0. Краткая интуиция (неформально, одна фраза)

Когнитивная экосистема — это многослойная система коэволюции локальных представлений и публичных онтологий, где локальные структуры моделируются как FF-коалгебры, публичная онтология — как (финальная) коалгебра ΩF\Omega_F, динамика — как изменение функторов и ресурсов, а историческое накопление, технологии и ретропричинность формализуются через дополнительные эндофункторы и операторы, действующие на этом категориально-коалгебраическом фоне.

1. Нотация, базовые математические допущения

• C\mathbf C — базовая категория представлений. В основном тексте можно взять C=Set\mathbf C=\mathbf{Set} или Meas\mathbf{Meas}; для теорем требуем: C\mathbf C локально-презентируема (или доступна) и допускает необходимые пределы/колимиты.

• Θ\Theta — пространство параметров (может быть топологическим или мерным пространством).

• F:C→CF:\mathbf C\to\mathbf C — эндофунктор, задающий тип динамики представлений; F={Fθ}θ∈Θ\mathcal F=\{F_\theta\}_{\theta\in\Theta} — семейство кандидатов.

• Coalg(F)\mathrm{Coalg}(F) — категория FF-коалгебр; объект (S,γ:S→F(S))(S,\gamma:S\to F(S)).

• (ΩF,ωF)(\Omega_F,\omega_F) — финальная FF-коалгебра (если существует).

• Sub(X)(X) — решётка подмножества/подобъектов XX.

• V:Coalg(F)→RV:\mathrm{Coalg}(F)\to\mathbb R — функционал жизнеспособности (parametric; не нормативный).

• Для метрической работы: все пространства снабжены метрикой/топологией, требуемая полнота/компактность указывается в теоремах.

2. Категориально-коалгебраический слой (core)

2.1. Коалгебраическая презентация индивидов и смысла

Определение 2.1. Локальный агент/субсистема ii представляется FF-коалгеброй (Si,γi:Si→F(Si))(S_i,\gamma_i:S_i\to F(S_i)). Состояния s∈Sis\in S_i — локальные представления/мнемоники/модели.

Интерпретация. Морфизм hSi:Si→ΩFh_{S_i}:S_i\to\Omega_F (при наличии ΩF\Omega_F) — «публичная проекция» локального состояния.

2.2. Финальная коалгебра как публичная онтология

Техника. При стандартных условиях на C\mathbf C и FF (см. Adámek–Rosický), существует финальная коалгебра (ΩF,ωF)(\Omega_F,\omega_F). Это формальное выражение идеи: коллективная онтология — предельный объект всех локальных представлений.

3. Semantics-gluing: presheaves, sheaves и агрегатор

Локальные онтологии разных агентов могут быть несовместимы; для согласования используем presheaf/sheaf-формализм.

Определение 3.1 (presheaf model). Для индексации контекстов UU рассмотрим категорию контекстов U\mathcal U. Онтология как presheaf: O:Uop→Set\mathcal O:\mathcal U^{op}\to \mathbf{Set} — локальные значения и рестрикции. Глобальная согласованность достигается через sheafification; агрегатор AA описывается как морфизм из продуктовой структуры локальных состояний в глобальную онтологию:

A:∏iSi⟶ΩF.A:\prod_i S_i \longrightarrow \Omega_F.

Этот слой даёт формальный способ говорить о «взаимной интерпретации» разных онтологий и о невозможности абсолютного унификации.

4. Мета-уровень: изменения правил и натуральные трансформации

4.1. Мета-операторы и естественные трансформации

• U\mathcal U — пространство (категория) мета-операторов U:F→FU:\mathcal F\to\mathcal F.

• Для каждого U∈UU\in\mathcal U и F∈FF\in\mathcal F предположим наличие (в случаях применения) натуральной трансформации

ηFU:F⇒U(F).\eta^U_F: F \Rightarrow U(F).

Такая ηFU\eta^U_F даёт способ индуцировать из FF-коалгебры (S,γ) (S,\gamma) U(F)U(F)-коалгебру, и, следовательно, индуцированный морфизм ΦUF:ΩF→ΩU(F)\Phi_U^F:\Omega_F\to\Omega_{U(F)} по финальности.

4.2. Self-modification / self-reflexivity

Самоизменение модели — оператор s:ΩF→ΩFs:\Omega_F\to\Omega_F возникает как особый случай индуцированного Φ\Phi. Его свойства (например, Lipschitz-константа) формально характеризуют степень безопасности/contractivity самоизменения.

5. Coinductive ethical core EFE_F как эмпирический инвариант

Определение 5.1. Для ΩF\Omega_F определяем оператор T:Sub(ΩF)→Sub(ΩF)T:\mathrm{Sub}(\Omega_F)\to\mathrm{Sub}(\Omega_F) по

T(S):=ωF−1(F(S)).T(S) := \omega_F^{-1}\bigl(F(S)\bigr).

Лемма 5.1. TT монотонен; тогда EF:=\gfp(T)E_F:=\gfp(T) (наибольшая подкоалгебра, фиксированная TT) существует (Knaster–Tarski).
Интерпретация. EFE_F — coinductive core: множество публичных паттернов/правил, коиндуктивно воспроизводимых системой. В этой теории «этика» — наблюдаемая структура EFE_F, не нормативная конструкция.

6. Viability kernel (ядро жизнеспособности) — формализация объективных границ

Пусть XX — пространство полных конфигураций (включая параметры агентов, ресурсы, технологию, sedimentation и т. п.), K⊂XK\subset X — множество допустимых состояний (физические, информационные, экологические требования).

Определение 6.1 (Viability kernel).

ViabK:={x0∈K∣∃ admissible control / sequence of meta-operators U⋅ such that x(t)∈K ∀t≥0}.\mathrm{Viab}_K := \{x_0\in K \mid \exists\ \text{admissible control / sequence of meta-operators } U_\cdot \text{ such that } x(t)\in K\ \forall t\ge0\}.

(Admissibility определяет, какие преобразования UU и какие траектории допустимы — технически: measurable policies.)

Замечание. Viability kernel — математическое выражение объективных границ существования: если конфигурация выходит за границы Viab, система не способна поддерживать себя. 

7. Sedimentation (накопление памяти) как эндофунктор / ядро памяти

Модель исторического «осадка» формализуем через эндофунктор S:C→CS:\mathbf C\to\mathbf C или через семейство операторов StS_t (оператор накопления).

Определение 7.1 (Sedimentation operator). SS — эндофунктор, превращающий поток локальных событий/действий в долговременные объекты (артефакты, институции). Формально можно задать

S(O):=colim⁡t∈NAt(O),S(\mathcal O) := \operatorname{colim}_{t\in\mathbb N} \mathcal A_t(\mathcal O),

где At\mathcal A_t — аккумуляция артефактов до времени tt.

Sedimentation обладает свойствами гистерезиса: обратные преобразования чувствительны к времени накопления. 

8. Technology / Infrastructure как ресурсный модуль (энергетика)

Модель. Пусть R\mathcal R — моноид (или тонкая категория) ресурсов/энергии. Технология TT — объект, модифицирующий отображения ν\nu, hh, E\mathcal E и тем самым изменяющий EB. Формально: TT действует на FF (или на C\mathbf C) через морфизм F↦FTF\mapsto F^T.

Entropy Balance (EB). Для каждой реализации вводим числовую функцию (набор переменных) и требуем неравенство (schematic)

ηeffEin≥kBTln⁡2⋅Rinfo+Eop+…\eta_{\mathrm{eff}} E_{\mathrm{in}} \ge k_B T\ln 2\cdot R_{\mathrm{info}} + E_{\mathrm{op}} + \ldots

(точная форма зависит от модели; здесь — дескриптивный constraint). 

9. Retrospective operator T\mathcal T (ретропричинность) — формализация

Motivation. Ожидания о будущем утвердительно влияют на выбор настоящих правил (мета-правил).

Формализация (описательная). Пусть B\mathcal B — пространство «видений будущего» (моделируемое как объект в presheaf-категории или как мера на Ω\Omega). Тогда ретропричинный оператор

T:B⟶U\mathcal T:\mathcal B \longrightarrow \mathcal U

отображает B∈BB\in\mathcal B в мета-оператор UBU_B. В практическом наборе допущений можно рассматривать T\mathcal T как селектор:

T(B)∈arg⁡max⁡U∈U  E[ V(Ωt+T∣U,B) ]−Cost(U),\mathcal T(B) \in \arg\max_{U\in\mathcal U} \; \mathbb E\bigl[\,V(\Omega_{t+T}\mid U,B)\,\bigr] - \mathrm{Cost}(U),

где VV — жизнеспособность; это — описательный MPC-подобный оператор. T\mathcal T может быть стохастичен и подвержен манипуляциям (mis-specification). 

10. Innovation / recombination — operads и композиция онтологий

Модель. Операции «склеивания» и «рекомбинации» символов/моделей формализуются через operad O\mathcal O. Элементы μ∈O(n)\mu\in\mathcal O(n) — правила соединения nn входных модулей в один выходной. Процесс создания новой онтологии описывается как применение композиции в O\mathcal O с последующим селективным отбором через VV. 

11. Сеть взаимодействий и богатство топологий

Модель. Многослойный граф G=(V,E1,…,Ek)G=(V,E^1,\dots,E^k) (layers: attention, influence, resource flows, institutional links). Динамика xix_i, CiC_i, NiN_i зависит от соседей по соответствующим слоям; операторы агрегации AA учитывают сетьовые веса.

Topological Data Analysis (TDA) и homology-invariants служат описательными инструментами для истории траекторий онтологий. 

12. Мультискоростная динамика (fast-slow systems) и coarse-graining

Модель разделения времён необходима для описания исторических фаз и артефактов.

Standard setup (singular perturbation).

x˙=f(x,y,θ),εy˙=g(x,y,θ),0<ε≪1.\begin{aligned} \dot x &= f(x,y,\theta),\\ \varepsilon \dot y &= g(x,y,\theta),\qquad 0<\varepsilon\ll1. \end{aligned}

При ε→0\varepsilon\to0 выводится эффективная динамика для «медленных» переменных; при недостатке временных разрывов ренормализационные методы необходимы.

В категориальном ключе можно смотреть на family of functors FεF_\varepsilon и их предельное поведение. 

13. Формальные утверждения (теоремы и леммы) — шаблоны и эскизы доказательств

Важно: все теоремы — условные. Технические предпосылки явно указаны.

---

Теорема A (существование финальной коалгебры ΩF\Omega_F)

Предпосылки: C\mathbf C локально-презентируема; FF — доступный (accessible) эндофунктор.
Утверждение: существует финальная FF-коалгебра (ΩF,ωF)(\Omega_F,\omega_F).
Sketch: стандартное применение теории доступных функторов и построение терминальной цепочки 1←F1←F21←…1\leftarrow F1\leftarrow F^2 1\leftarrow \dots. (Adámek)

---

Лемма B (coinductive core EFE_F существует как gfp)

Предпосылки: (ΩF,ωF)(\Omega_F,\omega_F) существует.
Утверждение: T(S)=ωF−1(F(S))T(S)=\omega_F^{-1}(F(S)) монотонен; EF=\gfp(T)E_F=\gfp(T) существует.
Sketch: Sub(ΩF)(\Omega_F) — полная решётка; применить Knaster–Tarski.

---

Теорема C (связь EFE_F и Viability) — условная корреляция

Предпосылки: есть агрегатор AA с достаточной «редуцирующей» свойством; VV непрерывен относительно выбранной топологии/метрики; existence of gap Δ between values on projections.
Утверждение: если проекция Viab(K)(K) в ΩF\Omega_F лежит внутри области, близкой к EFE_F, то траектории, которые проецируются в EFE_F, имеют более высокий VV (statistically) и большую вероятность остаться в Viab.
Sketch: показать, что EFE_F как инвариант воспроизводит те качества/функции, которые поддерживают VV; непрерывность даёт локальную устойчивость; gap обеспечивает отделение.

(Это — описательное утверждение: EFE_F and Viab correlate under assumptions.)

---

Теорема D (capture / symmetry-breaking)

Предпосылки: репликаторный тип динамики; g′(1/N)>0g'(1/N)>0 (positive returns); κ\kappa small; smoothness of g,hg, h.
Утверждение: симметричное состояние xi=1/Nx_i=1/N линейно неустойчиво; существуют несимметричные устойчивые attractors (захват).
Sketch: линеаризация якобиана в симметричной точке — положительные собственные значения → bifurcation.

---

Теорема E (Entropy Balance — necessity)

Предпосылки: definitional consistency of Rinfo,Ein,EopR_{\mathrm{info}},E_{\mathrm{in}},E_{\mathrm{op}} and stochastic perturbations with bounded variance.
Утверждение: долговременная поддержка положительного RinfoR_{\mathrm{info}} требует (EB) в среднем; длительное нарушение (EB) ведёт к росту HintH_{\mathrm{int}} или к падению RinfoR_{\mathrm{info}} (loss of ordered behaviour).
Sketch: Landauer lower bound + energy accounting: если среднее доступной мощности меньше требуемого для обработки/сохранения информации, уровень упорядоченности неустойчив.

---

Теорема F (retro-stability threshold)

Предпосылки: operator T\mathcal T оказывает влияние с эффективной скоростью λ\lambda и имеет распределение доступа (координация). Пусть эффект ΔJ\Delta J — изменение якобиана от применения UBU_B.
Утверждение: существует критическая комбинация (λ,coord)(\lambda, \mathrm{coord}), при которой влияние T\mathcal T стабилизирует динамику (увеличивает basin of attraction Viab); при другом соотношении T\mathcal T может дестабилизировать систему и ускорять захват.
Sketch: линейный анализ: знак изменения реальной части спектра якобиана определяет стабилизирующий или дестабилизирующий эффект; распределение доступа к U\mathcal U влияет на агрегированную ΔJ\Delta J.

---

Теорема G (no universal) — негативный результат

Предпосылки: общая формальная постановка без ограничений на U\mathcal U, F\mathcal F, наблюдаемость.
Утверждение: не существует алгоритма, который для произвольного UU и FF в общем случае гарантирует сохранение EFE_F.
Sketch: редукция к проблемам идентификации и вычислительной неразрешимости: без дополнительных априорных ограничений задача сводится к нерешаемым/неидентифицируемым вопросам.

---

14. Принципиальные конструкции для «вне-онтологий» явлений

Чтобы допустить конструкции не ограниченные общепринятыми онтологиями, мы:

1. Работаем в категории presheaves / sheaves. Это даёт возможность описывать локально разнородные смыслы и их согласование без единой онтологии.
2. Вводим морфизмы между онтологиями — функторы Φ:O1→O2\Phi:\mathbf O_1\to\mathbf O_2 задают перевод между онтологиями; натур. трансформации — способы изменения динамик.
3. Опираемся на operads для композиции — рекомбинация онтологий формализуется как композиция операций; это допускает новые типы «сценариеморфизмов», не сводимых к простым переводам.
4. Используем enrichment (категории, обогащённые по ресурсу) — стоимость/энергетика задаются как enrichment over [0,∞][0,\infty] или over monoid R\mathcal R.

15. Замечания о измеримости, идентифицируемости и мета-уровне

• Любые количественные утверждения требуют заданных observation maps OO и noise models. Без описания OO многие функции (в том числе VV, NiN_i, EopE_{\mathrm{op}}) не идентифицируемы.

• На мета-уровне теория остаётся инвариантной относительно частных онтологий в том смысле, что все ключевые операторы (коалгебра, TT, T\mathcal T, SS, operad-композиции) делают смысловые утверждения «функториально»: результаты переносятся вдоль морфизмов онтологий.

16. Короткие указания по дальнейшей строгой развёртке (техническая дорожная карта)

1. Для каждого утверждения дать чёткие технические условия (локальная-презентируемость, continuity, Lipschitz, measurability).
2. Разработать конкретные примеры классов FF (марковские, конечные автоматные, вероятностные функторы) и построить ΩF\Omega_F и EFE_F в них.
3. Дефинировать точные метрики на Sub(ΩF)(\Omega_F) (Hausdorff, symmetric difference mass) для алгоритмической аппроксимации EF(n)E_F^{(n)}.
4. Формализовать Sedimentation SS как конкретный endofunctor и доказать свойства hysteresis (existence of multiple basins).
5. Проработать ретропричинность T\mathcal T в контексте robust control / adversarial selection и изучить её устойчивость.

17. Краткое резюме (одна страница)

• Фундамент: локальные когнитивные структуры — FF-коалгебры; коллективная онтология — финальная коалгебра ΩF\Omega_F.

• Этический/нормативный слой в этой теории — не предписание, а coinductive core EF=\gfp(T)E_F=\gfp(T) — эмпирический инвариант.

• Viability kernel — математизация объективных границ существования; Entropy Balance — термодинамический constraint.

• Sedimentation, Technology, Institutions, Networks и Innovation — формализуются как эндофункторы/operads/slow variables, действующие над базовой категорией и модифицирующие FF.

• Retrospective operator T\mathcal T — описательная модель того, как представления о будущем меняют правила сейчас; её влияние может быть stabilizing или destabilizing.

• Ключевые теоремы (existence of ΩF\Omega_F, existence of EFE_F, capture, EB necessity, retro-stability, impossibility of universal certificate) дадены в условной форме с эскизами доказательств.