостями стенок ямы, упирая его концом в этот угол. Получается надежно зафиксированный с обеих сторон брус, расположенный под наклоном к плоскости основания ямы под определенным углом. 

Как узнать длину второго бревна? Оно не может быть длиной с высоту ямы, иначе его просто не поднять. Оно не может своим концом верхним опираться слишком низко, иначе из ямы не выбраться. Получаем примерную длину второго бруса такой, чтобы можно было выбраться из ямы, то есть верхний конец его должен быть не слишком выше двух ростов человека, иначе оно будет неподъемным, но и не менее длины первого, то есть больше чем 1,41. Для удобства найдем длину сначала при условии, что высота верхнего конца бруса на уровне двух ростов человека. 

Получаем треугольник, в основании которого половина длины первого бруса, половина диагонали квадрата со сторонами основания, то есть 1/2 от 1,41, примем за 0,7. Вторая сторона треугольника равно 2 (высота верхней части бруса), между ними угол 90 градусов, то есть диагональ треугольника и есть длина бруса. Корень квадратный из суммы 2 квадрат и 0,7 квадрат равен 2,12. Это тот минимум длины, чтобы выбраться из ямы. 2,12 к 1,41 относится как 1,5 к 1, то есть второй брус длиннее первого на 50%, или в полтора раза.

То, что брус не может быть длиной в три роста человека, понятно, исходя из того, что вес такого бруса будет не менее 100 кг, и поднять даже один его конец уже тяжелая задача для человека, который сидит в яме без еду и воды, и неизвестно, сколько у него осталось сил, возможно, он уже проголодался и началось обезвоживание. В любом случае, выбраться из ямы с высокой вероятностью можно как правило в первые 4 часа после попадания в нее, если человек в сознании и не спит. Дальше он начнет терять силы и поднять больший брус будет не в состоянии.

Таким образом, брус длиной 2,12 роста человека уже весит не менее 75 кг, то есть слишком удлинять его нельзя. Поэтому максимум, что мы имеем, это прибавка не более 10% от уже имеющегося.

Вариант 2. Первый брус прикладываем к плоскости стены ямы под углом, распирая его концами угол примыкания двух стен - одну у основания, другую - на определенной высоте. Узнать эту высоту не сложно. Получается треугольник с углом между сторонами в 90 град, в котором одна сторона равна 1, вторая неизвестна, а диагональ равна 1,41. Квадрат диагонали отнимаем от квадрата одной стороны, извлекаем корень. Округляем для удобства. 2-1=1, корень из 1 равен 1. 

Второй брус упираем нижним концом в конец первого, а верхним - в угол между сторонами ямы. Получившийся угол между бревнами не может быть меньше 90 градусов, а длина второго бруса - меньше длины первого, но и, как мы уже поняли из варианта 1, не может превышать длину первого более чем на 50%. Поскольку запихнуть второй конец второго бруса в таком положении не очень легко, то примем, что он может быть примерно на 10-20% длиннее первого, то есть от 1,51 до 1,61. При этом верхний конец второго бруса будет находиться на высоте чуть более 2 ростов человека.

Вариант 3. Ставим второй, более длинный брус нижним концом в угол между основаниями двух стен, а второй упираем в противоположный угол, то есть наискосок под углом к плоскости основания ямы. Второй брус ставим перпендикулярно первому относительно плоскости ямы. Получается, что меньший брус расклинивается на противоположных углах ямы, а также своей серединой опирается на больший брус, который также опирается на противоположные углы ямы, но в другой плоскости и под углом.

Длина второго бруса нам нужна такая, чтобы можно было выбраться, но не такая, чтобы он стал слишком тяжелым, чтобы поднять хотя бы один его конец. 

Предположим, что верхний конец бруса опирается в угол на высоте 2 роста человека. Тогда длина этого бруса будет равна корню из суммы квадратов высоты 2 и диагонали 1,41, то есть корень из 6 или 2,45. Отношение большей длины к меньшей равно 1,74, то есть второй брус длиннее и тяжелее первого на 74%, и весит не менее 87 кг. Это очень тяжелый брус, даже тяжелее, чем в примере 1.

Вычислять высоту, на которой будет находиться первый брус, я не буду, там уже нужно формулы применять тригонометрические. Предположительно она должна быть не менее 1 и не более 2, но в данном случае у нас ограничения на вес второго бруса и его длину. 

Можно попробовать выбраться даже с помощью одного длинного бруса, залезть по нему наверх. Тогда высота расположения меньшего бруса значения не имеет.  

Ответвление варианта 3: меньший брус кладется одним концом на верхний конец большего бруса, а вторым упирается в угол между стенами под углом к плоскости основания ямы. 

Тогда длина второго бруса будет той же, но высота, на которой сможет встать человек, будет уже 2 его роста, хотя крепление второго конца меньшего бруса и не такое надежное.