Концептуальные проблемы, идеологические противоречия и ксенофобия долгое время мешали распространению понятия нуля. Сегодня на нём основана вся математика

Я ноль в устном счёте. Это правда — я испытываю трудности с этим навыком, — но я хочу сосредоточиться на самой фразе. В нашем языке мы часто приравниваем ноль к чему-то негативному. Но ноль — это единственное действительное число, которое не является ни положительным, ни отрицательным. Оно нейтрально.

Почему возникла негативная ассоциация? Человечество издавна испытывало сильные чувства по отношению к нулю; в какой-то момент в некоторых местах его даже запретили. Ксенофобия и идеология сдерживали развитие этого мощного понятия. Однако сегодня вся математика основана на этом числе.

Дать определение «ничто», «ноль» или «0» непросто. На самом деле нейробиологи изучали, как мы воспринимаем отсутствие чего-либо разными способами. Поэтому неудивительно, что в разных культурах к нулю относились по-разному.

Но удивительно то, как долго люди обходились без этой концепции. Числа сопровождали человечество на протяжении всей истории. Они упоминаются в древнейших документах. Без них невозможно вести торговлю, они нужны для измерения земли или записи рецепта пива. Ноль — это нечто необычное, и он не является строго необходимым для всех этих видов деятельности.

В результате потребовалось несколько тысячелетий, чтобы ноль был признан самостоятельным числом. Люди неоднократно сопротивлялись этому. Но сегодня мы знаем, что все остальные числа — и вся современная математика — на самом деле ничего бы не значили без нуля.

История отсутствия

Возможно, ноль был изобретён не один раз и выполнял разные функции. Например, около 5000 лет назад у вавилонян было понятие нуля, но это не было число, обозначающее само себя. Вместо этого они — как и мы — использовали систему счисления: если я записываю три цифры подряд, например 145, то первое число соответствует разряду сотен, второе — десятков, а последнее — единиц (или разряду).

Вавилоняне использовали аналогичный подход, за исключением того, что их система была основана не на 10, а на 60. В позиционной системе счисления нужен ноль, чтобы отличать число 105 от числа 15. Вавилоняне обычно обходились пробелом, который является одним из старейших упоминаний о чём-то вроде нуля.

Примечательно также, что многие древние общества обходились без этого понятия. В Древней Греции проводились всевозможные сложные математические расчёты (вспомните теорему Пифагора или основные принципы логики Аристотеля) без нуля как такового. Абстрактное понятие небытия было хорошо известно древним грекам, но они рассматривали его как часть логики, а не математики. В конце концов, ноль — это странно. Например, никакое число нельзя разделить на ноль. Древним грекам не нравилось это свойство.

Точное происхождение нуля, который мы используем сегодня, является предметом споров, но мы знаем, что в седьмом веке нашей эры блестящий индийский учёный Брахмагупта ввёл ноль как число наряду с отрицательными числами, которые раньше не использовались.

Раньше математические задачи обычно иллюстрировались с помощью геометрических объектов. Например, вы можете захотеть узнать, как соединить два прямоугольных поля, чтобы получить квадратный участок земли такого же размера. Отрицательные числа не имеют значения для таких задач, как и ноль.

Однако Брахмагупту также интересовали подобные абстрактные задачи. Чтобы правильно использовать эти новые числа, ему сначала нужно было разработать набор правил, чётко определяющих, как работать с этими величинами. Например, в своей книге «Брахмаспхутасиддханта» он писал, что сумма двух положительных чисел равна положительному числу, сумма двух отрицательных чисел равна отрицательному числу, а сумма положительного и отрицательного чисел равна их разности; если они равны, то равны нулю. Он также писал, что сумма отрицательного числа и нуля равна отрицательному числу, сумма положительного числа и нуля равна положительному числу, а сумма двух нулей равна нулю.

В похожем стиле Брахмагупта также описал, как умножать и делить новые числа. Правила, которые он сформулировал около 1400 лет назад, те же, что мы изучаем в школе сегодня, — за исключением одного. Он определил деление нуля на ноль как ноль, что неверно с точки зрения современной математики.

Ноль Постепенно Распространяется

Правила Брахмагупты вместе с индийской десятичной системой счисления быстро распространились по всему миру. Арабские учёные переняли эти концепции и разработали арабскую систему счисления, на которой основаны наши современные числа. Оттуда в Европу пришли ноль и арабские цифры — причём в самое неподходящее время. Крестовые походы проходили в XI–XIII веках, и вместе с ними произошёл резкий отказ от всех идей и знаний арабского или исламского происхождения.

Во Флоренции, Италия, это привело к запрету числа ноль в 1299 году. В то время экономика этого города процветала, и купцы со всего мира съезжались туда, чтобы продавать свои товары. В городе, известном своими банками и торговлей, ноль создавал реальную проблему: было очень легко увеличить размер числа на листе бумаги, просто добавив несколько нулей. 10 быстро превратилось в 100 или даже в 1000, в то время как римская система счисления не допускала таких манипуляций. Поэтому городские власти решили отказаться от нуля и полагаться на проверенные временем римские цифры.

Но вычисления с помощью римских цифр невероятно сложны и громоздки. Поэтому постепенно, в течение более чем 100 лет, арабские цифры, включая ноль, стали преобладать. В XV веке эти концепции наконец-то были приняты обществом в целом.

Много шума из Ничего

В начале XX века математик Эрнст Цермело создал набор правил, на которых основана современная математика. В то время логики искали максимально простые правила, из которых можно было бы вывести всё в математике. Будь то числа, системы уравнений, производные или геометрические объекты, всё должно было вытекать из нескольких базовых предположений.

Цермело разработал девять простых аксиом, то есть недоказанных базовых предположений, на которых строится всё в математике. Они используются и по сей день. Одна из аксиом гласит: «Существует пустое множество». Это что-то вроде нуля в теории множеств. С этого всё начинается — это «Да будет свет!» в математике. И, по сути, это единственное множество, которое Цермело построил так явно. В других правилах говорится, например, что вы можете «объединить два множества в третье» или «выбрать элемент из множества».

Всё остальное вытекает из пустого множества, «нуля». Например, из него строятся числа. Для этого полезно представить множество как сумку, в которую можно складывать предметы. Пустое множество соответствует пустой сумке.

При построении чисел Цермело начал с нуля. Он соответствует пустому множеству или пустому мешку. «Один» — это количество, в которое упакован ранее определённый ноль, то есть мешок с пустым мешком внутри. Два — это количество, которое содержит 1 и 0, или мешок, содержащий мешок, который сам содержит мешок. Три — это количество, которое содержит 2, 1 и 0, — ладно, признаю, это сбивает с толку.

Графически это можно представить немного лучше, если обозначить ∅ как пустое множество:

0 = ∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}

Таким образом, Цермело заложил основы для целых чисел. Отсюда можно определить все остальные числа, включая отрицательные, дроби, иррациональные числа и так далее.

Таким образом можно получить и другие математические понятия, помимо чисел. Вы можете постепенно усложнять задачу, пока не дойдёте до самых абстрактных структур современной математики. К счастью для человечества, мы в конце концов осознали силу нуля как отправной точки и приняли её.

Эта статья изначально была опубликована в журнале Spektrum der Wissenschaft и воспроизведена с разрешения.