Байесовская вероятность? Проще пареной репы!

   Байесовскую вероятность обычно иллюстрируют на двух проблемах - проблема такси и проблема вируса. Эти иллюстрации выраженные в словесно-формульном виде зачастую оставляют неофитов в затруднении понимания сути метода и его самостоятельного применения. Гораздо более наглядно и широко эта суть выражается в таблично-графической форме, плюс матаппарат начальной школы. 
   Разберём байесовскую вероятность таблично-графически на классических проблемах.  Итак, проблема вируса:

   Вирус XYZ вызывает серьёзное заболевание у одного человека из ста. Существует тест, показывающий, заражён человек XYZ или нет. Однако этот тест в 5% даёт ложное срабатывание - показывает факт заражения, когда на самом деле человек здоров.

   Предположим, что тестирование взятого наугад человека показало, что он XYZ-инфицирован. Какова вероятность того, что он на самом деле болен?

  Составим следующую матричку «2х2» (по значащим распределениям - белые поля таблицы, а со всеми комментирующими ячейками наша таблица будет несколько больше:

   Распределение "правда" / "ложь" показаний теста, по условию задачи, равно 0,95 / 0,05. Эти коэффициенты подчёркнуты в примерах вычислений. Очевидно, что пересечения полей «Инфицирован х Отрицательный результат» и «Вирус отсутствует х Положительный результат» - это ложные показания теста и поэтому в ячейках данных пересечений используется коэффициент 0,05.
   Из таблицы следует, что выражению «тестирование взятого наугад человека показало, что он XYZ-инфицирован» следует, что он относится ко множеству числа 590 — всех положительных результатов теста. А реально больные из того же самого множества (т. е. из тех, кого пофиксил тест, а не все реально больные)  - 95 человек соответствует выражению задачи «на самом деле болен». Соотношение «на самом деле болен (среди показаний теста)»/ «положительный результат» = 95 / 590 = 0,161. Или 16,1%.  Что и есть правильный ответ.
   Если бы вопрос задачи был сформулирован так: «тестирование взятого наугад человека показало, что он здоров. Какова вероятность того, что на самом деле он болен?» То ответ был бы 5 / 9410 = 0,00053. Или 0,053%.

   Перейдём к другой классической проблеме - проблеме такси:

Ночью произошло ДТП с участием такси. В городе работают две компании такси — «Синие» и «Зелёные». «Зелёным» принадлежит 85 такси, «Синим» - 15. Свидетель аварии утверждает, что такси принадлежало «Синим». Следственный эксперимент показал, что ночью свидетель верно определяет цвет такси в 80%. 
Какова вероятность того, что такси действительно принадлежало «Синим»?

 Снова строим матричку «2х2»:

   Если предположить, что свидетель давал бы показания по каждому такси в городе, то, как следует из таблицы, он назвал бы «Синими» 29 машин, из которых реально «Синими» были бы только 12. Поэтому ответ на вопрос задачи вычисляется, как 12 / 29 = 0,413, или 41,3%.
   В другом случае, если бы свидетелю померещилось, что такси было «Зелёное», то вероятность этого уже была бы 68 / 71 = 0,958, или 95,8%. 

   Если кому-то такое суждение кажется несправедливым, то не лишне напомнить вселенскую истину: «кому больше дано, с того и спрос больше!» Видимо, не зря Байес был священником.

   Таблично-графический метод до того прост, что легко перейти к вариационной правдивости тестов, примеры с которыми в классическом изложении байесовской вероятности вызывают ещё большие сложности и потому, в примерах обычно приравнивают ложноположительные и ложноотрицательные показания, которые в реальности, как правило, различаются. То же и со свидетельскими показаниями. Возможно, что один цвет в условиях ночи свидетель определяет с гораздо меньшей погрешностью, чем другой. 
   Итак, вернёмся к проблеме вируса с тем условием, что ложноположительный результат тест даёт в 5%, а ложноотрицательный - в 10% случаев. 
   Комментарии таблицы за пределами матрицы «2х2» несколько уплотнятся:

   Полагаю, что при внимательном рассмотрении всё понятно без лишних слов. Как говорится - интуитивно-понятный интерфейс. А ответ на первоначальный вопрос будет 90 / 585 = 0,154, или 15,4%.

   Простота данного метода позволяет легко перейти к вычислениям в случаях более, чем двучастных условий, тогда как при классическом математическом объяснении таких случаев формулы становятся столь громоздкими, что способны вызвать оторопь у последних ботанов. 
   Давайте попробуем усложнённую проблему такси. 

Ночью произошло ДТП с участием такси. В городе три компании такси: Синие (30 машин); Зелёные (70 машин) и Красные (100 машин). Свидетель аварии утверждает, что такси принадлежало Х. Следственный эксперимент показал, что ночью свидетель верно определяет цвет такси в 70% случаев, если нужно определить Синих или Зелёных. При определении Красных правильность показаний достигает 80%. Какова вероятность того, что виновен Х?

   Ложные (не Х) показания в трёх- и более частных системах можно распределять равным, либо равновесным способом. В данном случае было бы справедливо использовать равновесный способ (в ячейках дробная часть вычислений указывает на веса в ложных распределениях), строим матричку 3х3:

   Если показание Х от свидетеля того ДТП было бы:

• синее такси, то байесовская вероятность этого была бы: 21 / 31,8 = 0,660;   
• если Х = зелёные, то байесовская вероятность:  49 / 66,7 =0,734;
• если Х = красные, то 80 / 101,5 = 0,788.

   Вселенский принцип «кому больше дано, с того и спрос больше» сохраняется, но уже близок инверсии. Действительно, если бы следственный эксперимент показал, что красный цвет узнаётся свидетелями в 90% случаев, то вероятности виновности в зависимости от показаний свидетеля были бы следующие (проверка: сумма знаменателей дробей равна 200):

• синие: 21 / 28,8 = 0,729;
• зелёные: 49/ 59,7 = 0,821;
• красные: 90 / 111,5 = 0,807.

   Т.е. если бы свидетелей ДТП было трое и каждый бы «видел» свой цвет, то красные нивелировали бы свою «большесть» большей узнаваемостью свою цвета.

   Отсюда мораль: чем больше нахапаешь, тем большей честности ожидает от тебя жизнь.