Почему именно квантовые компы или ёмкость 2 кубитов составляет 4 классических бита, 3 кубитов - 8 бит, 4 - 16, 10 - 1024
Про ловкость рук даже без мошенничества

В прошлых статьях я уже давал приблизительное представление о том, что из себя представляет кубит. Описание очень приблизительное, но максимально сбалансированное и приближенное к физике процесса. В другой статье я постарался описать, как работает параллелизм вычислений в квантовом компьютере, дающий ему фантастическую мощь. Сегодня я остановлюсь на способе хранения информации в кубите, находящимся в суперпозиции и на фантастическую компактность хранения битов в системах из нескольких находящихся в суперпозиции кубитов.

Итак, поскольку кубит является квантовой системой, то состояние этой системы описывается волновой функцией, описывающей зависимость некой величины — координат, импульса, энергии, поляризации, спина и т.п (в зависимости от того, на чём основан кубит) от времени, а говоря проще, вероятность нахождения этой величины в тех или иных пределах.

Итак, помимо базисных состояний у кубита есть состояние суперпозиции, когда реальное состояние кубита неизвестно, и описывается вероятностью его нахождения в одном из противоположных состояний. В этом случае иногда говорят, что кубит содержит сразу оба базисных состояния.

Описание кубита в этом случае удобно представлять в виде суммы волновых функций базисных состояний, каждая из которых умножена на определённый коэффициент — на т.н. «амплитуду вероятности». Чтобы узнать эту вероятность в процентном отношении, нужно амплитуду вероятности возвести в квадрат и умножить на 100.

Замечу, что на самом деле амплитуда вероятности — это не действительное, а комплексное число, состоящее из величины самой амплитуды (действительное число) и фазы её вращения вокруг оси (мнимое число). Эта особенность математически моделирует возможность полноценной интерференции вероятностей между собой.

Поэтому перед возведением амплитуды вероятности в квадрат, его на самом деле нужно взять по модулю. Иначе мнимая часть числа может дать отрицательное число после возведения амплитуды в квадрат. Но эту тонкость я намеренно опускаю, чтобы не усложнять общее понимание происходящего.

Собственно, кодирование

В кубите, находящемся в состоянии суперпозиции, можно закодировать два любых коэффициента, сумма квадратов которых даёт единицу. Чтобы получить такие числа, можно нормализовать к этому условию два любых числа. Для нормализации чисел нужно разделить каждое такое число на корень суммы квадратов обоих чисел. Например, нам нужно нормализовать числа 4 и 8.

4 / √(4²+8²) ≈ 0,447

8 / √(4²+8²) ≈ 0,894

Мы получили две амплитуды вероятности. Если мы переведём их в проценты вероятности, то получим:

0,447²*100≈20%

0,894²*100≈80%

Поскольку вероятность (носитель информации) — явление изначально аналоговое, то фактическая точность коэффициентов будет зависеть только от характеристик кодирующей и декодирующей систем компьютера. Причём эти коэффициенты фактически будут являться минимальными объёмами информации, то есть, их можно ассоциировать с битами (но аналоговыми).

Таким образом, в одном кубите можно хранить 2 бита информации. В системе из двух кубитов — 4 бита (ведь там 4 базисных состояния, а значит, и 4 коэффициента), в системе трёх кубитов — 8 бит (8 состояний, 8 коэффициентов), в системе из четырёх — 16 бит.

Ещё раз, если про два и четыре бита интуитивно понятно, то откуда 8 бит у трёх кубитов? Ведь на первый взгляд, должно быть, вроде бы, 6 бит?

Всё дело в том же самом способе кодирования битов. У системы из одного кубита — 2 состояния (кодируются, как мы помним, коэффициентами, представляющими собой амплитуды вероятности), у системы из двух кубитов — 4 состояния. Фактически, объединённая система из двух кубитов может находиться в суперпозиции из четырёх значений, а значит, и кодироваться четырьмя коэффициентами, т.е. четырьмя аналоговыми битами.

Система из трёх кубитов может находиться в суперпозиции из восьми значений (восьми аналоговых битов). То же самое и дальше — экспоненциальный рост ёмкости при простом увеличении количества кубитов. Ловкость рук и никакого мошенничества! :-)

Таким образом, мощь квантового компьютера может определяться, кроме параллелизма, ещё и компактностью представления чисел, особенно, очень больших. И чем больше число, тем плотнее оно кодируется.

 

Как хранятся аналоговые биты в кубитах квантового компьютера — объясняю ещё раз подробно но понятно

 

Несколько недавних статей я посвятил теме квантовых компьютеров, её технической составляющей, чтобы показать, что квантовые компьютеры — не замена классическим, а лишь полезное дополнение для определённого круга задач. Объяснял, что такое кубит, как осуществляется параллелизм квантовых вычислений и как хранятся числа в кубитах.

Основное непонимание вызвала именно тема последней статьи, поэтому сегодня я постараюсь изложить материал более конкретно и подробно без лишних отступлений в физику. Однако, для улучшенного восприятия этого материала всё же перечитайте и изначальную статью по этой теме. Практика показывает, что тот же самый материал, прочитанный с интервалом в один день, воспринимается гораздо легче. Да и кое-какие поправки я в него тоже внёс :-)

Итак, оставим физику процесса в стороне, с ней вы могли ознакомиться в предыдущей статье, и сконцентрируемся больше на логике. Наша цель — понять, почему в кубитах мы можем хранить больше битов, чем, собственно, в логических ячейках классического компьютера.

Например, у нас есть 3 бита. Тремя битами мы можем закодировать 8 чисел. И у нас есть три кубита. В три кубита мы можем поместить 8 битов и закодировать 256 чисел. Как это сделать?

Как один кубит кодирует 2 значения?

Мы уже знаем, что один кубит, находящийся в состоянии суперпозиции, содержит два неких базисных состояния одновременно. Их можно интерпретировать, как 0 и 1, или как то иначе, сейчас это для нас не важно. Это не те биты, которые мы будем кодировать, поэтому просто назовём их базисными состояниями кубита, и не важно, как они выглядят.

Нам надо лишь помнить, что после прочтения кубита (измерения его состояния) он коллапсирует в одно из этих двух состояний с определённой вероятностью. И вот вероятности этих состояний можно заведомо задать кубиту, а также выразить их математически.

Математически вероятности в кубите выражаются суммой двух волновых функций базисных состояний, каждая из которых умножена на свой вероятностный коэффициент — амплитуду вероятности. И в качестве этих коэффициентов используются числа, сумма квадратов которых даёт единицу.

Точнее, сумма квадратов модулей этих чисел даёт единицу, поскольку амплитуда вероятности — комплексное число, содержащее мнимую часть, обозначающую фазу вращения амплитуды вокруг оси времени и моделирующую возможность полноценной интерференции вероятностей между собой. А мнимая часть числа может дать отрицательное значение при возведении комплексного числа в квадрат, поэтому его берут по модулю, превращая в действительное число. Впрочем, это уже детали, не нужные для понимания дальнейшего материала.

Кстати, получить такие коэффициенты можно, нормализовав к этому условию два любых других числа. Для нормализации чисел нужно разделить каждое из них на корень суммы квадратов обоих чисел.

Например, нам нужно нормализовать числа 4 и 8:

4 / √(4²+8²) ≈ 0,447

8 / √(4²+8²) ≈ 0,894

Мы получили две амплитуды вероятности — 0,447 и 0,894.

Поскольку сумма квадратов этих чисел даёт единицу, то если мы хотим получить из них проценты вероятности, то возводим их в квадрат и умножаем на 100:

0,447²*100≈20%

0,894²*100≈80%

Возвращаемся к числам амплитуд вероятности. Одно число отвечает за вероятность появления в кубите одного базисного состояния, а другое — другого базисного состояния. Таким образом, мы уже записали в кубит два числа — 0,447 и 0,894, которые, по сути, и являются аналоговыми битами. С одной стороны, это минимальные объёмы информации кубита, а с другой стороны, они могут иметь любые дробные значения, удовлетворяющие условию нормализации.

Как три кубита кодируют 8 значений?

Мы помним, что кубиты описываются суммой волновых функций их базисных состояний (каждая из которых умножена на вероятностный коэффициент). Поэтому один кубит имеет 2 базисных состояния:

Состояние 1: 0
Состояние 2: 1

...и описывается двумя соответствующими функциями (с двумя коэффициентами).

Система из двух кубитов имеет 4 базисных состояния:

Состояние 1: 00
Состояние 2: 01
Состояние 3: 10
Состояние 4: 11

...и описывается четырьмя соответствующими функциями базисных состояний (с четырьмя коэффициентами).

Система из трёх кубитов имеет 8 базисных состояний:

Состояние 1: 000
Состояние 2: 001
Состояние 3: 010
Состояние 4: 011
Состояние 5: 100
Состояние 6: 101
Состояние 7: 110
Состояние 8: 111

...и описывается восемью соответствующими функциями, по одной на каждое базисное состояние (с восемью коэффициентами).

Поскольку коэффициенты мы можем рассматривать, как уже говорилось выше, как своего рода аналоговые биты, то получается, что система из трёх кубитов имеет ёмкость 8 бит.

Заключение

Описанное выше кодирование информации актуально для квантовых алгоритмов, но мало подходит для привычных нам классических вычислений. Поэтому рассматривать описанные аналоговые биты стоит лишь в контексте оценки фактической информационной ёмкости кубитов, а не как реальные логические элементы классического представления информации (0/1) для классических алгоритмов.

Надеюсь, что эта более подробная статья оказалась более понятной, чем предыдущая. На этом на сегодня всё. Ставьте нравлики, если процесс понимания сущности квантового компьютера благодаря моим статьям у вас постепенно прогрессирует, ну или если ничего не понятно, но очень интересно :-)

 

Волшебная ёмкость запутанных кубитов

 

Делаю последнюю попытку объяснить, почему у трёх кубитов ёмкость 8 бит, а у четырёх кубитов — 16 бит (именно бит, а не возможных значений, кодируемых битами), и дальнейший рост ёмкости с увеличением количества кубитов будет тоже экспоненциальный. Но зайду я в этот раз с более общей стороны.

Договоримся о терминах и понятиях

Сначала по поводу квантовой запутанности. Вообще, квантовая запутанность — не самый удачный термин, произошедший из английского языка прямым переводом, не учитывающим характер тонких смысловых оттенков английского слова entanglement и русского «запутанность». Впрочем, это относится к любой переводной терминологии, в которой переводчик механически переводит слово один к одному, не вдаваясь в нюансы ассоциаций и образов, возникающих при использовании того или иного слова в головах носителя исходного и целевого языков. На мой взгляд, более подходящее здесь слово — взаимосвязанность.

Теперь давайте немного расширим понятие слова «бит». В классическом понимании, бит — это двоичная цифра (binary digit), то есть, может быть только нулём или единицей. Является минимальной единицей информации. В контексте измерения ёмкости кубитов я предлагаю оставить в определении только слова «Является минимальной единицей информации».

Немного про кубит. Кубит, в отличие от бита, может находиться в трёх состояниях — двух базисных, которые можно выразить, как 0 и 1, и в смешанном (суперпозиция), когда оба базисных состояния находятся в нём с определённой пропорцией вероятности их появления в момент измерения (чтения) кубита. До чтения кубита мы не можем знать наверняка, в какое из этих двух состояний коллапсирует его смешанное состояние, и принято говорить, что кубит в суперпозиции содержит и 0 и 1 одновременно. Причём он с одинаковой или разной пропорцией вероятности может коллапсировать в то или другое базисное состояние.

Состояние кубита, находящегося как в базисных состояниях, так и в суперпозиции, математически можно описать волновой функцией. Волновую функцию кубита, находящегося в суперпозиции, можно представить в виде суммы двух волновых функций его базисных состояний, умноженных на соответствующие коэффициенты, опосредованно задающие вероятность коллапса кубита в одно из этих базисных состояний при его измерении. Таким образом, эти коэффициенты можно рассматривать, как минимальный объём информации кубита, находящегося в суперпозиции, то есть, как своего рода биты.

Поскольку вероятность, как носитель информации, явление изначально аналоговое, то фактическая точность коэффициентов будет зависеть только от математики и характеристик кодирующей и декодирующей систем компьютера. Таким образом, мы имеем перед собой вполне себе аналоговые биты.

Кодирование аналоговых битов в кубитах

Внимание! Речь идёт о кодировании битов в кубитах, а не о кодировании чисел в битах! Это важно, многие на этом путаются.

Итак, в одном кубите путём задания вероятностей мы можем хранить 2 аналоговых бита. Логично подумать, что в двух кубитах будет 4 бита а в трёх — 6. Но это не так, и дело тут в эффекте квантовой взаимосвязи (квантовой запутанности).

Когда мы используем три отдельных кубита, всё так и будет. Вместе они будут хранить 6 бит. Но если мы создадим систему из трёх кубитов, в которой квантово взаимосвяжем (запутаем) их, то все три кубита можно будет рассматривать, как единый квантовый объект, в котором число базисных состояний станет равно числу вариантов, в которые может коллапсировать этот объект, то есть восьми. Вот они:

000
001
010
011
100
101
110
111

Тогда, по аналогии с одним кубитом, представляем этот объект, как сумму волновых функций, по одной на каждое базисное состояние, умноженных каждая на свой коэффициент. В итоге получаем 8 коэффициентов или 8 аналоговых бит.

То же самое с четырьмя кубитами. Взаимосвязываем четыре кубита в один квантовый объект и получаем 16 базисных состояний этого объекта, от 0000 до 1111. Описываем объект суммой шестнадцати волновых функций, по одной на каждое базисное состояние, умноженных каждая на свой коэффициент, и получаем 16 коэффициентов, то есть 16 аналоговых бит.

Таким образом, получаем ёмкость четырёх взаимосвязанных кубитов в 16 бит, в то время, как невзаимосвязанные в один квантовый объект кубиты дали бы ёмкость 8 бит, а классические биты — вообще только 4 бита.

Заключение

Всё, надеюсь, к теме ёмкости кубитов я больше возвращаться не буду. На мой взгляд, она исчерпана полностью. Кто не понял, ну я уж не знаю, как ещё можно объяснить. Даже я уже всё понял...